有理数的加法运算律
4.有理数加减
有理数加减知识要点1.有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0．（3）0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数2.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．3.去括号法则4.添括号法则一、 夯实基础（一）选择题1.下面计算用的加法运算律是（ ）A ．交换律B ．结合律C ．先用交换律，再用结合律D ．先用结合律，再用交换律2.把(＋9)－(－21)＋(－7)－(＋15)写成省略括号和加号的形式是( )A ．9－21－7＋15B ．－9＋21＋7－15C ．9＋21＋7－15D ．9＋21－7－15 3.下列运算中，正确的个数是( )①(－5)＋5＝0；②(－10)＋(＋7)＝－3；③0＋(－4)＝－4；④(－3)＋2＝－1；⑤(－1)＋(＋2)＝－1。
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4.若x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0，则一定不能成立的是( ) A ．x ＞0，y ＝0，z ＜0 B ．x ＞0，y ＞0，z ＜0 C ．x ＞0，y ＜0，z ＞0D ．x ＞0，y ＜0，z ＜05.下列等式不正确的是( )． A ．B ．C ．D ．6.若a ，b 表示任意两个数，则下列结论中不正确的是( ) A ．若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＞0 B ．若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＜0C ．若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＜0D ．若a ＜0，b ＞0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＜07.在1，2，3，…，99，100这100个数中，任意加上“＋”或“－”，相加后的结果一定是( ) A ．奇数 B ．偶数 C ．0 D ．不确定8.数学考试成绩以80分为标准，超过的记为正，不足的记为负，王老师将某4名同学的成绩简记为10，0，－8，18，则这4名同学的平均成绩是（ ） A ．75分 B ．85分 C ．89分 D ．92分 9.若a ＋b ＋c ＝0且b ＜c ＜0，则下列结论：①a ＋b ＞0；②b ＋c ＜0③c ＋a ＞0；④a －c ＜0，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10.计算1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋9－10－11＋12＋…＋2 005－2 006－2 007＋2 008的结果是（ ） A ．0 B ．1C ．2 008D ．－2 008（二）填空题1.(1)若|a |＝21，|b |＝27，且|a ＋b |＝－(a ＋b )，则a －b 的值是________；(2)若a ＞0，b ＜0，|a |＝4，|b |＝a －2，则a －b 的值是________．2.已知|x |＝2，|y |＝3，|z |＝5，且x ＞y ＞z ，则3x －4y －2z 的值是________．3.按照如图所示的程序运算(完成一个方框的运算后，把结果输入下一方框继续进行计算)，当输入的数是－1时，输出的结果是________。
1.3.1有理数的加法运算律
想一想：解 1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+ （ -1.3 ） + （ -1.2+1.8+1.1 ） 法2中使用 =[1+（-1）]+[1.2+（-1.2 ）]+[1.3+（-1.3）] 了那些运算 +（1+1.5+1.8+1.1） 律？
=5.4
90×10+5.4=905.4
答：10袋小麦一共905.4千克，总计超过5.4千克。
总结： 灵活运用加法运算律，可使运算简 便，通常有以下情形： （1）互为相反数的两个数，可先相加；
（2）几个数相加得整数，可先相加；
（3）同分母的分数可先相加； （4）符号相同的数可先相加。
练习：
（1）23+（-17）+6+（-22）
（2）（-2）+3+1+（-3）+2+（-4）
（ 3）
1 1 1 1 2 3 6
即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )
在小学学过: 加法交换律与加法结合律 思考： 引入负数后，这些运算律还成立吗？
计算： 30+（-20） （-5）+（-3） （-20）+30 （-3）+（-5）
[8+（-5）]+（-4）
8+[（-5）+（-4）]
[（-3）+（-1）]+（+5） （-3）+[（-1）+（+ 5）]
1 1 3 2 （4） 4 3
初中七年级数学有理数的加法法则
有理数加法•有理数的加法：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
•有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数。
[解题过程]1.在进行有理数的加减运算时,可根据有理数的减法法则,把减法转化为加法,这就把有理数的加减运算统一为单一的加法运算.这时它就变成了几个正数、负数的和了.2.在把混合运算都转化成加法运算时写成代数和的形式,要注意代数和形式的两种不同的读法.3.省略括号的和的形式,可看作是有理数的加法运算.因此,可运用加法运算律来使计算简化,要注意运算的合理性.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)。
•几个有理数相加常用方法：①.运用加法运算律把同号的加数相加，再把异号的加数相加；②.应用运算律把可以凑整的加数相加；③.运用运算律把互为相反数的加数相加。
用加法的运算律进行简便运算的基本思路：①先把互为相反数的数相加；②把同分母的分数先相加；③把符号相同的数先相加；④把相加得整数的数先相加。
注意事项：有理数的加法与小学的加法有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。
在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那一条法则。
在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了。
多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。
记忆要点：同号相加不变，异号相加变减。
欲问符号怎么定，绝对值大号选。
有理数的加法运算律
(2)6.18+(-9.18)；
两个数相加，交换加数的位置，和不变.
