不定积分分部积分法教案
不定积分的分部积分法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
x
arctan
x
1
x x
2
dx
x arctan x 1
2
d (1 x2 ) 1 x2
x arctan x 1 ln(1 x2 ) c 2
第9页
练习 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
第8页
例5 求 arctan xdx
解 arctan xdx x arctan x xd (arctan x)
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2dex x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2( xe x e x ) C .
第5页
例3 求 x ln xdx
解
x
ln
xdx
1 2
ln
xd
(
x2
)
1 [x2 ln x x2d ln x] 1 [x2 ln x x2 1 dx]
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C
.
第7页
练习 求积分 sin(ln x)dx.
不定积分的分部积分法
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 解
x arctan xdx .
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 求不定积分 解
2 ( x 2 x ) cos xdx .
2 2 ( x 2 x ) cos x d x ( x 2 x )d(sin x )
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 12 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx , 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )
第三节不定积分的分部积分法PPT培训课件
2 x 2 e x 2 e x 2 C .
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递
推公式
例13 求积分 x(lnx)ndx.(nN*)
解
In x(lx n)ndx
(lnx)nd(x2) 2
x 2 2arx ctx 2 a 21 n 1 x 2d x
x 2 2arc x t1 2 a (1 n 1 1 x2)d x
x 2arx c t1(a x a nrx c) tC a . n
2
2
例6 求不定积分 arcsxd ixn. 解 arcsxidnxxarx cs x id (narx)csin
6 、 计 算 x x d ， 可 e x u _ _ _ _ _ _ , d 设 _ _ _ _ v _ _ _ _ _ _ .
二、求下列不定积分：
1、x2co2sxdx； 2
2、(lnx)3 x2
dx；
3、 eaxcosnxdx； 5、cos(lnx)dx；
4、 e3 xdx； 6、 xearctanx dx .
x1
x1
xd(e x)e xdx
x1
x1
x1
xexexd xexd x
x1
xe x C.
二、小结
１.口诀（反、对、幂、三、指）; ２.单纯的反三角函数、对数函数积分， 可直接运用分部积分； ３.不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C； ４.有时应结合换元积分，先换元后再分部； ５.被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
se3cxdx 1 2 (sx e ta c x n ls ne x t ca x ) n C
不定积分分部积分法教案
第三节 分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=+dx uv vdx u C uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
Cx x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）3 例题讲解例1．计算不定积分dx xe x ⎰． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*），于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰x x xe e C =-+． 注意：（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
不定积分-教案
不定积分 的几何意义就是，其表示了 的一族积分曲线 .这族积分曲线可由积分曲线 向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.
4.1.3基本积分公式表
1.求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算.
(1) ，或 ;
(2) ，或 .
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） ;
（6） ;
*（7） ;
*（8） ;
*（9） ;
*（10） ．Biblioteka 授课序号03教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
分部积分法
教学难点
分部积分法
参考教材
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例题讲解
例4.38求不定积分 ．
例4.39求不定积分 ．
例4.40求不定积分 ．
注多次使用分部积分时， 和 的选取类型要与第一次的保持一致，否则将回到原积分.本例选取幂函数为 ，正(余)弦函数为 ．并两次使用了分部积分法．
分部积分法的使用熟练后， 与 的选取不必写出，只要把被积表达式凑成 的形式，即可使用分部积分公式．
大纲要求
熟练掌握分部积分法.
