第8章部分习题解答
第8章习题答案
第八章多态1.单选题（1）．下列关于运算符重载的描述中，( D )是正确的。
(A) 可以改变参与运算的操作数个数 (B) 可以改变运算符原来的优先级(C) 可以改变运算符原来的结合性(D) 不能改变原运算符的语义（2）．下列函数中，不能重载运算符的函数是( b )。
(A) 成员函数(B) 构造函数(C) 普通函数 (D) 友员函数（3）．要求用成员函数重载的运算符是( A )。
(A) =(B) == (C) <= (D) ++（4）．要求用友员函数重载的运算符是( C )。
(A) = (B) [] (C) <<(D) ()（5）．在C++中，要实现动态联编，必须使用( D )调用虚函数。
(A) 类名(B) 派生类指针(C) 对象名(D) 基类指针（6）．下列函数中，不能说明为虚函数的是( C )。
(A) 私有成员函数(B) 公有成员函数(C) 构造函数(D) 析构函数（7）．在派生类中，重载一个虚函数时，要求函数名、参数的个数、参数的类型、参数的顺序和函数的返回值( A )。
(A) 相同(B)不同(C) 相容(D) 部分相同（8）．C++中，根据（D ）识别类层次中不同类定义的虚函数版本。
(A) 参数个数(B) 参数类型(C) 函数名(D) this指针类型（9）．虚析构函数的作用是（C ）。
(A) 虚基类必须定义虚析构函数(B) 类对象作用域结束时释放资源(C)delete动态对象时释放资源(D) 无意义（10）．下面函数原型中，( B )声明了fun为纯虚函数。
(A) void fun()=0; (B) virtual void fun()=0;(C) virtual void fun(); (D) virtual void fun(){ };（11）．若一个类中含有纯虚函数，则该类称为( C )。
(A) 基类(B)纯基类(C) 抽象类(D) 派生类（12）．假设Aclass为抽象类，下列正确的说明语句是( B )。
课后习题答案第8章_存储器和可编程逻辑器件
第8章半导体存储器和可编程逻辑器件8-1存储器按读写功能以及信息的可保存性分别分为哪几类？并简述各自的特点。
解答：存储器按读写功能可分为只读存储器（ROM）和随机存储器（RAM）。
随机存取存储器在工作过程中，既可从其任意单元读出信息，又可以把外部信息写入任意单元。
因此，它具有读、写方便的优点，但由于具有易失性，所以不利于数据的长期保存。
只读存储器在正常工作时其存储的数据固定不变，只能读出，不能随时写入。
ROM为非易失性器件，当器件断电时，所存储的数据不会丢失。
存储器按信息的可保存性可分为易失性存储器和非易失性存储器。
易失性存储器在系统关闭时会失去存储的信息，它需要持续的电源供应以维持数据。
非易失存储器在系统关闭或无电源供应时仍能保持数据信息。
8-2什么是SRAM？什么是DRAM？它们在工作原理、电路结构和读/写操作上有何特点？解答：SRAM（Static Random Access Memory）为静态随机存储器，其存储单元是在静态触发器的基础上附加控制电路构成的。
DRAM（Dynamic Random Access Memory）为动态随机存储器，常利用MOS管栅极电容的电荷存储效应来组成动态存储器，为了避免存储信息的丢失，必须定时地对电路进行动态刷新。
SRAM的数据由触发器记忆，只要不断电，数据就能保存，但其存储单元所用的管子数目多，因此功耗大，集成度受到限制。
DRAM一般采用MOS管的栅极电容来存储信息，由于电荷保存时间有限，为避免存储数据的丢失，必须由刷新电路定期刷新，但其存储单元所用的管子数目少，因此功耗小，集成度高。
SRAM速度非常快，但其价格较贵；DRAM的速度比SRAM慢，不过它比ROM 快。
8-3若RAM的存储矩阵为256字⨯4位，试问其地址线和数据线各为多少条？解答：存储矩阵为256字⨯4位的RAM地址线为8根，数据线为4根。
8-4某仪器的存储器有16位地址线，8位数据线，试计算其最大存储容量是多少？解答：最大存储容量为216⨯8=524288=512k bit（位）8-5用多少片256⨯4位的RAM可以组成一片2K⨯8位的RAM？试画出其逻辑图。
教材第八章习题解答
第八章氧化还原反应和电化学习题解答1．回答下列问题。
（1）怎样利用电极电势来确定原电池的正负极，并计算原电池的电动势？（2）怎样理解介质的酸性增强，KMnO 4的电极电势代数值增大、氧化性增强？（3）Nernst 方程式中有哪些影响因素？它与氧化态及还原态中的离子浓度、气体分压和介质的关系如何？（4）区别概念：一次电池与二次电池、可逆电池与不可逆电池。
（5）介绍几种不同原电池的性能和使用范围。
（6）什么是电化学腐蚀，它与化学腐蚀有何不同？ （7）防止金属腐蚀的方法主要有哪些？各根据什么原理？ 【解答】（1）电极电势值高的电极做正极，电极电势值低的电极做负极。
原电池的电动势等于正极的电动电势减去负极的电极电势。
（2）根据电极反应：-+-2+42M nO +8H +5e =M n +4H O2442284c(M n)0.0592M nO M nO c ()()lg M nM nc(M nO )5c(H )()cc+--ΘΘ++-ΘΘϕ=ϕ-+⋅由电极电势的能斯特公式可知，介质酸性增强时，H +浓度增大，42M nO ()M n-+ϕ代数值增大，电对中MnO 4-的氧化性增强。
（3）对于电极反应 -a(O x)+ze b(R ed) 电极电势的Nernst 方程为：bR e d aO x (c /c )R T (O x /R e d )(O x /R e d )lnzF(c /c )ΘΘΘϕ=ϕ-影响电极电势大小的因素：a ）浓度对电极电势的影响 电对中氧化态的离子浓度(或气体分压)增大时，电极电势增加；还原态的离子浓度(或气体分压)增大时，电极电势降低。
b ）酸度对电极电势的影响 对于有H +或OH -参加的电极反应，溶液酸度的变化会对电极电势产生影响，对于没有H +或OH -参加的电极反应，溶液酸度的变化对电极电势的影响很小。
（4）一次电池是指电池放电到活性物质耗尽只能废弃而不能再生和重复使用的电池。
高等数学下册第八章课后习题解答
习题8−11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为{(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x , y )| y ≥x 2}, 边界为{(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y −1)2≥1}∩{(x , y )|x 2+(y −2)2≤4}.解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,边界为{(x , y )|x 2+(y −1)2=1}∪{(x , y )|x 2+(y −2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22−+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅−+= ),(tan 2222y x f t y x xy y x t =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x −y , xy ).解 f (x +y , x −y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x −y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2−2x +1);高等数学下册第八章习题解答解 要使函数有意义, 必须y 2−2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2−2x +1>0}.(2)yx y x z −++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x −y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x −y >0}.(3)y x z −=;解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥−y x 即y x ≥, 于是有x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z −−+−=; 解 要使函数有意义, 必须y −x >0, x ≥0, 1−x 2−y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y −x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u −+++−−−=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2−x 2−y 2−z 2≥0且x 2+y 2+z 2−r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +−→; 解110011lim 22)1,0(),(=+−=+−→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xy y x 42lim)0,0(),(+−→; 解 xy y x 42lim)0,0(),(+−→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++−=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim)0,0(),(−=++−=→xy y x . (4)11lim )0,0(),(−+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(−+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(−+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xy xy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→; 解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xyxy y x . (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++−→. 解 22221lim )cos(1lim )()cos(1lim )0,0(),(2222)0,0(),(2222)0,0(),(y x y x y x y x y x e y x y x e y x y x →→→⋅++−=++− 01sin lim cos 1lim 00==−=→→t t t t t . 7. 证明下列极限不存在:(1)y x y x y x −+→)0,0(),(lim; 证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(==−+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(−=−=−+→=→y y y x y x y x y x . 因此, 极限y x y x y x −+→)0,0(),(lim不存在. (2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0),则 1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==−+→=→x x y x y x y x x xy y x ; 如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0),则 044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=−+→=→x x x y x y x y x x xy y x . 因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→不存在. 8. 函数xy x y z 2222−+=在何处间断？ 解 因为当y 2−2x =0时, 函数无意义,所以在y 2−2x =0处, 函数x y x y z 2222−+=间断. 9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x .证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+, 所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x yx xy y x y x . 因此 0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x yx y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤−+22|0|2222y x yx xy , 所以0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x −x 0|<δ时, 有|f (x )−f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x −x 0|<δ, 从而 |F (x , y )−F (x 0, y 0)|=|f (x )−f (x 0)|<ε,所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8−21. 求下列函数的偏导数:(1) z =x 3y −y 3x ;解 323y y x xz −=∂∂, 233xy x y z −=∂∂. (2)uvv u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s −=+∂∂=∂∂, 21)(v u u u v v u v v s −=+∂∂=∂∂. (3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理)ln(21xy y y z =∂∂. