数列综合运用(学生用卷,精品)

数列综合运用

1. 已知−7，a 1，a 2，−1四个实数成等差数列，−9，b 1，b 2，b 3，−1五个实数成等比

数列，则b 2(a 2−a 1)=( )

A. 6

B. −6

C. ±6

D. 9

8

2. 数列{a n }满足：a n ={(3−a)n −3,n ⩽7

a n−6,n >7

且{a n }是递增数列，则实数a 的范围是

( )

A. (9

4,3)

B. [9

4,3)

C. (1,3)

D. (2,3)

3. 已知正项等比数列{a n }，向量a ⃗ =(a 3,−8)，b ⃗ =(a 7,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则log 2a 1+

log 2a 2+⋯+log 2a 9=( )

A. 12

B. 16

C. 18

D. 6+log 25

4. 数列{a n }中，首项a 1=2，且点(a n ,a n+1)在直线x −y =2上，则数列{a n }的前n 项

和S n 等于( )

A. 3n −1

B. −n 2+3n

C. 3n +1

D. n 2−3n

5. 已知等比数列{a n }中，公比为q ，a 2=3，且−1，q ，7成等差数列，又b n =log 3a n ，

数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 9( )

A. 36

B. 28

C. 45

D. 32

6. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5⋅a 6=27，则log 3a 1+log 3a 2+⋯+

log 3a 10=______．

7. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 7=√3，b 7=

5π3

，则

cos

b 4+b 10a 3a 11−1

=______．

8. 已知数列{a n }满足|a n −

a n+12

|≤1

2,n ∈N ∗，若a 7=127，则a 1的取值范围是______．

9. 在各项均为正数的等比数列{a n }中公比q ∈(0,1)，若a 3+a 5=5，

a 2⋅a 6=4，

b n =log 2a n ，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S

1

1

+S 22

+⋯+

S n n

的最大值为_______

10. 已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q ∈N ∗，有a p+q =a p +a q

(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；

(Ⅱ)若数列{b n }满足：a n =b 12+1

−b 222+1+b 323+1−b 424+1+⋯+(−1)n−1b

n

2n +1(n ∈N ∗)求数列{b n }的通项公式；

(Ⅲ)设c n =3n +λb n (n ∈N ∗)，是否存在实数λ，使数列{c n }是递增数列，若存在，

求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

11.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n

a n+3

(n∈N∗)．

(1)求{a n}的通项公式a n；

(2)数列{b n}满足b n=(3n−1)⋅n

2n

⋅a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式

(−1)nλ

2n−1

对一切n∈N∗恒成立，求λ的取值范围．

12.已知数列{a n}满足a1=1，，其中n∈N∗．

(1)设，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式．

(2)设，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n<1

c m c m+1

对于n∈N∗，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明

13.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n．

(1)证明数列{a n

2n

}是等差数列，并求出a n；

(2)求S n；

(3)令b n=S n

3n ，若对任意正整数n，不等式b n

27

恒成立，求实数m的取值

范围．

14.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=(√2)b n(n∈N∗).若{a n}为等比数列，且a1=

2，b3=6+b2．

(Ⅰ)求a n和b n；

(Ⅱ)设c n=1

a n −1

b n

(n∈N∗).记数列{c n}的前n项和为S n．

(i)求S n；

(ii)求正整数k，使得对任意n∈N∗均有S k≥S n．

15.若数列{a n}满足1

3a1+1

5a2

+1

7a3

+⋯+1

(2n+1)a n

=n

2n+1

．

(1)求{a n}的通项公式；

(2)若b n=a n+1

2a n

，数列{b n}的前项和S n.对于任意n∈N+，均有(3n+4)m≥(2n−

5)(16

9

−S n)⋅2n恒成立，求m的取值范

16.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S n+1=4a n+2(n∈N∗)，

(1)设数列{b n}满足b n=a n+1−2a n，求证：数列{b n}是等比数列；

(2)求数列{a n}的通项公式和前n项和公式；

(3)不等式(λ−n+1

3n−4

)⋅3n−2a n>0对任何的n∈N∗恒成立，求实数λ的范围．

17.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足S n+b n+1=b n2,n∈N∗.

(1)若b n=2n，且S m=8，求正整数m的值；