相似理论(风洞实验技术)

34
定理的证明
基本量
q1, q2, ,qk 的单位变为原来的
11 1 , ,...,
a1 a2 ak
q '1 a1q1, q '2 a2q2 ,......, q 'k ak qk
q ' a a a ......a q 1,k1 2,k1 3,k1
k 1
1
2
3
k ,k1
k
k 1
......
x yl x y l Cl
t t
Ct
vx vx
vy vy
v Cl v Ct
Cv
fx f x
fy f y
g g
Cg
p p Cp
C
C
代入式(3-19)得
25
C Cv Ct
vx t
C Cv2 Cl
vx
vx x
vy
vx y
C
Cg
f
x
Cp Ct
p x
CvC Cl2
x
2
vx x
20
现象1
F m dv dt
现象2
F ' m dv dt
比例关系
F F
CF
CF Ct F m dv
CmCv
dt
m m Cm
CFCt 1 CmCv
v v Cv
Ft F t 常数 mv mv
t t
Ct
Ne Ft 牛顿数 mv
牛顿数是相似准则，相 似现象相似准则相等
Ne Ne
21
vy x
3.两个相似现象，式(3-15)和式(3-14)形式应该相同，故 式(3-15)各项中，相乘号前面的由相似常数组合而成的相似系 数应为1，可得
27
Cl 1 CvCt
CgCl 1 Cv2
Cp 1
C
C
2 v
C 1 CvC Cl
(3-21) (3-22) (3-23) (3-24)
3 1 1 1 0 0 0 0 1 0
由此可判定可作为这群物理量的基本物理量。
17
求法2
3 1 1 1 0 1 1 2
• 量纲矩阵
1 0
0 1
0 0
11
1 0
0 1
0 0
11
0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
1 0
0 1
0 0
11
1 0
0 1
0 0
11
0 0
1 0
0 0
11
1.单值条件 物性条件：物体的状态和性质，如空气的粘 性系数，热导率等。 几何条件：发生现象的空间几何形状和大小。 时间条件：现象的初始条件，现象的定常性、 非定常性。 边界条件：同周围介质相互作用的条件，即 边界的流动情况和边界的性质等
4
2.单值条件相似
单值条件成比例称为单值条件相似。
l1 l1'
l2 l2'
l3 l3'
3.两个物理现象相似
(3-1)
两个同一类物理现象，如果在对应点上对应 瞬时所有表征现象的相应物理量都保持各自固 定的比例关系（如果是向量还包括方向相同）， 则两个物理现象相似。
4.两个流场相似
两个流场的对应点上对应瞬时所有表征流动 状况的相应物理量都保持各自固定的比例关系 （如果是向量还包括方向相同），则两个流场 相似。
5. 热传导方程
6. 焓和内能的关系方程 等是
共计10个方程
23
例3-3 由纳维－斯克斯方程（N-S方程）导出相似准则。
vx
t
vx
v x x
vy
v x y
fx
p x
x
2
v x x
2 3
v x x
v y y
（3-19）
y
v x y
v y y
24
2.列出相应物理量成比例的关系式 比例系数法
31
六、常用相似准则的物理意义
St
l vt
Fr v lg
Ma v a
Re vl
cp
cv
Pr
cp
32
积分类比法的概念和应用
惯性力
v2 / l
非定常惯性力 v / t
重力场彻体力 g
弹性力
=p/l
粘性力
v / l2
非定常惯性力/惯性力 惯性力/重力
v/t v2 / l
l vt
St
v2 / l v （Fr）2 g lg
惯性力/弹性力 惯性力/粘性力
v2 / l
p/l
v2
p
（M
）2
a
v2 / l v / l2
vl
Re
33
§3－2 定理与量纲分析
一、 定理
设有一群有量纲量，其中 q0，q1, q2 ,, qn之间存
在函数关系
q0 f q1, q2 ,, qk , qk1,qn
相似理论
3-1 相似与相似定理 3-2 定理与量纲分析 3-3 相似理论的实际应用
1
相似理论
学习本章后应掌握： 1．相似的有关概念，包括：单值条件、单值条
