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特殊的平行四边形专题(题型详细分类)

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特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

特殊平行四边形知识归纳和题型精讲（总7页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--内页可以根据需求调整合适字体及大小-特边形和常见题型精讲矩形菱形正方形的性质和判定总表形方正性质等相角对对角线毎对且组勿分平平直线相对互条角直形直形相是边是边线角四角四角个行个行对三平一平条有；是有；是两・•角•且角•且等ttr•形•一•条形形矩菱是是■■T一・矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）•矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质：（具有平行四边形的一切特征）性质1：矩形的四个角都是直角.性质2:矩形的对角线相等且互相平分. 如图，在矩形ABCD中，可以得到直角三角形的一个性质：：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形的刿J定方法.方法仁对角钱相等的平行四边形是矩形.方法2：有三个角是直角的四边形是矩形.方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形.方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.例1已知：如图，矩形ABCD, AB长8 cm ,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A 到BD的距离AE的长.例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF丄AE于F,若AE二BC.求证：CE = EF.例3.如图，已知矩形。

中，F是肋上的一点，F是肋上的一点,EF1EQ且匪EC, QF4c叫矩形SBC。

的周长为32cm,求的长.例4、如图，力ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点 F.(1)求证：AB二CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时,二.菱形菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角；菱形的判定方法仁对角线互相垂直的平行四边形是菱形.方法2:四边都相等的四边形是菱形.EAD=2D点作OEA.A B,垂例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E. 求证：ZAFD=ZCBE.例2已知：如图OABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于E 、F.求证：四边形AFCE 是菱形.例3、如图，在 ABCD 口 中，0是对角线AC 的中点，过点0作AC 的垂线与边AD 、BC 分别 交于E 、F,求证：四边形AFCE 是菱形.匸例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M,若AB 二AE, Z 求证：AM 二BE 。

特殊平行四边形重点题型

特殊平行四边形重点题型

特殊平行四边形重点题型一、题型概述特殊平行四边形是初中数学中经常出现的一个重要概念，它具有特殊的性质，常用于解决几何问题。

本文将介绍特殊平行四边形的定义、性质以及解题方法，并通过一些典型题目进行分析和讲解。

二、特殊平行四边形的定义特殊平行四边形是指具有特殊性质的平行四边形，包括矩形、正方形、菱形和长方形。

下面将逐个介绍这些特殊平行四边形的定义。

1.矩形矩形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-两对相对边长度相等；-对角线相等且相互平分。

2.正方形正方形是一种特殊的矩形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-所有边长相等；-对角线相等且相互平分。

3.菱形菱形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有边长相等；-对角线相等且相互平分。

4.长方形长方形是一种特殊的矩形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-两对相对边长度相等；-对角线相等且相互平分。

三、特殊平行四边形的性质特殊平行四边形具有一些独特的性质，这些性质是解决几何问题的重要依据。

下面将详细介绍这些性质。

1.矩形的性质-矩形的对角线相等且互相平分；-矩形的内角均为直角；-矩形的邻边互相垂直；-矩形的任意两边长度相等。

2.正方形的性质-正方形的对角线相等且互相平分；-正方形的内角均为直角；-正方形的任意两边长度相等。

3.菱形的性质-菱形的对角线相等且互相平分；-菱形的内角不一定为直角；-菱形的邻边互相垂直。

4.长方形的性质-长方形的对角线相等且互相平分；-长方形的内角均为直角；-长方形的邻边互相垂直。

四、特殊平行四边形的解题方法解决特殊平行四边形的问题，通常需要运用它们的特殊性质。

下面将介绍一些常见的解题方法。

1.利用对角线性质对于特殊平行四边形的问题，我们经常可以利用对角线的性质来解题。

例如，求特殊平行四边形的面积，可以先求出对角线的长度，然后利用面积公式计算。

2.利用内角性质特殊平行四边形的内角性质也是解题中常用的方法。

特殊平行四边形专题含答案

特殊平行四边形专题含答案

特殊平行四边形专题一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝______；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝_______；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．特殊平行四边形专题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．解：∵四边形形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，又∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS）．∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，∵F是BD的中点，∴BF＝DF，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（AAS）；（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，∴BE＝DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG是平行四边形，∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝BE，∴四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，同理可得△BFC≌△DFC，可得BF＝DF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．解：（1）证明：∵正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形不能是平行四边形．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO 的面积．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5，∵S△ABD＝AB•AD＝BD•AE，∴3×4＝5AE，∴AE＝，∵AC＝BD＝5，∴AO＝AC＝，∵AE⊥BD，∴OE＝＝＝，∴△AEO的面积＝＝．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE＝BC，∵AB＝BC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD＝DF，∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，∴DG＝2．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝5；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝＝＝5；故答案为：5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+＝，综上，DE的长是或．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝CD，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝4，∴BD＝AE＝4．在Rt△BAD中，O为BD中点，∴AO＝BD＝2．∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠EAO＝∠OAD+∠DAE＝45°+45°＝90°，∴OE＝2．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝3；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AD＝6，F为AB边中点，∴EF＝AB＝AD＝3．故答案为：3；（2）延长EF交DA于G，∵AD∥BC，∴∠G＝∠FEB，∠GAB＝∠B，∵AF＝BF，∴△AGF≌△BEF（AAS），∴GF＝EF，∵DF⊥EF，∴DG＝DE，∴∠ADF＝∠EDF；（3）设BE＝x，则AG＝x，则DE＝DG＝6+x，∵AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2，AE2＝DE2﹣AD2＝（x+6）2﹣62，∴62﹣x2＝（x+6）2﹣62，解得x＝﹣3±3，∴BE＝﹣3+3，∴DE═﹣3+3+6═3+3．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E、点F分别是OB、OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝OE，∴AC＝EF，∴四边形AECF为矩形；（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，∴△OAE是等边三角形，∠OF A＝∠OAF＝30°＝∠ABO，∴AE＝OA，AF＝AB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴AE＝OA＝AB＝，∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵BF＝CF，∴DF＝EF＝BC．（2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD，∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°，∴∠EFD＝60°，∵EF＝DF，∴△EFD是等边三角形，∵EF＝BC＝3，∴△DEF使得周长为9．（3）∵EC＝BF，BF＝CF，∴EC＝BC，∴cos∠BCE＝，∴∠ECB＝45°，∵BC＝6，∴EB＝EC＝3，∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴AE＝×3＝，∴AB＝BE+AE＝3+，在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝，∴S四边形EFDA＝S△EDF+S△ADE＝×32+×××＝3+．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．。

专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)

专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC②过点O作关于BC的对称点【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）C．6D．5A．B．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴BE ==故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A B C D ．【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE =即PB ＋PC 故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=42，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF为AE的长，由12AB=类型二、翻折型最值问题【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE 224225+=D 'B ＝25．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】353-【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：22226335AE AD DE =+=+=353AE EC '-=，∴AC '的最小值为353．类型三、旋转型最值问题例1．如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF =，连接EF ，DE ，DF ，并将DEF 绕点D 逆时针旋转90︒得到DMN （点M ，N 分别为点E ，F 的对应点）．连接CN ，则线段CN 长度的最小值为_____________．【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=在正方形ABCD 中，6AB =，E 为BC 中点，∴132CE BC ==，∵90EDM ∠=︒，∴90EDC CDM ∠+∠=︒，又90EDC DEC ∠+∠=︒，∴DEC CDM ∠=∠，例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴6,3,EC BC BE EJ CJ =-===,∴CG =CJ +GJ =2+.∴CG 的最小值为2+.故答案为：2.【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG 的角平分线上运动，作点C 关于勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为 将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，EF DE ∴⊥，EF DE =，90DEA FEG DEA ADE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADE FEG ∴∠=∠，又90DAE FGE ∠=∠=︒ ，(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC是等腰直角三角形，=，AD BC∴⊥，BD CD∴∠=∠=︒．90ADB ADC四边形DEFG是正方形，∴=．DE DG在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，GOK DOE ∠=∠ ，90OKG ODE ∴∠=∠=︒，EA BG ∴⊥．（3）①如图③，当旋转角为270︒时，BG AE =，此时AE 的值最大．2BC DE == ，中，如图②中，在BDG∴-≤≤+，2112BG∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF类型四、PA+KPB型最值问题3A ．27B ．23【答案】C 【分析】连接AC 与EF 相交于∵四边形ABCD 是菱形，∴OAE OCF ∠=∠，∵,AOE COF AE CF ∠=∠=，A．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，G∴是AEFGH△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到>=-AH AM MH–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC 作D A CD '''⊥，使A∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+∴()()22232326EE '=+=．故答案为：26．【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C。

第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册

第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册

《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。

部编数学八年级下册专题06特殊平行四边形的两种考法全攻略(解析版)含答案

部编数学八年级下册专题06特殊平行四边形的两种考法全攻略(解析版)含答案

专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略类型一、最值问题例1．（将军饮马）如图，在菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +PE 的最小值为（ ）A ．2B C ．1D ．0.5由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、∴1602ABD ABC Ð=Ð=°，PE PB PE +=即DE 就是PB PE +的最小值，例2．（中点模型）如图，矩形,2,4ABCD AB BC ==，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为（ ）A ．2B ．2C 1D ．【答案】A 【详解】如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，Q 矩形ABCD ，2AB =，4BC =，2CD AB \==，4AD BC ==，例3．（截补模型）如图，在Rt ABC △中，90C =o ∠，2AC BC ==，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的动点．且BD CE =，连接AD 、BE ，则AD BE +的最小值为______．∵90ACB Ð=°，AC =∴90FBD ACB Ð=Ð=∵BD CE =，∴(SAS BDF CEB ≌△△AC=，以BC为对角线作正方形BDCE，连例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点A，B，C，4AB=，3接AD，则AD的最大值是______．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，84AB AD ==，，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是___________．当点F 与点C 重合时，点P 在1P 当点F 与点E 重合时，点P 在2P ∴PP EC ∥且1PP CE =．【变式训练2】如图，已知线段12AB =，点C 在线段AB 上，且ACD V 是边长为4的等边三角形，以CD 为边的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为_______________．【答案】6【详解】∵ACD V 为等边三角形，∴AC AD =，60DAC Ð=°，∵四边形DCFE 是矩形，点M 是DF 的中点，∴DM ＝CM ，【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，边长2AB =，点Q 是边CD 的中点，点P 是线段AC 上的动点，则DP PQ +的最小值为 _____．【变式训练4】如图，在菱形ABCD 中，10AB =，16AC =，点M ，N 在AC 上，且2MN =，连接BM ，DN ，则BM DN +的最小值为 ______【变式训练5】如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为_____．类型二、动点问题例1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平－向点D运动，面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程28160-+=的根．点P从点B出发，沿BC CDx x-向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个同时点Q从点E出发，沿EB BC△的面积为单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，AQPS．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；△是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．(3)当AQP由题意得：EQ t =，2BP t =，∴2AQ AE EQ t =+=+，2BQ t =-，2222222(2)44,(2)(2)AQ t t t PQ BP t t \=+=+++=-+2544t t =-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2244544t t t t ++=-+，解得0=t (舍去)或2，∴4BP =，∴当0t 2££，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()44P ，；②24t <£时，如图：由题意得：EB BQ t +=，2BC CP t +=，∴2BQ t BE t =-=-，6CQ BC BE t t =+-=-，224CP t BC t =-=-，282PD BC CD t t =+-=-，22224(2)AQ AB BQ t \=+=+-2420t t =-+2222(6)PQ CQ CP t =+=-22(24)52852t t t +-=-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2242052852t t t t -+=-+，解得2t =(舍去)或4，∴0DP =，∴()04P ，；∴当24t <£，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()04P ，，综上所述，当AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，点P 的坐标为()44，或()04，例2.如图，在长方形ABCD 中，4AB =，3BC =，点E 为AD 延长线上一点，且6AE =，点P 从点A 出发，沿A —B —C —D 向终点D 运动．同时点Q 从点B 出发，沿B —C —D —E 向终点E 运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设APQ △的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．(1)当2t =时，S = ；当72t =时，S = ．(2)当07t <£时，用含t 的代数式表示S ．直接写出结果并化简．(3)当点P 在CD 边上，且APQ △为等腰三角形时，直接写出t 的取值或者范围．【变式训练1】如图，在ABCD Y 中，ABC Ð为锐角，5AB =，9BC =，36ABCD S =Y ．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A B C D A ®®®®运动．同时，动点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度沿A D C B A ®®®®运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．(1)点P 在BC 上运动时，CP =_____________；点P 在CD 上运动时，CP =_____________．（用含t 的代数式表示）(2)点P 在CD 上，PQ BC ∥时，求t 的值．(3)当直线PQ 平分ABCD Y 的面积时，求t 的值．(4)若点Q 的运动速度改变为每秒a 个单位．当972t << ，ABCD Y 的某两个顶点与P 、Q 所围成的四边形为菱形时，直接写出a 的值．【变式训练2】如图，长方形ABCD 中，AD BC ∥，90B Ð=°，104AD BC cm AB cm ===，，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿B A D ®®的方向，向终点D 运动；动点Q 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿B C ®的方向向终点C 运动．以PQ 为边向右上方作正方形PQMN ，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P Q 、同时出发，运动时间为t 秒0t （＞）．(1)当04t ＜＜时，AP ＝______（用含t 的代数式表示）；(2)当点N 落在AD 边上时，求t 的值；(3)当正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S （用含t 的代数式表示）；(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．如图3，当M 点运动到D 点处时，∵10214CQ t CQ PM PM t ===-﹣，，，∴2014t t -=-（1），解得6t =，∴当6t =时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形，∴46t ££时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；如图4，当Q 点运动与C 点时，10t =，此时正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；∴610t ＜＜时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形，如图5，【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．(1)当点P在BC边上时，BP＝，CP＝．（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为．(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为．(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为．【答案】(1)t，9﹣t(2)0＜t≤9或13≤t＜22(3)1或7或6.5当点P 在线段BC 上时，CP =MP =9-t ，PH =t -4，MH =4，∵△MPH 是直角三角形，∴2222MH PH PM CP +=＝即()()222449t t -=+-，∴t ＝4.9，当点P 在线段AD 上时，同法可得PM ＝CPCP =MP =18-t ，DP =t -13，CD =4∵△CDP 是直角三角形，∴2222CD DP PM CP +=＝即()()22241318t t =+--，∴t ＝13.9．综上所述，满足条件的t 的值为4.9或13.9．故答案为：4.9或13.9．。

特殊平行四边形知识点总结及题型

特殊平行四边形知识点总结及题型

特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形是几何学中的重要概念，它包括矩形、菱形和正方形。

这些特殊平行四边形具有一些独特的性质和特征，它们在几何学、晶体学和工程学等领域都有广泛的应用。

本文将总结特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、定义1、矩形：一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