加法交换律： a+b=b+a
2．计算下列各题，有何发现?
(1)[8+(-5)]+(-4)；
(2)8+[(-5)+(-4)]；
(3)[(-7)+(-10)]+(-11)； (4)(-7)+[(-10)+(-11)]；
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后 两个数相加，和不变.
加法结合律：(a+b)＋c=a+(b+c)
三、应用
例1、(1). (-12)+(+11)+(-8)+(-7)+(+39)+7
(2). （-1.75)+1.5+(+7.5)+(-2.25)+(-8.5)
练习:简便计算？
（1）（-23）+（+58）+（-12）符号相同的先结合
能凑整的
（2）（-93）+（+25）+ 3 +（-5） 先结合
（3）（-2.8）+（-3.6）+（-1.5）+3.6 互为相反数
的先结合
（4）
—1 +
6
(-
—2 ) 7
+
(-
—5 ) 6
+
(+
—5 ) 7
分母相同的先结合
(5). 1+(-2)+3+(-4)+ …+2007+(-2008)
使用运算律通常有下列情形：
(1)符号相同的数可以先相加。 (2)互为相反数的两个数可先相加； (3)几个数相加得整数时,可先相加； (4)同分母的分数可以先相加；
有理数加减混合运算法则
知识点1：有理数的加法法则把两个或两个以上的有理数合并成一个有理数的运算，叫做有理数的加法，相加的两个数叫做加数，得到的结果叫做和。
由于有理数分为正有理数、零、负有理数三类，所以两个有理数相加就有以下三种情况：同号两数相加；异号两数相加；一个数同0相加。
⑴一个数同0相加，仍得这个数。
如：（－2）＋0＝－2，6＋0＝6.⑵借助数轴来探究同号两数相加的情况：（规定向东为正方向，1个单位长度为1米）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑶借助数轴来探究异号两数相加的情况：（规定向东为正方向，1个单位长度为1米）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。
知识点2：有理数加法的运算步骤进行有理数加法运算时，应按照以下“一判，二定，三加减”的步骤：第一步：判断加法的类型，并根据加法的类型确定使用哪一个法则；第二步：根据加法绝对值的大小及有理数的符号，确定和的符号：第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值。
知识点3：有理数的加法运算律加法交换律：两个数相加，交换加数的位置和不变。
即a+b=b+a。
交换加数的位置时，各加数应连同其符号一起交换。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加和不变。
即（a+b）+c=a+（b+c）。
多个数相加时，灵活运用加法运算律，可使运算简便，通常有以下运算技巧。
①凑0，即和为0的几个数先加。
②凑10或凑100，即和为整10或者100的几个数先加。
③凑整，即和为整数的几个数先加。
④同号的几个数先加。
⑤同分母或易通分的分数先加。
知识点4：有理数的减法法则减法的概念：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法，减法是加法的逆运算。
在小学时，被减数要大于减数，引入负数后，任何两个数都可以进行减法运算。
有理数减法法则：减去一个数等于加这个数的相反数。
即a-b=a+（-b）。
0减去任何数得这个数的相反数。
有理数的加法运算律
1.计算：
（1）.（－3）+40+（－32） +（－8） ； (2) . 13 + ( - 56 ) + 47 + ( - 34 ) (3). 43 + ( - 77 ) + 27 + ( - 43 )
课堂小结
交换律 a+b=_b_+_a__
有理数加法 的运算律
结合律 （a+b）+c=_a_+_(_b_+_c)____
31 +（-28）+ 28 + 69 16 + ( - 25 ) + 24 + ( - 32 )
新课讲解
小组讨论：你是抓住数的什么特点使计算简化的？ 依据是什么？
常用的三个规律： 1.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 2.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加； 3.然后把正数或负数分别结合在一起相加.
应用
第二章 有理数及其运算
4 有理数的加法
第2课时 有理数加法的运算律
学习目标
1.能概括出有理数的加法交换律和结合律. 2.灵活熟练地运用加法交换律、结合律简 化运算
自学指导
1.自学 P37“做一做”,完成“想一 想”，总结有理数的加法运算律. 2.自学P37 例2，例3，思考应用运算律 遵守原则可使计算简便. 8分钟后，看谁完过上面的计算和对比你能发现什么？
有理数的加法中，两 个数相加，交换加数 的位置和不变.
