2021空间向量综合讲义(最新最全)

空间向量综合讲义

1、空间向量基本知识

2、空间向量求夹角（直线与直线、直线与平面、平面与平面）

3、空间向量证明三点共线（共面）

4、空间向量求点到平面的距离

5、空间向量证明垂直、平行

6、向量解决探索性问题

一、空间向量基本知识

一、空间向量及其加减运算

1.空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .

2.零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =.

模为1的向量称为单位向量.

3.相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算

（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.

（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()

a b c a b c ++=++

二、空间向量的数乘运算

1．数乘运算

实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a

的长度的

λ倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

()a b a b λλλ+=+，()

()a a λμλμ=.

3.共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .

4.共线向量定理

对空间中任意两个向量a ，b ()

0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量

如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线

l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取AB a =，

则式①可化为()

()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()

12

OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量

如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

7.共面向量定理

如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，

b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.

图 8-154

推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.

（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立. 三、空间向量的数量积运算 1.两向量夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2

a b π

=

，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.

2.数量积定义

已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ?，即cos ,a b a b a b ?=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2

a a a ?=.

3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ?=?，a b b a ?=?（交换律）； ()a b c a b a c ?+=?+?（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用

（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；

()112233,,a b a b a b a b -=---；

()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ?=++；

()

112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠?===； 1122330a b a b a b a b ⊥?++=.

（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则2

21a a a =

=+

2222

123

b b b b b

==++；

112233

a b a b a b a b

?=++；

112233

222222

123123

cos,

a b a b a b

a b

a a a

b b b

++

=

++++

；

②已知()

111

,,

A x y z，()

222

,,

B x y z，则()()()

222

121212

AB x x y y z z

=-+-+-,

或者()

,

d A B AB

=.其中()

,

d A B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量a在向量b上的射影为cos,

a b

a a b

b

?

=.

（5）设()0

n n≠是平面M的一个法向量，AB，CD是M内的两条相交直线，则0

n AB

?=，由此可求出一个法向量n（向量AB及CD已知）.

（6）利用空间向量证明线面平行：设n是平面的一个法向量，l为直线l的方向向量，证明0

l n?=，（如图8-155所示）.已知直线l（lα

?），平面α的法向量n，若0

l n?=，则//

lα.

（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a，b，只要证明a b

⊥，即0

a b?=.

（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.

（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.

（10）空间角公式.

①异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线1l，2l上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos,

a b

a b

a b

θ

?

==.

②线面角公式：设l为平面α的斜线，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为

图8-155

l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a n

θ?==

.

③二面角公式：

设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212

cos n n n n θ?=

.

（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n

?=

.

空间向量及其运算

思路提示

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.

一、空间向量的加法、减法、数乘运算

例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN = .

变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设

OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）

.A 111,,333x y z ===

.B 111,,336x y z ===

.

C 111,,363

x y z ===

.D 111,,633

x y z ===

变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.

变式 3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ?是正三角形，且E 为其重心，则

13

22

AB BC DE AD +--的化简结果为 .

变式 4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，

AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）

.A 1122a b c -++ .B 11

22a b c ++

.C 1122a b c --+ .D 11

22

a b c -+

二、空间共线向量定理的应用

空间共线向量定理：()

//0a b b a b λ≠?=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.

例8.42 已知3240m a b c =--≠，()182n x a b yc =+++，且,,a b c 不共面，若//m n ，求,x y 的值.

二、空间向量的数量积运算

121212cos ,a b a b a b x x y y z z ?==++；

求模长时，可根据2

21a a x =

=+

求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b

?=

.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数

量积是否为0，即0a b a b ?=?⊥.

,a b 为锐角0a b ??>；,a b 为钝角0a b ??<.由此，通常通过计算a b ?的值来判断两向量夹角

是锐角还是钝角.

例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，AE ?

AF 的值为（ ）.

.A 2a

.B 21.2B a 21

.4

C a 24

D a

变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=?，且

11A A AB AD ==

=，则1AC = .

变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ?=，0AD AC ?=，

0AD AB ?=，则BCD ?的形状是（ ）.

.A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定

例8.44 如图8-163所示，在45?的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且

AC AB ⊥，45ABD ∠=?，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 .

变式1 已知二面角l αβ--为60?，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到β

，Q 到α的距离

为,P Q 两点之间距离的最小值为（ ）

.

A .2B

C .4D

变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120?的二面角后，AB 的长为（ ）.

B

C

D

例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P

D B

λ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围.

变式1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为（ ）

.