2、菱形：一个内角为锐角的平行四边形叫做菱形。

3、正方形：内角均为直角的平行四边形叫做正方形。

二、性质1、对边平行且相等。

2、对角线互相平分且相等。

3、四个内角均为90度。

4、邻角互补。

5、对角线与邻边组成的三角形为等腰直角三角形。

三、判定方法1、矩形 (1) 内角为直角。

(2) 对边平行且相等。

2、菱形 (1) 内角为锐角。

(2) 对边平行且相等。

3、正方形 (1) 内角均为直角。

(2) 对边平行且相等。

四、典型题型1、求特殊平行四边形的角度和周长。

2、证明特殊平行四边形的性质和判定方法。

3、解决与特殊平行四边形相关的实际问题。

五、扩展知识1、空间几何中的特殊平行四边形，如空间双面平行四边形等。

2、立体几何中的特殊平行四边形，如平行六面体等。

3、相关知识点，如三角函数、向量等在特殊平行四边形中的应用。

总之，特殊平行四边形是一个具有丰富内容和广泛应用的知识点。

理解和掌握这些特殊形状的特点和性质，对于解决相关问题以及进一步学习几何学、物理学等学科都具有重要意义。

希望读者通过阅读本文，能够对这些特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型有更深入的理解和掌握，为进一步学习打下坚实的基础。

平行四边形知识点总结平行四边形知识点总结一、定义平行四边形是一种几何图形，具有两条相互平行的对边和两条对角线。

它是人类生活中常见的形状，具有广泛的应用价值。

二、性质1、平行四边形的对边平行且相等。

2、平行四边形的对角相等。

3、平行四边形的内角和为360度。

专题04 特殊的平行四边形压轴题型汇总(解析版)

专题04 特殊的平行四边形压轴题型汇总(解析版)

