数值计算课后答案

习 题 四 解 答

1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。 解：根据已知条件，有

设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为

1

01

1a b a b e -⨯+=⎧⎨⨯+=⎩ 解之得11

1a e b -⎧=-⎨=⎩

则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为

(1)(2)

(2)011

()()()()()

(1)!

1()()2!1

()()()2!1

(0)(1)((0,1))2n r x f x p x f x n f x f x x x x e x x ξξπξπξξ+-=-=+=

=--=--∈

所以

01

0101

()max max (1)

2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=⨯⨯=。

2、给定函数表

i x

()i f x

选用合适的三次插值多项式来近似计算f 和f 。

解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为

23012323

012323

01232301

23(0.1)(0.1)(0.1)0.9950.30.30.30.995

0.70.70.70.7651.1 1.1 1.10.454

a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧+⨯-+⨯-+⨯-=⎪+⨯+⨯+⨯=⎪⎨+⨯+⨯+⨯=⎪⎪+⨯+⨯+⨯=⎩ 即

012301230123

123012312301230.10.010.0010.9950.10.010.0010.9950.30.090.0270.9950.40.080.02800.70.490.3430.7650.80.480.344 1.761.1 1.21 1.3310.454a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=-+-=⎧⎪+++=++=⎪⇒⎨

+++=++=⎪⎪+++=⎩12301231232330.40.720.9880.3110.10.010.0010.9950.40.080.02800.320.288 1.760.384 3.831a a a a a a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++=-⎩

-+-=⎧⎪++=⎪⇒⎨

+=⎪

⎪-=-⎩

解之得 01

230.416.293.489.98

a a a a =⎧⎪=-⎪⎨

=-⎪⎪=⎩ 则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。 所以

2323

(0.2)0.41 6.290.2 3.480.29.980.20.91

(0.8)0.41 6.290.8 3.480.89.980.8 1.74f f =-⨯-⨯+⨯=-=-⨯-⨯+⨯=-

3、设(0,1,2,,)i x i n =是 n+1个互异节点，证明： （1）0()(0,1,2,

,)n

k k i i i x l x x k n ===∑；

（2）0

()()0(0,1,2,

,)n k i i i x x l x k n =-==∑。

证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()n

n i i i p x l x y ==∑，

而y i =x i k ,

所以0

()()()n

n

k n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑

同时，插值余项

(1)(1)11

()()()()()()0(1)!(1)!

n k n k n r x x p x f x x x n n ξξππ++=-=

==++

所以0

()n

k k i i i l x x x ==∑

结论得证。

（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=

对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =，则对应的插值多项式为

0()()()n

k n i i i p x x t l x ==-∑，

由余项公式，得

(1)

(1)011

()()()()()()()()0(1)!(1)!

n

n k

k n k

i i i r x x t x t l x f x x t x n n ξ

ξππ++==---=

=-=++∑所以

()()()n

k

k i i i x t x t l x =-=-∑

令t=x ，

()()0n

k

i

i

i x x l x =-=∑

4

、给定数据（()f x =

x

f(x)

(1)试用线性插值计算f 的近似值，并估计误差；

(2)试用二次Newton 插值多项式计算f 的近似值，并估计误差。 解：用线性插值计算f ，取插值节点为和，则相应的线性插值多项式是

1.54919 1.48320

() 1.48320( 2.2)

2.4 2.2

1.483200.32995(

2.2)

p x x x -=+--=+- 用x=代入，得

(2.3) 1.483200.32995(2.3 2.2) 1.450205f ≈+⨯-= (2)

根据定理2，

f(x)＝f(x 0)＋f[x 0，x 1](x-x 0)+f[x 0，x 1，x 2](x-x 0)(x-x 1)+…

+f[x 0，x 1，…，x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n －1)

+f[x 0，x 1，…，x n ，x]π(x) 。 以表中的上方一斜行中的数为系数，得 f ＝＋ × × × ＝ 指出： 误差未讨论。 5、给定函数表

x 0

1

2

4

5 y

16

46

88

试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项。