线性代数(同济六版)知识点总结

1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12a 21a 22|= a 11a 22 −a 12a 212. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。

所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。

偶排列：逆序数为偶数的排列。

n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。

D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。

互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。

第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。

如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n n n j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=n n n j n j n in 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。

（P11页例7） 8. 行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念： 余子式：在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做a ij 的余子式，记为M ij 代数余子式：记 A ij = ( −1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式 。

②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。

2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素 通过性质化为0，则D = a ij A ij 9. 利用Cramer 法则求解n 个n 元线性方程组： ①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。

等于0，则无解其中 D j (j=1,2…n) 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式即：②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解，若D = 0，则存在非零解。

第二章1. 矩阵相关的概念：矩阵：由 m ×n 个数 a ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的 m 行 n 列的数表(是一组数)。

行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。

同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B ： 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等。

零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的。

对角矩阵：对角线元素为12,,,nλλλ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，()1212diag ,,,n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Λ 111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E2. 矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。

A+B 等于对应元素相加起来。

满足交换律和结合律in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= njnj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= j i 0A a A a A a j n i n j 2i 2j 1i 1≠=+++ j i 0A a A a A a n j n i 2j 2i 1j 1i ≠=+++ 或 0a a a a a a a a a D nn n2n12n22211n1211≠= D D x ,,D D x ,D D x n n 2211=== n.,1,2,j a a b a a a a b a a a a b a a D nn 1j n,n 1j n,n12n1j 2,21j 2,211n1j 1,11j 1,11j ==+-+-+-2）数与矩阵相乘①，②()λμλμ+=+A A A ，③()λλλ+=+A B A B3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；A m×s ×B s×n乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；C m×n即：乘积矩阵的第i 行，第j 列元素为前一个矩阵的第i 行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。

注意：一般情况下：AB ≠ BA 。

但是满足结合律和分配律。

EA = AE = A4）矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，则：A 2=AA A 3=AA 2 …… A k =AA k−1 显然：3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T . 如：性质：设A 为n 阶方阵，如果满足 A = A T ，即a ij =a ji ，则A 为对称阵如果满足 A = −A T ，即a ij =−a ji ，则A 为反对称阵4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A |或det A .性质：①T||||=A A ，②||||nλλ=A A ，③||||||=AB A B 。

5. 伴随矩阵：其中A ij 是a ij 的代数余子式，*A 称为A 的伴随矩阵。

（特别注意符号）6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆， B 为A 的逆矩阵，记为A −1。

且A 的逆矩阵是唯一的。

判断方阵A 是否可逆：|A | ≠ 0⇔ A 可逆，且逆矩阵A −1= 1|A |A ∗推论：若|A | ≠ 0，则|A −1|= 1|A ∗|。

此时称A 为非奇异矩阵。

若|A |=0，则称A 为奇异矩阵。

二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。

单位矩阵E 是可逆的 E = E −1。

零矩阵是不可逆的。

()()A A λμλμ=11221si j i j is ij sj k k k i jc a b a b a b a b ==+++=∑22222()()2 ()()k k kAB A B A B A AB B A B A B A B =+=+++-=-A 、B 可交换时才成立, ()k l k l k l klA AA A A +==122,458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1425;28TA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1) ();T T A A =(2) ();T T T A B A B +=+(3) ();T T A A λλ=(4) ().T T T AB B A =112111222212n n n nnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭注意：元素a ij 的代数余子式A ij 是位于A ∗的第j 行第i 列（类似于转置） 性质：AA ∗= A ∗A = |A |E111212122211n n m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ A = (a b c d) -----> A −1=1ad−bc (d −b−c a )对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。

推论：如果 n 阶方阵A 、B 可逆，那么A −1、A T 、 λA (λ≠0)、AB 也可逆 且：用逆矩阵求解线性方程组：已知 AXB =C ，若AB 可逆，则 X = A −1CB −1（A 在X 左边，则A −1必须在C 左边，B 也如此） 7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致） 1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的) 2）分块矩阵A 的转置A T ：除了A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。

8. 分块对角矩阵： 设 A 是 n 阶矩阵，若：①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， ②其余子块都为零矩阵 ③对角线上的子块都是方阵则称A 为分块对角矩阵。