专题04 特殊的平行四边形压轴题型汇总一、单选题1．（2021·临沂第九中学）如图，在□ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．【详解】解：∵O为BD的中点，∵OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∵DC//AB，∵∵CDO＝∵EBO，∵DFO＝∵OEB，∵∵FDO∵∵EBO（AAS），∵OE＝OF，∵四边形DEBF为平行四边形，故A选项不符合题意，若AE＝3.6，AD＝6，∵3.6365AEAD==，又∵63105ADAB==，∵AE ADAD AB=，∵∵DAE＝∵BAD，∵∵DAE∵∵BAD，压轴题型汇总1∵∵AED＝∵ADB＝90°．∵四边形DEBF为矩形．故B选项不符合题意，∵AB＝10，AE＝5，∵BE＝5，又∵∵ADB＝90°，AB＝5，∵DE＝12∵DE＝BE，∵四边形DEBF为菱形．故C选项不符合题意，∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，∵AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．2．（2021·河南八年级期末）如图，菱形ABCD的边长是8，对角线交于点O，⊥ABC=120°，若点E是AB的中点，点M是线段AC上的一个动点，则BM+EM的最小值为（）A．4B．C．8D．16【答案】B【分析】连接DE交AC于M，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B和D关于AC对称，则MD = MB，ME十MB=ME+MD≥DE，即DE就是ME十M B的最小值．【详解】解：连接DE交AC于M，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则MD = MB，ME 十MB =ME +MD ≥DE ，即DE 就是ME 十MB 的最小值，∵∵ABC =120°，∵BAD = 60°，AD ＝ AB ＝8，∵ABD 是等边三角形，∵点E 是AB 的中点，∵AE = BE ＝4，DE ∵AB (等腰三角形三线合一的性质)，在Rt ∵ADE 中，由勾股定理可得： DE =，故选：B ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用，解题的关键确定M 的位置． 3．（2021·连云港市新海实验中学）如图，在Rt ABC 中，⊥ACB =90°，BC =2，⊥BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到⊥A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点， 连接PM ，则线段PM 的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接PC ，∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==，∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==， ∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线，故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．（2021·山东济宁学院附属中学九年级）如图，矩形纸片ABCD ，6cm AB =，8cm BC =，E 为边D 上一点，将BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM BE ⊥，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =（ ）cm ．A ．5B ．6C ．245D ．【答案】A【分析】 连接AC ，MC ，可求得M 为CF 的中点，根据中位线的性质可得12MN AC =，勾股定理求得AC 即可．【详解】解：连接AC ，MC由折叠的性质可得CF EB ⊥，CE EF =又∵FM BE ⊥∵点M 在线段FC 上，90EMF EMC ∠=∠=︒又∵ME ME =∵()EMF EMC HL △≌△∵FM MC =又∵AF 的中点N∵MN 为ACF 的中位线 ∵12MN AC =在Rt ACB 中，10cm AC =∵5cm MN =故选A【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角形中位线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．5．（2021·珠海市九洲中学）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ∠=︒，则下面的结论：①ODC △是等边三角形；②2BC AB =；③AOB BOC S S =△△；④AOE COE S S =，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】 由矩形的性质得OA ＝OD ＝OC ＝OB ，再证∵ACD ＝60°，得∵ODC 是等边三角形，故①正确；然后由含30°角的直角三角形的性质得AC ＝2AB ，则2AB ＞BC ，故②错误；然后由OA ＝OC得AOB BOC S S =△△，AOE COE SS =，故③④正确．【详解】 解：∵四边形ABCD 是矩形，∵AD //BC ，∵BAD ＝∵ABC ＝∵ADC ＝90°，OA ＝OC ，OD ＝OB ，AC ＝BD ，∵OA ＝OD ＝OC ＝OB ，∵AE 平分∵BAD ，∵∵DAE ＝45°，∵∵CAE ＝15°，∵∵DAC ＝45°−15°＝30°，∵∵ACD ＝90°−∵DAC ＝90°−30°＝60°，∵OD ＝OC ，∵∵ODC 是等边三角形，故①正确；∵AD //BC ，∵∵ACB ＝∵DAC ＝30°，∵∵ABC ＝90°，∵AC ＝2AB ，∵2AB ＞BC ，故②错误；∵OA ＝OC ，∵AOB BOC S S =△△，AOE COE SS =，故③④正确；故答案为：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA ＝OD ＝OC 是解题的关键．6．（2021·西安市铁一中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，()4,4P ，A 、B 分别是x 轴正半轴、y 轴正半轴上的动点，且ABO 的周长是8，则P 到直线AB 的距离是（ ）A ．4B ．3C ．2.5D ．2【答案】A【分析】 构造正方形DPCO ，将∵PA 'C 沿PA'折叠得到∵PA 'E ，再证明∵PB 'D ∵∵PB 'E ，得到''A B O 的周长等于8，于是∵A 'B'O 即∵ABO ，故可得到P 到直线AB 的距离为PE =4，即可求解．【详解】如图，∵()4,4P∵构造正方形DPCO ，边长等于4，故PD =PC =4将∵PA 'C 沿PA'折叠得到∵PA 'E ，延长A'E 交y 轴于点B'，∵PC =PE ，A 'C =A 'E ，∵PCA'=∵PEA'=90°，∵PD =PE又∵PDB'=∵PEB'=90°，PB'=PB'∵∵PB 'D ∵∵PB'E （HL ）∵B 'D =B'E∵''A B O 的周长等于A 'O +OB'+A 'B'=A'O +B'O +B'E +A'E = A 'O +B'O +B'D +A 'C =OC +DO =8故∵A 'B 'O 符合题意中的∵ABO ，∵P 到直线AB 的距离为PE =4故选A ．【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造正方形，利用全等三角形的性质求解．7．（2021·浦江县教育研究和教师培训中心）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE BF ⊥，交点为G ，CH BF ⊥，交BF 于点H ．若CH HG =，1CFH S =△，那么正方形的面积为（ ）A ．15B ．20C ．22D ．24【答案】B【分析】 根据AE BF ⊥，利用同角的余角相等得出EAB FBC ∠=∠，再根据AAS 即可证出ABG BCH ≌△△，得BG CH =，设CH x =，算出BC ，设FH 为y ，分别在CFH △和CFB 中使用勾股定理得12y x =，再由1CFH S =△得2x =，即可求出正方形的面积．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠=∠=︒， AE BF ⊥，90ABC ∠=︒，90BAE GBA ∴∠+∠=︒，90FBC GBA ∠+∠=︒，BAE CBF ∴∠=∠，CH BF ⊥，90BHC AGB ∴∠=︒=∠，在ABG 与BCH 中，BGA BHC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABG BCH AAS ∴△≌△，BG CH ∴=，设CH x =，则HG BG x ==，2BH x ∴=，BC ∴，设FH 为y ，CH BF ⊥，在CFH △中，22222CF FH CH x y =+=+，在CFB 中，22222(2)5CF BF BC x y x =-=+-，2222(2)5x y x y x ∴+=+-， 解得：12y x =， ∴211124CFH S FH CH x =⋅==△，2x ∴=（舍负），∴正方形的面积为2220BC ==．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，分别在CFH △和CFB 中使用勾股定理是本题的关键．8．（2021·四川绵阳市·中考真题）如图，在等腰直角ABC 中，90C ∠=︒，M 、N 分别为BC 、AC 上的点，50CNM ∠=︒，P 为MN 上的点，且12PC MN =，117BPC ∠=︒，则ABP ∠=（ ）A ．22︒B ．23︒C ．25︒D ．27︒【答案】A【分析】作辅助线，构建矩形，得P 是MN 的中点，则MP ＝NP ＝CP ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．【详解】解：如图，过点M 作MG ∵BC 于M ，过点N 作NG ∵AC 于N ，连接CG 交MN 于H ，∵∵GMC＝∵ACB＝∵CNG＝90°，∵四边形CMGN是矩形，∵CH＝12CG＝12MN，∵PC＝12MN，存在两种情况：如图，CP＝CP1＝12MN，①P是MN中点时，∵MP＝NP＝CP，∵∵CNM＝∵PCN＝50°，∵PMN＝∵PCM＝90°−50°＝40°，∵∵CPM＝180°−40°−40°＝100°，∵∵ABC是等腰直角三角形，∵∵ABC＝45°，∵∵CPB＝117°，∵∵BPM＝117°−100°＝17°，∵∵PMC＝∵PBM＋∵BPM，∵∵PBM＝40°−17°＝23°，∵∵ABP ＝45°−23°＝22°．②CP 1＝12MN ，∵CP ＝CP 1，∵∵CPP 1＝∵CP 1P ＝80°，∵∵BP 1C ＝117°，∵∵BP 1M ＝117°−80°＝37°，∵∵MBP 1＝40°−37°＝3°，而图中∵MBP 1＞∵MBP ，所以此种情况不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，作出辅助线构建矩形CNGM 证明P 是MN 的中点是解本题的关键．9．（2021·四川绵阳市·中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（ ）A ．1B C D ．2【答案】C【分析】 由正方形的性质得出DC CB =，90DCE CBF ∠=∠=︒，由ASA 证得DCE CBF △≌△，即可得出答案．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，90FBC DCE ∴∠=∠=︒，3CD BC ==，∵在Rt DCE 中，30∠=︒CDE ，12CE DE ∴=， 设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得：222DC CE DE +=，即2223(2)x x +=，解得：x =， 3CE ，DE CF ⊥，90DOC ∴∠=︒，60DCO ∴∠=︒，906030BCF CDE ∴∠=︒-︒=︒=∠，DCE CBF ∠=∠，CD BC =，()DCE CBF ASA ∴△≌△，BF CE ∴=故选：C ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30角的直角三角形的性质等知识，证明DCE CBF △≌△是解题的关键．10．（2021·河南濮阳县·八年级期中）如图，AD 是ABC 的中线，过点A 作//AM BC ，在AM 上截取AE DC =，连接CE ，则下列命题中，假命题是（ ）A ．若AB AC =，则四边形ADCE 是矩形B ．若AD 平分BAC ∠，则四边形ADCE 是矩形C ．若ABC ∠与ACB ∠互余，则四边形ADCE 是菱形D ．若222AB BC AC +=，则四边形ADCE 是菱形【答案】D【分析】先推出四边形ADCE 是平行四边形，结合等腰三角形的性质，可得AD ∵BC ，进而即可判断A ；过点D 作DG ∵AB ，DH ∵AC ，推出ABC 是等腰三角形，进而可判断B ，根据直角三角形的性质，可判断C ；先推出ABC 是直角三角形且∵B =90°，进而判断D ．【详解】解：∵//AM CD ，AE DC =，∵四边形ADCE 是平行四边形，∵当AB AC =时，AD 是ABC 的中线，∵AD ∵BC ，即∵ADC =90°，∵四边形ADCE 是矩形，故A 是真命题；∵当AD 平分BAC ∠，过点D 作DG ∵AB ，DH ∵AC ，∵DG =DH ，∵AD 是ABC 的中线，∵BD =CD ，∵BDG CDH ≌（HL ），∵∵ABC =∵ACB ，∵ABC 是等腰三角形，∵AD ∵BC ，即：∵ADC =90°，∵平行四边形ADCE 是矩形，故B 是真命题；∵ABC ∠与ACB ∠互余，即ABC ∠+ACB ∠=90°，∵ABC 是直角三角形，∵AD 是ABC 的中线，∵AD =12BC =DC ，∵平行四边形ABCD 是菱形，故C 是真命题；∵当222AB BC AC +=时，∵ABC 是直角三角形且∵B =90°，∵AD 是ABC 的中线，∵AD ≠12BC =DC ，∵四边形ABCD 不是菱形，故D 是假命题【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形，菱形的判定定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形，菱形的判定定理是解题的关键．11．（2021·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，正方形ABCD的面积为s，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C D．s【答案】A【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边∵ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为s，可求出AB的长，从而得出结果．【详解】解：连接BD，设BE与AC交于点F，连接PD∵点B与D关于AC对称，∵PD=PB，∵PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为s，∵AB又∵∵ABE是等边三角形，∵BE=AB∵故选：A．此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P 的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P 的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题12．（2021·哈尔滨市第四十七中学八年级月考）ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，若5AB =，8AC =，6BD =，则DCO 的周长为________．【答案】12【分析】首先由勾股定理的逆定理证明∵AOB 为直角三角形，从而得到AC ∵BD ，然后根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形判定进而解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC ＝8，BD ＝6，∵AO ＝4，BO ＝3，∵AB ＝5，∵AB 2＝AO 2＋BO 2．∵∵OAB 是直角三角形．∵AC ∵BD ．又∵四边形ABCD 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形．∵∵DCO 的周长＝CD ＋OC ＋OD ＝5＋4＋3＝12，故答案为：12【点睛】 本题主要考查的是菱形的判定、平行四边形的性质等知识，掌握勾股定理的逆定理的应用、菱形的判定是解题的关键．13．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）在矩形ABCD 中，12AB =，7BC =，点E 在CD 边上，点F 在AB 边上，连接EF 、DF ，若3CE DE =，EF =DF 的长为_______．【分析】根据矩形的性质及勾股定理的应用对该问题进行分类讨论，分点E 在点G 的左边和点E 在点G 的右边讨论．【详解】解：如图所示，作FG DC ⊥于点G ，则90FGC ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，12,90DC AB B C ∴==∠=∠=︒，∴四边形FGCB 为矩形，7FG BC ∴==， 5EF =1EG ∴==， 3CE DE =，1112344DE DC ∴==⨯=， 314DG DE EG ∴=+=+=，DF ∴==如图，作FG DC ⊥于点G ，则90FGC ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，12,90DC AB B C ∴==∠=∠=︒，∴四边形FGCB 为矩形，7FG BC ∴==， 5EF =1EG ∴==， 3CE DE =，1112344DE DC ∴==⨯=， 312DG DE EG ∴=-=-=，DF ∴【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关的性质定理，利用分类讨论的思想进行求解．14．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边向外作等边CDE △，BE 与AC 相交于点M ，则AMB ∠的度数是________°．【答案】60【分析】易得ABM ∆与ADM ∆全等，AMD AMB ∠=∠，因此只要求出15CBE ∠=︒的度数即可．【详解】解：连接DM ，四边形ABCD 是正方形．AB AD ∴=，BAM DAM ∠=∠．又AM=AMABM ∴∆与ADM ∆全等．AMD AMB ∴∠=∠．CB CE =，CBE CEB ∴∠=∠．9060150BCE BCD DCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，15CBE ∴∠=︒．45ACB =︒∠，60AMB ACB CBE ∴∠=∠+∠=︒．故答案为：60．【点睛】此题考查正方形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等，解题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．15．（2021·江苏姑苏区·苏州市振华中学校）如图，矩形ABCD 中，2AC AB =，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB C D '''，使点B 的对应点B '落在AC 上，在'B C '上取点F ，使'B F AB =．则'FBB ∠的度数为_________°．【答案】15【分析】连接BB '，根据矩形的性质及旋转的性质得到90ABC AB C ''∠=∠=︒，AB AB '=，由已知条件及直角三角形的性质得到BB AB B C AB '''===，可证ABB '是等边三角形，再由已知证明B F BB ''=，最后由等腰三角形的性质求解即可．【详解】如图，连接BB '，∵四边形ABCD 是矩形，∵∵ABC =90°，由旋转的性质可知：90ABC AB C ''∠=∠=︒，AB AB '=，∵AC =2AB ，∵2AC AB AB B C '''==+，∵AB B C ''=，∵∵ABC =90°，∵BB AB B C AB '''===，∵ABB '是等边三角形，∵60AB B '∠=︒，∵150BB F '∠=︒，∵B F AB '=，∵B F BB ''=，∵15B BF B FB ''∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟练运用各性质及判定定理进行推理是解题的关键．16．（2021·重庆实验外国语学校）如图，在矩形ABCD 中，点E 是线段AB 上的一点，AE AB <，DE CE ⊥，将BCE 沿CE 翻折，得到FCE △，连接DF ，若3AD =，10AB =，则线段DF 的长度为______．【分析】过点F 作FH CD ⊥，根据矩形和折叠的性质得到FEC BEC GCE ∠=∠=∠，从而得到G 为CD 的中点，求得EG 、FG 的长度，勾股定理求得GC ，等面积法求得FH ，勾股定理即可求得DF ．【详解】解：过点F 作FH CD ⊥，如下图：在矩形ABCD 中，10CD AB ==，3AD BC ==，//CD AB ，90B ∠=︒ ∵BEC GCE ∠=∠由折叠的性质可得：3CF BC ==，FEC BEC ∠=∠，90GFC B ∠=∠=︒ ∵FEC BEC GCE ∠=∠=∠∵=EG CG又∵DE CE ⊥∵90DEC ∠=︒∵90,90GEC DEG GDE DCE ∠+∠=︒∠+∠=︒∵GDE DEG ∠=∠ ∵152DG GE GC CD ====，即G 为CD 的中点在Rt GFC 中，由勾股定理得4FG = 1122GFC S FC FG GC FH =⨯=⨯△得125FC FG FH GC ⨯==由勾股定理得165GH =415DH DG GH =+=由勾股定理得DF【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．17．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校八年级期中）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，AF AE ⊥交CD 延长线于点F ，2BE =，EFD BAE ∠=∠，则BG =_________．【答案】2+【分析】先证明∵EAF 是等腰直角三角形，过点E 作EH ∵BC 于点E ，交BD 于点H ，证明∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°，得到EG =HG =BE =2，即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 中，AF ∵AE ，∵∵BAD =∵EAF =90°，AB =AD ，∵∵BAE+∵EAD =∵DAF+∵EAD =90°，∵∵BAE =∵DAF ，又∵∵ABE =∵ADF =90°，∵∵BAE ∵∵DAF (ASA )，∵AE =AF ，∵∵EAF 是等腰直角三角形，∵∵AEF =∵AFE =45°，过点E 作EH ∵BC 于点E ，交BD 于点H ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∵∵HBE =45°，∵∵HBE 是等腰直角三角形，且BE =EG =2，∵HB BE∵EH ∵BC ，∵EFD =∵BAE ，∵∵FEC =∵AEB ，∵∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°，∵∵BHE =∵HEG +∵HGE =45°，∵∵HEG =∵HGE =22.5°，∵HG =HE =BE =2，∵BG故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°．18．（2021·苏州高新区实验初级中学八年级月考）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5AB =，12AC =，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是______．【答案】30613AM < 【分析】首先连接AP ，由在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，可证得四边形AEPF 是矩形，即可得AP EF =，即2=AP AM ，然后由当⊥AP BC 时，AP 最小，可求得AM 的最小值，又由AP AC <，即可求得AM 的取值范围．【详解】解：连接AP ，PE AB ⊥，PF AC ⊥，90AEP AFP ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，∴四边形AEPF 是矩形，AP EF ∴=，90BAC ∠=︒，M 为EF 中点，1122AM EF AP ∴==， 在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，5AB =，12AC =，13BC ∴=，当⊥AP BC 时，AP 值最小， 此时115121322BAC S AP ∆=⨯⨯=⨯⨯，6013AP ∴=， 即AP 的范围是6013AP， 60213AM ∴， AM ∴的范围是3013AM ，AP AC <，即12AP <，6AM ∴<， ∴30613AM <． 故答案为：30613AM <． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意当⊥AP BC 时，AP 最小，且AP AC <．三、解答题19．（2021·吉林德惠市·七年级期末）如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，4AB =， 1.5AE =，DAE △逆时针旋转后能够与DCF 重合．（1）旋转中心是哪一点，旋转角为多少度？（2）请你判断DFE △的形状，并说明理由；（3）求四边形ABFD 的面积．【答案】（1）点D ，90°；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）19【分析】（1）依据DAE △逆时针旋转后能够与DCF 重合，即可得到旋转中心以及旋转角的度数；（2）根据旋转可得DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，即可得到DFE △是等腰直角三角形； （3）根据旋转的性质可得ADE CDF ≌，再由CDF ABCD ABFD S S S =+△正方形四边形即可得到答案．【详解】解：（1）DAE △旋转后能与DCF 重合，∴旋转中心是点D ，四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，∴旋转角为90︒；（2）DFE △是等腰直角三角形．理由如下：根据旋转可得DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，所以DFE △是等腰直角三角形．（3）四边形ABCD 是正方形，90A BCD ∴∠=∠=︒，4AD AB ==，4416ABCD S =⨯=正方形，根据旋转可得：ADE CDF ≌，90DCF DAE ∴∠=∠=︒，180DCF BCD ∴∠+∠=︒，114 1.5322CDF ADE S S AD AE ∴==⋅=⨯⨯=△△， 16319CDF ABCD ABFD S S S ∴=+=+=△正方形四边形．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，掌握“旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等”是解题的关键．20．（2021·海南海口市·）如图1，在正方形ABCD 中，点P 是线段BC 上一个动点（与点B 、C 不重合），将线段AP 绕着点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连接DE ，过点D 作//DF EP ，交AB 于点F ，交AP 于点G ，连接FP ．（1）求证：①ABP DAF ≅△△；②四边形PEDF 是平行四边形；（2）如图2，点M 是BC 延长线上一点，当点P 在线段BC 上运动时，求证：点E 始终在DCM ∠的角平分线上．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）点E 始终在DCM ∠的角平分线上，见解析．【分析】（1）由正方形的性质得出AB DA =，90B DAF ∠=∠=︒，推出//DF EP ，证得BAP ADF ∠=∠，根据ASA 即可证得答案；（2）由全等三角形的性质可得AP DF =，等量代换可得DF PE =，再根据平行四边形的判定定理即可证得答案；（3）过点E 作EH DC ⊥于点H ，EI BM ⊥于点I ，先证明四边形CIEH 是矩形，根据AAS 证ABP PIE ≅，得到AB PI =，BP IE =，再通过证四边形CIEH 是正方形．即可证得答案．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∵AB DA =，90B DAF ∠=∠=︒．∵90APE ∠=︒，//DF EP ，∵90AGD ∠=︒，∵ADF DAP BAP DAP ∠+∠=∠+∠，∵BAP ADF ∠=∠，∵()ASA ABP DAF ≅．②由ABP DAF ≅△△，可知AP DF =．∵AP PE =，∵DF PE =．∵//DF EP ，∵四边形PEDF 是平行四边形．（2）如图，过点E 作EH DC ⊥于点H ，EI BM ⊥于点I ，则90EHC CIE ∠=∠=︒，∵90HCI ∠=︒，∵四边形CIEH 是矩形．∵90APE ∠=︒，∵90APB EPI ∠+∠=︒，∵90PEI EPI ∠+∠=︒，∵APB PEI ∠=∠．∵90B PIE ∠=∠=︒，AP PE =，∵()AAS ABP PIE ≅．∵AB PI =，BP IE =．∵AB BC =，∵BC PI =，即BP PC CI PC +=+，∵BP CI =，∵IE CI =，∵四边形CIEH 是正方形．∵点E 始终在DCM ∠的角平分线上．【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握三角形全等的判定和性质，正方形的判定与性质以及平行四边形、矩形的判定是解题的关键．21．（2021·新余市第一中学九年级）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且BE CF =，连接AE 、BF ，其相交于点G ，将BCF △沿BF 翻折得到BC F '△，延长FC '交BA 延长线于点H ．（1）求证：AE BF =；（2）若3AB =，2EC BE =，求BH 的长．【答案】（1）见解析；（2）5．【分析】（1）根据正方形的性质得到BA BC =，90ABC BCD ∠=∠=︒，利用SAS 定理证明ABE BCF △△≌，根据全等三角形的性质证明结论；（2）根据折叠的性质得到C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，证明HB HF =，根据勾股定理列式计算即可．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴△≌△，AE BF ∴=；（2）解：3BC AB ==，2EC BE =，2EC ∴=，1BE =，1C F CF ∴'==，由折叠的性质可知，C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，90C FB C BF ∠'+∠'=︒，90HBF FBC ∠+∠=︒，C FB HBF ∴∠'=∠，HB HF ∴=，312HC HF C F HB C F AH AH ∴'=-'=-'=+-=+，在Rt HBC '△中，222HB C B C H ='+'，即222(3)3(2)AH AH +=++，解得：2AH =，5BH AH AB ∴=+=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．22．（湖北省黄冈市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，中点四边形EFGH 是 ．（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，⊥APB ＝⊥CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使⊥APB ＝⊥CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状（不必证明）．【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形【分析】（1）连接BD ，根据三角形中位线定理证明EH ∵FG ，EH =FG ，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）证明∵APC∵∵BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；（3）证明∵EHG=90°，利用∵APC∵∵BPD，得到∵ACP=∵BDP，即可证明∵COD=∵CPD=90°，再根据平行线的性质证明∵EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．【详解】解：（1）如图1，连接BD，∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∵EH∵BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∵FG∵BD，FG=12 BD，∵EH∵FG，EH=GF，∵中点四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）结论：四边形EFGH是菱形，理由：如图2，连接AC，BD．∵∵APB=∵CPD，∵∵APB+∵APD=∵CPD+∵APD，即∵APC=∵BPD，在∵APC和∵BPD中，AP BP APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵APC ∵∵BPD （SAS ），∵AC =BD ，∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∵EF =12AC ，FG =12BD ， ∵EF =FG ，由（1）知中点四边形EFGH 是平行四边形，∵平行四边形EFGH 是菱形；（3）结论：四边形EFGH 是正方形，理由：如图2，设AC 与BD 交于点O ．AC 与PD 交于点M ，∵∵APC ∵∵BPD ，∵∵ACP =∵BDP ，∵∵DMO =∵CMP ，∵∵COD =∵CPD =90°，∵EH ∵BD ，AC ∵HG ，∵∵EHG =∵DOC =90°，由（2）知中点四边形EFGH 是菱形，∵菱形EFGH 是正方形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线． 23．（2021·吉林梅河口市·八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的点，ABE △沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．（1）如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是_______；（2）如图2，当E是AD的中点，G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F．①求证：BF AB DF=+；②若AD=，试探索线段DF与FC的数量关系．【答案】（1）正方形；（2）①见解析；②CF=DF，理由见解析【分析】（1）先根据有三个角是直角得四边形ABGE是矩形，根据折叠的性质和矩形的性质可以得到AE=BG=AB，从而得四边形ABGE是正方形；（2）①连接EF，在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∵A＝∵C＝∵D＝90°，由∵ABE沿BE折叠得到∵GBE，可得BG＝AB，EG＝AE＝ED，∵A＝∵BGE＝90°，进而可证∵EGF∵∵EDF，由此求解即可；②设AB＝DC＝a，则DF＝b，在Rt∵BCF中，由勾股定理可得4ab＝2a²，进而可得2=，CD DF =．则DF FC【详解】解：（1）正方形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∵∵A＝∵ABC＝90°，由折叠得：∵BGE＝∵A＝90°，∵ABE＝∵EBG＝45°，AB=BG∵四边形ABGE是矩形，∵AE=BG=AB，∵矩形ABGE是正方形；故答案为：正方形；（2）①证明：如图，连接EF，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∵A ＝∵C ＝∵D ＝90°，∵E 是AD 的中点，∵ AE ＝ DE ，∵∵ABE 沿BE 折叠得到∵GBE ，∵BG ＝ AB ， EG ＝ AE ＝ ED ，∵A ＝∵BGE ＝90°，∵∵EGF ＝∵D ＝90°，在Rt ∵EGF 和Rt ∵EDF 中，∵EG ＝ED ，EF ＝EF ，∵∵EGF ∵∵EDF （HL ）∵GF =DF ，∵BF =BG +GF =AB +DF ；②DF FC =，理由如下设AB ＝DC ＝a ，DF ＝b ，∵AD ＝BC ，由①得：BF ＝AB ＋DF ，∵BF ＝a ＋b ，CF ＝a -b ，在Rt ∵BCF 中，由勾股定理得：222BC B F F C =+，∵())()222a b a b +=+-，∵4ab ＝2a ²，∵a ≠0，∵2b ＝a ，∵2DF=CD ，∵CF CD DF DF =-=．【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质与判定，折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．1．如图，正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 中点，两个动点M 和N 分别在边CD 和AD 上运动，且1MN =，若ABE △与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，则DM =（ ）A ．13BC ．13或23D 【答案】D【分析】根据条件求出AE ，再根据相似三角形的性质求解即可；【详解】∵E 为BC 中点，∵1BE =．由勾股定理得，AE =当ABE MDN ∽时，AB AE DM MN =，即21DM =，解得5DM =；∽时，DM=同理，当ABE NDM∵DM．故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，准确计算是解题的关键．2．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则+的最小值为（）AP PEA B．C．D．【答案】B【分析】连接EC，PC，由AP＋PE＝PC＋PE≥EC得EC就是AP＋PE的最小值，求出EC即可．【详解】解：如图，连接EC，PC，∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC，∵EC就是AP＋PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，∵CD＝4cm，ED＝2cm，∵CE＝2225+=，ED CD cm∵AP＋PE的最小值是25cm．故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题，解决此题的关键是将AP＋PE转化为PC＋PE．3．如图是将正方形ABCD 和正方形CEFG 拼在一起的图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结BD ，BF ．若阴影部分BDF ∆的面积为8，则正方形ABCD 的边长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】 连接CF ，根据题意可得DB //CF ，再利用平行线之间的距离都相等可得：S ∵BDF =S ∵BDC =8，进而可得出边长．【详解】如图，连接CF ，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 都是正方形，∵∵BDC =45°，∵GCF =45°，∵∵BDC =∵GCF ，∵BD ∵CF ，∵S ∵BDF =S ∵BCD =8，∵S ∵BDF =BC ×BC ÷2=8．∵BC =4，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线、等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能根据平行线之间的距离相等进而得出三角形面积相等是解题的关键．4．如图，在矩形AOBC 中，()()4,0,0,2A B -，若正比例函数y kx =的图象经过点C ，则k 的值为（ ）A．2-B．12-C．52D．5【答案】B【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再将点C坐标代入解析式求解可得．【详解】解：∵A（−4，0），B（0，2）．∵OA＝4、OB＝2，∵四边形AOBC是矩形，∵AC＝OB＝2、BC＝OA＝4，则点C的坐标为（−4，2），将点C（−4，2）代入y＝kx，得：2＝−4k，解得：k＝12 -，故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式．5．在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，⊥ADM沿直线AM翻折后点D 落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（）A．B．C．9﹣D．6﹣【答案】C【分析】过点N 作NH ∵AD 于H ，先证明四边形NEDH 为矩形，得到HD =NE ，NH =DE ，根据ED =2EC ，ED +EC =CD =6，可以得到ED =HN =4，再利用勾股定理求出AH ，即可得到NE 的值，最后再直角三角形MNE 中用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，过点N 作NH ∵AD 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，AD =6∵AD =CD =6，∵D =90°，∵NE ∵CD ，NH ∵AD ，∵∵NED =∵NHD =∵NHA =90°，∵四边形NEDH 为矩形，∵HD =NE ，NH =DE ，∵ED =2EC ，ED +EC =CD =6，∵ED =HN =4，由翻折的性质可得AD =AN =6，DM =MN∵AH ==∵6NE DH ==-设DM =MN =x ，则ME =4-x ,则222MN NE ME =+,∵(()22264x x =-+-， 解得9x =-∵9DM =-故选C.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.6．在正方形ABCD 中，90AEB CFD ∠=∠=︒，3AE CF ==，8BE DF ==，则点E 、F 之间的距离是（ ）A．B．C ．5 D ．6【答案】A【分析】 由正方形的性质得出90BAD ABC BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，由SSS 证明ABE CDF ∆≅∆，得出ABE CDF ∠=∠，证出ABE DAG CDF BCH ∠=∠=∠=∠，由AAS 证明ABE ADG ∆≅∆，得出AE DG =，BE AG =，同理：3AE DG CF BH ====，8BE AG DF CH ====，得出EG GF FH EF ===，证出四边形EGFH 是正方形，即可得出结果．【详解】解：如图所示：四边形ABCD 是正方形，90BAD ABC BCD ADC ∴∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，90BAE DAG ∴∠+∠=︒，在ABE ∆和CDF ∆中，AB CD AE CF BE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE CDF SSS ∴∆≅∆，ABE CDF ∴∠=∠，90AEB CFD ∠=∠=︒，90ABE BAE ∴∠+∠=︒，ABE DAG CDF ∴∠=∠=∠，同理：ABE DAG CDF BCH ∠=∠=∠=∠，90DAG ADG CDF ADG ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90DGA ∠=︒，同理：90CHB ∠=︒，在ABE ∆和ADG ∆中，90ABE DAG AEB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE ADG AAS ∴∆≅∆，AE DG ∴=，BE AG =，同理：3AE DG CF BH ====，8BE AG DF CH ====，835EG GF FH EF ∴====-=，1809090GEH ∠=︒-︒=︒，∴四边形EGFH 是正方形，EF ∴=故选：A ．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等．7．如图，矩形ABCD 中，AE BD ⊥垂足为E ，若4DAE BAE ∠=∠，则EAC ∠的度数为（ ）A ．54°B ．45°C ．36°D ．18°【答案】A【分析】 由矩形的性质和已知条件得出OA =OB ，∵OAB =∵OBA ，∵BAE =15∵BAD =18°，再求出∵OAB ，即可得出∵EAC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵∵BAD =90°，OA =12AC ，OB =12BD ，AC =BD ，。