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅−⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y −= 根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz −=∂∂. (5)yx z tan ln =; 解 y x y y y x yxx z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂, y x y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222−=−⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(−−+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz , ]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++++=. (7)z yx u =;解 )1(−=∂∂z y x zy x u , x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂, x x zy z y x x z u z y z y ln )(ln 22⋅−=−=∂∂. (8) u =arctan(x −y )z ;解 z z y x y x z x u 21)(1)(−+−=∂∂−, z z y x y x z y u 21)(1)(−+−−=∂∂−, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(−+−−=∂∂. 2. 设gl T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l . 解 因为l g l T ⋅⋅=∂∂1π, g g g l gT 121(223⋅−=⋅−⋅=∂∂−ππ, 所以 0=⋅−⋅=∂∂+∂∂gl g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +−=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂. 解 因为211(1xe x z y x ⋅=∂∂+−, 2)11(1y e y z y x ⋅=∂∂+−, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+−+− 4. 设yx y x y x f arcsin )1(),(−+=, 求. )1 ,(x f x解 因为x x x x f =−+=1arcsin )11()1 ,(, 所以1)1 ,()1 ,(==x f dxd x f x . 5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 242x x x z ==∂∂, αtan 1)5,4,2(==∂∂xz , 故4πα=. 6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4−4x 2y 2;解 2384xy x x z −=∂∂, 2222812y x xz −=∂∂; y x y y z 2384−=∂∂, 2222812x y yz −=∂∂; xy y x y yy x z 16)84(232−=−∂∂=∂∂∂. (2)x y z arctan=; 解 22222)(11y x y x y xy x z +−=−⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy y z +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +−=∂∂; 22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +−=+−+−=+−∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y x z x ln =∂∂, y y xzx 222ln =∂∂; 1−=∂∂x xy y z , 222)1(−−=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂−−y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, −1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x ,f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0,所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2,f yz (0, −1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyy x xy x z , x xy y x z 122==∂∂, 023∂∂∂yx z , y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z −=∂∂∂. 9. 验证:(1)满足nx e y tkn sin 2−=22xy k t y ∂∂=∂∂; 证明 因为nx e kn kn nx e ty t kn t kn sin )(sin 2222⋅−=−⋅⋅=∂∂−−, nx ne x y t kn cos 2−=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222−−=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 222−−=∂∂, 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. (2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂.证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r x r −=∂∂−=∂∂, 由对称性知32222ry r y r −=∂∂, 32222r z r z r −=∂∂, 因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r −+−+−=∂∂+∂∂+∂∂ r r r r r z y x r 23)(332232222=−=++−=.习题8−31. 求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=; 解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=. (2)x ye z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=. (3) 22yx y z +=; 解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−, 2/3222222222)(y x x y x y x y y y x z +=++⋅−+=∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=. (4)u =x yz .解 因为1−⋅=∂∂yz x yz x u , x zx y u yz ln =∂∂, x yx zu yz ln =∂∂, 所以xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=− 2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分.解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x x z, 3221=∂∂==y x y z,所以 dy dx dz y x 323121⋅+===. 3. 求函数xy z =当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时的全增量和全微分. 解 因为x y x x y y z −Δ+Δ+=Δ, y x x xy dz Δ+Δ−=12, 所以, 当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=Δz , 125.0)2.0(211.041−=−+×−=dz . 4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时的全微分.解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂= 所以, 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时,e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5. 计算33)97.1()102(+的近似值.解 设33y x z +=, 由于y y z x x z y x y y x x Δ∂∂+Δ∂∂++≈Δ++Δ+3333)()(332233233y x y y x x y x +Δ+Δ++=, 所以取x =1, y =2, Δx =0.02, Δy =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y Δ∂∂+Δ∂∂+≈Δ+Δ+)(y x x x yx x y y y Δ+Δ+=−ln 1, 所以取x =2, y =1, Δx =−0.03, Δy =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z Δ+Δ+=Δ+Δ=≈Δ, 当x =6, y =8, Δx =0.05, Δy =−0.1时,05.0)1.0805.0686122−=⋅−⋅+≈Δz . 这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,ΔV ≈dV =2πRh ΔR +πR 2Δh ,当R =4, h =20, ΔR =Δh =0.1时,ΔV ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z Δ⋅∂∂+Δ⋅∂∂≤≈Δ|)|||(122y y x x yx Δ+Δ+=. 令x =7, y =24, |Δx |≤0.1, |Δy |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm . *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=. zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈Δ. 令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则 55.2718021278631.0232631.023278=×××+××+××≈πδs , 82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS , %29.182.212755.27==S s δ, 所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55 m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂=≈Δ. 所以两数之和的绝对误差|Δu |等于它们各自的绝对误差|Δx |与|Δy |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明 设u =xy , yx v =, 则Δu ≈du =ydx +xdy , 2y xdy ydx dv v −=≈Δ, 由此可得相对误差;ydy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈Δy y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤; y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v −=⋅−==Δ2y y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤.习题8−41. 设z =u 2−v 2, 而u =x +y , v =x −y , 求x z ∂∂, yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x , yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(−1)=2(u −v )=4y . 2. 设z =u 2ln v , 而yx u =, v =3x −2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x −+−=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )2()(ln 222−+−⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x −−−−=. 3. 设z =e x −2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz . 解 dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅−⋅+=−− .)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x −=−=−− 4. 