立体几何初步测试题及答案

立体几何初步测试题及

答案

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《立体几何初步》测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）

1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件

2. 若a ∥b ，A c b =⋂，则c a ,的位置关系是（ ）

A.异面直线

B.相交直线

C.平行直线

D.相交直线或异面直线

3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是

（ ）

A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．顶角为30°的等腰三角形

D ．其他等腰三角形

4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是

一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底

边

长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为

（ ）

A 48

B 64

C 96

D 192

5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8

个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A ．25π

B ．50π

C ．125π

D ．都不对

6. 已知正方体外接球的体积是323

π，那么正方体的棱长等于 （ ） A 22 B 233 C 423

D 433 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n

B ．若

,l αβα⊥⊂，则l β⊥

C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若

,l n m n ⊥⊥，则//l m

8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF

与

G

GH 所成的角等于（ ）

Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°

9. 已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ）

10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）

A.α内有无穷多条直线与β平行；

B.直线a αβ线a α⊂,直线b β⊂,且a βαα的任何直线都与β平行

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为

菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD

为 _ ____，面积为______cm 2．

12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．

13. 已知直线b ααββ14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿

15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图

形中有 个直角三角形

16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下

四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等

边三角形

（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为

60°。

其中正确结论的序号为＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共4小题，共60分）

17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC 18.（10分）在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。.

19. （12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥

CD ，AB=21DC ，中点为PD E . (1)求证：AE ∥平面PBC ；

(2)求证：AE ⊥平面PDC. A B C

P P A B

C D'C'B'A'O'Y'X'

20. （14分）如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC ，︒=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F

求证：（1）⊥BC 平面PAB ；

（2）⊥AE 平面PBC ； （3）⊥PC 平面AEF ．

21. （14分）已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥

平面BCD ，

(01AE AF AC AD λλ==<<∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD

F E P

C B A

F E D

B A C

《立体几何初步》测试题参考答案

1-5 DDABB 6-10 DCBCD

11. 矩形 8 12. 25

13. 平行或在平面内；

14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 设棱长是a

15. 4 16. （1）（2）（4）

17. 证明：过A 作AD ⊥PB 于D ，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AD ⊥平面PBC ，故

AD ⊥BC ，

又BC ⊥PA ，故BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AB

18. 连接D A 1， D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ，

则D A B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠25

9552322525=⋅⋅-+=. 19.(1)证明:取PC 的中点M,连接EM,则EM ∥CD ，EM=2

1DC,所以有EM ∥AB 且EM=AB,则四边形ABME 是平行四边形.所以AE ∥BM,因为AE 不在平面PBC 内,所以AE ∥平面PBC.

(2) 因为AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD,所以CD ⊥平面PBC ，CD ⊥BM.由(1)得,BM ⊥PC,所以BM ⊥平面PDC ，又AE ∥BM,所以AE ⊥平面PDC.

20.证明:(1)∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，∵︒=∠90ABC ，∴BC AB ⊥， 又A AB PA = ∴⊥BC 平面PAB .

(2)∵⊥BC 平面PAB 且⊂AE 平面PAB ，∴AE BC ⊥，又∵AE PB ⊥，且B PB BC = ，∴⊥AE 平面PBC .

(3)∵⊥AE 平面PBC ，∴PC AE ⊥，又∵PC AF ⊥，且A AF AE = ，∴⊥PC 平面AEF ．

21. 证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，

∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 又),10(<<==λλAD AF AC AE

∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，

∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.