特殊平行四边形专题总结

特殊平行四边形专题总结

特殊平行四边形专题总结一、菱形（一）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（二）菱形的性质：1、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，每条对角线所在的直线都是菱形的对称轴，两条对角线的交点是菱形的对称中心；2、菱形的四条边相等3、菱形的对角线相互垂直（三）菱形的判定：1、对角线相互垂直的平行四边形是菱形2、四条边相等的四边形是菱形注意：1、菱形是特殊的平行四边形，因此菱形具有平行四边形的所有性质2、菱形的两个判定定理有着不同的适用范围，在应用是应要注意区分题型一：求与菱形有关的图形面积例1：已知BD是ABC∆的角平分线，DE//BC，交AB于点E.（1）如图一，求证：BED∆是等腰三角形；（2）如图二，在线段BC上取一点F，使四边形BFDE是菱形，连结EF交BD于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请写出与BEF∆面积一定相等的所有三角形（不包括BEF∆本身）。

1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB DH DB AC ⊥==，，68与点H ，则=DH （ ） 524.A 512.B 12.C 24.D题型二：综合运用菱形的性质与判定解题例2：如图，F E ,为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形。

（1）试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF 的周长为20，BD 的长为24，试求四边形ABCD 的面积。

2、如图，已知F E ,分别是平行四边形ABCD 的边AD BC ,的中点，且︒=∠90BAC（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若1035==BC AB ，,求菱形AECF 的面积。

题型三：与菱形有关的图形变换问题例3：如图，在ABC ∆和EDC ∆中，︒=∠=∠===09,DCE ACB CD CB CE AC ,AB 与CE 交于点F ，BC AB ED 、与分别交于H M 、.（1）求证：CH CF =；（2）如图2，ABC ∆不动，将EDC ∆绕点C 旋转到︒=∠45BCE 时，试判断四边形ACDM 是什么四边形，并证明你的结论。

特殊地平行四边形专题(题型详细分类)

特殊地平行四边形专题(题型详细分类)

特殊的平行四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：矩形 菱形 正方形性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形四边形分类专题汇总专题一：特殊四边形的判定【知识点】1.平行四边形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正方形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练一练】一．选择题1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（）A 、AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CD B 、AD ∥BC ，∠A ＝∠C C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 9.在下列命题中，真命题是（ ）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ）A 一组对边平行的四边形是平行四边形B 有一个角是直角的四边形是矩形C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

专题01 平行四边形(5种模型与解题方法)原卷版

专题01 平行四边形(5种模型与解题方法)原卷版

专题01 平行四边形（5种模型与解题方法）目录题型一：中点四边形题型二：正方形中的十字架模型题型三：四边形中的对角互补模型题型四：与正方形有关三垂线题型五：正方形与45°角的基本图题型一：中点四边形“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）（一）中点四边形一定是平行四边形1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形2.当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形3.当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一一．选择题（共5小题）1．（2023春•栖霞区校级期中）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA 的中点，要使四边形EFGH是菱形，那么至少应满足的条件是( )A ．AC BD ^B ．AC BD =C ．AB CD =D ．AD BC=2．（2023春•高港区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB CD =B ．AC BD ^C ．CD BC =D ．AC BD=3．（2023春•海州区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 只需要满足一个条件是( )A ．//AB CD B ．四边形是菱形C ．AC DB =D ．AD BC^4．（2023春•盱眙县期中）如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB CD =，下列结论：①四边形EFGH 是菱形；②EG FH ^；③若245BAD ADC Ð+Ð=°，则27.5EFH Ð=°；④1()2EG BC AD =-；其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是线段AD 、BD 、BC 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，需添加的条件是( )A ．AC BD =B ．AC BD ^C ．AB CD =D ．AB CD^二．填空题（共3小题）6．（2023春•大丰区期中）如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，顺次连结各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为 cm ．7．（2023春•梁溪区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ^，若12AC =，9BD =，则四边形ABCD 各边中点连线构成的四边形EFGH 的面积是= ．8．（2023春•苏州期中）如图，四边形ABCD 是边长为3的菱形，对角线8AC BD +=，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．则四边形EFGH 的面积为 ．三．解答题（共4小题）9．（2023春•徐州期中）如图，E 、F 、G 、H 为菱形ABCD 各边中点．（1）求证：四边形EFGH 为矩形；（2）若6EFGH S =四边形，则ABCD S =菱形 ．10．（2023春•靖江市期中）如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ^，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111A B C D 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C ，3D ¼¼以此类推，取11n n A B --，11n n B C --，11n n C D --，11n n D A --的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111A B C D 的面积是 ；②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n = ；③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积 ．11．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，连接AC 、BD ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．12．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；D和MCB（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且AMDD为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．题型二：正方形中的十字架模型一．选择题（共2小题）1．（2022春•海门市校级期中）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE DF =，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE BF =；（2）AE BF ^；（3）AO OE =；（4）AOB DEOF S S D =四边形中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，将边长为3的正方形ABCD 纸片沿EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，点D 与点H 重合，CG 与EF 交于点P ，取GH 的中点Q ，连接PQ ，则V GPQ 的周长最小值是（ ）A ．32+B C ．32+D ．92二．填空题（共2小题）3．（2023春•宿豫区期中）如图所示，将正方形ABOC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐-，则点A的坐标为 ．标为(2,3)Ð=°，4．（2023春•建邺区校级期末）如图，四边形ABCD，四边形AECF分别是菱形与正方形．若22BAE Ð= °．则D三．解答题（共2小题）5．（2022春•吴中区校级期中）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且=，连接BQ，AP．求证：BQ AP^．DQ CP6．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：^，垂足为M．那么AE与BF相如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE BF等吗？（1）直接判断：AE BF（填“=”或“¹”)；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE BF^，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点E在边CD上，且MN AE^，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接D沿着AN翻折，点H落在点H¢处．AN，将AHN①四边形AHNH¢是正方形吗？请说明理由；¢的最小值为 ．②若6=，直接写出PH ANBD BPAB=，点P在BD上，3题型三：四边形中的对角互补模型模型1:全等形一-90°对角互补模型模型2:全等形--120°对角互补模型模型 3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90°对角互补模型（后面会学到）一．选择题（共1小题）1．（2023春•金湖县期中）如图，AC 是ABCD Y 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，105D Ð=°，则BAC Ð是( )A ．25°B ．30°C ．45°D ．50°二．解答题（共3小题）2．（2020春•通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 ；画图：（2）如图1，在正方形网格中，线段AB 的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为顶点，AB 为边的等补四边形ABCD ；探究：（3）如图2，在等补四边形ABCD中，AB AD=，连接AC，AC是否平分BCDÐ？请说明理由．3．（2023春•分宜县期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；=，180（2）在“完美”四边形ABCD中，AB ADÐ+Ð=°，连接AC．B D①如图1，求证：AC平分BCDÐ；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分:ÐBCD想法一：通过180=，通过证明AEB ACDD@D，从而可证AC平Ð+Ð=°，可延长CB到E，使BE CDB D分BCDÐ；D，可证C，B，E想法二：通过AB AD=，可将ACDD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AEB三点在一条直线上，从而可证AC平分BCDÐ．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分BCDÐ；②如图2，当90Ð=°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．BAD4．（2021秋•丹阳市期末）四边形ABCD若满足180Ð+Ð=°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．A C（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且::2:3:4Ð的度数为 ；ÐÐÐ=，则AB C D（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，90=．BAD BCDÐ=Ð=°，AB AD求证：AC平分BCDÐ．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM BCD@D，得到ACMD是等=，连AM，可证明ABC ADM腰直角三角形，由此证明出AC平分BCDÐ，还可以知道CB、CD、CA三者关系为： ；=，试证明：（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60BADÐ=°，AB AD①AC平分BCDÐ；②CA CB CD=+；（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60=，则BA、BC、BD三者Ð=°，AD CDABC关系为： ．题型四：与正方形有关三垂线一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，四边形AFDC 是正方形，CEA Ð和ABF Ð都是直角，且E ，A ，B 三点共线，4AB =，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题2．（2023春·八年级课时练习）如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．三、解答题3．（2022春·广东东莞·八年级塘厦初中校考期中）四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图，求证：矩形DEFG 是正方形；（2）若AB＝4，CE＝CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．4．（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．（3）如图1，若AB，CF＝3，请直接写出DE的长．5．（2021春·山西·八年级统考期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EF DE^交直线BC 于点F ．（1）试猜想线段DE 与EF 的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,CE CD CF 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E 在线段CO 上时（不与点C ，O 重合），EF 交BC 延长线于点F ，保持其余条件不变，直接写出线段,,CE CD CF 之间的数量关系．6．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图1，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点（不与B 、C 重合），EF AE ^与正方形的外角DCG Ð的角平分线交于点F ．(1)求证：AE EF =．(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF 、BF ，BF 与AE 交于点H ，若正方形ABCD 的边长为4，则四边形ABFD 的面积是否随E 点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD 的面积．(3)在的（2）条件下，若4BCF S =△，求四边形AHFD 的面积．题型五：正方形与45°角的基本图一、填空题1．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 为边BC 和CD 上的动点（不含端点），MAN 45Ð=°，下列三个结论：①当MN 时，则22.5BAM Ð=°；②290AMN MNC Ð-Ð=°；③△MNC 的周长不变；④∠AMN －∠AMB ＝60°．其中正确结论的序号是________．二、解答题2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．（1）求证：B ，M 关于AE 对称；（2）若EFC Ð的平分线交AE 的延长线于G ，求证：AG =．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且45EAF Ð=°，连接EF ，探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且12EAF BAD Ð=Ð，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．连结DM 并延长交AE 的延长线于N ，求证：45AND Ð=°．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）在图1中，若G 在AD 上，且45GCE Ð=°，则GE BE GD =+成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：①如图2，在直角梯形ABCD 中，()//AD BC BC AD >，90B Ð=°，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE Ð=°，4BE =，求DE 的长．②如图3，在ABC V 中，45BAC Ð=°，AD BC ^，2BD =，3CD =，则ABC V 的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程）6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图正方形ABCD 的边OA 、OC 在坐标轴上，已知点()3,3B ．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连接AP 、AG ．（1）求PAG Ð的度数．（2）当OAG CPG Ð=Ð时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，45MAN Ð=°，MAN Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ^于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明V V ≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ¹时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN V 中，45MAN Ð=°，AH MN ^于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．8．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：四边形ABCD 为正方形，AMN D 是等腰Rt D ，90AM N Ð=°．（1）如图：当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．①试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．②若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF D 中AE 边上的高．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，将∠EAF 绕顶点A 旋转，角的两边始终与直线CD 交于点E ，与直线BC 交于点F ，连接EF ．。

