4[1].1.1实数基本概念及化简(数的开方)

内容 基本要求

略高要求

较高要求

平方根、算术平方根 了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根

会用平方运算求某些非负数的平方根

立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方根运算求某些数的立方根 实数 了解实数的概念

会进行简单的实数运算

二次根式及其性质 了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件

会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值

板块一 平方根、立方根、实数

实数可按下图进行详细分类：

0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪

⎪⎪⎪

⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪

⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩

正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数与数轴上的点一一对应.

(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”．

算术平方根：

一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）

一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥. 中考要求

知识点睛

数的开方

平方根的计算：

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．

通过验算我们可以知道：

⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有2(0)

||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

注意二者之间的区别及联系．

⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之间，即：120a a a ≤<<利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．

立方根的定义及表示方法：

如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表“3a ”，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的“a ”其实省略了根指数“2”，即：2a 也可以表示为a .

3

a 读作“三次根号a ”，2a 读作“二次根号a ”，a 读作“根号a ”. 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.

立方根的计算：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

通过归纳我们可以知道：

⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．

⑵33a a =，33()a a =

⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 它的立方根也介于31a 和32a 之间，即33312a a a << 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．

一、实数的概念

【例1】 在实数0120.1235，，

中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【例2】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）

例题精讲

输出y

输入x

A ．8 B

． C

． D

．

【例3】

【巩固】说明边长为1

。

【例4】 下面有四个命题：

①有理数与无理数之和是无理数． ②有理数与无理数之积是无理数． ③无理数与无理数之和是无理数． ④无理数与无理数之积是无理数．

请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。

【巩固】已知在等式

ax b

s cx d

+=+中，a b c d ，，，

为有理数，x 是无理数。 （1）当a b c d ，，，满足什么条件是，s 是有理数？ （2）当a b c d ，，，满足什么条件是，s 是无理数？

【例5】 若

a b a b +-是不等于1的有理数，求证：a

b

为有理数。

【巩固】已知a b ，是两个任意有理数，且a b <，问是否存在无理数α，使得a b α<<成立？

二、数的开方

【例6】 |9|-的平方根是（ ）

A ．81

B ．3±

C ．3

D ．3-

【例7】 下列命题中，真命题是（ ）

A ．22001的平方根是2001

B ．49-的平方根是7±

C 8=±

D ．若22a b =

【例8】 若A =

A 的算术平方根是_________。

【例9】 判断下列各题，并说明理由

9±． ( )

( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( )

5=，则5a =-. ( )

3=±. ( ) ⑹6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺2(6)-的平方根是6-．

( )

⑻若236x =，则6x =±. ( )

⑼若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾算术平方根一定是正数． ( ) ⑿2a -没有算术平方根． ( ) ⒀64的立方根是4±．

( ) ⒁12-是1

6

-的立方根．

( )

x =． ( ) ⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根．

( )

【例10】 设a a 的值是________。