设z =arcsin(x − y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x −−−+⋅−−= 232)43(1)41(3t t t −−−=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz . 解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xx x e x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+−=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dx du . 解 dxdz dz u dx dy y u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂= )sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax −⋅+−⋅+++−= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++−+=x e ax sin =. 7. 设y x z arctan =, 而x =u +v , y =u −v , 验证22v u v uv z u z +−=∂∂+∂∂. 证明 )()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂ )()(111)(11222y x y x y y x −⋅++⋅+=)1()()(111)(11222−⋅−⋅++⋅++y x yx y y x 22222v u v u y x y +−=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1) u =f (x 2−y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号,2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy ′+′=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy ′+′−=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂. (2) ,(zy y x f u =; 解 1211)()(f yz y x f y x x f x u ′=∂∂⋅′+∂∂⋅′=∂∂, )()(21z y y f y x y f y u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂2121f z f yx′+′−=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂22f z y ′−=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅′+⋅′+⋅′=∂∂3211321f yz f y f ′+′+′=, 3232f xz f x xz f x f yu ′+′=⋅′+⋅′=∂∂, 33f xy xy f zu ′=⋅′=∂∂. 9. 设z =xy +xF (u ), 而xy u =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅)([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂′+⋅+∂∂′++= )]([)]()([u F x y u F xy u F y x ′+⋅+′−+= =xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f y z −=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222′−=⋅′⋅−=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()(′−+=−⋅′⋅−=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+′+′−=∂∂⋅+∂∂⋅211y z zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22xz ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ),f x xu u f x z ′=∂∂′=∂∂2)(, f y y u u f y z ′=∂∂′=∂∂2)(, f x f x u f x f xz ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ′′=∂∂⋅′′=∂∂∂422, f y f y u f y f y z ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).u f y vf y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0, vf u f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数.)()()(22u f x y uf y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=, )(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yv v u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u f y uf xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(, )()()()(22v f y u f y x vf u f x y y z y y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yv v f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vf x u v f v u f x u f x2222222v f v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =; 解 令u =x , yx v =, 则z =f (u , v ). v f y u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1, vf y xdy dv v f y z ∂∂⋅−=⋅∂∂=∂∂2. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xv v f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂= 22222212v f y v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=, 1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= yv v f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂⋅∂∂∂=22211 221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂∂⋅−= ()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322vf y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅−∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1′⋅y 2+f 2′⋅2xy =y 2f 1′+2xyf 2′,z y =f 1′⋅2xy +f 2′⋅x 2=2xyf 1′+x 2f 2′;z xx =y 2[f 11′′⋅y 2+f 12′′⋅2xy ]+2yf 2′′+2xy [f 21′′⋅y 2+f 22′′⋅2xy ] =y 4f 11′′+2xy 3f 12′′+2yf 2′′+2xy 3f 21′′+4x 2y 2 f 22′′=y 4f 11′′+4xy 3f 12′′+2yf 2′′+4x 2y 2 f 22′′,z xy =2y f 1′+y 2[f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+2xf 2′+2xy [f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2y f 1′+2xy 3f 11′′+x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+4x 2y 2f 21′′+2x 3yf 22′′ =2y f 1′+2xy 3f 11′′+5x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+2x 3yf 22′′,z yy =2xf 1′+2xy [f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+x 2[f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+2x 3y f 12′′+2x 3yf 21′′+x 4f 22′′=2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+4x 3y f 12′′+x 4f 22′′.(4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1′⋅cos x + f 3′⋅e x +y =cos x f 1′+e x +y f 3′,z y =f 2′⋅(−sin y )+ f 3′⋅e x +y =−sin y f 2′+e x +y f 3′,z xx =−sin x f 1′+cos x ⋅(f 11′′⋅cos x + f 13′′⋅e x +y )+e x +y f 3′+e x +y (f 31′′⋅cos x + f 33′′⋅e x +y ) =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e x +y cos x f 31′′+e 2(x +y ) f 33′′ =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+2e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e 2(x +y ) f 33′′, z xy =cos x [f 12′′⋅(−sin y )+ f 13′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′+e 2(x +y )f 33′ =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+e 2(x +y )f 33′′, z yy =−cos y f 2′−sin y [f 22′′⋅(−sin y )+ f 23′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+ f 33′′⋅e 2(x +y ) =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−2e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′+f 33′′⋅e 2(x +y ).13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而3t s x −=, 3t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321y u x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅−=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(2yu x u s s u s s u ∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ (23)(212222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= 2321(23)2321(212222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(2yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(232222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂−= )2123(21)2123(232222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−+∂∂∂⋅+∂∂⋅−−=22222412343y uy x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−∂∂⋅=,所以 22222222y u x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8−51. 