特殊平行四边形专题训练

特殊平行四边形专题训练

专训一：矩形的性质与判定灵活运用名师点金：1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想) 1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定证明线段相等2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.(第2题)利用矩形的性质与判定判断图形形状3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.(1)判断△BEC的形状，并说明理由．(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断．(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知E是▱ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．(第4题)专训二：菱形的性质与判定灵活运用名师点金：1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定证明角的关系1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．(第1题)利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系2．(中考·兰州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．(中考·贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连结AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．(第4题)专训三：正方形的性质与判定灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质证明线段位置关系1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第1题)利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动时间多长，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)正方形中的探究性问题4．如图①，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G 在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连结FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM(无需写证明过程)；(1)如图②，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG 于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；(2)如图③，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE 的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．(第4题)专训四：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等，且关于折痕或所在直线成轴对称；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．利用矩形的性质巧求折叠中的角1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数．(第1题)利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长2．如图，有矩形纸片ABCD，长AD为4 cm，宽AB为3 cm，把矩形折叠，使相对两顶点A，C重合，然后展开．求折痕EF的长．(第2题)利用矩形的性质巧证线段的位置关系3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE 交AD 于F ，连结AE.证明：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.(第3题)利用矩形的性质巧求线段的比(面积法)4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN 的值．(第4题)专训五：用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看作特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)为条件解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD 中，E ，F 两点在对角线BD 上运动，且保持BE ＝DF ，连结AE ，CF.请你猜想AE 与CF 有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，AC 的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.(1)如图①，连结AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F 在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训六：特殊四边形中的最值问题名师点金：求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．矩形中的最值问题1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，求点D到点O 的最大距离．(第1题)菱形中的最值问题2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．(第2题)正方形中的最值问题(第3题)3．(中考·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC 的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．4．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结EN，AM，CM.(1)求证：△AMB≌△ENB.(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由．(第4题)专训七：思想方法荟萃名师点金：本章中，由于涉及内容是各种特殊四边形，解决这类问题时，常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究．而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法．数形结合思想(第1题)1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的面积为()A．200 cm2B．300 cm2C．600 cm2D．2 400 cm2方程思想2．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)若AE＝3 cm，AF＝4 cm，AD＝8 cm，求CD的长；(2)若平行四边形ABCD的周长为36 cm，AE＝4 cm，AF＝5 cm，求平行四边形ABCD的面积．转化思想3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P 是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．连结BP，DQ.(1)求证：四边形PBQD为平行四边形．(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动的时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．(第3题)4．如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm.试求此六边形的周长．(第4题)分类讨论思想①图形的位置不确定5．四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC 的度数．②等腰三角形的腰与底边不确定6．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA 的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．(第6题)答案解码专训一1．解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°，同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，HG＝EF，∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME，∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF，∴AD＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.又∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．2．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°.∴四边形OCED是矩形．∴OE＝CD.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∴OE＝BC.点拨：线段CD既是菱形ABCD的边，又是四边形OCED的对角线，可以用等量代换推出OE＝BC.3．解：(1)△BEC是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2.∵DE＝BP＝1，∴AE＝PC＝4.由勾股定理得CE＝5，BE＝25，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．(2)四边形EFPH为矩形，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC ，AD ∥BC.∵DE ＝BP ，∴四边形DEBP 是平行四边形．∴BE ∥DP.∵AD ∥BC ，AE ＝PC ，∴四边形AECP 是平行四边形．∴AP ∥CE.∴四边形EFPH 是平行四边形．∵∠BEC ＝90°，∴平行四边形EFPH 是矩形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠ECF.又∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.∴AB ＝CF.又AB ∥CF ，∴四边形ABFC 为平行四边形，∴BE ＝EC ，AE ＝EF ，∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠EAB.又∵∠AEC ＝2∠ABC ，∴∠ABC ＝∠EAB ，∴AE ＝BE ，∴AE ＋EF ＝BE ＋EC ，即AF ＝BC ，∴四边形ABFC 为矩形．(2)解：∵四边形ABFC 是矩形，∴AC ⊥DF.又∵△AFD 是等边三角形，∴CF ＝CD ＝DF 2＝2，∴AC ＝42－22＝23，∴S矩形ABFC ＝23×2＝4 3.解码专训二1．(1)证明：∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC.∵在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF ，∴∠AFB ＝∠AFD.∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE.(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD.又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(3)解：当EB ⊥CD 时，∠EFD ＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，在△BCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF ，∴∠CBF ＝∠CDF.∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD.(第2题)2．证明：(1)如图，过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M ， ∵AB ∥CD ，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC ＝BM ＝BD ，∴∠BDC ＝∠M ＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC CD ＝DC ，，∴△ACD ≌△BDC ，∴AD ＝BC.(2)如图，连结EH ，HF ，FG ，GE ，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，∴HE ∥AD ，且HE ＝12AD ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，∴四边形HFGE 为平行四边形．由(1)知AD ＝BC ，∴HE ＝EG ，∴▱HFGE 为菱形，∴EF 与GH 互相垂直平分．3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝FE ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴DF ⊥AC ，∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵D 是AB 边上的中点，∴AD ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5，∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵EF ∥AB ，PM ∥AC ，∴四边形AEPM 为平行四边形．∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD.∵EP ∥AB ，∴∠BAD ＝∠EPA ，∴∠CAD ＝∠EPA ，∴EA ＝EP ，∴四边形AEPM 为菱形．(第4题)(2)解：当点P 为EF 的中点时，S 菱形AEPM ＝12S 四边形EFBM .理由如下：∵四边形AEPM 为菱形，∴AP ⊥EM.∵AB ＝AC ，∠CAD ＝∠BAD ，∴AD ⊥BC ，∴EM ∥BC.又∵EF ∥AB ，∴四边形EFBM 为平行四边形．过点E 作EN ⊥AB 于点N ，如图，则S 菱形AEPM ＝AM·EN ＝EP·EN ＝12EF·EN ＝12S 四边形EFBM .解码专训三1．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF ， ∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°，∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.2．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E,易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN.又∵∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .(第2题)(2)有DN －BM ＝MN.证明如下：如图，在DN 上截取DE ＝BM ，连结AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD.又∵DE ＝BM ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°.∴∠MAE ＝90°.∵∠MAN ＝45°，∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN.∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN ，∴DN －BM ＝MN.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵在任何运动时刻，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴PB ＝QC ＝RD ＝SA ，∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS ， ∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ ，∴在任何运动时刻，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°， ∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP.由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2， 解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．(第4题)4．解：(1)DM ＝FM ，DM ⊥FM.证明：如图，连结DF 、NF.∵四边形ABCD 和四边形CGEF 都是正方形，∴AD ∥BC ，BC ∥GE ，∴AD ∥GE ，∴∠DAM ＝∠NEM. ∵M 是AE 的中点，∴AM ＝EM.∵∠AMD ＝∠EMN ，∴△MAD ≌△MEN ，∴DM ＝MN ，AD ＝NE.∵AD ＝CD ，∴CD ＝NE.∵CF ＝EF ，∠FCD ＝∠FEN ＝90°，∴△DCF ≌△NEF ，∴DF ＝FN ，∠CFD ＝∠EFN. ∵∠EFN ＋∠CFN ＝90°，∴∠CFD ＋∠CFN ＝90°，即∠DFN ＝90°，∴DM ＝FM ，DM ⊥FM.(2)DM ＝FM ，DM ⊥FM.解码专训四(第1题)1．解：如图，由折叠性质得∠AEF ＝∠A′EF ，∠BEA ＝∠AEB′，BE ＝B′E ，AE ＝EA′，∵∠BAB′＝∠BEB′＝∠ABE ＝∠AB′E ＝90°，∴AE 为∠BAB′的平分线，∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°，又∠BEA ＋∠AEF ＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°，∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠FEA′＝67.5°.2．解：易得EF 为AC 的垂直平分线．∴AE ＝EC ，AF ＝FC. ∵AE ∥FC ，∴∠AEO ＝∠CFO.又∵OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO ，∴AE ＝FC.∴四边形AECF 是菱形．设BF 为x cm ，则AF ＝FC ＝(4－x)cm .由勾股定理，得32＋x 2＝(4－x)2，∴x ＝78，∴FC ＝258 cm .∵AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∴AC ＝32＋42＝5(cm )．∴OC ＝52 cm .在Rt △FOC 中，OF ＝FC 2－OC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2582－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝158(cm )． ∴EF ＝2OF ＝154 cm .即折痕EF 的长为154 cm .3．证明：(1)由折叠可知，∠FBD ＝∠CBD ，因为AD ∥BC ，所以∠FDB ＝∠CBD ，所以∠FBD ＝∠FDB ，所以BF ＝DF.(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC ，由折叠可知DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD ，又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB ＝∠EAD ，所以∠AEB ＝12(180°－∠AFE)，而∠DBE ＝12(180°－∠BFD)，∠AFE＝∠BFD ，所以∠AEB ＝∠DBE ，所以AE ∥BD.4．(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ，即∠ENM ＝∠ENA ＋∠ANM ，∠DNM ＝∠DNC ＋∠CNM ，∵∠ENA ＝∠DNC ，∴∠ANM ＝∠CNM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ANM ＝∠CMN ，∴∠CMN ＝∠CNM ，∴CM ＝CN.(2)解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC ，∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH 12·DN·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC ，∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM ＝3x ＝CN.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，∴NH ＝22x ，在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x ＝2 3.解码专训五1．解：猜想：AE ＝CF ，AE ∥CF.证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD.∵∠AEB ＋∠AED ＝∠CFD ＋∠CFB ＝180°，∴∠AED ＝∠CFB ，∴AE ∥CF.2．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠CAD ＝∠ACB 、∠AEF ＝∠CFE.∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形． 又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．设菱形的边AF ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm ，(第2题)在Rt △ABF 中，AB ＝4 cm ，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，∴AF ＝5 cm .(2)解：显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，当以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC ＝QA.∵点P 的速度为每秒5 cm ，点Q 的速度为每秒4 cm ，运动时间为t 秒，∴PC ＝5t ，QA ＝12－4t ，∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43，∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.3．证明：(1)连结AC.∵在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BCD ＝180°－∠B ＝120°，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°，∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠HEF＝90°.∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形．(2)解：直线EG必经过一定点．理由如下：如图，连结BD、EG，BD与EG交于O点，连结ED，BG.∵BE綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形，∴BD、EG互相平分，易知O为正方形中心，∴EG必过正方形中心O.解码专训六(第1题)1．解：如图，取AB的中点E，连结OE、DE、OD，则OE＝1 2AB＝1，AE＝1，所以DE＝2，当D，E，O三点共线时，OD＝OE＋DE，否则OD<OE＋DE，所以OD长的最大值是2＋1.点拨：在这个问题中，关键是运用三角形三边的不等关系确定点D到点O的距离何时最大，具体做法是取AB的中点E，连结OE、DE、OD后，通过分情况讨论得出OD≤OE＋DE，所以OD的最大值等于OE＋DE.(第2题)2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.如图，作点P关于直线BD的对称点P′，连结P′Q，P′C，则P′Q 的长即为PK＋QK的最小值，当P′Q⊥AB时，P′Q最短．假设点Q 与点C重合，CP′⊥AB，此时CP′的长即为PK＋QK的最小值．连结AC.∵BC＝AB＝2，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∵CP′⊥AB，∴BP′＝AP′＝12AB＝1，∴CP′＝BC2－BP′2＝ 3.即PK＋QK的最小值为 3.3.54．(1)证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠MBA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB；(2)解：①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小；②连结CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小．理由如下：由(1)知△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短．∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长．解码专训七1．B 点拨：设每块长方形地砖的长为x cm ，宽为y cm ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，2x ＝x ＋3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，x －3y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝10， 所以每块长方形地砖的面积是300 cm 2.故选B .2．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝8 cm ，∴BC ＝AD ＝8 cm .∵S平行四边形ABCD ＝BC·AE ＝CD·AF ，∴8×3＝4CD ，∴CD ＝6 cm .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD.∵平行四边形的周长为36 cm ，∴BC ＋CD ＝18 cm ，由平行四边形的面积公式得：4BC ＝5CD ，则⎩⎪⎨⎪⎧BC ＋CD ＝18，4BC ＝5CD ，解得：BC ＝10 cm ，CD ＝8 cm ，∴平行四边形ABCD 的面积是4×10＝40(cm 2)．3．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OD ＝OB ，∴∠PDO ＝∠QBO.在△POD 与△QOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO ＝∠QBO ，OD ＝OB ，∠POD ＝∠QOB ，∴△POD ≌△QOB ，∴OP ＝OQ ，∴四边形PBQD 为平行四边形；(2)解：能．点P 从点A 出发运动t s 时，AP ＝t cm ，PD ＝(4－t) cm . 当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(4－t) cm .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90°.在直角三角形ABP 中，AB ＝3 cm ，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝(4－t)2，解得：t ＝78，∴当点P 运动的时间为78 s 时，四边形PBQD 能够成为菱形．4．解：延长ED ，BC 交于点N ，延长EF ，BA 交于点M.∵∠EDC ＝∠BCD ＝120°，∴∠NDC ＝∠NCD ＝60°，∴∠N ＝60°.同理，∠MFA ＝∠MAF ＝60°，∴∠M ＝60°，∴△DCN 、△FMA 均为等边三角形，∵∠E ＋∠N ＝180°，∠E ＋∠M ＝180°，∴EM ∥BN ，EN ∥MB ，∴四边形EMBN 是平行四边形，∴BN ＝EM ，MB ＝EN.∵CD ＝2 cm ，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm，∴CN＝DN＝2 cm，AM＝FM＝5 cm，∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)，∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39 cm.5．解：当等边三角形ADE在正方形ABCD外部时，如图①所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝15°.同理，∠DEC＝15°，∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边三角形ADE在正方形ABCD内部时，如图②所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝(180°－30°)÷2＝75°.同理∠DEC＝75°，∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.(第5题)(第6题)6．解：易知OD＝5.当OP＝OD时，OP＝5，CO＝4，易得CP ＝3，所以P(3，4)．当OD＝PD时(如图所示)，有两种情况．①过P0作P0M⊥OD于M，在Rt△P0MD中，P0D＝5，P0M＝4，易知MD＝3，所以OM＝OD－MD＝5－3＝2，从而可知CP0＝2，所以P0(2，4)；②过P1作P1M1⊥OA于M1，在Rt△P1M1D中，P1D＝5，P1M1＝4，易知M1D＝3，所以OM1＝OD＋M1D＝5＋3＝8，从而CP1＝8，所以P1(8，4)．当OP＝PD时，易知OP≠5，不符合题意．综上，满足题意的点P的坐标为(3，4)，(2，4)，(8，4)．点拨：本题运用了分类讨论思想．根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．【此课件下载可自行编辑修改，供参考，感谢你的支持！】。

