最小生成树模型与实验

第六章 最小生成树模型与实验

树是图论中的一个重要概念，由于树的模型简单而实用，它在企业管理、线路设计等方面都有很重要的应用。 §6.1树与树的性质

上章已讨论了图和树的简单基本性质。为使更清楚明了，现在使用实例来说明。

例6.1 已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市），并且电话线的根数最少。

用五个点54321,,,,v v v v v 代表五个城市，如果

在某两个城市之间架设电话线，则在相应的两个点之间联一条边，这样一个电话线网就可以用一个图来表示。为了任何两个城市都可以通话，这样的图必须是连通的。其次，若图中有圈的话，从圈上任意去掉一条边，余下的图仍是连通的，这样可以省去一根电话线。因而，满足要求的电话线网所对应的图必定是不含圈的连通图。图6.1的表达式满足要求的一个电话线网。

定义6.1 一个无圈的连通图称为树.

例6.2 某大学的组织机构如下所示:

v 5v

4

v

图 6.1

教务处 研究处

校行政办公室 研究生院 财务科 行政科

理工学院 人事学院 外语学院 ……

如果用图表示，该工厂的组织机构图就是一个树。上章给出了一些树的性质，为使能进一步研究这部分知识，先再列出常用一些树和生成树的性质。 树的性质：

（1） 树必连通，但无回路（圈）； （2） n 个顶点的树必有1-n 条边； （3） 树中任意两点间，恰有一条初等链； （4） 树连通，但去掉任一条边，必变为不连通；

（5） 树无回路（圈），但不相邻顶点连一条边，恰得一回路（圈）。 生成树与最小树

定义6.2 设图),(11E V G =是图},{E V G =的生成子图，如果1G 是一棵树，记),(1E V T =，则称T 是G 的一棵生成树。

定理6.1 图G 有生成树的充分必要条件是图G 的连通的。

数学系

物理系 文科办公

理科办校教学办公室 校长

证：必要性是显然的 充分性：设G 是连通图。

（i ）如果G 不含圈，由定义6.1可知，G 本身就是一棵树，从而G 是它自身的生成树。

（i i ）如果G 含圈，任取一圈，从圈中任意去掉一条边，得到图G 的一个生成子图1G ，如果1G 不含圈，那么1G 是G 的一棵生成树（因为易见1G 是连通的）；如果1G 仍含少量圈，那么从1G 中任取一个圈，从圈中再任意去掉一条边，得到图G 的一个生成子图2G ，如此重复，最终可以得到G 的一个生成子图k G ，它不含圈，则k G 是图G 的一棵生成树。

§6.2 最小生成树的实例与求解

由以上充分性的证明中，提供了一个寻求连通图的生成树的方法，称这种方法为“破圈法”。

例6.4 在图6.1中，用破圈法求出图的一棵生成树

解： 取一圈}{1233211v e v e v e v 去掉3e ；取一圈

}{123544211v e v e v e v e v 去掉5e ；取一圈

}{2657442v e v e v e v 去掉7e ；取一圈}{123856211v e v e v e v e v 去掉6e ；

如图6.3所示，此图是图6.2的一个生成子图，且为一棵树（无圈），所以我们找一棵生成树},{11E V T =，其中，},,,{82411e e e e E =。 不难发现，图的生成树不是唯一的，对于上例若这样做：

v 5

v

3

图 6.2

取一圈}{1233211v e v e v e v 去掉3e ；取一圈}{123554211v e v e v e v e v 去掉4e ；取一圈}{123856211v e v e v e v e v 去掉6e ；取一圈}{4538574v e v e v e v 去掉8e 。

图6.3 图6.4

如图G 的生成树还有另外一种方法“避圈法”，主要步骤是在图中任取一条边1e ，找出一条不与1e 构成圈的边2e ，再找出不与},{21e e 构成圈的边3e 。一般地，设已有},,,{21k e e e Λ，找出一条不与},,,{21k e e e Λ构成圈的边1+k e ，重复这个过程，直到不能进行下去为止。这时，由所有取出的边所构成的图是图G 的一棵生成树。

定义6.2 设},{E V T =是赋权图},{E V G =的一棵生成树，称E '中全部边上的权数之和为生成树T 的权，记为)(T w 。即 ∑∈=

T

v v ij

j i w

T w ],[)(。 (7.1)

如果生成树*T 的权)(*T W 是G 的所有生成树的权中最小者，则称

*T 是G 的最小生成树，简称为最小树。即

)}({min )(*T w T w T

= （7.2）

式中对G 的所有生成树T 取最小。 求最小树通常用以下两种方法。

（1）破圈法：在给定连通图G 中，任取一圈，去掉一条最大权边

（如果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉其中一条），在余图中（是图G 的生成子图）任取一圈，去掉一条最大权边，重复下去，直到余图中无圈为止，即可得到图G 的最小树。 例 6.4 用破圈法求图6.5的最小树。图6.5是一赋权图。

],[211v v e =，1)(1=e w ；],[312v v e =， 4)(2=e w ；

],[323v v e =，2)(3=e w ，],[424v v e =，3)(4=e w ；

],[435v v e =， 1)(5=e w ；],[526v v e =，5)(2=e w ，],[547v v e =，2)(7=e w ； ],[528v v e =， 3)(8=e w 。

解： 取一圈}{1233211v e v e v e v 去掉2e ；取一圈}{2338562v e v e v e v 去掉6e ；取一圈}{2335442v e v e v e v 去掉8e ；取一圈}{4538574v e v e v e v 去掉8e 。 如图6.6所示，得到一棵生成树，即为所求最小树*T ，

62121)(*=+++=T w 。

（2）避圈法(Kruskal 算法)：在连通图G 中，任取权值最小的一条边（若有两条或两条以上权相同且最小，则任取一条），在未选边中选一条权值最小的边，要求所选边与已选边不构成圈，重复下去，直到不存在与已选边不构成圈的边为止。已选边与顶点构成的图T 就是所求最小树。

算法的具体步骤如下：

第一步：令1=i ，φ=0E （空集）

第二步：选一条边i i E E e \∈，且i e 是使图}){,(1E E V G i i ⋃=-中不含圈的所有边)\(i E E e e ∈中权最小的边。如果这样的边不存在，由

v 5

v

3

图 6.5