设sin y +e x −xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x −xy 2, 则F x =e x −y 2, F y =cos y −2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222−−=−−−=−=.2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy. 解 令xyy x y x F arctan ln ),(22−+=, 则22222222)()(11221y x y x xy x y y x x y x F x ++=−⋅+−+⋅+=,22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +−=⋅+−+⋅+=,yx y x F F dx dyy x −+=−=. 3. 设022=−++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(−++=, 则 xyz yz F x −=1, xyzxz F y −=2, xyz xyF z −=1,xy xyz xyz yz F F x z z x −−=−=∂∂, xy xyz xyz xz F F y zz y −−=−=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及yz ∂∂, 解 令yz z x z y x F ln ),,(−=, 则z F x 1=, y yzyz F y 1)(12=−⋅−=, 2211z z x y y z z x F z +−=⋅−−=,所以 z x z F F x z z x +=−=∂∂, )(2z x y z F F y z z y +=−=∂∂.5. 设2sin(x +2y −3z )=x +2y −3z , 证明1=∂∂+∂∂yz x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y −3z )−x −2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y −3z )−1,F y =2cos(x +2y −3z )⋅2−2=2F x , F z =2cos(x +2y −3z )⋅(−3)+3=−3F x ,313=−−=−=∂∂x x z x F F F F x z , 3232=−−=−=∂∂x x z y F F F F y z ,于是 13231=+=−−=∂∂+∂∂z z z x F FF F yz x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z yy x .解 因为x y F F y x −=∂∂, y z F F zy −=∂∂, z x F F x z−=∂∂,所以 1()()(−=−⋅−⋅−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F xz z yy x .7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx −az , cy −bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足c yz b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为v u uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a v u vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z−xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z −xyz , 则F x =−yz , F z =e z −xy , xye yzF F x z z x −=−=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z −−∂∂−−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y z z z −−−−+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz −−−=. 9. 设z 3−3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3−3xyz −a 3, 则xy z yz xy z yz F F x z z x −=−−−=−=∂∂22333, xyz xz xy z xz F F y z z y −=−−−=−=∂∂22333, )()(22xyz yzy x z y y x z −∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂222)()2())((xy z x y z z yz xy z yz y z −−∂∂−−∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz y z −−−−−⋅−+=322224)()2(xy z y x xyz z z −−−=.10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)设, 求⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z dx dy , dx dz; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−xdx dz z dxdy y xdx dz dx dy y 3222.解方程组得)13(2)16(++−=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设, 求⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x dz dx ,dz dy ;解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dzdx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+zdz dy y dz dx x dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x −−=∂∂, yx xz z y −−=∂∂. (3)设, 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求⎩⎨⎧−=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u x u ∂∂,x v ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅′+−∂∂⋅′=∂∂∂∂⋅′+∂∂+⋅′=∂∂x v yv g x u g x v x v f x u x u f x u 21212)1()( , 即⎪⎩⎪⎨⎧′=∂∂⋅⋅−′+∂∂′′′−=∂∂⋅′+∂∂−′121121)12()1(g x v g yv x u g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ′′−−′−′′′−−′′−=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ′′−−′−′−′+′′=∂∂.(4)设, 求⎩⎨⎧−=+=v u e y v u e x u u cos sin x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得, 即, ⎩⎨⎧+−=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin ⎩⎨⎧=+−=++dy vdv u du v e dxvdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (从中解出du , dv 得dy v v e v dxv v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +−−++−=, v v e u e v dx v v e u e v dv u uu u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +−+++−−=,从而1)cos (sin sin +−=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +−−=∂∂v v e vy u u ,]1)cos (sin [cos +−−=∂∂v v e u e v x v u , ]1)cos (sin [sin +−+=∂∂v v e u e v y v u.11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组可确定两个一元隐函数, 方⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==)()(x t t x y y 程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dxdt t f x f dx dy ,移项得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂−x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂−=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yF t f t F x Ft f t F x f t Fx F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂−∂∂−∂∂⋅=1.习题8−61. 求曲线x =t −sin t , y =1−cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (−π处的切线及法平面方程.解 x ′(t )=1−cos t , y ′(t )=sin t , 2cos 2)(t t z =′. 因为点)22 ,1 ,12 (−π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (−π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(−π处, 切线方程为22211121−=−=−+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=−+−⋅++−⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=′, 21)(t t y −=′, z ′(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(−=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为21124121−=−−=−z y x , 即8142121−=−−=−z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=−+−−−z y x , 即2x −8y +16z −1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m −x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m −x 的两边 对x 求导, 得m dx dyy22=, 12−=dxdz z , 所以y m dx dy=, z dx dz 21−=.曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m −=T , 所求的切线方程为000211z z z y m y y x x −−=−=−, 法平面方程为0)(21)()(00000=−−−+−z z z y y y m x x . 4. 求曲线在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y .解此方程组得z y z x dx dy 61015410−−−−=, z y y x dx dz 610946−−−+=. 因为169)1,1,1(=dx dy, 161)1,1,1(−=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111−−=−=−z y x , 即1191161−−=−=−z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=−−−+−z y x , 即16x +9y −z −24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4. 解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x ′=1, y ′=2t , z ′=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =−1, 31−=t . 于是所求点的坐标为(−1, 1, −1)和)271 ,91 ,31(−−. 6. 求曲面e z −z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=e z −z +xy −3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z −1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x −2)+2(y −1)+0⋅(z −0)=0, 即x +2y −4=0,法线方程为02112−=−=−z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x −x 0)+by 0(y −y 0)+cz 0(z −z 0)=0,即 , 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++法线方程为00000cz z z by y y ax x x −=−=−.