专题04 特殊平行四边形 梯形 压轴题(六大题型)(原卷版)

专题04 特殊平行四边形 梯形 压轴题(六大题型)(原卷版)

专题04特殊平行四边形梯形压轴题（六大题型）目录：题型1：解答证明题题型2：最值问题题型3：四边形与平面直角坐标系题型4：四边形与列函数关系式问题题型5：动态问题（动点、旋转、折叠）题型6：定值问题题型1：解答证明题1．在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交边BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ．(1)如图1，求证：CE CF =；(2)如图2，,=∥FG BC FG EC ，连接DG 、EG ，当120ABC ∠=︒时，求证：60BDG ∠=︒；(3)如图3，在（2）的条件下，当2,==BE CE AE BD 的长．2．如图，已知在正方形ABCD 中，4AB =，点P 是边CD 上一点（不与点C 、D 重合），连接AP 交BD 于点E ，延长AP 交BCD ∠的外角角平分线于点F ，连接DF ．(1)当CF =ADF △的面积；(2)求证：AE EF =；(3)连接CE ，当CE DF ∥时，求CF 的长．3．如图1，四边形ABCD 中，90BAD ABC ∠=∠=︒，M 是边CD 的中点．已知2AD =，4CD =．(1)连接AM ，求证DAM MBC ∠=∠；(2)如图2，当50C ∠=︒时，求BMD ∠的度数；(3)当BDM 为直角三角形时，求边BC 的长．题型2：最值问题4．在正方形ABCD 中，点E 为射线BC 上的一个动点，点F 在射线CD 上，且45EAF ∠=︒．(1)如图1，当点E 在边BC 上时，请直接写出BE 、DF 、EF 三条线段之间的数量关系；(2)如图2，当点E 在边BC 的延长线上时，请你判断BE 、DF 、EF 三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若6AB =，点G 在边AB 上，且2AG =，点P 为AF 的中点，在点E 从点B 沿射线BC 运动的过程中，PAG △的周长的最小值为___________（直接写出结果）．5．在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．(1)将矩形纸片沿BD 折叠，使点A 落在点F 处（如图①），设DF 与BC 相交于点G ，求证：BG =DG ；(2)将矩形沿直线EF 折叠，使点B 的对应点B '落在CD 边上（如图②），点A 的对应点为A '，连接BB '交EF 于点O ．当2DB '=时，求EF 、OF 的长；(3)点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，（如图③）若按MN 折叠后，点B 落在矩形ABCD 的AD 边上H 点，请求AH 的最大值和最小值．6．如图，在长方形ABCD 中，AB CD ，BC AD ∥，90B Ð=°，6AB =，8AD =，点P 在边BC 上，且不与点B 、C 重合，直线AP 与DC 的延长线交于点E ．(1)当点P 是BC 的中点时，求证：ABP ECP △≌△；(2)将APB △沿直线AP 折叠得到APB ' ，点B '落在长方形ABCD 的内部，延长PB '交直线AD 于点F ．①证明FA FP =，并求出在（1）条件下AF 的值；②连接B C '，直接写出PCB '△周长的最小值．题型3：四边形与平面直角坐标系7．如图，边长为5的菱形ABCD 如图所示放置在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，点D 在x轴负半轴上，点()0,4B ．(1)求AB 所在直线的解析式；(2)如果直线l 经过点C 且与直线y x =平行，点()0,P t 是y 轴上的一个动点．①当点P 在线段OB 上（点P 不与O 、B 重合），过点P 作平行于x 轴的直线分别交线段AB 于M 、交直线l 于N ．设线段MN 的长度为d ，求d 关于t 的函数解析式，并写出它的定义域；②当点P 在y 轴正半轴上，如PCD 是等腰三角形，求t 的值．8．如图，已知点()1,0A ，点()4,0B ，点C 在y 轴负半轴上，6ABC S = ，点P 为直线BC 上一点．(1)求直线BC 的解析式；(2)点Q 为平面内任一点，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是正方形，求点Q 的坐标；(3)当直线AP 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，直接写出点P 的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,4A ，点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边APQ △．当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B ．(1)求点B的坐标；(2)当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：90∠=︒；ABQ(3)是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型4：四边形与列函数关系式问题10．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝3M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x．(1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由．(2)若∠BMN＝30°，求AM的值．(3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域．11．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．(1)求边AD的长；(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．AB=，点E在CB的延长线上，点F在边CD上（点F与C、D不重合），12．如图1，在正方形ABCD中，8且FA AE⊥，联结EF．（1）求AFE ∠的度数；（2）联结BD 交EF 于点M ，①如图2，如果3FC DF =，求FM 的长；②设BE x =，BM y =，直接写出y 关于x 的函数解析式及定义域．13．如图，已知直角梯形ABCD ，//AD BC ，90DCB ∠=︒，过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，4CD =，2BH =，点F 是CD 边上的一动点，过F 作线段AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，并交射线BC 于点G ．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，求BC 的长；（2）设AD x =，DF y =，求y 与x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如图2，联结DE ，当DEF 是等腰三角形时，求AD 的长．题型5：动态问题（动点、旋转、折叠）14．如图，在四边形ABCD 中，90D Ð=°，AD BC ∥，8AD =，4BC =，3CD =，过点B 作BE AD ⊥于点E ．若动点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 不与点A 、B 重合时，连结PE ，作点B 关于直线PE 的对称点B '，连结B E '、B P '，设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)AB 的长为______；(2)用含t 的代数式表示线段BP 的长；(3)当BEP △是以BE 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(4)当B E '与四边形ABCD 的某条边平行时，直接写出t 的值．15．如图1，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是菱形，其中点E 在BC 的延长线上，点G 在DC 的延长线上，点H 在BC 边上，连结AC ，AH ，HF ．已知AB ＝2，∠ABC ＝60°，CE ＝BH ．（1）求证：△ABH ≌△HEF ；（2）如图2，当H 为BC 中点时，连结DF ，求DF 的长；（3）如图3，将菱形CEFG 绕点C 逆时针旋转120°，使点E 在AC 上，点F 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，连结EH ，BF ．若EH ⊥BC ，请求出BF 的长．16．正方形ABCD 中，点E 在边BC 、CD 上运动（不与正方形顶点重合），作射线AE ，将射线AE 绕点A 逆时针旋转45︒，交射线CD 于点F ．(1)如图，当点E 在边BC 上时，①若BE DF =，则图中与线段AE 相等的线段是________．②过点E 作EG AF ^，垂足为G ，连接DG ，求GDC ∠的度数．③求证：在②的条件下，AB BE +=．(2)当点E 在边CD 上，点F 在边CD 延长线上时，仍过点E 作EG AF ^于点G ，再过点G 作GN EF ⊥于点N ，连接DG ，若DF DG =，求EN GN的值．17．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，10AB CD ==，8BC AD ==，P 为射线BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP △的位置，使点B 落在点E 处．(1)若P 为线段BC 上一点．①如图1，当点E 落在边CD 上时，求CE 的长；②如图2，连接CE ，若CE AP ∥，则BP 与BC 有何数量关系？请说明理由；(2)如果点P 在BC 的延长线上，当PEC 为直角三角形时，求PB 的长．题型6：定值问题18．小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边ABC ，点D 在BC 上，以AD 为边作等边ADE V ，连接CE ，求证：60ACE ∠=︒．(1)请你解答小明的这道题；(2)在这个问题中，当D 在BC 上运动时，点E 是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）(3)如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 是直线BC 上的一个动点，以DE 为边作正方形(DEFG DEFG 按逆时针排列）．当E 在直线BC 上运动时，点G 是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；(4)连接AG ，CG ．①求证：22AG CE -是定值；②求AG CG +的最小值（直接写出答案即可）．19．在平面直角坐标系中，()0,8A 、()8,0C ，四边形AOCB 是正方形，点(),0D a 是x 轴正半轴上一动点，90ADE ∠=︒，DE 交正方形AOCB 外角的平分线CE 于点E ．(1)如图1，当点D 是OC 的中点时，求证：AD DE =；(2)点(),0D a 在x 轴正半轴上运动，点P 在y 轴上．若四边形PDEB 为菱形，求直线PB 的解析式．(3)连AE ，点F 是AE 的中点，当点D 在x 轴正半轴上运动时，点F 随之而运动，点F 到CE 的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．。