1.

24A 1

.18

B 1.9

C 1.12D

例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）.

变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）.

.A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线

变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（ ）.

.3A -.3B -.6C D

1.(2017·黄冈模拟)已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32

B.－2

C.0

D.3

2或－2

解析 ∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1

－m

，解得m ＝－2.

答案 B

2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( ) A.19

B.459

C.259

D.23

解析 如图，设正方体棱长为2，则易得CM →＝(2，－2，1)，D 1N →

＝(2，2，－1)，∴cos 〈CM →，D 1N →〉＝CM →·D 1N →

|CM →||D 1N →

|＝－19，∴sin 〈CM →，D 1N →

〉＝1－? ??

??－192＝459. 答案 B

3.空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE

→·BC →＜AE →·CD → B.AE

→·BC →＝AE →·CD → C.AE

→·BC →＞AE →·CD → D.AE

→·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 解析 取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綉12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，

因为AE →·BC →＝0，∴AE →·CD →＜0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →. 答案 C

4.已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A.－1

B.43

C.53

D.75

解析 由题意得，k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2).所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝7

5. 答案 D

5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE

→·AF →的值为( )

A.a 2

B.12a 2

C.14a 2

D.34a 2

解析 如图，设AB

→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，

则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →

＝12c ， ∴AE

→·AF →＝12(a ＋b )·12

c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝1

4a 2. 答案 C 二、填空题

6.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________.

解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b·c ＝－10，又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c

|b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，

∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 答案 60°

7.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________. 解析 |EF

→|2＝(EC →＋CD →＋DF →)2

＝EC

→2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，

∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 答案

2

8.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG

→＝2GN →，现用基底{OA →，OB →，OC →}表示向量OG →，有OG →＝xOA →

＋yOB

→＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________.

解析 ∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →

＝12OA →＋23(ON →－OM →)

＝12OA →＋23??????12（OB →＋OC →）－12OA →

＝16OA →＋13OB →＋13OC →

， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 答案 16，13，1

3 三、解答题

9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.

(1)若|c |＝3，且c ∥BC

→，求向量c .

(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.

解 (1)∵c ∥BC

→，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，

∴c ＝mBC

→＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )，

∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).

(2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝（－1）2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b

|a |·|b |＝－110＝－1010，

即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－10

10.

10.如图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .

(1)写出点E ，F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；

(3)若A 1，E ，F ，C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →

. (1)解 E (a ，x ，0)，F (a －x ，a ，0). (2)证明 ∵A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )， ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，∴A 1F ⊥C 1E .

(3)证明 ∵A 1，E ，F ，C 1四点共面， ∴A 1E →，A 1C 1→，A 1F →共面.

选A 1E →与A 1C 1→为在平面A 1C 1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →，

即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a ，0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－aλ1，a λ1＋xλ2，－aλ2)，

∴???－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，

解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12

A 1C 1→＋A 1E →

.

11.在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A.－1

B.0

C.1

D.不确定

解析 如图，令AB

→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →

＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0. 答案 B

12.若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标.

已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底

{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A.(4，0，3) B.(3，1，3) C.(1，2，3)

D.(2，1，3)

解析 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为x ，y ，z .则 p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，① 因为p 在{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)， ∴p ＝4a ＋2b ＋3c ，②

由①②得???x ＋y ＝4，x －y ＝2，z ＝3，∴???x ＝3，

y ＝1，z ＝3，

即p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(3，1，3). 答案 B

13.(2017·郑州调研)已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA

→＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，

2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是__________.

解析 ∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA

→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2

－16λ＋10＝6? ????λ－432－23.即当λ

＝43时，QA

→·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝? ????43，43，83. 答案 ? ??

??

43，43，83

二、利用空间向量求夹角

两异面直线所成角的求法

(1)定义法：过空间中任一点，分别作两异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角或直角等于两异面直

一、求直线与直线的夹角

线所成的角．定义法求解的实质就是将空间中两异面直线所成的角转化为平面三角形的内角进行求解．

(2)向量法：设异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则异面直线a ，b 所成角的余弦值等于|cos 〈a ，b 〉|.

(1)异面直线所成角的求法

从两异面直线上分别取与之共线的两向量n 1，n 2，

如图①，cos θ＝

例1：在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，则直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为 ．

【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，

设122AB BC AA ===，则(2,0,0)A ，1(0,2,1)C ，1(2,2,1)B ，(0,2,0)C ，

1(2,2,1)AC =-，1

(2,0,1)BC =--．

|n 1·n 2|

|n 1|·|n 2|

设直线1AC 与1B C 所成角为θ，则1111||5

cos 5||||95

AC B C AC B C θ?=

==??，

直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为

5

． 2、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．

【解析】 如图，在平面ABC 内过点B 作BD ⊥AB ，交AC 于点D ，则∠CBD ＝30°.