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x −y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, −1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =−=, 即z x 21=, z y 41−=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+−+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221∓=y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±±∓. 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+−±z y x ∓, 即 2112±=+−z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2−16, 则点(−1, −2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(−1, −2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(−1, −2, 3)=(−6, −4, 6).点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F −++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=−+−+−z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8−71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数 解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故)cos ,(cos 23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy ′=4, 解得yy 2=′. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y ′(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +−=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222−+=b y a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a xF F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22b a b y a x b a −=−=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ,(2222βα=+−+−=b a a b a b n e . 又因为a a x x zb a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, bb y y z b a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, 所以 222222222cos cos b a abb a a b b a b a y z x z n z +=+⋅++⋅=∂∂+∂∂=∂∂βα. 4. 求函数u =xy 2+z 3−xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3 πγ=的方向的方向导数.解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为 1)()2,1,1(2)2,1,1(−=−=∂∂yz y x u, 0)2()2,1,1()2,1,1(=−=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=−=∂∂xy z z u , 所以 5211122021)1(cos cos cos =⋅+⋅+⋅−=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u .5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9−5, 4−1, 14−2)=(4, 3, 12), )1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz x u , 10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u, 所以 139813125133101342cos cos cos =⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导.解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l , )143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u, 所以 1412143214221412cos cos cos )1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2−1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 000000111cos cos cos z y x z y x zu y u x u n u ++=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα. 8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x −2y −6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).。
物理学第3版习题解答_第8章光的波动性
. B
解： （1） 以 A 为原点
x1
B
. A
x
A
图 8-35 习题 8-5 用图
-1
本题需补充一平面简谐波以速度 u = 20 m ⋅ s 沿直线传播
t x y = A cos[ 2 π( − ) + ϕ ] λ = uT = 10 m ，根据 T λ ， 有
y = A cos[2π(
t x π − )− ] 0.5 10 2
x1 = 0.04 cos(2t + π 6) x 2 = 0.03 cos(2t − π 6)
试写出合振动的表达式。
解 合振动的振幅为
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
⎛ π π⎞ = 0.04 2 + 0.03 2 + 2 × 0.03 × 0.04 × cos⎜ − − ⎟ ⎝ 6 6⎠ = 0.06m
第八章习题解答
8-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s。当 t = 0 时，位移为 0.06m，且 向 x 轴正方向运动。求：(1)初相；(2) t = 0.5s 时，物体的位置；(3)在 x = -0.06m 处， 且向 x 轴负向方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。 解：
−1
8-8 波长为 589.3nm 的钠光照在一双缝上，在距双缝 200cm 的观察屏幕上测量 10 个条纹的 宽度为 2.2cm，试计算双缝之间的距离。
解：根据 ∆x =
D λ 有 d = 0.536 mm d
8-9 在杨氏干涉实验中，若双缝间距为 0.40mm，在距双缝 100cm 的光屏上出现干涉条纹。 现测得相邻两条明纹中心的间距为 1.5mm，求入射光的波长。
第8章思考题和习题解答
第八章变电所二次回路和自动装置8-1 变电所二次回路按功能分为哪几部分各部分的作用是什么答：变电所二次回路按功能分为断路器控制回路、信号回路、保护回路、监测回路、自动控制回路及操作电源回路等。
①断路器控制回路的主要功能是对断路器进行通、断操作，当线路发生短路故障时，相应继电保护动作，接通断路器控制回路中的跳闸回路，使断路器跳闸，起动信号回路发出声响和灯光信号。
②信号回路是用来指示一次电路设备运行状态的二次回路。
信号按用途分，有断路器位置信号、事故信号和预告信号。
③保护回路是用来对变电所设备进行保护。
④监视和测量回路是用来对变电所各线路进行监视和测量，以满足电气设备安全运行的需要。
⑤自动控制回路是用来实现自动重合闸和备用电源自动投入。
⑥操作电源回路是用来提供断路器控制回路、信号回路、保护回路、监测回路、自动控制回路等所需的电源。
8-2 二次回路图主要有哪些内容各有何特点答：二次回路图主要有二次回路原理图、二次回路展开图、二次回路安装接线图。
①二次回路原理图主要是用来表示继电保护、断路器控制、信号等回路的工作原理，在该图中一、二次回路画在一起，继电器线圈和其触点画在一起，有利于叙述工作原理，但由于导线交叉太多，它的应用受到一定的限制。
②二次回路展开图将二次回路中的交流回路与直流回路分开来画。
交流回路又分为电流回路和电压回路，直流回路又有直流操作回路与信号回路，在展开图中继电器线圈和触点分别画在相应的回路，用规定的图形和文字符号表示。
③二次回路安装接线图画出了二次回路中各设备的安装位置及控制电缆和二次回路的连接方式，是现场施工安装、维护必不可少的图纸。
8-3 操作电源有哪几种，直流操作电源又有哪几种各有何特点答：二次回路的操作电源主要有直流操作电源和交流操作电源两类，直流操作电源有蓄电池和硅整流直流电源两种。
蓄电池主要有铅酸蓄电池和镉镍蓄电池两种。
①铅酸蓄电池具有一定危险性和污染性，需要专门的蓄电池室放置，投资大。
第8章直流稳压电源习题及答案
图8.17（a）
图8.17（b）
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第 பைடு நூலகம் 章 半导体器件
【解】( 1 ) 在 0≤ωt ＜π半个周期内，电压 a 电位最高， b点电位最低。此时二极管 D1 承受正向电压而导通，二极管 D2承受反向电压而截止，电流自 a 点经 D1 通过负载 RL 而由 O 点返回。在π≤ωt＜2π半个周期内，a 点电位最低，b 点 电位最高，此时 D1 反向截止，D2 正向导通，电流自 b 点经 D2 通过负载 RL 而由 O 点返回。可见，当电源电压交变一次，两 只二极管在正，负半周各自轮流通，从而使负载得到了单向流 动的全波脉动电流和电压。
【解】 （1）负载直流电压
UO 1.2 U2 1.215 V 18 V
负载直流电流
IO
UO RL
18 A 0.06 300
A
图8.4
（2）二极管平均电流
ID
1 2
IO
1 0.06 2
A 0.03
A
一般取
IF 2ID 2 0.03A 0.06 A
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第 8 章 半导体器件
（2）负载直流电压平均值
1
UO 2
0
2U2 sin t dt
2
U2 0.45 U2
（3）二极管电流也就是负载电流，其平均值为
ID
IO
UO RL
0.45
U2 RL
（4）在负半周期，整流元件D所受的最大反向电压
URm U2m 2 U2
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第 8 章 半导体器件
8.2.7 图8.17（a）(教材图 8.06 )为一全波整流电路，试 求： （1）在交流电压的正，负半周内,电流流通的路径；
概率论与数理统计习题解答(第8章)
第八章 假 设 检 验三、解答题1. 某种零件的长度服从正态分布，方差σ2 = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在显著性水平α = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，则需要检验的是：00:μμ=H 01:μμ≠H由于2σ已知，选取nX Z σμ0-=为检验统计量，在显著水平α = 0.01下，0H 的拒绝域为：}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α查表得 2.575829005.0=Z ，现由n =6, 31.1266711∑===ni i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ计算得：3.0581561.132.5-31.126670==-=nX z σμ005.0Z z >可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。
EXCEL 实验结果：2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平α = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(~2σμN X ，则需要检验的是：0:μμ=H1:μμ≠H由于方差未知，选取ns X T 0μ-=为检验统计量，在显著水平α = 0.05下，0H 的拒绝域为：)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.155555611122∑==--=n i i x x n s ， 计算得2.45335761035.1555556724.670=-=-=nsX t μ)9(025.0t t >可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。
