安徽省自主招生试题

1. 14．（安徽省合肥一中自主招生）已知：甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N 两

地同时出发相向而行，其中甲到达N 地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象．

（1）试求线段AB 所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了4.5 h ，求乙车的速度；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．

2. 15．（安徽省合肥一中自主招生）如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC

上画一条直线，若这条直线既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”．

（1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；

（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；

（3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．

3. 16．（安徽省合肥一中自主招生）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝

y h

图1 y h 图2

A

B C 图2

A

B 图1

4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）．

（1）若点P 以43

cm/s 的速度运动

①当PQ ∥AB 时，求t 的值；

②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．

（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB

相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由．

4. 17．（安徽省蚌埠二中自主招生）青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损

失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令，一分队立即出发前往距营地30千米的A 镇；二分队因疲劳可在营地休息a （0≤a ≤3）小时再前往A 镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A 镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路。已知一分队的行进速度为b 千米/时，二分队的行进速度为（4＋a ）千米/时．

（1）若二分队在营地不休息，要使二分队在最短时间内赶到A 镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？

（2）若b ＝4千米/时，二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几小时？

5. 18．（安徽省蚌埠二中自主招生）如图1、2是两个相似比为1:2的等腰直角三角形，

B A

C B 备用图

将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．

（1）在图3中，绕点D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC 、BC 交于点E 、F ，如图4．

求证：AE 2＋BF 2＝EF 2；

（2）若在图3中，绕点C 旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与AB 交于点E 、F ，如图5，此时结论AE 2＋BF 2＝EF 2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，满足△CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE 、AF 分别与对角线BD 交于M 、N ，试问线段BM 、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． ；

B 图2 A

C B 图3 A C

D D 图1

B 图4 A

C

D

E F

B 图5

A C D E F

B A

C

D

E

F M N