特殊平行四边形(知识归纳+题型突破)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记巧练

特殊平行四边形(知识归纳+题型突破)(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册单元速记巧练

特殊平行四边形（知识归纳+题型突破）1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.一、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．三、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.题型一菱形、矩形、正方形的性质与判定的有关概念【例1】下列选项中，矩形一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．邻边相等D．一条对角线平分一组对角【答案】A【分析】根据矩形的对角线相等的性质即可作出判断.【解析】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故选项A符合题意，而选项B、C、D中的性质是菱形所具有的；故选：A.【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形对角线相等的性质是解题关键.巩固训练：1．下列性质中，菱形不一定具备的性质是（）A．四边相等B．对角线相等C．对角线相互垂直D．对边平行【答案】B【分析】根据菱形的性质逐项判断即可．【解析】菱形的四边相等，对角线互相垂直，不一定相等，对边相等且平行，所以不一定具备的性质是对角线相等．故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键．2．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（）A．①②B．①③C．②④D．①②③④【答案】C【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对各小题分析判断后即可得解．【解析】解：①平行四边形的对角线不一定相等，②矩形的对角线一定相等，③菱形的对角线不一定相等，④正方形的对角线一定相等，所以，对角线一定相等的是②④．故选：C．【点睛】本题考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的对角线的性质，熟记各性质是解题的关键．3．下列四个命题中，假命题是（）A ．有三个角是直角的四边形是矩形B ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可．【解析】A ．有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故不符合题意；B ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是真命题，故不符合题意；C ．四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意；D ．对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．4．已知四边形ABCD 为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD 为正方形的是（）A ．ABD CBD∠=∠B ．180A C ∠+∠=︒C ．AB BC =D ．AC BD⊥【答案】B【分析】根据正方形的定义逐项判定即可．【解析】如下图，对于选项A ，由矩形的对边平行，可得内错角相等，即ABD CDB ∠=∠，∵ABD CBD ∠=∠，∴CDB CBD ∠=∠．则BC CD =（等角对等边）．所以，四边形ABCD 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故A 选项说法正确，但不符合题意；对于选项B ，对角互补是矩形本身就具有的条件，相当于没有增加判定正方形的条件，故不能判定四边形ABCD 为正方形．故B 选项说法错误，符合题意．对于选项C ，因AB BC =，四边形ABCD 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故选项C 说法正确，但不符合题意；对于选项D ，因矩形的对角线互相平分，∴O 为AC 的中点，又AC BD ⊥，∴OAB OC ≌B ，则AB BC =，所以，四边形ABCD 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故选项D 说法正确，但不符合题意；故答案为：B ．【点睛】本题涉及矩形的性质及正方形的判定等相关知识点，解题的关键是对正方形的定义有准确的判断．题型二根据菱形、矩形、正方形的性质求长度、角度面积等问题【例2】矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，如果75ADO ∠=︒，那么AOD ∠的度数是（）A ．30︒B ．55︒C ．60︒D ．75︒【答案】A 【分析】根据矩形的性质证得OA OD =，根据三角形的内角和定理即可解决问题．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴12OA AC =，12OD BD =，AC BD =，∴OA OD =，∵75ADO ∠=︒，∴75DAO ∠=︒，∴180757530AOD ∠=︒-︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．1．已知菱形的对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是；【答案】24【分析】根据菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半进行求解即可．【解析】解：∵菱形的对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是168242⨯⨯=，故答案为：24【点睛】此题考查了菱形，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．2．矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若120COB ∠=︒，8BD =，则AB 的长为（）A ．4B ．43C ．3D ．5【答案】A【分析】先由矩形的性质得出OA OB =，结合题意证明AOB 是等边三角形即可．【解析】解：如图，四边形ABCD 是矩形，且8BD =，42BD OA OB OC OD ∴=====，120COB ∠=︒ ，∴60AOB ∠=︒，AOB ∴ 是等边三角形，∴4OA AB ==．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．3．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，4AB =，:3:2BD AD =，则AC =．【答案】27【分析】由菱形的性质可得4AD AB ==、11,22OB BD OA AC ==、AC BD ⊥，再根据:3:2BD AD =可得6BD =，即3OD =；再运用勾股定理可得7OA =，进而求得AC 即可．【解析】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O∴4AD AB ==,11,22OB BD OA AC ==，AC BD ⊥∵:3:2BD AD =∴6BD =，则132OD BD ==∴2222437OA AD DO =-=-=∴227AC OA ==．故答案为27．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质是解答本题的关键．4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A ．13B ．12C ．6D ．3【答案】A 【分析】由勾股定理求出AB 2，再由正方形的面积公式即可得到答案．【解析】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，∴AB 2＝AC 2+BC 2＝32+22＝13，∴正方形的面积＝AB 2＝13，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E 、F 分别为AO 、AD 的中点，若3EF =，则OD 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D 【分析】由题意可得，EF 是AOD △的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可．【解析】解：E 、F 分别为AO 、AD 的中点，EF ∴是AOD △的中位线．12EF OD ∴=，即2OD EF =．3EF = ，6OD ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键．6．在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE =AB ，则∠EBC 的度数是．【答案】22.5°/22.5度【分析】由AB =AE ，在正方形中可知∠BAC =45°，进而求出∠ABE ，又知∠ABE +∠EBC =90°，故能求出∠EBC ．【解析】解：∵正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，∴∠BAC =45°，∵AB =AE ，∴∠ABE =∠AEB =67.5°，∵∠ABE +∠EBC =90°，∴∠EBC =22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE 的度数．7．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线16AC =，12DB =，DH AB ⊥于点H ，则DH 的长为（）A ．9.6B ．10C ．19.2D ．20【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直且平分利用勾股定理求出菱形边长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半或等于边长乘以边上的高求解即可．【解析】解：AC BD ^ ，182AO CO AC ===，162DO BO BD ===，22228610AB AO BO ∴=+=+=，DH AB ⊥ ，12ABCD S AO BD AB DH ∴=⋅=⋅，11612102DH ∴⨯⨯=，9.6DH ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的面积和勾股定理，掌握菱形面积公式和菱形的性质是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，过对角线交点O 作EF AC ⊥交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE ，则DEC 的周长为（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】A【分析】根据矩形的性质得出CD AB =，AD BC =，AO CO =，再根据线段垂直平分线的性质得出AE CE =，进而得出DEC 的周长=CD DE CE CD DE AE CD AD ++=++=+，可得答案．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴4CD AB ==，6AD BC ==，AO CO =．∵EF AC ⊥，∴AE CE =，∴DEC 的周长=4610CD DE CE CD DE AE CD AD ++=++=+=+=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质等，弄清各线段之间的数量关系是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的两个动点(不与顶点A 、B 、C 重合)，在运动中始终保持AE BF =，DE 与AC 交于点G ，当67.5AFB ∠=︒时，CGD ∠的度数为()A ．22.5︒B ．45︒C ．60︒D ．67.5︒【答案】D 【分析】根据正方形的性质结合已知条件证明EAD FBA ≌，根据全等三角形的性质得出AED AFB ∠=∠，进而得出67.5GDC AED ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD BA =，90EAD FBA ∠=∠=︒，45ACD ∠=︒，又∵AE BF =，∴EAD FBA≌∴AED AFB∠=∠∴当67.5AFB ∠=︒时，67.5AED ∠=︒，∵AB CD∥∴67.5GDC AED ∠=∠=︒在GCD 中，1801804567.567.5CGD GCD CDG ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型三菱形、矩形、正方形的性质与判定【例3】如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AB ，AO 的中点，连接EF ，若EF =3，则BD 的长为()A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C 【分析】由题意可得EF 是△OAB 的中位线,由此推出OB,根据平行四边形的性质即可得出BD 的长．【解析】∵点E ,F 分别是AB ,AO 的中点,连接EF ,EF =3,∴EF 是△OAB 的中位线,则OB =2EF =6．∵在▱ABCD 中,∴BD =2OB =12．故选：C ．【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质,关键在于熟练掌握基础知识并灵活使用．1．如图ABC 中，AD 是角平分线，DE AC ∥交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ，若4cm AE =，那么四边形AEDF 的周长为．【答案】16cm【分析】由角平分线的定义，可得EAD DAF ADE ∠=∠=∠，进而可得AE ED =，由平行四边形的性质可得答案．【解析】解：DE AC ∥ ，DF AB ∥，∴四边形AEDF 是平行四边形，EDA FAD ∠=∠，EAD FAD ∠=∠ ，EAD EDA ∴∠=∠，EA ED ∴=，∴平行四边形AEDF 是菱形．∴四边形AEDF 周长为416cm AE =．故答案为：16cm ．【点睛】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．2．如图，两张宽均为3cm 的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ．若测得5cm AB =，则四边形ABCD 的周长为cm ．【答案】20【分析】作AR BC ⊥于R ，AS CD ⊥于S ，连接AC 、BD 交于点O ，首先根据题意证明出四边形ABCD 是菱形，然后根据菱形的性质求解即可．【解析】解：作AR BC ⊥于R ，AS CD ⊥于S ，连接AC 、BD 交于点O ．由题意知：AD BC ∥，AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR AS =，∵AR BC AS CD ⋅=⋅，∴BC CD =，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴5cm AD AB ==，∴四边形ABCD D 的周长为20cm ，故答案为：20．【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，解题的关键是掌握菱形的性质和判定．3．如图，已知四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，且G 是AB 的中点，连接AE ，若5AB =，则AE 的长为．【答案】852【分析】四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，且G 是AB 的中点，5AB =，如图所示，过点E 作EH AD ⊥于H ，交BC 于Q ，AE 与BC 交于点P ，可证(SAS)BCG QEC △≌△，(SAS)EQP ABP △≌△，根据勾股定理即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，且G 是AB 的中点，5AB =，∴115×5222BG AG AB ====，∴在Rt BCG 中，222255(5)22CG GB BC ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，如图所示，过点E 作EH AD ⊥于H ，交BC 于Q ，AE 与BC 交于点P ，∵四边形CEFG 为正方形，∴CE CG =，∵12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，在,BCG QEC △△中，1390EQC B CE CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)BCG QEC △≌△，∴5EQ BC ==，52CQ GB ==，即Q 为BC 中点，同理，可证(SAS)EQP ABP △≌△，∴1155×2224QP BP BQ ====，12EP AP AE ==∴在Rt ABP 中，222258585(5)4164AP AB BP ⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭，∴85852242AE AP ==⨯=，故答案为：852．【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．4．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BE AC ∥，AE BD ∥，OE 与AB 交于点F ．若5OE =，8AC =，则菱形ABCD 的面积为．【答案】24【分析】由菱形性质结合平行条件可证AOBE 是矩形，得AB OE =，由勾股定理求出OB ，进而根据对角线求菱形面积．【解析】解：菱形ABCD 中，142OA AC ==，AC BD ⊥∵BE AC ∥，AE BD∥∴四边形AOBE 是矩形∴5AB OE ==Rt OAB 中，2222543OB AB OA =-=-=∴26BD OB ==∴菱形ABCD 的面积为11862422AC BD ==⨯⨯= 故答案为：24．【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5．如图，矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，,E F 是对角线AC 上的两个动点，分别从,A C 同时出发，相向而行，速度均为2cm/s ，运动时间为)(05t t ≤≤秒，若,G H 分别是,AB DC 的中点，且 2.5t ≠，当,,,E G F H 为顶点的四边形为矩形时，t 的值为．【答案】0.5或4.5【分析】如图所示，连接GH ，当,,,E G F H 为顶点的四边形为矩形时，则四边形EGFH 的对角线相等，结合分类讨论即可求解．【解析】解：如图所示，连接GH ，∵矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，,G H 分别是,AB DC 的中点，∴8cm GH BC ==，∵,E F 是AC 上的动点，速度均为2cm/s ，运动时间为)(05t t ≤≤秒，∴2AE CF t ==，当,,,E G F H 为顶点的四边形为矩形时，则8cm EF GH ==，∴①1048EF t =-=，解得，0.5=t ；②22108EF t t =+-=，解得， 4.5t =；综上所述，当t 为0.5或4.5时，,,,E G F H 为顶点的四边形为矩形，故答案为：0.5或4.5．【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键．6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且对角线交于点O ，连接OC ．若3,32AC OC ==，则另一条直角边BC 的长为．【答案】5【分析】过O 作OF BC ⊥，过A 作AM OF ⊥，可得四边形ACFM 为矩形，推出3,AM CF AC MF ===，根据正方形的性质得出90,AOB OA OB ∠=︒=，求出BOF OAM ∠=∠，根据AAS 证AOM BOF ≌ ，推出,AM OF OM FB ==，得出等腰三角形三角形OCF ，根据勾股定理求出4CF OF ==，求出BF ，即可求出答案．【解析】解：过O 作OF BC ⊥于F ，过A 作AM OF ⊥于M ，∵90ACB ∠=︒，∴90,90AMO OFB ACB CFM AMF ∠=∠=︒∠=∠=∠=︒，∴四边形ACFM 是矩形，∴3,AM CF AC MF ===，∵四边形ABDE 为正方形，∴90,AOB OA OB ∠=︒=，∴90AOM BOF ∠+∠=︒，又∵90AMO ∠=︒，∴90AOM OAM ∠+∠=︒，∴BOF OAM ∠=∠，∴()AAS AOM OBF ≌ ，∴,AM OF OM FB ==，∴OF CF =，∵90CFO ∠=︒，∴CFO △是等腰直角三角形，∴222222OC OF CF CF OF =+==，∵32OC =，∴4CF OF ==，∴431BF OM OF FM ==-=-=，∴415BC CF BF =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．7．如图，在正方形ABCD 中，点P 在对角线BD 上，PE BC PF CD E F ⊥⊥，，，分别为垂足，连结AP EF ，，若5AP =，则EF =（）A ．5B ．52C ．2.5D ．522【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形PECF 是矩形，四边形QPFD 是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到AQ FC =和PQ EC =，进而得到AQP FCE △≌△，从而得到EF 的长度．【解析】解：延长EP 于AD 交于点Q ，∵在正方形ABCD 中，∴AB BC CD AD ===，AD BC ∥，90ADC C ∠=∠=︒，∴45ADB ABD ∠=∠=︒，∴=DF PF ，∵PE BC E ⊥，为垂足，∴PQ AD ⊥，∴四边形PECF 是矩形，∴90AQP ∠=︒，EC PF DF ==，∴AQP C ∠=∠，AQ FC =，四边形QPFD 是正方形，∴QD DF PF QP ===，∴CE QP =，∴在AQP △和FCE △中，90AQ FC AQP FCE PQ EC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，，∴()AQP FCE SAS ≌，∴AP EF =，∵5AP =，∴5EF =．故选A ．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点（点O 不与A 、C 两点重合），过点O 作直线MN BC ∥，直线MN 与BCA ∠的平分线相交于点E ，与DCA ∠（ABC 的外角）的平分线相交于点F ．(1)OE 与OF 相等吗？为什么？(2)探究：当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．(3)在（2）中当ACB ∠等于多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说理由）【答案】(1)相等，理由见详解(2)O 是AC 中点时，四边形AECF 是矩形，理由见详解(3)90ACB ∠=︒时，四边形AECF 为正方形，理由见详解【分析】（1）由CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，可得ACE BCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，再根据MN BC ∥，可得FEC BCE ∠=∠，EFC FCD ∠=∠，即有ACE FEC ∠=∠，ACF EFC ∠=∠，则有EO OC =，OC OF =，问题得解；（2）证明=AC EF ，且AC 、EF 互相平分，即可判断四边形AECF 是矩形，据此作答即可；（3）根据对角线相互垂直的矩形是正方形作答即可．【解析】（1）EO OF =，理由如下：∵根据题意，有CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，∴ACE BCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，∵MN BC ∥，∴FEC BCE ∠=∠，EFC FCD ∠=∠，∴ACE FEC ∠=∠，ACF EFC ∠=∠，∴EO OC =，OC OF =，∴EO OC OF ==；（2）O 是AC 中点时，四边形AECF 是矩形，理由如下：在（1）已证明EO OC OF ==，∵O 是AC 中点，∴=AO OC ，∴EO OC OF AO ===，∴=AC EF ，且AC 、EF 互相平分，∴四边形AECF 是矩形；（3）当90ACB ∠=︒时，四边形AECF 为正方形，理由如下：在（2）中已证明四边形AECF 是矩形，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵MN BC ∥，∴AC MN ⊥，∴AC EF ⊥，∴矩形AECF 是正方形．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，矩形的判定，正方形的判定等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．题型四特殊平行四边形的解答证明题【例4】．如图，已知平行四边形ABCD 中，M ，N 是BD 上的两点，且BM DN =，2AC OM =．(1)求证：四边形AMCN 是矩形；(2)若135BAD ∠=︒，2CD =，AB ⊥AC ，求四边形ABCD 的面积．(2)四边形ABCD 的面积为4【分析】（1）先证明OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =，证明四边形AMCN 是平行四边形，再证明MN AC =，从而可得结论；（2）证明180ABC BAD ∠∠=︒＋，=45ABC ∠︒，再利用四边形ABCD 的面积公式进行计算即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形，∴2MN OM =，∵2AC OM =，∴MN AC =，∴四边形AMCN 是矩形（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴2AB CD ==，AD BC ∥，∴180ABC BAD ∠∠=︒＋，∵135BAD ∠=︒，∴=45ABC ∠︒，∵AB ⊥AC ，∴90BAC ∠=︒，∴ABC 是等腰直角三角形，∴2AC AB ==，∴四边形ABCD 的面积为224AB AC ⨯=⨯=．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练的运用矩形的判定定理解决问题是关键．巩固训练：1．如图，四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE ＝BF ，连接AE ，AF ，EF ．(1)求证：△ADE ≌△ABF ；(2)若BC ＝8，DE ＝6，求EF 的长．(2)102【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；（2）首先利用去等三角形的性质得出CE ，CF 的长，再利用勾股定理得出答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADE ＝∠ABC ＝90°＝∠ABF ，AD =AB在△ADE 和△ABF 中，AD AB D ABF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（2）解：∵△ADE ≌△ABF ，DE ＝6，∴BF ＝DE ＝6，∵BC ＝DC ＝8，∴CE ＝8﹣6＝2，CF ＝8+6＝14，在Rt △FCE 中，EF ＝22CF +CE ＝22142+＝102．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键．2．如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．（1）求证：∠ADB =∠CDB ；（2）若∠ADC =90°，求证：四边形MPND 是正方形．【答案】见解析【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD ≌△CBD ，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB =∠CDB ；（2）若∠ADC =90°，由（1）中的条件可得四边形MPND 是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND 是正方形．【解析】证明：（1）∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，AB CB ABD CBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB =∠CDB ；（2）∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴∠PMD =∠PND =90°，∵∠ADC =90°，∴四边形MPND 是矩形，∵∠ADB =∠CDB ，∴∠ADB =45°∴PM =MD ，∴四边形MPND 是正方形．3．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F ，使CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若AC ＝10，∠ABC ＝60°，则矩形AEFD 的面积是．【答案】（1）见解析；（2）503【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD ＝BC ，等量代换得到BC ＝EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AO＝12AC＝5，AB＝10，BO＝53，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝12×10×103＝503，故答案为：503．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．4．如图，矩形ABCD和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.（1）求证：AF HG=；（2）求证：FAE GHC∠=∠；【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE 为平行四边形，再根据正方形的性质得到∴AH FG =，//AH FG ，故可证明四边形AHGF 是平行四边形，即可求解；（2）根据四边形AHGF 是平行四边形，得180FAH AHG ∠+∠=︒，根据四边形ABCD 是矩形，可得DAH AHB ∠=∠，再根据平角的性质及等量替换即可证明.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，且E 、H 分别为AD 、BC 的中点，∴AE HC =，//AE HC ，∴四边形AHCE 为平行四边形，∴AH EC =，//AH EC ，又∵四边形ECGF 为正方形，∴EC FG =，//EC FG ，∴AH FG =，//AH FG ，∴四边形AHGF 是平行四边形，∴AH FG =；（2）证明：∵四边形AHGF 是平行四边形，∴180FAH AHG ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴DAH AHB ∠=∠，又∵180AHB AHG GHC ∠+∠+∠=︒，∴FAD GHC ∠=∠；【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.题型五特殊平行四边形与坐标系【例5】．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4），则点C 的坐标为（）A ．（3，4）B ．（4，3）C ．（2，3）D ．（2，4）【答案】A【分析】先由四边形OABC 是菱形得到OC OA AB BC ===，BC OA ∥，然后过点B 作BD OA ⊥设AB x =可表示出OA 、AD ，利用勾股定理即可求得BC 的长，则可得C 点的坐标．【解析】解：过点B 作BD OA ⊥于D ，∵四边形OABC 是菱形，∴OC OA AB BC ===，BC OA ∥，设AB x =，则OA x =，8AD x =-，在Rt △ABD 中222AB AD BD =+，即222(84)x x =+一，解得5x =，5BC ∴=，∴C 点的坐标为(3，4).故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．1．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =（用含a 的代数式表示）．【答案】18-a ．【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，构造正方形AEOD ，再证△AEB ≌△ADC （SAS ），得BE=CD ，由EB=EO-BO=9-a ，可求CD=9-a ，求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可．【解析】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，∵点()9,9A ，AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD 为正方形，∵AB AC ⊥，∠EAD=90°，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD ，∵AB AC =，AE=AD ，∴△AEB ≌△ADC （SAS ），∴BE=CD ，∵EB=EO-BO=9-a ，∴CD=9-a ，OC=OD+CD=9+9-a =18-a ，故答案为：18-a ．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．2．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，9012cm 36cm 40cm B ABAD BC ∠︒＝，＝，＝，＝．点P 从点A 出发，以3cm /s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以1cm /s 的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，下列结论错误的是（）A ．当9t =时，PQ DC∥B ．当10t =时，PQ BC ⊥C ．当9t =或11.5时，PQ CD=D ．当=12t 时，四边形ABQP 的最大面积为2384cm 【答案】C 【分析】根据点P 、点Q 的速度及AD 、BC 的长，分别用t 表示出AP 、PD 、CQ 、BQ 的长，根据t 值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断A 、B 选项正确，利用A 选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断C 选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断D 选项正确，即可得答案．【解析】∵点P 的速度为3cm /s ，点Q 的速度为1cm /s ，36cm 40cm AD BC ＝，＝，∴3AP t =，363PD t =-，CQ t =，40BQ t =-，当9t =时，3639PD t =-=，=9CQ t =，∴=PD CQ ，∵AD BC ∥，即PD CQ ∥，∴四边形PQCD 是平行四边形，∴PQ DC ∥，故A 选项正确，不符合题意，如图，过点D 作DH BC ⊥于H ，∵AD BC ∥，90B Ð=°，∴90A B DHQ ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABHD 是矩形，∴12==HD AB ，36BH AD ==，∴4CH BC BH =-=，∴2222412410CD CH HD =+=+=，当10t =时，3636PD t =-=，10CQ t ==，∴6QH CQ CH =-=，∴PD QH =，∴四边形PQHD 是平行四边形，∵DH BC ⊥，∴四边形PQHD 是矩形，∴PQ BC ⊥，故B 选项正确，不符合题意，由A 选项可知：当9t =时，四边形PQCD 是平行四边形，∴PQ DC ∥，如图，当11.5t =时，过点P 作PE BC ⊥于E ，∴363 1.5PD t =-=，11.5CQ t ==，∵90DHB ADH PEH ∠=∠=∠=︒，∴四边形PEHD 是矩形，∴12PE DH ==， 1.5PD EH ==，∴6EQ CQ EH CH =--=，∴222261265PQ EQ PE =+=+=，∴PQ CD ≠，故C 选项错误，符合题意，∵3AP t =，40BQ t =-，∴1(340)122402ABQP S t t AB t =⨯+-=+四边形，363=12÷，401=40÷，∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，∴012t ≤≤，∵120>，∴S 随t 的增大而增大，∴当=12t 时，四边形ABQP 的面积最大，最大面积为2384cm ，故D 选项正确，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查四边形中的动点问题、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及一次函数的性质，正确表示出各线段的长，熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理及一次函数的性质是解题关键．3．如图，菱形ABDC 的顶点A (1，1)，B (3，1)，∠BAC =60°，规定把菱形ABDC “先沿y 轴翻折，再向下平移1个单位长度”为1次变换，如果这样连续经过2022次变换后，顶点C 对应的坐标为．【答案】()232021-，【分析】据轴对称判断出点C 变换后在y 轴的右侧，根据平移的距离求出点C 变换后的纵坐标，最后写出即可．【解析】解：∵四边形ABDC 是菱形，∴AB AC =．∵60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形．∵()11A ，，()B 3，1，∴312AB =-=，∴点C 到y 轴的距离为11222+⨯=，点C 到AB 的距离为3，∴()2,31C +，第2022次变换后的三角形在y 轴右侧，此时，点C 的横坐标为2，纵坐标为：31202232021+-=-，所以，点C 对应的坐标是()232021-，．故答案为：()232021-，．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2022次这样的变换得到三角形在y 轴右侧是解题的关键．4．如图1，在菱形ABCD 中，动点P 从点C 出发，沿C →A →D 运动至终点D ．设点P 的运动路程为x ，△BCP 的面积为y ，若y 与x 的函数图象如图2所示，则图中a 的值为．。