第八章 静电场部分习题分析与解答
1
E=∫
π /2
0
σ σ sin θ cos θdθ = 2ε 0 4ε 0
第八章
静电场部分习题分析与解答
8-8用电场强度叠加原理求证 无限大均匀带电板 用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板 用电场强度叠加原理求证 提示:把无限 外一点的电场强度大小为 E = σ / 2ε 0 (提示 把无限 提示 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线 然 后进行积分叠加) 后进行积分叠加 求点P的电场强度可采用两种方法处理 将无限大 求点 的电场强度可采用两种方法处理.将无限大 的电场强度可采用两种方法处理 平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细 长线元组成,它们的电荷分别为 它们的电荷分别为: 长线元组成 它们的电荷分别为
d P = 2 R cos θ ⋅ dq j =
π
R cos θ d θ j
v 则带电圆环的电偶极矩为： 则带电圆环的电偶极矩为： P =
∫π
π /2
− /2
v 4Q v dP = Rj
π
第八章
静电场部分习题分析与解答
（2）等效正负电荷中心间距为 ）
根据对称性正、负电荷中心在 轴上 轴上， 根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐 标分别为（ 标分别为（0,2R/π）和（0，-2R/ π）。 ） ， ）。 也可借助几何中心的定义，得 也可借助几何中心的定义，
= ( E1 + ka)a
2
Φ = ∑ Φ = ka 3 整个立方体表面的电场强度通量为： 整个立方体表面的电场强度通量为：
第八章
静电场部分习题分析与解答
8-15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电 15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布， 设在半径为 荷体密度为： 荷体密度为： ρ = kr 0≤r ≤R
第八章刚体的平面运动习题解答
故
向
即
8-21图8-48所示机构中，圆轮A的半径R=0.2m，圆轮B的半径r=0.1m，两轮均在水平轨道上作纯滚动。在图示瞬时，A轮上C点在最高位置，轮心速度vA=2m/s，加速度aA=2m/s2，试求轮B滚动的角速度和角加速度。
图8-48
加速度分析
圆轮A
杆BC
故
向
8-22轮O在水平面上作纯滚动，如图8-49所示。轮缘上固定销钉B，此销钉可在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕轴O1转动。已知轮心O的速度是一常量，vO=0.2m/s，轮的半径R=0.5m，图示位置时，O1A是轮的切线，摇杆与水平面的夹角为 。试求该瞬时摇杆的角速度和角加速度。
图8-59
以O为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
圆轮O
以O为基点，分析C点
向y
8-33图8-60所示机构中，已知曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动，OA=100mm，l=500mm。在图示位置， ，试确定杆BD的角速度和角加速度。
图8-60
以A为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
图8-33
瞬心法
基点法
8-7在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄长OA=0.3m，转速为n=40r/min。当筛子运动到与点O在同一水平线上时， ，试求此时筛子BC的速度。
图8-34
速度投影定理
8-8长为l=1.2m的直杆AB作平面运动，某瞬时其中点C的速度大小为vC=3m/s，方向与AB的夹角为 ，如图8-35所示。试求此时点A可能有的最小速度以及该瞬时杆AB的角速度。
8-20半径为r的圆盘可在半径为R的固定圆柱面上纯滚动，滑块B可在水平滑槽内滑动，如图8-47所示。已知r=125mm，R=375mm；杆AB长l=250mm。图示瞬时，vB=500mm/s，aB=750mm/s2；O、A、O1三点位于同一铅垂线上，试求此时圆盘的角加速度。
大学物理习题答案第八章
大学物理习题答案第八章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN[习题解答]8-2 在一个容器内盛有理想气体，而容器的两侧分别与沸水和冰相接触(热接触)。
显然，当沸水和冰的温度都保持不变时，容器内理想气体的状态也不随时间变化。
问这时容器内理想气体的状态是否是平衡态为什么解不是平衡态，因为平衡态的条件有二：一是系统的宏观性质不随时间变化，二是没有外界的影响和作用。
题目所说的情况不满足第二条。
8-3 氧气瓶的容积是32 dm3 ，压强为130 atm，规定瓶内氧气的压强降至10 atm时，应停止使用并必须充气，以免混入其他气体。
今有一病房每天需用1.0 atm的氧气400 dm3 ，问一瓶氧气可用几天？解当压强为、体积为时，瓶内氧气的质量M1为.当压强降至、体积仍为时，瓶内氧气的质量M2为.病房每天用压强为、体积为的氧气质量m为.以瓶氧气可用n天：.8-4在一个容积为10 dm3 的容器中贮有氢气，当温度为7℃时，压强为50 atm。
由于容器漏气，当温度升至17℃时，压强仍为50 atm，求漏掉氢气的质量。
解漏气前氢气的质量为M1 , 压强为, 体积为, 温度为，于是M1可以表示为.漏气后氢气的质量为M2, 压强为, 体积为, 温度为, 于是M2可以表示为.所以漏掉氢气的质量为.计算中用到了氢气的摩尔质量。
8-5 气缸中盛有可视为理想气体的某种气体，当温度为T1 = 200 K时，压强和摩尔体积分别为p1 和V m1 。
如果将气缸加热，使系统中气体的压强和体积同时增大，在此过程中，气体的压强p 和摩尔体积V m满足关系p = αV m，其中α为常量。
(1)求常量α；(2)当摩尔体积增大到2V m1 时，求系统的温度。
解(1) 1 mol理想气体的物态方程可以表示为,当温度为T1 (= 200 K)、压强为p1 和摩尔体积为V m1时，上式应写为. (1)升温过程满足,在温度为T1 时，上式应写为, (2)将式(2)代入式(1)，得. (3)由上式可以解得或 .(2)根据式(3)可以得到,取，代入上式，得, (4)将式(4)与式(3)联立，可以求得. 8-8 证明式(8-9)。
大学物理第八章部分答案
大学物理习题及解答熵增加习题八8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷20220)33(π4130cos π412a q q a q '=︒εε解得q q 33-='(2)与三角形边长无关．题8-1图 题8-2图8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．解: 如题8-2图示⎪⎩⎪⎨⎧===220)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e解得θπεθtan 4sin 20mg l q =8-3 根据点电荷场强公式204r qE πε=，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?解:20π4r r q E ϖϖε=仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =2024d q πε,又有人说，因为f =qE ,S qE 0ε=，所以f =S q 02ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少?解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S qE 0ε=看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε=，另一板受它的作用力S q S q q f 02022εε==，这是两板间相互作用的电场力． 8-6 长l =15.0cm的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．解： 如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为20)(d π41d x a x E P -=λε2220)(d π4d x a xE E llP P -==⎰⎰-ελ ]2121[π40l a l a +--=ελ)4(π220l a l-=ελ用15=l cm ，9100.5-⨯=λ1m C -⋅, 5.12=a cm 代入得21074.6⨯=P E 1C N -⋅ 方向水平向右(2)同理2220d d π41d +=x xE Q λε 方向如题8-6图所示 由于对称性⎰=l QxE 0d ，即Q E ϖ只有y 分量，∵22222220d d d d π41d ++=x x xE Qyλε22π4d d ελ⎰==lQy Qy E E ⎰-+2223222)d (d ll x x2220d 4π2+=l lελ以9100.5-⨯=λ1cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得21096.14⨯==Qy Q E E 1C N -⋅，方向沿y 轴正向8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取ϕRd dl =题8-7图ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为20π4d d R R E εϕλ=方向沿半径向外则 ϕϕελϕd sin π4sin d d 0R E E x ==ϕϕελϕπd cos π4)cos(d d 0R E E y -=-=积分R R E x 000π2d sin π4ελϕϕελπ==⎰0d cos π400=-=⎰ϕϕελπR E y∴R E E x 0π2ελ==，方向沿x 轴正向．8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通量．(x Rarctan=α)解: (1)由高斯定理0d εq S E s⎰=⋅ϖϖ 立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等∴ 各面电通量06εqe =Φ．(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量06εq e =Φ对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εqe =Φ，如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为22x R +的球冠面的电通量，球冠面积*]1)[(π22222xR x x R S +-+=∴)(π42200x R Sq +=Φε02εq=[221x R x +-]*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图ααα⎰⋅=0d sin π2r r S ααα⎰⋅=02d sin π2r)cos 1(π22α-=r8-10 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C ·m -3求距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强．解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E sϖϖ,02π4ε∑=qr E当5=r cm 时，0=∑q ,=E ϖ8=r cm 时，∑q 3π4p=3(r )3内r - ∴()2023π43π4r r r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=r r r E ερ内外 1C N -⋅ 沿半径向外.8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．解: 高斯定理0dε∑⎰=⋅qSE sϖϖ取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=则rlE S E Sπ2d =⋅⎰ϖϖ对(1) 1R r < 0,0==∑E q(2) 21R r R <<λl q =∑∴r E 0π2ελ=沿径向向外(3) 2R r > 0=∑q ∴ 0=E题8-12图8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×105N ·C -1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．解: ∵ 电偶极子p ϖ在外场E ϖ中受力矩E p M ϖϖϖ⨯= ∴ qlE pE M ==max代入数字 4536max 100.2100.1102100.1---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=M m N ⋅8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?解:⎰⎰==⋅=22210212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εεϖϖ)11(21r r - 61055.6-⨯-=J外力需作的功 61055.6-⨯-=-='A A J题8-16图8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．