因为BB 1⊥平面ABC ，故以B 为坐标原点，分别以射线BD ，BA ，BB 1为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (0，0，0)，A (0，2，0)，B 1(0，0，1)，C 1(cos 30°，－sin 30°，1)，即C 1? ??

??32，－1

2，1.

所以AB 1→＝(0，－2，1)，BC 1→

＝? ??

??32，－1

2，1.

所以cos 〈AB 1→

，BC 1→

〉＝AB 1→

·BC 1→

|AB 1→||BC 1→|＝0×

3

2＋（－2）×????－12＋1×10＋（－2）2＋12× ????322＋???

?－122

＋12＝10

5.

所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为

10

5

. 14.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算： (1)EF

→·BA →；(2)EG 的长； (3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值. 解 设AB

→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .

则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF

→＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →

＝? ??

??12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，

(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →

＝1

2a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，

|EG

→|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12， 则|EG

→|＝22

.

(3)AG

→＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →

〉＝AG →·CE →

|AG →||CE →|＝－23，

由于异面直线所成角的范围是? ?

???0，π2，

所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为2

3.

向量法求直线和平面所成的角

设θ为直线l 与平面α所成的角，φ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有φ＝π2－θ(如图1)或φ＝π2＋θ(如图2)，所以有sin θ＝|cos φ|＝|cos 〈v ，n 〉|＝|v ·n |

|v ||n |.特别地，

φ＝0时，θ＝π2，l ⊥α；φ＝π

2

时，θ＝0，l ?α或l ∥α.

(2)线面角的求法

设n 是平面α的法向量，AB

→是直线l 的方向向量，如图②，则直线l 与平面α所成的角满

二、求直线与平面的夹角

足sin θ

＝

|AB →·n ||AB →|·|n |

例2：正三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长相等，则1AC 与平面11BB C C 的夹角的余弦值为 ． 【答案】

10 【解析】设11AB BB ==，以B 为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图，

则1(0,1,1)C ，31,,022A ?? ? ???，131,,122AC ??

=- ? ???

，

又平面11BB C C 的一个法向量(1,0,0)=n ，设1AC 与平面11BB C C 的夹角为θ， 则111||6

sin |cos ,|4

||||AC AC AC θ?=<>=

=?n n n ，

故210cos 1sin 4

θθ=-=

． 2、(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .

(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．

【解】 (1)证明：由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD .

(2)作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .

以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →

|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz .

由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE

＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故PE ⊥PF .可得PH ＝

32，EH ＝32

. 则H (0，0，0)，P ? ????0，0，32，D ? ????

－1，－32，0，DP →＝? ????1，32，32，HP →

＝? ????0，0，32为平面

ABFD 的法向量．

设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝?????

???HP →·DP →|HP →||DP →|＝3

43＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为

34

.

向量法求二面角

设二面角α-l -β的平面角为θ(0≤θ≤π)，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量，向量n 1，n 2的夹角为ω，则有θ＋ω＝π(如图1)或θ＝ω(如图2)，其中cos ω＝

n 1·n 2

|n 1||n 2|

.

三、求平面与平面的夹角

① 如图①，AB 、CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与l 垂直的异面直线，则二面角α－l －β的平面角

θ满足cos θ

＝

AB CD AB CD

??

② ②设n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个面α，β的法向量，在图②中二面角α－l －β的平面角θ满足

cos θ＝1212

n n n n ?-

?

③ ③在图③中二面角α－l －β的平面角θ满足cos θ＝

1212

n n n n ??

2求直线与平面所成角的方法

（１）先作出该角，再利用求角余弦公式来求。

（２）改求直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角，如图８－１９４所示，设直角l 的方向向量为1l ，平面α的法向量为n ，直线l 和平面α所成角为θ，则1,2

l n π

θ<>+=或1,2

l n -π

θ<>=

，因为θ的取值范围

是[0,]2π

，所以111sin |cos ,||

|l n|l n =|l ||n θ=<>。

④ 例８.５６ 如图８－１９５所示，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知∠ABC ＝４５°，BC ＝AB ＝２，SA ＝SB SD 与平面面SAB 所成角的正弦值。