特殊的平行四边形专题.doc

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特殊的平行四边形专题一、特殊四边形之间的关系矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间既有区别又有联系。

平行四边形+—组邻边相等二菱形平行四边形+—个直角=矩形菱形+—个直角=正方形菱形+对角线相等二正方形矩形+一组邻边相等=正方形矩形+对角线互相垂直二正方形因此在判定的过程中要选择适当的判定方法，灵活的解决问题。

例题1.如图似△A3。

的三边为边，在BC边的同侧作等边APB.4 , AEBC , AF.4C.(1)试说明四边形AFED是平行四边形；⑵当A/1BC满足什么条件时四边形AFED是矩形，说明理由；⑶当MIBC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？⑷当况满足什么条件时,四边形AFED不存在?二、特殊平行四边形中的折叠问题折叠问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形等图形的性质的综合应用，折痕所在直线为折叠前后图形的对称轴。

在解决此类问题时应注意:1.充分利用轴对称的性质；2.折叠前后图形对应角、对应边相等；3.计算时常用勾股定理建立方程或由面积解决。

如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点3落在边.1D上的点&处，点」落在点.T处。

(1)求证：B f E = DF o设AE = a AB = 6»0F = c.试猜想"，加c之间的一种关系，并给予证明。

例题3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.得到菱形AECF.若,12/= 3，则BC的长为三、四边形中的中点问题类型L特殊四边形与中位线的结合在一个四边形中有四条边,两条对角线,所以一共可产生6个中点,已知两个中点会有四种情况：1.一组邻边的中点；2.—边与对角线的中点；3.两对角线的中点；4.一组对边的中点3.4两种情况常需要找出第三个中点作为桥梁解决问题。

例题4.如图在四边形ABCD中m = DCE、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的培论类型2.特殊四边形与直角三角形斜边上的中线结合如图,已知在^ABC 中,AC = 3 ,BC=4MB = 5 •点P 是AB 上（不与A 、B 重合），过P 作PE1AC , PF1BC ，垂是分别是E 、F,连结EF,M 为EF 的中点.⑴请判断四边形PECF 的形状，并说明理由⑵随着P 点在边AB 上位置的改变,CM 的长度是否也会改变？若不变，请你求CM 的长度;若有变化,请你求CM 的变化范围一 四、动点问题类型L 动点问题动点几何特点 -------- 问题背景是特殊图形，需要把握一般与特殊的关系。

特殊的平行四边形专项练习(含答案)

特殊的平行四边形专项练习(含答案)

特殊的平行四边形（含答案）一、选择题（本大题共49小题，共147.0分）1.一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是()A. 12cm2B. 96cm2C. 48cm2D. 24cm22.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是()A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:13.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°.①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD.则结论正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为()A. 仅甲正确B. 仅乙正确C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，连接BD，∠DBC等于()A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为()A. 5cmB. 4.8cmC. 4.6cmD. 4cm7.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为()A. 36°B. 27°C. 18°D. 9°8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于()A. 4B. 5C. 245D. 4859.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°11.如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30°，∠BEC=90°，EF=4cm，则矩形的面积为()．A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 32cm212.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S▵ABG．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD，则四边形AEDF是正方形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形14.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有()A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个15.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形16.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等17.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四条边的中点，连结EG与FH，交点为O，则图中的菱形共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个18.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60∘，则花坛对角线AC的长等于()A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个20.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的()A. 12B. 14C. 16D. 1821.如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是()A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误22.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB︰AD的比为()时，四边形MENF是正方形．A. 1︰1B. 1︰2C. 2︰3D. 1︰423.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72∘，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是()A. 108∘B. 72∘C. 90∘D. 100∘24.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是()A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨25.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为()A. (√3,−1)B. (2,−1)C. (1,−√3)D. (−1,√3)26.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A. 1和1B. 1和2C. 2和1D. 2和227.四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是()A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以28.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 529.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 430.在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A. 12B. 16C. 24D. 3231.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A. 1B. 12C. √22D. √3232.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A. 8B. 12C. 16D. 3233.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33,0)．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF=CE=1，AB=3，则线段AF的长为()A. 2√5B. 4C. √10D. 3√235.如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√336.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 537.下列说法正确的是()A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形38.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是()A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°39.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为()A. 4：1B. 5：1C. 6：1D. 7：140.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A. OA=OC，OB=ODB. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形41.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A. 由②推出③，由③推出①B. 由①推出②，由②推出③C. 由③推出①，由①推出②D. 由①推出③，由③推出②42.菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等43.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 12544.下列说法正确的有几个()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个45.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 1046.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−147.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8.则线段OH的长为()A. 125B. 52C. 3D. 548.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3449.菱形的对角线不一定具有的性质是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 每一条对角线平分一组对角D. 相等二、填空题（本大题共21小题，共63.0分）50.如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．51.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．52.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是______．53.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．54.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______．55.如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E的坐标为______．56.如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为______．57.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．58.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60°，AB=2，则AE的长为______．59.菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3√3，则AP的长为______．60.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是______．61.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则∠AEF=______．62.如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是______．63.已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB=______．64.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ cm2．65.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为______．66.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．67.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为______．68.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是______．69.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．70.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为______．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）71.如图，在▵ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．72.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．73.如图1，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒．(1)AM=______，AP=______.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=______．74.如图，在长方形纸片ABCD中，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．(1)求证：BE=BF．(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．(3)若AB=4，AD=8，求AE的长．75.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由．(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论．(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？76.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．77.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交cm，求AD．DC于点F，AF=25478.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE=DF．求证：▱ABCD是菱形．CE．79.如图，AE=AC，点B是CE的中点，且AD//CE，AD=12(1)若AE=25，CE=14，求△ACE的面积；(2)求证：四边形ABCD是矩形．80.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．81.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．82.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)∠BOD=∠C；(2)四边形OBCD是菱形．83.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．84.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．85.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．(1)若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；(2)若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标；(3)若OE=2√17，求点E的坐标．86.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=6，求菱形BEDF的面积．87.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12这个最小值；若不存在，请说明理由．88.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．89.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．【解答】解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，故菱形的对角线长分别为8cm和6cm，×8×6=24(cm2).所以菱形的面积为122.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB：∠B=5：1；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG= AG=GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故③正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√(2a)2−a2=√3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=2√3a，∴BC=12AC=12×2√3a=√3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=√(2√3a)2−(√3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故①正确；∵OG=a,12BC=√32a，∴OG≠12BC，故②错误；∵S△AOE=12a⋅√3a=√32a2，S ABCD=3a⋅√3a=3√3a2，∴S△AOE=16S ABCD，故④正确；综上所述，结论正确是①③④共3个．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE =CF ，又∵AE//CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确；∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB =AF ，AB =BE ，∴AF =BE∵AF//BE ，且AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选C ．5.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出∠ABC 的度数，进而得出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，∴∠ABC=180°−130°=50°，∴∠DBC=12∠ABC=25°．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR= AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR=AS．∵AR⋅BC=AS⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5cm．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，解答此题由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，求出∠EDC=36°，再由角的互余关系求出∠ODC，即可得出∠BDE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADE：∠EDC=3：2，∴∠EDC=25×90°=36°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODC=∠OCD=90°−36°=54°，∴∠BDE=∠ODC−∠EDC=54°−36°=18°．故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，∴BC=√BO2+CO2=√62+82=10，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=12×16×12=96，∵S菱形ABCD=BC×AH，∴BC×AH=96，∴AH=9610=485．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A.两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；B.两条对角线相等，两者均没有此性质，故此选项不正确；C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA= 50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA= 50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：如图，连接BF．∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF．∴∠ABF=∠CAB=50°．在△ADF与△ABF中，∵{AD=AB,∠DAF=∠BAF, AF=AF,∴△ADF≌△ABF(SAS)，∴∠ADF=∠ABF=50°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，求出矩形的宽是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，然后判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质及勾股定理求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：作EG⊥BC于G．∵F是BC中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC，BC=2EF=2×4=8(cm)，∵∠ECD=30°，∴∠BCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=EF=4cm，∠CEG=30°，∴CG=12CE=2cm，则EG=√CE2−CG2=2√3(cm)，∴矩形的面积=8×2√3=16√3(cm2).故选C．12.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)

特殊的平行四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：四边形分类专题汇总专题一：特殊四边形的判定矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形【知识点】1.平行四边形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正方形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练一练】一．选择题1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ）A 一组对边平行的四边形是平行四边形B 有一个角是直角的四边形是矩形C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

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特殊的平行四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：四边形分类专题汇总专题一：特殊四边形的判定【知识点】1.平行四边形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正方形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形5.等腰梯形的判定方法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练一练】一．选择题1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10.在下列命题中，正确的是（）A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形11.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形DA ＡＦ12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、对角线互相垂直且相等的四边形 B 、一条对角线平分一组对角的矩形 C 、对角线相等的棱形 D 、对角线互相垂直的矩形 14.下列命题中，假命题是（ ）。

A 、四个内角都相等的四边形是矩形B 、四条边都相等的平行四边形是正方形C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 15.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、BD AC =，CDAB //B 、BC AD //，C A ∠=∠C 、DO CO BO AO ===，BD AC ⊥ D 、CO AO =，DO BO =，BC AB = 16.下列命题正确的是（ ）A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是等腰梯形 17.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=90°时，它是矩形 D 、当AC=BD 是，它是正方形 18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形一．矩形例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A ． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，•H ，求证：•四边形EFGH 是矩形．二．菱形AC例1已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．例2、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。

求证：AM=BE 。

例3（中考题）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．求线段BE 的长．例4、如图，四边形ABCD 是菱形，DE⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF⊥BC，交BC 的延长线于F 。

请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想例5、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.三．正方形 例1、（2011海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .BMA DC EDB CO60（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.专题二：矩形的有关线段计算1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC的长为 。

2. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.3. 如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.44. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23D ．2A ′DC5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）．A、3B、2C、3D、326. 如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm.7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．8. 如图(十二)，长方形ABCD中，E为BC中点，作AEC∠的角平分线交AD于F点。

若AB＝6，AD＝16，则FD 的长度为（）A．4 B．5 C．6 D．89.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.10.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝ cm．专题三：菱形的有关线段计算1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm22. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）A 16B 8C 4D 13.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.4. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．32 B．33 C．34 D．35. 已知菱形ABCD的面积是212cm，对角线4AC=cm，则菱形的边长是__________cm；6. 菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cmAB=．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD 的长是．7. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16C、83D、8FADEBCADEB8. 如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何（）A、8B、9C、11D、129.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm2．专题四：正方形的有关线段计算1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ;A'NMBCA DE2. 如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm2．3. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4. 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.NMFEDCA题3ABDEF14235. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是BA ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.5专题五：有关特殊四边形的角度计算1. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．2. 如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．3. 如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠=________度．4. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°5. 如图19，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．6. 如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，︒>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为（ ） A.4 B. 3 C.2 D.1四边形动点专题：专题一：证明与计算与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。

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