有理数加法中，三个数相加， 先把前两个数相加，或者先 把后两个数相加，和不变.
加法交换律： a+b=b+a
加法的结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
有理数的加减乘除法
有理数的加减乘除法有理数是数学中的一类数，它包括整数、分数和小数。
有理数的加减乘除法是我们学习数学的基础内容之一。
在本文中，我将详细介绍有理数的四则运算，并给出一些实际生活中的例子。
一、有理数的加法有理数的加法是指将两个有理数进行相加的运算。
有理数的加法遵循以下规则：规则一：同号相加，取绝对值相加，并保留原来的符号。
例如，(-3) + (-5) = -8。
规则二：异号相加，取绝对值相减，并按绝对值大小确定结果的符号。
例如，3 + (-5) = -2。
实际生活中，我们可以通过一些例子来理解有理数的加法。
比如说，小明手里有5元钱，他向小强借了7元钱，那么小明现在手里有多少钱呢？我们可以用有理数表示为5 + (-7)，根据规则二，结果为-2元。
二、有理数的减法有理数的减法是指将两个有理数进行相减的运算。
有理数的减法可以转化为加法，即将减数取相反数，再进行加法运算。
例如，5 - 3可以转化为5 + (-3)。
实际生活中，有理数的减法也可以通过例子来解释。
假设小明有10个苹果，他分给小红3个苹果，那么小明还剩下多少个苹果呢？我们可以用有理数表示为10 - 3，根据转化规则，可以变为10 + (-3)，结果为7个苹果。
三、有理数的乘法有理数的乘法是指将两个有理数进行相乘的运算。
有理数的乘法遵循以下规则：规则一：同号相乘，结果为正数。
例如，(-3) × (-5) = 15。
规则二：异号相乘，结果为负数。
例如，3 × (-5) = -15。
实际生活中，我们可以通过例子来理解有理数的乘法。
比如说，小红每天骑自行车上班，平均每天骑行5公里，为了计算她骑行了多少公里，我们可以用有理数表示为5 × 7，结果为35公里。
四、有理数的除法有理数的除法是指将一个有理数除以另一个有理数的运算。
有理数的除法可以转化为乘法，即将除数取倒数，再进行乘法运算。
例如，4 ÷ 2可以转化为4 × (1/2)。
10、有理数的加法运算律
讲解
请你当பைடு நூலகம்师
计算：
符号相同 的先结合
互为相反数 （1）（-23）+（+58）+（-17） 的先结合
（2）（-2.8）+（-3.6）+（-1.5）+3.6 1 2 5 5 （3） —+ (- —) + (- —) + (+ —) 6 7 6 7 分母相同的 先结合
交换、结合的目的是什么？ 你能从中发现什么规律？
6.35+(-0.6)+3.25+(-5.4)
4.
1+(-2)+3+(-4)+ …+2003+(-2004)
让数学走进生活 相信你一定能行!
1. 10筐苹果,以每筐30千克为准,超过的 千克数记为正数,不足的千克数记为负数, 记录如下:
2, -4, 2.5, 3, -0.5, 3, -1, 0, -2.5 问:这10筐苹果总共重多少?
有理数加法法则
1、同号两数相加
2、绝对值不等的异号两数相加 3、互为相反数的两个数相加
4、一个数与零相加 判断:两个有理数相加,和是否一定大 于每个加数?
（1）(—9.18)+6.18 =-3
（2）6.18+(— 9.18) =-3
（3）(— 2.37)+( — 4.63)
=-7
（4）(— 4.63)+(— 2.37) =-7 1 2 1 （5） ( 2 ) 2 6 3 2 1 2 1 ( 2 ) 2 （6） 6 2 3
( 0与任何数相加仍得这个数 )
课堂小结:
1.你 对你自己的表现如何?
2.你对同桌的表现如何?的学习
有理数加减法法则
有理数的加减法法则
一、有理数的加法
（1）有理数的加法法则：
同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；
绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.
一个数同0相加，仍得这个数。
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数符号；是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则，在运算过程中，要记住“先符号，后绝对值”）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a; 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；
二、有理数的减法
（1）有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b）
（2）方法指引：
在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
讲有理数转换为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换
律；减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算；。
有理数的加法运算律
分析
本题中，判断这个老板是盈利还是亏损，应先求出他销售 这10件玩具的总收入，然后与成本300元进行比较，若总收 入高于300元，则盈利；若总收入低于300元，则亏损；若 总收入等于300元，则不亏损也不盈利.可先求出各数与基准 数48元的差的和.，得到总的增减量，然后再求出总收入， 与成本300元比较.
7 12 3 87 (kg)
答：这7筐西红柿的总质量是87kg.
