图论课件--生成树的概念与性质
5_3树的概念和算法
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
第 7页
定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
第 6页
定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
图论——树
森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
生成树的名词解释
生成树的名词解释生成树（Spanning Tree）是图论中的一个重要概念，用来描述在一个无向连通图中连接所有顶点的极小连通子图。
在一个无向连通图中，如果能够找到一颗包含所有顶点且边数最少的子图，那么这个子图就是该图的生成树。
生成树的概念最早由Otto Schönflies于1885年提出，并且在图论研究和实际应用中得到了广泛的运用。
生成树在电网规划、通信网络设计、计算机网络以及城市交通规划等领域都有着重要的应用价值。
生成树的定义可以用简洁的方式表述：在一个无向连通图中，生成树是保留了原图的所有顶点，但只保留了足够的边来使得这个子图连通，并且不包含任何环的一种连通子图。
换句话说，生成树是一个无向连通图中的极小连通子图，它连接了所有的顶点，并且不存在回路。
生成树具有很多重要的性质和应用。
首先，生成树的边数比原图的顶点数少一个。
这是因为生成树是一个连通子图，而且不包含任何环。
因此，生成树中的边数等于原图的顶点数减去1。
这个性质经常用于生成树的构造和推导。
其次，生成树可以用于表示图中的最小连接网络。
在一个无向连通图中，如果存在多个连通子图，那么通过连接这些子图的最少的边，就可以得到一个生成树。
这个生成树可以看作是一个最小的连通网络，其中所有顶点都能够通过最短路径相互到达。
此外，生成树还可以用于网络设计和优化问题。
在电网规划、通信网络设计和计算机网络中，生成树常常被用于实现信息的传输和路由的优化。
通过构造合适的生成树，可以使得信息的传输路径更加简洁和高效。
生成树有多种构造算法，其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个任意选定的顶点开始，逐步构建生成树。
具体地，Prim算法每次选择与已有的生成树连接边权值最小的顶点，并将其加入生成树。
重复这个过程，直到生成树包含了所有的顶点。
Kruskal算法是一种基于边的方法，它首先将图中的边按照权值从小到大排序，然后依次将边加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点为止。
集合论与图论第十章 树
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
图论 第二章 树
u
v
G2
7/39
G1
对于有n个点的图G，由（3）的假设知删去G中某边可得 两个具有同样性质的子图G1与G2。设Gi 的点数与边数分别为 ni 与mi（i =1,2）。显然n1< n，n2 < n。由归纳假设有 n1= m1+1，n2= m2+1
相加得
n1+n2= m1+ m2+2 同时有 n1+n2= n， m1+ m2= m-1 代入（*）式得：n = m+1。 （*）
若不然，则G+uv存在另一个圈C’，且C’与C都是图G添加边 uv后产生的，即这两个不同圈都含有uv边。因而在原图中有
两条不同的连接u 与 v 的路，矛盾。
u C’
v G+uv
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（6）G 无圈，添加任一条边可得唯一的圈。
（1）G 是树
需证明G连通。 假设不连通，则存在两个 顶点u 与 v 之间不存在通路，因此增 加uv边不会在G+uv产生圈，矛盾！
凯莱生成树递推计数公式是他在1889年建立的。
24/39
(G )
(G) (G e) (G e)
证明 由于G的每一棵不包含e 的生成树也是 G-e 的生成 树。由此推知 ，τ(G-e) 就是G 的不包含 e 的生成树的棵 数。 类似, τ(G●e) 就是G 的包含 e 的生成树的棵数。从 而知结论成立。
(k 2)nk
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§2.2树的中心和形心
定义1 设 G = (V, E) 是一连通图， v∈V，令 e(v) = max {d(u,v) | u∈V } 则称 e(v)为顶点 v 的离心率；又令 r(G) = min {e(v) | v∈V } 称 r(G) 为图 G 的半径。 比较图的直径与离心率的定义可知，图G 的直径是 G 的最大离心率；e(v) = r(G) 的点 v ，称为 G 的一个 中心点， G 中全体中心点的集合称为G 的中心。
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是研究图及其性质的数学分支。
在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。
一、树的定义与基本性质树是一个连通且无环的无向图。
具体定义如下：1. 一个只有一个顶点的图是一个树。