件相似、物理现象相似和流场相似。 2．量纲的基本概念，包括：量、量纲、单位；
基本量、基本量纲、基本单位和导出量、导出 量纲、导出单位；物理方程的量纲一致性原理； 基本量的判别方法。 3．相似准则的定义和导出。 4．相似定理和Π定理。 5．相似理论对实验研究的指导意义和应用
22
五、方程分析法
步骤：
1.列出物理方程；
2.列出各物理量成比例的关系式，并代入物理方程；
3.得出由相似常数组合而成的相似系数（相似指标）， 令其为1，整理可得相似准则。
流体力学的相似准则须由流体力学的流动控制方程按方 程分析法导出，这些方程包括：
1. 连续方程
2. 三个动量方程
3. 能量方程
4. 气体状态方程
C 21 1m
C222m
C2kkm
C
2m
C k1 1m Ck 22m Ckkkm Ckm
（3-12）有解的充要条件
(3-12)
C11 C12 ... C13 C21 C22 ... C23 0 Ck1 Ck 2 ... Ckk
(3 13)
14
由（3-11）
C111 C12 2 C1k k 0
2
相似理论
• 模型 指用来实现现象相似的模型，用其进行实验
时，能够再现原来现象的本质。 • 模型试验
能够再现原来现象的本质的、用模型进行的实 验。 原实物很大、变化非常缓慢的过程、难以控制 的现象适于模型试验
3
§3－1 相似与相似定理
一、相似的基本概念
将一个个别的物理现象从某类物理现象区别 开来所需的基本条件，称为单值条件。
9
8.物理方程的量纲一致性原理
• 在正确反映客观规律的物理方程中，因为只有同类的量才存在 相加减的问题，所以各项的量纲应该是一致的。
• 根据物理方程的量纲一致原理还可以来校核物理方程和经验公 式的正确性和完整性。
9.量纲矩阵和基本物理量的判别
设有一组物理量 q1, q2 ,, qk , qk1,qn , k n
C 21 1
C22 2
C2k k
0
C k1 1 Ck 2 2 Ckk k 0
(3-14)
因此
“量纲矩阵中对应的子行列式的值不为零” 是选取基本物理量的充分必要条件。
C11 C12 ... C13 C21 C22 ... C23 0 Ck1 Ck 2 ... Ckk
(3 13)
d又imqm
dim(q11m
q2 2
m
dimqm
dim(G1Cm1
GCm 2
2
dim(q11m
q2 2
m
qkm k
)
dim
(G1C11
GC12 2
得出
qkm k
)
G ) Cmk k
G ) C1k 1m k
(G G Ck1 Ck 2
1
2
(3-10) (3-11)
G Ckk k
)km
13
C111m C122m C1k km C1m
11
q1
q2 … qn
G1
C 11
C 12 … C 1
G2
C 21
C 22 … C 2
…
… … …
Gk
C
C2 … C
(3-9)
12
基本物理量的选择:完备性和无冗余性
（1）dim
qm
dim(q11m
q 2 m 2
q km k
)
（2）
dim(
q 1 1
q2 2
由（3-10）
q 3 k
)
G10G20
G30不成立
a1
1 q1
, a2
1 q2
,
, ak
1 qk
则现在基本量均为1，其余n+1-k个量为无量纲 量，整理后
q 'n
a 1,n 1
a 2 ,n 2
a 3 ,n 3
......akk
,n
qn
q '0
a 1,0 1
a 2 ,0 2
a 3,0 3
......akk
,0
q0
单位制改变，物理关系不变
q '0 f q '1, q '2 , , q 'k , q 'k1, q 'n
k n
35
定理的证明（续）
a1, a2, , ak 可任意选定，令
2 3
vx x
vy y
y
vx y
vy x
等式两边同乘以 Cl /(CCv2 ) 得
26
Cl CvCt
vx
t
vx
vx x
vy
vx y
Cg Cl Cv2
f
x
Cp C Cv2
p x
(3-15)
C CvC Cl
x
2
vx x
2 3
vx x
vy y
y
vx y
这些物理量中包括了k个基本量纲 G1,G2 ,,Gk ,则任
一物理量 q m 1, , n 的量纲可写为
dim q
G1 1