解: 如题8-16图示0π41ε=O U 0)(=-R qR q0π41ε=O U )3(R q R q -R q0π6ε-=∴R qq U U q A oC O 00π6)(ε=-=8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =则θλd d R q =产生O 点E ϖd 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向题8-17图θεθλππcos π4d d 2220⎰⎰-==R R E E y R 0π4ελ=［)2sin(π-2sinπ-］ R 0π2ελ-=(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U⎰⎰===AB 200012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ同理CD 产生 2ln π402ελ=U半圆环产生0034π4πελελ==R R U∴0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C)解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强r E 0π2ελ=电子受力大小r e eE F e 0π2ελ==∴ r v mre 20π2=ελ得1320105.12π2-⨯==e mv ελ1m C -⋅ 8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．证: 如题8-21图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ题8-21图(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有)(d 32=∆+=⋅⎰S S E sσσϖϖ∴ +2σ03=σ 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---εσεσεσεσ又∵ +2σ03=σ∴ 1σ4σ=说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?解: 如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ题8-22图(1)∵ AB AC U U =，即∴AB AB AC AC E E d d =∴ 2d d 21===AC ABAB AC E E σσ且 1σ+2σS q A=得,32S q A =σ S q A 321=σ 而7110232-⨯-=-=-=A C q S q σC C10172-⨯-=-=S q B σ(2)301103.2d d ⨯===AC AC AC A E U εσV 8-23 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势题8-23图⎰⎰∞∞==⋅=22020π4π4d d R R R qr r q r E U εεϖϖ(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：π4π42020=-=R qR qU εε(3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q '(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且π4'π4'π4'202010=+-+-=R q q R q R q U A εεε得 q R R q 21='外球壳上电势()22021202020π4π4'π4'π4'R qR R R q q R q R q U B εεεε-=+-+-=8-24 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量．解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U8-24图由电势叠加原理有：=O U 03π4π4'00=+R qR q εε得 -='q 3q8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F．试求：(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．解: 由题意知2020π4r q F ε=(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电2q q =',小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电qq 43=''∴ 此时小球1与小球2间相互作用力0220183π483π4"'2F rqr q q F =-=εε (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为32q.∴ 小球1、2间的作用力0294π432322F r qq F ==ε *8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S ，相距为d ，分别维持电势A U =U ，B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S ，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ，2σ，3σ，4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U U AB =可得以下6个方程题8-26图⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++==+=+-==+=+===+6543215432065430021001σσσσσσσσσσεσσσσεσσd US q S qdU U C S S q B A解得S q261==σσ S qd U 2032-=-=εσσ S qd U 2054+=-=εσσ所以CB 间电场S q d U E 00422εεσ+== )2d (212d 02S q U E U U CB C ε+===注意：因为C 片带电，所以2U U C ≠，若C 片不带电，显然2UU C =8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅qS D Sϖϖd(1)介质内)(21R r R <<场强303π4,π4r rQ E r r Q D r εεϖϖϖϖ==内; 介质外)(2R r <场强303π4,π4r r Q E r Qr D εϖϖϖ==外 (2)介质外)(2R r >电势r Q E U 0rπ4r d ε=⋅=⎰∞ϖϖ外介质内)(21R r R <<电势rd r d ϖϖϖϖ⋅+⋅=⎰⎰∞∞rrE E U 外内2020π4)11(π4R Q R r qr εεε+-=)11(π420R r Q r r -+=εεε(3)金属球的电势rd r d 221ϖϖϖϖ⋅+⋅=⎰⎰∞R R R E E U 外内⎰⎰∞+=222020π44πdrR R R r r Qdrr Q εεε )11(π4210R R Q r r -+=εεε8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E ϖ，真空部分场强为1E ϖ，自由电荷面密度分别为2σ与1σ 由∑⎰=⋅0d q S D ϖϖ得11σ=D ，22σ=D而101E D ε=,202E D r εε=d 21UE E ==∴ r D D εσσ==1212题8-28图 题8-29图8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求： (1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S 则 rlDS D S π2d )(=⋅⎰ϖϖ当)(21R r R <<时，Q q =∑∴rl Q D π2=(1)电场能量密度22222π82l r Q D w εε== 薄壳中rl rQ rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222=== (2)电介质中总电场能量⎰⎰===211222ln π4π4d d R R V R R l Q rl r Q W W εε(3)电容：∵C Q W 22=∴)/ln(π22122R R lW Q C ε== *8-30 金属球壳A 和B 的中心相距为r ，A 和B 原来都不带电．现在A 的中心放一点电荷1q ，在B 的中心放一点电荷2q ，如题8-30图所示．试求：(1) 1q 对2q 作用的库仑力，2q 有无加速度；(2)去掉金属壳B ，求1q 作用在2q 上的库仑力，此时2q 有无加速度． 解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律，即2210π41r q q F ε=但2q 处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．(2)去掉金属壳B ，1q 作用在2q 上的库仑力仍是2210π41r q q F ε=，但此时2q 受合力不为零，有加速度．题8-30图 题8-31图8-31 如题8-31图所示，1C =0.25μF ，2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ．解: 电容1C 上电量111U C Q =电容2C 与3C 并联3223C C C +=其上电荷123Q Q =∴355025231123232⨯===C U C C Q U86)35251(5021=+=+=U U U AB V8-32 1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V ”和“300 pF 、900 V ”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V 的电压，是否会击穿? 解: (1) 1C 与2C 串联后电容1203002003002002121=+⨯=+='C C C C C pF(2)串联后电压比231221==C C U U ，而100021=+U U∴ 6001=U V ,4002=U V即电容1C 电压超过耐压值会击穿，然后2C 也击穿．8-33 将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求： (1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1q ,2q题8-33图则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=+2122112121201021U U U C U C q q U C U C q q q q解得 (1) =1q UC C C C C q U C C C C C 21212221211)(,)(+-=+-(2)电场能量损失W W W -=∆0)22()2121(2221212221C q C q U C U C +-+= 221212U C C C C +=8-34 半径为1R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm ，当内球带电荷Q =3.0×10-8C时，求：(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．解: 如图，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q题8-34图(1)在1R r <和32R r R <<区域0=E ϖ在21R r R <<时 301π4r rQ E εϖϖ=3R r >时 302π4r rQ E εϖϖ=∴在21R r R <<区域⎰=21d π4)π4(21222001R R r r r QW εε⎰-==21)11(π8π8d 2102202R R R R Q rr Q εε 在3R r >区域⎰∞==32302220021π8d π4)π4(21R R Q r r rQ W εεε ∴ 总能量)111(π83210221R R R Q W W W +-=+=ε 41082.1-⨯=J(2)导体壳接地时，只有21R r R <<时30π4r rQ E εϖϖ=,02=W∴ 4210211001.1)11(π8-⨯=-==R R Q W W ε J(3)电容器电容)11/(π422102R R Q W C -==ε 121049.4-⨯=F。
大学物理3第08章习题分析与解答
习题8-6图IOR 第八章 恒定磁场8-1 均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为［ ］。
(A) B r 22π (B) B r 2π (C) 0 (D) 无法确定 分析与解 根据高斯定理，磁感线是闭合曲线，穿过圆平面的磁通量与穿过半球面的磁通量相等。
正确答案为（B ）。
8-2 下列说法正确的是[ ]。
(A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过(B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零(D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意点的磁感强度必定为零分析与解 由磁场中的安培环路定理，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和一定为零。
正确答案为（B ）。
8-3 磁场中的安培环路定理∑⎰=μ=⋅nLI1i i0d l B 说明稳恒电流的磁场是[ ]。
(A) 无源场 (B) 有旋场 (C) 无旋场 (D) 有源场分析与解 磁场的高斯定理与安培环路定理是磁场性质的重要表述，在恒定磁场中B 的环流一般不为零，所以磁场是涡旋场；而在恒定磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量必为零，所以磁场是无源场；静电场中E 的环流等于零，故静电场为保守场；而静电场中，通过任意闭合面的电通量可以不为零，故静电场为有源场。