2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。
树具有以下基本性质：1. 一棵树有且只有一个连通分量。
2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。
3. 一棵树的边数比顶点数少1。
树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。
下面将介绍树的一些重要性质。
二、树的性质1. 最小生成树最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。
2. 无向树与有向树的转化无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。
3. 树的直径树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。
求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。
树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。
4. 中心与半径树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。
树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。
中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。
5. 树的遍历树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。
常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。
6. 散射树散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的最小生成树与散射关键路径组成。
散射树在光纤传输等领域有着广泛的应用。
以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
从最小生成树到树的遍历，树的性质在各个领域都有着广泛的应用。
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是数学中的一个分支，研究各种图形的结构和性质。
其中，树是图论中非常重要的一个概念。
本文将介绍树的定义和性质，并探讨它在图论中的应用。
一、树的定义在图论中，树是一种特殊的无向图，它是一个连通的无环图。
这意味着树中的任意两个顶点之间都存在唯一的路径，并且不存在回路。
在树中，有一个特殊的顶点被称为“根”，其他顶点都与根有一条直接的路径相连。
根据根与其他顶点之间的距离可以将树分为不同的层次。
二、树的性质1. 顶点数与边数关系在一个树中，边的数量等于顶点数减1。
这可以通过归纳证明来证明。
2. 树的层次关系在树中，从根开始，每一层的顶点都与上一层的顶点相连。
树的层次关系可以用来刻画树中的信息流动或者依赖关系。
3. 叶子节点在树中，没有子节点的顶点被称为叶子节点。
树的叶子节点是最末端的节点，它们没有子节点与之相连。
4. 子树在一个树中，任意一个顶点都可以看作是一个树的根。
以某个顶点为根的子树包含了该顶点以及与之直接相连的所有顶点。
5. 树的深度树的深度是指树中从根到最深的叶子节点的层数。
树的深度也可以看作是树的高度，表示树的层数。
三、图论中树的应用图论中的树在很多问题中起到了重要的作用，下面列举几个常见的应用。
1. 最小生成树最小生成树是指在一个连通的带权无向图中选择一棵边的子集，使得这棵子树包含了图中的所有顶点，并且权重之和最小。
最小生成树常被用于网络设计、电路布局等问题中。
2. 网络路由在一个网络中，通过树的结构可以确定数据的传输路径，有效地避免了数据的冗余和混乱。
树结构的拓扑设计对于确定最短路径、避免环路等问题非常有帮助。
3. 数据压缩树结构可以用于数据的压缩和解压缩。
通过构建哈夫曼树，可以实现对数据的高效压缩，去除冗余信息，提高存储和传输效率。
4. 优先级队列优先级队列常通过堆这种数据结构来实现，而堆可以看作是一种特殊的树。
通过构建堆结构，可以高效地实现插入和删除操作，常被用于任务调度、最短路径算法等场景。
《图论》第3章_树
② Bi中有某一列只含一个+1或-1，按此列作展开，
得到一个降一阶子式det(Bi-1)，且det(Bi)=det(Bi-1)
或det(Bi)=-det(Bi-1)；
10
3.2 关联矩阵
[证明] (续) ③ i=i-1，若 i >2 转 ② ；否则计算结束，此时
det(Bk) = det(B2) 或 det(Bk) = -det(B2) ，易知 B2的
3.1 树的基本概念
[割边] 图 G=(V,E) 中，eE。设 G=(V,E{e})，若G 的连通分支数目比G多1，则称e为G的一条割边。 [定理3-1-1] 上述e、G中，e是G的一条割边当且仅当e 不属于G中任何回路。 [树] 连通图G=(V,E)，若G中不含任何回路，则称G为 树。|V|=1时称之为平凡树。
Dk=
