分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法
白云中学：权兵
解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。

但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。

下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。

一、加减相消法。

例1、解方程：2017
2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。

分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。

如果我们发现方程两边都加上分式
2017
201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。

解：原方程两边都加上2017
201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x
解得：1=x
经检验，1=x 是原分式方程的解。

二、巧用合比性质法。

例2：解方程：7
81222++=++x x x x 。

分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。

解：由合比性质可得：7
7-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 7
1112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （
解得：23-==x x 或
经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。

三、巧用等比性质法。

例3、解方程：1
3242344++=++x x x x 。

分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。

解：由等比性质可得：
1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。

∴ 1
3242++=x x 化简得： 02=x
∴ 0=x
经检验，0=x 是原分式方程的解。

四、分组化简法。

例4、解方程：4
1315121+++=+++x x x x 。

分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。

此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。

解：原方程可化为：5
1413121+-+=+-+x x x x 分别通分并化简，得：
)3)(2()5)(4++=++x x x x （ 解得：5.3=x
经检验，5.3=x 是原分式方程的解。

五、倒数法。

例5、解方程：2
111201711
+-=-++x x x x 。

分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。

但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。

解：原方程两边取倒数，得：
121-120171-+=++x x x x 移项化简，得：1
120171-=x 方程两边取倒数，得：12017-=x
解得：2018=x
经检验，2018=x 是原分式方程的解。

六、列项变形法。

例6、解方程：24
1)100)(99(1)2)(1(1)1(1=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++x x x x x x 。

分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。

若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。

凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。

解：原方程可化为：24
110019912111111=+-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+++-
x x x x x x ∴ 24110011=+-x x 去分母化简得：020120024001002=-+=-+）
）（，即（x x x x 解得：20120=-=x x 或
经检验，20120=-=x x 或是原分式方程的解。

七、换元法。

例7、解方程：2699622=+++x
x x x 。

分析：注意到9
62+x x 与x x 692+互为倒数，因此可考虑换元法，化繁为简，化难为易。

解：令9
62+=x x y ，则y x x 1692=+，故原方程可化为： 21=+y
y
去分母化简得：0101222=-=+-），即（y y y 解得： 1=y
∴ 19
62=+x x 所以化简得：0)3,09622=-=+-x x x 即（
解得：3=x
经检验，3=x 是原分式方程的解。

八、化为整式部分和分式部分之和的变形法。

例8、解方程：12
6412222-+++=+++x x x x x x 。

分析：若一个方程的分子的次数高于或等于分母的次数，则可把这个分式化为化为整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分式方程。

解：原方程可化为：12
12111-+++=++
+x x x x ∴ 2211+=+x x 去分母得：222+=+x x
解得：0=x
经检验，0=x 是原分式方程的解。

九、巧用特殊方程法。

例9、解方程：
2
53113=-+-x x x x 。

分析：对于方程a
a x x 11+=+，我们易知它的根为a x a x 1,21==。

而本题可化为a a x x 11+=+的形式，所以利用上述结论可巧妙将方程解出。

解：原方程可化为：
2
123113+=-+-x x x x ∴ 21
3=-x x 或2113=-x x 解得：5
12-=-=x x 或 经检验，512-=-=x x 或是原分式方程的解。

十、设辅助元法。

例10、解方程：42)1
13(1132=+-++-x x x x x x 。

分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分繁杂。

如果我们观察到原方程的特殊结构，采用设辅助元，令1
13+-=x x y ，则可得13)(=++y x xy ，而原方程则可化为42)(=+•y x xy ，进一步可构造xy 和y x +为根的一元二次方程，然后在求出xy 和y x +的基础上获得原方程的解。

解：设1
13+-=x x y ，则可得13)(=++y x xy ① 又原方程则可化为42)(=+•y x xy ②
所以由①、②可知：
xy 和y x +可以看作一元二次方程042132=+-z z 的两个实数根。

解之得：6,721==z z
所以有：⎩⎨⎧==+67xy y x 或⎩⎨⎧==+7
6xy y x 进一步解得：23,23,6,14321-=+===x x x x 。

经检验，23,23,6,14321-=+===x x x x 是原分式方程的解。

十一、函数图象法。

例11、解方程：0322=-+x x x 。

分析：原方程可化为x x x 322=+，我们可以将此方程的两边分别看作二次函数x x y 22+=和反比例函数x y 3=。

然后在同一直角坐标系分别作出它们的图象，两个函数交点的横坐标即是原方程的解。

解：原方程可化为：x x x 322=+。

将此方程的两边分别看作二次函数x x y 22+=和反比例函数x
y 3=。

在同一直角坐标系分别作出它们的图象（如下图）：
观察图象，可以发现两个函数的图象只有一个交点，且交点坐标为（1,3）
故原方程的解为1=x 。

经检验，1=x 是原分式方程的解。

以上介绍了分式方程的十一种解题技巧，解题关键在于把握分式
方程整体的结构特点，选择恰当的技巧和方法，这样才能化繁为简，化难为易，轻松获得原方程的解。

有时候还需几种技巧和方法融为一体，共同发挥作用。