正确答案为（B ）。
8-4 一半圆形闭合平面线圈，半径为R ，通有电流I ，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，则线圈所受磁力矩大小为[ ]。
(A) B R I 2π (B)B R I 221π (C) B R I 241π (D) 0 分析与解 对一匝通电平面线圈，在磁场中所受的磁力矩可表示为B e M ⨯=n IS ，而且对任意形状的平面线圈都是适用的。
第八章 习题答案
第八章 习题解答8-1考虑并回答下面的问题：（a ）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么？（b ）什么样的非线性元件是无记忆的？什么样的非线性元件是有记忆的？它们的描述函数各有什么特点？（c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的？有什么是不同的？线性元件可以有描述函数吗？非线性元件可以有传递函数吗？（d ）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能产生稳定的自激振荡吗？ 解：（a ）描述函数法只能用来研究非线性定常系统的特性，这要求非线性元件的特性不随时间发生变化。
在用描述函数法研究非线性系统的自振特性时，要求在正弦输入下非线性特性的输出没有直流分量，这要求非线性元件的特性是斜对称的。
（b ）一般情况下用代数方程描述的非线性特性是无记忆的，根据非线性环节当前的输入就可以决定非线性环节的输出。
用微分方程描述的非线性特性是有记忆的，不能简单地根据非线性环节当前的输入决定非线性环节的输出。
无记忆非线性特性的描述函数一般为实数，有记忆非线性特性的描述函数一般为复数。
（c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数都是元件的外部描述。
线性元件的传递函数表述的是元件输出拉氏变换与输入拉氏变换之比，而非线性元件的描述函数表示的是元件在正弦输入下输出基波特性。
由传递函数可以得到系统的频率特性，而描述函数一般不是频率的函数，线性元件可以有描述函数，但传递函数只适用于线性系统，非线性系统没有传递函数。
（d ）只有稳定的交点才对应稳定的自激振荡。
8-2设非线性元件的输入、输出特性为35135()()()()y t b x t b x t b x t =++证明该非线性元件的描述函数为2413535()48N A b b A b A =++式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。
解：由于非线性特性是单值斜对称的，所以10A =，10φ=。
第8章习题解答
第8章思考题及习题8参考答案一、填空1. 单片机存储器的主要功能是存储和。
答：程序、数据。
2．假设外部数据存储器2000H单元的内容为80H，执行下列指令后累加器A中的内容为。
MOV P2，#20HMOV R0，#00HMOVX A，@R0答：80H。
3．在存储器扩展中，无论是线选法还是译码法最终都是为扩展芯片的端提供控制信号。
答：片选。
4．起止范围为0000H～3FFFH的数据存储器的容量是 KB。
答：16KB。
5．在AT89S52单片机中，PC和DPTR都用于提供地址，但PC是为访问存储器提供地址，而DPTR是为访问存储器提供地址。
答：程序、数据。
6．11条地址线可选个存储单元，16KB存储单元需要条地址线。
答：2K，14。
7．4KB RAM存储器的首地址若为0000H，则末地址为 H。
答：0FFF。
8．若单片机外扩32KB 数据存储器的首地址若为4000H，则末地址为 H。
答：BFFF9. 设计一个以AT89S52单片机为核心的系统，如果不外扩程序存储器，使其内部8KB闪烁程序存储器有效，则其引脚应该接。
答：EA*，+5V10．74LS138是具有3个输入的译码器芯片，其输出常作片选信号，可选中片芯片中的任一芯片，并且只有1路输出为电平，其它输出均为电平。
答：8，低，高；二、单选1．区分AT89S51单片机片外程序存储器和片外数据存储器的最可靠方法是。
A．看其位于地址范围的低端还是高端B．看其离AT89S51单片机芯片的远近C．看其芯片的型号是ROM还是RAMD．看其是与RD信号连接还是与PSEN信号连接答：D2．访问片外数据存储器的寻址方式是。
A.立即寻址B.寄存器寻址C.寄存器间接寻址D.直接寻址答：C3．若要同时扩展4片2KB的RAM和4片4KB的ROM，则最少需要根地址线。
A、12B、13C、14D、154．当EA=1时，AT89S52单片机可以扩展的外部程序存储器的最大容量为。
A． 64KB B．60KB C．58KB D．56KB答：D5. 若某数据存储器芯片地址线为12根,那么它的存储容量为。
电工技术第8章(李中发版)课后习题及详细解答
第8章电动机8.1 三相异步电动机主要由哪几个部分构成？各部分的主要作用是什么？解三相异步电动机由定子和转子两部分组成。
定子和转子的主要部分是铁心和绕组，其中铁心用于产生磁路。
定子绕组用于产生旋转磁场，当在三相定子绕组中通入三相交流电流时，便会在电动机内部产生一个旋转磁场。
转子绕组用于产生电磁转矩，旋转磁场与转子导体之间有相对运动，于是在转子绕组中感应出电流，转子感应电流与旋转磁场相互作用产生电磁转矩，驱动电动机旋转。
8.2 三相电源的相序对三相异步电动机旋转磁场的产生有何影响？分析三相电源的3个电压（或电流）在相位上互差120°，3个电压（或电流）出现幅值或相应零值的顺序称为三相电源的相序，按A→B→C依次滞后120°的顺序称为正序，按A→C→B依次滞后120°的顺序称为逆序。
解三相异步电动机磁场的旋转方向与3个绕组中电流的相序一致：当电流按正序即A→B→C改变时，磁场就沿A→B→C→A…的方向旋转；当电流按逆序即A→C→B改变时，磁场就沿A→C→B→A…的方向旋转。
这和3个绕组中电流的相序是一致的。
由此可见，磁场的旋转方向是由3个绕组中三相电流的相序决定的，即只要改变流入三相绕组中的电流相序，就可以改变磁场的旋转方向。
改变电流相序的方法是将定子绕组接到三相电源上的3根导线中的任意两根对调。
8.3 三相异步电动机转子的转速能否等于或大于旋转磁场的转速？为什么？分析三相异步电动机旋转的必要条件是转差率的存在，即转子转速与旋转磁场转速存在差异。
转差率表示转子转速n与旋转磁场同步转速n0之间相差的程度，是分析异步电动机的一个重要参数。
解三相异步电动机正常运转时转子转速不能等于旋转磁场转速，否则转子导体与旋转磁场之间就没有相对运动，转子导体不切割磁力线，就不会产生感应电流，电磁转矩为零，转子因失去动力而减速。
待到转子转速小于旋转磁场转速时，转子导体与旋转磁场之间又存在相对运动，产生电磁转矩。
大学应用物理第八章习题解答
第8章 磁场8-10一均匀密绕直螺线管的半径为 ，单位长度上有 匝线圈，每匝线圈中的电流为 ，用毕奥—萨伐尔定律求此螺线管轴线上的磁场。
分析：由于线圈密绕，因此可以近似地把螺线管看成一系列圆电流的紧密排列，且每一匝圆电流在轴线上任一点的磁场均沿轴向。
解： 取通过螺线管的轴线并与电流形成右旋的方向（即磁场的方向）为x 轴正向，如习题8-10图解（a ）所示。
在螺线管上任取一段微元dx ，则通过它的电流为dI nIdx =，把它看成一个圆线圈，它在轴线上O 点产生的磁感应强度dB 为2022322()R nIdxdB R x μ=+ 由叠加原理可得，整个螺线管在O 点产生的磁感应强度B 的大小为由图可知12122212221212cos os ()()x x R x R x ββ==++ c ，代入上式并整理可得式中12ββ和分别为x 轴正向与从O 点引向螺线管两端的矢径r 之间的夹角。
讨论：（1）若螺线管的长度远远大于其直径，即螺线管可视为无限长时，20β=，1βπ=，则有上式说明，无限长密绕长直螺线管内部轴线上各点磁感应强度为常矢量。
理论和实验均证明：在整个无限长螺线管内部空间里，上述结论也适用。
即无限长螺线管内部空间里的磁场为均匀磁场，其磁感应强度B 的大小为0nI μ，方向与轴线平行；（2）若点O 位于半无限长载流螺线管一端，即12πβ=，20β＝或12πβ=，2βπ＝时，无论哪一种情况均有nI B 021μ=------(8-19) 可见半无限长螺线管端面中心轴线上磁感应强度的大小为管内的一半；综上所述，密绕长直螺线管轴线上各处磁感应强度分布见习题8-10图解（b ）所示，从图中也可看出，长直螺线管内中部的磁场可以看成是均匀的。
习题8-10图解（a ）习题8-10图解（b ）8-11两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等，均为I ＝10A ，方向相同，如图8-49题图(左)所示。
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8.9 电路如图P8.9所示。 （1）为使电路产生正弦波振荡，标出集成运放的“＋”和
“－”；并说明电路是哪种正弦波振荡电路。
解：（1）上“－”下“＋”
（2）若R1短路，则电路将产生什么现象？
（2）输出严重失真，几乎为方波。
（3）若R1断路，则电路将产生什么现象？
（3）输出为0。
（4）若Rf短路，则电路将产生什么现象？
（4）输出为0。
（5）若Rf断路，则电路将产生什么现象？
（5）输出严重失真，几乎为方波。
8.14 试分别求解图P8.14所示各电路的电压传输特性。
解：图（a）所示电路为单限比较器，uO＝±UZ＝±8V，UT＝ －3V，其电压传输特性如解图P8.14（a）所示。
图（b）所示电路为过零比较器，UOL＝－UD＝－0.2V，UOL＝ ＋UZ＝＋6V，UT＝0V。其电压传输特性如解图P8.14（b）所示。
即0˚存）在；满且足在正f＝弦f波0时振有荡可相能位满条足件起的振频条率件f0
（此时φA＋φF＝ AF ，1 故可能产
生正弦波振荡。
图（b）所示电路有可能产生正弦波振荡。因为共射放
大电路输出电压和输入电压反相（φA＝－180˚），且
图中三级移相电路为滞后网络，在信号频率为0到无穷 大时相移为0˚∽－270˚，因此存在使相移为－180˚
（φF＝－180˚）的频率，即存在满足正弦波振荡相位 条件的频率f0（此时φA＋φF＝－360˚）；且在f＝f0
时有可能满足起振条件 AF 1 ，故可能产生正弦波
振荡。
8.5 电路如图P8.4所示，试问： （1）若去掉两个电路中的R2和C3，则两个电路是否可
能产生正弦波振荡？为什么？ （2）若在两个电路中再加一级RC电路，则两个电路是
是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属
（b）、（c）所示，它们的输入电压波形均如图（d）所示，试画出uO1、 uO2和uO3的波形。
解：根据三个电压比较器的电压传 输特性画出在输入电压作用下它们 的输出电压波形，如右图所示。
8.17 设计三个电压比较器，它们的电压传输特性分别如图P8.15（a）、 （b）、（c）所示。要求合理选择电路中各电阻的阻值，限定最大值为 50kΩ。
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也
uP
R2 R1 R2
uI
R1 R1 R2 uO1uN 3V
得出阈值电压 U T1 1.5V U T2 7.5V
其电压传输特性如解图P8.14（d）所示。
图（e）所示电路为窗口比较器，uO＝±UZ＝±5V，±UT＝±3V， 其电压传输特性如解图P8.14（e）所示。
8.15 已知三个电压比较器的电压传输特性分别如图P8.15（a）、
否可能产生正弦波振荡？为什么？
解：（1）不能。因为图（a）所示电路在信号频率为0到无穷 大时相移为＋180°∽0°，图（b）所示电路在信号频率为0到 无穷大时相移为0°∽∽－180°，在相移为±180°时反馈量 为0，因而不可能产生正弦波振荡。
（2）可能。因为存在相移为±180°的频率，满足正弦波振荡 的相位条件，且电路有可能满足幅值条件，因此可能产生正弦 波振荡。
图（c）所示电路为反相输入的滞回比较器，uO＝±UZ＝±6V 。令
uP
R1 R1 R2
uO
R2 R1 R2
U REF
uN
uI
求出阈值电压 UT1＝0 V UT2＝4 V 其电压传输特性如解图P8.14（c）所示。
图（d）所示电路为同相输入的滞回比较器，uO＝±UZ＝±6V。令
8.7 电路如图P8.7所示， 稳压管DZ起稳幅作用，其稳定电压±UZ ＝±6V。试估算：
（1）输出电压不失真情况下的有效值； （2）振荡频率。
解：（1）输出电压不失真情况下的峰 值是稳压管的稳定电压，故其有效值
Uo
1.5U Z 2
6.36V
（2）电路的振荡频率
f0
1 2π RC
9.95Hz
习题解答
8.4 判断下图所示各电路是否可能产生正弦波振荡，简述理由。设图 （b）中C4容量远大于其它三个电容的容量。
解：图（a）所示电路有可能产生正弦波振荡。因为共射放大
电路输出电压和输入电压反相（φA＝－180˚），且图中三级
移相电路为超前网络，在信号频率为0到无穷大时相移为＋
270˚∽0˚，因此存在使相移为＋180˚（φF＝＋180˚）的频率，
uP
R1 R1 R2
uO
R2 R1 R2
U REF
uN
uI
列方程，令R2＝50 kΩ，可解出R1＝10 kΩ，UREF＝1.2V。电路 如解图P8.17（b）所示。
具有图P8.15（c）所示电压传输特性的电压比较器为窗口单限 比较器。输出电压UOL＝0V，UOH＝6V，阈值电压UT1＝0V，UT2 ＝2V。电路如解图P8.17（c）所示。
8.6 电路如图P8.6所示，试求解：
（1）RW的下限值；
（2）振荡频率的调节范围。
1）根据起振条件
Rf RW' ＞2R，RW' ＞2k
故RW的下限值为2kΩ。
（2）振荡频率的最大值和 最小值分别为
f 0 max
2π
1 R1C
1.6kHz
f 0 min
2π
1 (R1
R2 )C
145Hz
解：
具有图P8.15（a）所示电压传输特性的电压比较器为同相输入的 单限比较器。输出电压uO＝±UZ＝±6V，阈值电压UT＝2V，电路 如解图P8.17（a）所示。
具有图P8.15（b）所示电压传输特性的电压比较器为反相输入的 滞回比较器。输出电压uO＝±UZ＝±6V；阈值电压UT1＝0V，UT2＝ 2V，说明电路输入有UREF作用，根据