D1k 0
l
lk 行
n-1-lk 行
16
3.2 关联矩阵
① 若C不经过 vk，则从B生成Bk时从D中划去的是全0 (不在 D1中) 的行向量，lk=l，D1k=D1 ，即D1k每列都含+1和-1。
故 D1k不满秩，或 r(D1k) < l ；
② 若C经过vk，则从B生成Bk时从D中划去了D1中的一行，此 时 lk=l -1，即D1k中最多有l -1个非0行向量，故
是从v到T的叶子的最长路的长度。
根结点深度为0，称为第0层；
深度同为i 的结点构成树的第i 层；
具有最大深度的结点的深度称为树的深度（高 度）。
28
3.4 有向树
[有序树] 将各树的每个结点的所有儿子按次序排列， 称这样的根树为有根有序树。
有序树的每个结点的出度小于或等于m时，称为m
图论课件第二章_树
图论及其应用
应用数学学院
1
第二章 树
本章主要内容
一、树的概念与性质
二、生成树
三、最小生成树
2
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
16
2 m ( G ) d ( v ) k 1 kn 2 ( k ) 2 n 1 2 n 2
v V ( G )
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！ 例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
v2 e2 e5 v1 v4 e4 e3 e6 v3
e1
7
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。 例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h
h h h
h
h
h
8
例5 电网络中独立回路与图的生成树 早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。 例6 通信网络中的组播树 在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。
第七章 图论
本讲稿第十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
例：若图Ｇ有n个顶点，（n+1）条边，则Ｇ中至少 有一个结点的度数≥３。
证明：设Ｇ中有n个结点分别为v1,v2,…,vn，则由握手
定理：
n
degvi)(2e2(n1)
i1
而结点的平均度数=
2(n1)212
n
n
∴结点中至少有一个顶点的度数≥３
本讲稿第十四页，共九十一页
▪ 若Ｇ’ Ｇ，且Ｇ’ ≠Ｇ（即Ｖ’Ｖ或Ｅ’ Ｅ），则称Ｇ’是Ｇ的真子图；
▪ 若Ｖ’＝Ｖ,Ｅ’Ｅ,则称Ｇ’是Ｇ的生成子图(支 撑子图)。
本讲稿第二十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
２．子图和图的同构：
例：Ｇ图如下：Ｇ的真子图：
生成子图：
说明： （1）Ｇ也是Ｇ的生成子图； （2）Ｇ’＝〈Ｖ，〉也是Ｇ的生成子图。
（3）路径长度：若两个结点之间有一条路经Ｐ，则路 径|Ｐ|＝Ｐ中边的条数。 例：给出有向图Ｇ，求起始于１，终止于３的路径
本讲稿第三十二页，共九十一页
§7.2 路与回路
下面介绍一些专有名词：
(1)穿程全部结点的路径：经过图中所有结点的路径。 (2)简单路径：在有向图中经过边一次且仅一次的路径。
(3)基本路径：在）从一个结点到某一结点的路径，（若有的话）不 一定是唯一的； （2）路径的表示方法：
(a)边的序列表示法： 设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一有向图， ，则路径可以表示
成：(<v1,v2>,<v2,v3>,….<vk-1,vk>)vi V
本讲稿第三十一页，共九十一页
§7.2 路与回路
(b)结点序列表示法： (v1,v2vk)
k5的所有不同构的生成树
k5的所有不同构的生成树K5，也就是五个顶点的完全连通图，是生成树问题中一个很好的例子。
在这篇文章中，我们将讨论求K5的所有不同构的生成树的方法。
一、生成树定义及性质一个连通图的生成树是一个包含所有顶点的连通子图，且该子图是一个树。
因为一个生成树是一个连通图的最小连通子图，所以它恰好有n-1条边（n为顶点数）。
此外，一个无向图G的生成树T称为一森林，因为T是由所有G连通分量的生成树的并组成的。
给定一个图G，有以下性质：1. G的生成树中任意两个顶点间都有唯一一条路径。
2. G的生成树中任意两个顶点间的路径都是G的一条路径。
3. G的生成树中移除任一条边，该生成树不连通。
4. 将G的一棵生成树中任一条边e替换为G中与e不同的边e'，得到的一棵新的生成树与旧生成树同构。
二、K5的生成树在这一节中，我们将探讨K5的一些基本性质。
通过直观的观察，可以确定K5的顶点数、边数和所有生成树的总数。
K5有5个顶点和10条边。
我们可以列举出K5中的所有边：```{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}```容易发现，K5中的任意四个顶点都连通，所以K5中的所有生成树都具有5个顶点和4条边。
