一道三角形面积最小值的计算

来路、思路、出路

——一道求三角形面积最小值问题

题目：如图，已知点P （2，3），过点P 的直线l 交y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B.求△ABC 的面积s 的最小值.

来路：由三角形面积公式可知，12

s OA OB =⋅，观察图象，A 、P 、B 三点共线，当OB 增大时，OA 减小.反之，当OB 减小时，OA 增大.若设点A 的坐标为（0，b ），则由A （0，b ）、P （2，3）两点坐标用待定系数法可求得直线l 的解析式为32

b y x b -=+.进而可求出点B 的坐标为（23b b -，0），因此2

12233

b b s b b b =⨯⋅=--.从中可看出s 是b 的函数.但遗憾的是此函数模型并非初中学生所熟悉的，因此解题至此陷入困境.

思路：当解决问题受阻时，不防退一步，从特殊情形出发（赋值法）.

设4b =，则2

41643

s ==-； 设5b =，则2

512.553

s ==-； 设6b =，则2

61263

s ==-； 设7b =，则2

712.2573

s ==-…… 此时，我们便可猜想：当4b =时，s 最小为12.

我们再反过来思考：

若s =16，则2

163

b b =-，去分母后解得14b =，212b =.结合图象思考，就是当△ABC 的面积为16时，对应的直线l 有两种位置，即过点（0，4）或过点（0，12）；

若s =12，则2

123

b b =-，去分母后解得126b b ==.结合图象思考，就是当△ABC 的面积为12时，对应的直线l 只有一种位置情况，即过点（0，6）.结合图象分析△ABC 的面积变化情况可知，s 只有最小值，没有最大值.当s 为最小值时，直线l 对应的位置是唯一的，而非最小值时，直线l 对应的位置有两个.因此，s 的最小值应为12.

出路：由以上探究可知，s 与b 是相互关联的，即2

3

b s b =-.又直线l 与两数轴的正半轴有交点A 、B ，显然30b ->，因此有230b sb s -+=.对于此方程，我们可以作以下理解：

（1）s 表示△ABC 的面积，b 表示直线l 与y 轴交点的纵坐标，即表示直线l 的位置；

（2）s 作关于b 的一元二次方程的系数，它保证该方程有实数解；

（3）我们要求s 的最小值.

基于以上思考与认识，于是我们找到以下解题出路:

解：设点A 的坐标为（0，b ），因为直线l 经过点P （2，3）和点A （0，b ），所以直线l 的解析式为32b y x b -=+.当0y =时，得23b x b =-，即B （23

b b -，0）. 所以△ABC 的面积2

12233

b b s b b b =⨯⋅=--. 因为直线l 与两数轴的正半轴有交点A 、B ，所以30b ->，因此，去分母并整理可得230b sb s -+=.又因为关于b 的一元二次方程有实数解，所以2()4130s s ∆=--⨯⨯≥，解得12s ≥(0s ≤舍去)，因此，所求△ABC 的面积s 的最小值为12.