高中数学- 奇偶性

∴f(x)奇函数
∴f(x)偶函数
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、首先确定函数的定义域,并且判断其 定义域是否关于原点对称
(2)、确定f(-x)与f(x)的关系 (3)、作出相应结论
若有f(-x)= f(x), 则f(x)是偶函数 若有f(-x)= -f(x), 则f(x)是奇函数
奇偶函数图象的性质
4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数, 那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
举例 例2 判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4 (3) f ( x) x 1
x
(2) f ( x) x5
源自文库
( 4)
f (x)
1 x2
解(1) 定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，
那么就称这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，
那么就称这个函数为偶函数.
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a.简化函数图象的画法; b.判断函数的奇偶性.
举例
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边 的图象如下图，画出在y轴左边的图象.
作业
P39 习题1.3 第6题
∴f(x)偶函数
(2) 定义域为R ∵ f(-x)=(-x)5=-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(3) 定义域为{x|x≠0}
(4) 定义域为{x|x≠0}
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即f(-x)=-f(x)
即f(-x)=f(x)
解：画法略
y
相等
0
x
举例
例3 已知函数y =f (x)是奇函数,它在y轴右边 的图象如下图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x)
f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2、两个性质：
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
注意
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶 性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶 性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一 个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量 （即定义域关于原点对称）．
注意
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
x
你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
f (x) x
f(-2)=-2=-f(2)
f (x) 1 x
f(-1)=-1=-f(1)
理论
实际上，对于R内任意的一个x, 都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x 为奇函数.
一般地，对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那 么f(x)就叫做奇函数(odd function ) ．
一般地，对于函数 f (x)的定义域内 的任意一个x，都有f (－x)=f (x)，那么 f (x)就叫做偶函数 (even function) ．
举例
例如
函数
f
(x)
x2
1,
f
(x)
2 是偶函数
x2 1
吗? 图象有什么特点?如下图(1)、(2)所示.
观察函数f(x)=x和 f ( x) 1 的图象(下图)，
函数 的奇偶性
思考
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这
些特征的？
f (x) x
f (x) x2
f (-2)=4=f (2) f (-1)=1=f (1)
理论
实际上，对于R内任意的一个x,都 有 f (-x)=(-x)2=x2=f (x),这时我们称函数 y = x2为偶函数.