K5有五个顶点和十条边，用一个邻接矩阵可以表示这张图：```1 2 3 4 51 0 1 1 1 12 1 0 1 1 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 0```在这个邻接矩阵中，矩阵值1表示两个顶点之间有一条边。
例如，（1,2）这个位置的值是1，表示节点1和节点2之间有一条边。
该矩阵是一个对称矩阵，因为对于图中每条边（u，v），都会在矩阵中出现两次：matrix[u][v] 和 matrix[v][u]。
图中每个生成树都是以任意一个根节点为起点的树。
如果假设根节点为1，则由于它有边连接2、3、4、5，它是连接这四个节点的起点。
图论第2章
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。 注： 以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的 生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。
三、回路系统简介
定义 设 T 是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边 数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1 为T的弦，设 Cr 是 T 加 er 产生 的圈(r = 1, 2,…, m-n+1)，称 Cr 为对应于弦 er 的基本回路， {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统。
第二章 树
树的概念与性质
树的中心与形心 生成树 最小生成树
yzwang@
2.1 树的概念与性质
一、树的概念
定义 不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。树 常用符号T 表示。
例 下面的图均是树。
T1
T2
T3
T4
注：平凡图称为平凡树。
定义 无圈图称为森林。
注；(1) 树与森林都是简单图;
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk。
推论 假定(n, m)图G 是由k棵树组成的森林，则m = n-k。 证明 设G 的每棵树的点数与边数分别是ni 和mi (1≤i≤k) 。 则mi = ni -1, i =1, 2,…, k。 因此
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是数学中的一个重要分支，研究的对象是图，即由若干个顶点和边连接的结构。
在图论中，树是一种特殊的图，它具有许多独特的性质和特点。
一、树的定义及性质在图论中，树被定义为一个无环连通图，也就是说，树是一个连通的无向图，并且不存在环。
树有许多重要的性质，包括：1. 任意两个顶点之间有唯一的简单路径。
2. 一个有n个顶点的树有n-1条边。
3. 一个图是树的充分必要条件是该图连通且有n-1条边。
二、树的类型在图论中，树可以分为多种类型，常见的包括：1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。
2. 森林：由若干棵不相交的树组成的集合。
3. 二叉查找树：一种特殊的二叉树，具有快速查找和插入性能。
4. 最小生成树：一个无向图的最小生成树是一棵包含图中所有顶点的树，且边的权值之和最小。
三、树的应用树在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用，其中最常见的包括：1. 数据结构：树是计算机中常用的数据结构之一，例如二叉搜索树、堆、红黑树等。
2. 网络拓扑：树结构常被用于描述网络拓扑结构，如局域网、广域网等。
3. 编程算法：许多算法问题可以通过树的结构来描述和解决，例如深度优先搜索、广度优先搜索等。
四、树的特殊性质除了上述基本性质外，树还有许多特殊性质，如：1. 叶子节点：树的叶子节点是指度为1的节点，即没有子节点的节点。
2. 高度：树的高度是指从根节点到最深叶子节点的最长简单路径的长度。
3. 平衡树：一种特殊的树结构，具有良好的平衡性能和查找效率。
总之，树是图论中的重要概念，具有许多独特的性质和应用。
通过深入研究树的结构和特点，可以更好地理解和应用图论的知识，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
树与生成树
定理1 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点, 则(m-1)i=t -1 . 证明:T的所有结点的出度总和为 mi. 入度总和(i-1)+t. 故 mi=i-1+t 所以(m-1)i=t-1
七. m叉有序树转化成二叉树 因为二叉树便于存贮, 也便于处理, 所以通常可以将多叉 树化成二叉树.方法是: 1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其分支. 被剪掉 的结点如下处理(重新嫁接). 2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出(被剪掉的结 点 嫁接到它的哥哥结点上).