中考 试题
例1
某玩具店老板用300元购买了10件玩具，如果按自定的价格每 件玩具48元作为标准出售，超出的钱数记为正数，不足的钱数记 为负数，现记录如下（单位：元）：+5，-2，+9，-6，-1，0，+3， -9，+4，-8，请你帮助这个老板计算一下，当他卖完这10件玩具 后，是盈利还是亏损？
3、下列各题计算运用运算律恰当吗？
(1)28 (19) 42 (21)
(19) (21) (28 42)
3 3 (2)( 3.75) (2 ) 5 (8.4) 5 4
3 3 (3.75) 5 (2 ) (8.4) 4 5
（１）把正数和负数分别结合在一起相加 （２）把互为相反数的结合，能凑整的结合 （３）把同分母的数结合相加
2.算一算： 1 16 25 24 (35) 2 3.48 5.33 9.52 5.33 (3.05)
3 1 2 3 1 3 2 3 3 2 1 5 4 5 4 3
中考 试题
例2
在1，-1，-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ）. A.1 B.0 C.-1 D.-3
1.3.1 第2课时 有理数加法的运算律及运用
(3) ( 3 ﹢ -5 )﹢ -7 ﹦＿-9＿ 3 ﹢( -5 ﹢ -7 ) ﹦＿-9＿
(4) ( 8 ﹢ -4 )﹢ -6 ﹦＿-2＿ 8 ﹢( -4 ﹢ -6 ) ﹦＿-2＿
思考：(1)请用精炼的语言把你得到的结论概括出来． (2)你能用字母把这个规律表示在有理数加法中，两个数相加，交换 加数的位置，和不变．
＝9＋10＋(－3)＋(－5)＋(－8)＋(－3)＋6+(－6) ＋4＋(－4)＝19+(-19)=0 （千米） 即又回到了出发地． （2）|＋9|＋|－3|＋|－5|＋|＋4|＋|－8|＋|＋6|＋|－3| ＋|－6|＋|－4|＋|＋10|
=9+3+5+4+8+6+3+6+4+10=58(千米） 所以，营业额为58×2.4＝139.2(元)．
拓展练习：课时练25页第12题
3 1 (2 1) (4 1)
4
3
4
当堂练习
1.计算： （1）23+（－17）+6+（－22）
＝（23+6）+[（－27）+（－22）] ＝29－49 ＝－20
（2）（－2）+3+1+（－3）+2+（－4） ＝（3+1+2）+[（－2）+（－3）+（－4）] =6－9 =－5
用字母表示为：a+b=b+a
2.加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先 把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c)
典例精析
例1 计算16+（－25）+24+（－35） 解： 16+（－25）+24+（－35）
有理数加减运算
有理数加减运算知识要点：1、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.1、有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差2、有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a • b =b • a (加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变(a b) c二a (b c)(加法结合律)3、有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.4、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.a - b二a • (_b)5、有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号(改变运算符号)②把减数变为它的相反数(改变性质符号)③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.6、有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：(3) (-0.15)七一9 (5) (-11)=3-0.15-9 5-11，它的含义是正3,负0.15，负9,正5,负11的和.(4)22+ (-2 - ) + (-1 —) 5 8 12+43+ (-11 ) +(-3 1 )；5 8 12⑹—0.5 - 37 (3)例题精讲：【例1】计算下列各式。
2.1有理数的加法(2) 加法运算律
3、婷婷家某星期各天的收支情况如下 （记收入为正，单位：元）； +120，－27.6，－5，－74，+16.8， －31.9，+25 用有理数加法计算婷婷家这星期结余多少 元？
(1)
(2) (3)
(+2.5)+(-0. 5)+(-2.5)+(+0.5)
互为相反数先加(凑0)
(-46)+(+27)+(-54)+(-127)
能凑整的数先加
(-1.8) +(+0.5) +(-0.7)+(+3.5)
符号相同的数先加
5 1 1 6 （4）（+3 ）+（-5 ）+（-2 ）+（-2 ） 6 7 6 7
2.1有 理 数 的 加 法 (2)
复
习
☞
有理数的加法法则：
同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的 绝对值减去较小的绝对值；
互为相反数的两个数相加得零；
一个数同零相加，仍得这个数。
有理数加法运算的步骤：
先确定结果的符号，再计算结果的绝对值。
分母相同的数先加
计算：
1 15 13 18 2 2.4 4.33 7.52 4.33
5 1 1 6 3 6 7 6 7
注意：
2.运用加法运算律有如下计算技巧： （四个先加） (1)互为相反数先加(凑0)； (2)能凑整的数先加； (3)符号相同的数先加； (425 -20 -15 -10 -5