G2 2
G
(3-7)
10
即
Biblioteka Baidudimq1
G1
G 11 2
21
G
1
dimq 2
G1
G 12 2
22 G
2
dimq G1 1 G 2 2 G
(3-8)
通常把上列量纲公式中的量纲指数排列成如下形式 的量纲矩阵 ，
30
参考变量法
选择长度、速度、 时间、温度、粘性、压力、质量力、 热传导率、定压比热的参考量分别为
l, V , t0 , T , , p , f , ， cp (3-23)
将所有物理量表示成一个无量纲量乘以参考量代入
流动方程，即可得到方程项前的系数是相似准则或
他们的组合
(3-24)
课外自修 （作业），用上述方法求3-3和3-4题 并比较异同
vl
10 0
1
v 01 0 1
l 00 1 1
• 左端变为单位子阵，则为该现象的基本物理量
18
三、相似准则
由若干个物理量组合而成，能够表征或判定两 个现象是否相似的无量纲量叫做相似准则。
例3-2 如图所示，2个物体受力作相似运动，推导 保证其运动相似的相似准则。
19
物体 1
物体 2
图 3-2 物体受力运动
四、相似定理
1.相似正定理：“相似的现象，其同名相似准则的数值 相同”。——特征和标志
1. 几何相似为前提，对应点对应瞬时同类量保持各自的 比例关系；
2. 相似现象，方程式必为同一形式； 3. 可以导出若干相似准则； 4. 同名相似准则是相等的
2.相似逆定理：“两个现象的单值条件相似，而且由单 值条件组成的同名相似准则的数值相同，则这两个现象 相似”。——相似判据
15
例3-1 有一组物理量 ，，l 和，试判断 ， ，可否作为基本物理量。
dim L3M
dim v LT 1
解: 已知 dim l L
dim L1MT 1
列出量纲矩阵
v l
L -3 1 1 -1
M 10 0
1
T 0 -1 0 -1
16
由于 , v,l 对应的子行列式的值不等于零，即
28
由式(3-16)整理可得斯特劳哈尔数
l St vt
(3-20)
由式(3-17)整理可得弗劳德数
Fr v lg
(3-21)
由式(3-18)，并引用
p RT
a RT '
(3-22)
29
可得马赫数
Ma v a
由式(3-19)整理可得雷诺数
(3-23)
Re vl
(3-24)
例3-4 由粘性流动的能量方程推导相似准则 课外自修 （作业）
k n （3-25）
其中有一组基本量，则这个函数关系必能化为无量纲 q'n
a1,n 1
a2,n 2
a3,n 3
......akk ,n
qn
形式
0 f 1,1,,1, k1, n
(3-26)
qm
m
1m 2 m
km
q q q 1 2
k
m 0, k 1, k 2, n
（看教材证明P23-24）
2.基本量与导出量 3.基本单位与导出单位 4.量纲
被测量物理量的种类称为该物理量的量纲。 5.基本量纲与导出量纲
L，M，T， 6.量纲式和量纲指数
基本量纲
任一物理量的量纲可写成基本量纲的幂的乘积 表达式
dimq L1 M 2T 3 4 量纲式(3-6) 7
注意： （1）量纲式没有加减运算 （2）导出量纲由基本量纲借助定义和物理定律得出 （3）同类量量纲相同，不同量也可能具有相同的量纲
5
（1）几何相似
l l'
Cl
（2）运动相似 （3）动力相似
v v'
Cv
F F'
CF
力多边形几何相似 （4）热力学相似
（5）质量相似
T T ' CT
'
C
(3-1) (3-2) (3-3)
(3-4) (3-5)
6
二、关于量纲的基本概念
1.物理量：可以定性区别并能定量确定的现象和 物体的属性。
例如，功和力矩，L2MT-2 气体常数和比热，L2T-2Θ-1
8
7.有量纲量和无量纲量 一个量的量纲式中，只要有一个量纲指数不为
零，则该量为有量纲量。若所有量纲指数都为零， 则该量为无量纲量。
注意： （1）无量纲量可以是两个同类量的比值，也可以是由几个有量 纲量通过一定的乘除组合而成。 （2）无量纲量不同于纯数字，它仍有物理量的特征和品质。 （3）有量纲量随所选用的单位制不同而改变其数值（即与测量 单位的比值），而无量纲量则不会随选用的单位制不同而改变 其数值。