先将权按照升序排序设为w为儿子结点构造它们的父结点且其权为再与其余权一起排序再从此队列中取出前面两个权值为儿子结点同的方法构造它们的父结点
8-9 树与生成树
树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概念之一, 它有 着广泛的应用.在计算机科学中有如判定树、语法树、分 类树、搜索树、目录树等等. 一.树 (Tree) (a) 1.树的定义:一个连通无回路的 无向图T,称之为树. 如(a) 2.叶结点:度数为1的结点, 称为叶结点. (b) 3.分支结点(内结点):度数大于1的结点. 4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
⑷ T连通的,且每条边都是割边. ⑸ T连通的且m=n-1. ⑷⑸:关于点数用归纳法证明。 当n=1或2时，T是平凡图或K2，显然有m=n-1。 假设nk时结论成立，往证n=k+1时成立。 当n=k+1时。取T的一条边e，由⑷，e是割边， 所以T-e有两个分支T1和T2， 因为|V(T1)|k, |V(T2)|k, 所以，由归纳假设，有 |E(T1)|=|V(T1)|-1， |E(T2)|=|V(T2)|-1 故m=|E(T1)|+|E(T2)|+1 =|V(T1)|-1+ |V(T2)|-1+1 =n-1。
第4讲-生成树
图G
· u·
·v ···w
· x··
图G的生成树T
· u·
·v ···w
· x··
T的余树
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割集
• 割集的定义：连通图G的一个边集 BE（G），如果它是使得G-B不 连通的极小边集，则称B为G的割 集。
• 例：图的割集
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2.2 割 集
定义：连通图G的一个边集BE(G)，如果它是使G-B不连通的
11
定理2.6 设B为连通图G的割集，则ω(G-B)=2 证：用反证法。 设 B为连通图G的割集，且ω(G-B)≥3，将B中任一边e添回到GB中，一条边只能使两分支连接，故G-B+e仍是不连通的，而 B-e是B的真子集，这与B为极小边集矛盾，故ω(G-B)=2。
*割边为只含一条边的割集。
记号：对V 的子集V1 和V2，用[V1,V2]表示一个端点在V1 中另 一个端点在V2 中的所有边的集。 定义：若S ⊂V，记 S V/S，则边集 [ S ，S ] 称为G 中的割。
• 等价说法：图G中的割点v为满足于 ω（G-v）> ω（G）的顶点v。
• G-v是什么？ ω（G）是什么？
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关于割点的结论
• 定理： v为图G的割点的充要条件是G 中存在与v不同的两个顶点u和w，使 得图G所有的uw路都通过v。
• 证明？
• 定理：树G中的每个d(v) > 1的顶点
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破圈法求解结果
v2
1
3
v1
3
3 v7
v6
v3 7
2 v4
v5
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(2) 矩阵树定理的证明很复杂，在此略去证明；
(3) 定理中的矩阵C又称为图的拉普拉斯矩阵，又可定 义为：
C D(G) A(G)
其中，D(G)是图的度对角矩阵，即主对角元为对应顶 点度数，其余元素为0。A(G)是图的邻接矩阵。
充分性 如果Am的列对应的边作成G的一棵生成树，因树是连通 的，所以，它对应的基本关联矩阵Am非奇异。 该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法：
(1) 写出G的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵， 记住参考点；
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(2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵，对每个这样 的主子阵，画出相应的生成树。
例2，画出下图G的所有不同的生成树。
1
b
2
c
a
d
4
e
3
G
解：取4为参考点，G的基本关联矩阵为：
abcde
1 1 0 0 0 1
Af
0
1
1
1
0
2
0 0 0 1 1 3
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图论及其应用
应用数学学院
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本次课主要内容
(一)、生成树的概念与性质 (二)、生成树的计数 (三)、回路系统简介
2
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0.5 n 0
a
a
c
b
d
e G
c
e T
基本回路为：
a
c
c
b
d e
C1
C2
23
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基本回路的性质:
定理4 设T是连通图G=(n, m) 的一棵生成树,C1, C2,…,Cn-m+1是 G对应于T的基本回路组。定义：1.Gi=Gi , 0.Gi=Φ,Gi是G的回 路。则G的回路组作成的集合对于该乘法和图的对称差运算来 说作成数域F=｛0,1｝上的n-m+1维向量空间。
例4 证明τ(Kn)=nn-2(教材上定理7）
证明：容易写出Kn的拉氏矩阵为：
n 1 1
C
(K
n
)
1
n 1
1 1
1
1
n 1
一行一列对应的余子式为：
n 1 1
1
(1)11 1 n 1
1
1 1
n 1
所以： (Kn ) nn2
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(一)、生成树的概念与性质
1、生成树的概念 定义1 图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵 生成树；若T为森林，称它为G的一个生成森林。 生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦。
例如：
图G
粗边构成的子图为G的生成树。
3
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但是，任意两个基本回路包含两条不同连枝，所以，若某个 ak≠0, 则
a1C1a2C2 anm1Cnm1
矛盾！ 其次证明G的任意一个回路均可由C1, C2,…,Cn-m+1线性表出。 设B是G的任一回路，显然，它至少含一条连枝，不失一般性， 令：
B ei1 , ei2 , eij , eij1 , , eik
其中： ei1 , ei2 , eij为连枝，eij1 , , eik 为树枝
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又设包含连枝ei1 , ei2 , eij的基本回路为Ci1 ,Ci2 , Cij
令：
B1 Ci1Ci2 Cij
显然，B1中只含有B中连枝，于是BΔB1只含树枝不含回路。 但是，两个回路的环和一定是回路，这就导出矛盾！
(G) (G e) (G e)
证明：对于G的一条边e来说，G的生成树中包含边e的 棵数为G.e ，而不包含e的棵数为G-e.
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例1，利用凯莱递推法求下图生成树的棵数。
共8棵生成树。
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2、生成树的性质
定理1 每个连通图至少包含一棵生成树。 证明：如果连通图G是树，则其本身是一棵生成树； 若连通图G中有圈C，则去掉C中一条边后得到的图仍 然是连通的，这样不断去掉G中圈，最后得到一个G的 无圈连通子图T，它为G的一棵生成树。
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设Am是Af的一个非奇异主子阵，并设与Am的列相对 应的边构成G的子图Gm.
由于Am有n-1行，故Gm应该有n-1个顶点(包括参考点); 又Am有n-1列,所以Gm有n-1条边。而Am非奇异，故Am的 秩为n-1 ,即Gm连通。这说明Gm是n个点，n-1条边的连通 图，所以，它是树。
则G的生成树棵数为C的任意一个余子式的值。
说明：(1) 该定理是由物理学家克希荷夫提出的。他于 1824年出生于普鲁士的哥尼斯堡。1845年因宣布著名的克 希荷夫电流电压定律而闻名，1847年大学毕业时发表了生 成树计数文章，给出了矩阵树定理。他的一生主要花在实 验物理上。担任过德国柏林数学物理会主席职务。
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凯莱公式的缺点之一是计算量很大，其次是不能具 体指出每棵生成树。
2、关联矩阵计数法
定义3 ：n×m矩阵的一个阶数为min｛n, m｝的子方阵， 称为它的一个主子阵；主子阵的行列式称为主子行列式。
显然，n×m矩阵共有 Cmn 个主子阵。 定理3 设Am是连通图G的基本关联矩阵的主子阵，则 Am非奇异的充分必要条件是相应于Am的列的那些边构 成G的一棵生成树。 证明：必要性
a
c
d
1 0 0 1
A3
0
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1
2
0 0 1 3
a
c
e
1 0 0 1
A4
0
1
0
2
0 0 1 3
1
2
c
a
d
4
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1
2
c a
4
e
3
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a
d
e
1 0 0 1
A5
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2
0 1 1 3
b
c
d
1 0 0 1
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0.6 0.4 x 0.2
共有10个主子阵，非奇异主子阵8个，它们是：
a
b
d
1 1 0 1
A1
0
1
1
2
0 0 1 3
1
b
2
a
d
4
3
a
b
e
1 1 0 1
A2
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1
0
2
0 0 1 3
1
b
2
a
4
e
3
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a
d
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a
d
e
1 0 0 1
A7
1
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0 0 1 3
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b
2
c
4
e
3
b
d
e
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A8
1
1
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2
0 1 1 3
1
b
2
d
4
e
3
注：该方法的优点是不仅指出生成树棵数，而且能绘 出所有不同生成树；缺点是找所有非奇异主子阵计算 量太大！
图的拉普拉斯矩阵特征值问题是代数图论或组合矩 阵理论的主要研究对象之一。该问题因为在图论、计算 机科学、流体力学、量子化学和生物医学中的重要应用 而受到学者们的高度重视。研究方法大致有3种：代数 方法、几何方法和概率方法。