教 学 基 本 内 容
定理4.4设 ， 在区间 上都有连续的导数，则有 ，即 ，简记为 ．
注1.分部积分法应用的基本步骤可归纳为：
= ．
2. 和 的选取非常关键．选取 和 一般要遵循下面两个原则：
(1)由 要容易求得 ；
(2) 要比 容易积分．
不定积分的分部积分法.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计标题：《探究不定积分中分部积分法则的教学设计》引言：不定积分是高中数学中的一大难点，其中分部积分法则是求解不定积分的重要方法之一。
因此，在教学中，如何深入浅出地教授分部积分法则，培养学生的问题解决能力和实际应用能力，是一项重要的任务。
本文将结合教学实践经验，就不定积分中的分部积分法则进行浅谈，并设计一节关于分部积分法则的教学活动，以引导学生主动探究、灵活运用分部积分法则。
一、总体设计：1. 教学目标：- 了解分部积分法则的起源和应用背景；- 掌握分部积分法则的基本内容和应用方法；- 提高学生的实际问题解决能力和创新思维能力。
2. 教学内容：- 分部积分法则的基本概念和原理；- 分部积分法则的应用方法和技巧；- 分部积分法则在实际问题中的应用。
3. 教学方法：- 示范教学：通过具体例子引导学生理解分部积分法则的原理和应用方法；- 探究式教学：引导学生通过实例分析和讨论，主动探索分部积分法则的应用技巧；- 合作学习：组织学生在小组中完成分部积分法则相关问题的解决和探究。
二、教学步骤：步骤一：导入教师通过一个生动的例子引入分部积分法则的概念和应用背景，激发学生对分部积分法则的兴趣。
步骤二：概念讲解教师对分部积分法则的概念进行简要讲解，包括基本原理和公式。
步骤三：示例分析教师以具体的例子演示分部积分法则的应用方法，引导学生跟随思路和步骤进行计算。
步骤四：问题解决教师组织学生在小组中合作解决一些由分部积分法则引发的问题，鼓励学生积极讨论和思考。
步骤五：实践应用教师设计一些与实际问题相关的综合性应用题，让学生通过分部积分法则求解，并分析计算结果的实际意义。
步骤六：总结巩固教师引导学生总结分部积分法则的基本内容和应用方法，并进行概念巩固和习题训练。
三、教学评价：1. 教师评价：- 学生是否能够理解分部积分法则的原理和应用方法；- 学生在解决分部积分法则相关问题时的思维活跃程度；- 学生是否能够熟练应用分部积分法则解决实际问题。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计【摘要】不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，能够帮助我们解决复杂的积分问题。
本文从引言、正文和结论三个部分展开，引言部分主要介绍分部积分法则的重要性，正文部分具体阐述了分部积分法则的定义、应用场景、教学设计步骤、示例演练和练习题，通过这些内容可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
结论部分对分部积分法则的教学设计进行总结，强调了其在学习和应用中的重要性。
通过本文的讲解，读者能够深入了解分部积分法则的相关知识，并在实际的学习和应用中灵活运用。
【关键词】不定积分、分部积分法则、教学设计、重要性、定义、应用场景、步骤、示例演练、练习题、总结1. 引言1.1 分部积分法则的重要性不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，它在求解复杂函数的不定积分时起着至关重要的作用。
分部积分法则可以将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题，从而简化计算过程，提高计算效率。
通过掌握分部积分法则，学生可以更快地解决各种类型的积分问题，提高解题的准确性和速度。
在实际应用中，分部积分法则常常用于求解含有多个函数乘积的不定积分，如多项式函数、三角函数等。
通过适当地选择分部积分法则的顺序，可以有效地将原积分化简为易于计算的形式，进而求得最终的不定积分结果。
深入理解和熟练运用分部积分法则是学习不定积分的重要基础，对于提升学生的数学计算能力和解题技巧具有重要意义。
通过系统学习和实践，学生可以更好地掌握分部积分法则的运用，为进一步深入学习微积分打下坚实的基础。
2. 正文2.1 分部积分法则的定义不定积分中的分部积分法则是求解复杂积分的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分问题分解成两个较简单的积分问题来求解。
分部积分法则的定义可以表述为：设u(x)和v(x)是可导函数，那么对于不定积分∫u(x)v'(x)dx，其积分结果为u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。
这个公式可以帮助我们将一个乘积形式的积分问题转化为两个更容易求解的积分问题，从而简化求解过程。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计分部积分法是高等数学中的一种重要而又基本的积分方法，它能解决类似，等换元积分法所不能解决的某些类型的积分.本文将对这部分内容进行教学设计，分为两个课时来讲解，主要运用启发式教学法来教学.教学过程设计为三个部分：第一部分，创设问题情境引入分部积分法的定义；第二部分，运用分部积分公式求解不定积分；第三部分，对整堂课的内容进行归纳总结.通过这节课的学习，让学生掌握求积分的一些解题方法和解题技巧。
标签：高等数学分部积分法解题方法一、教材内容分析高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。
从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。
以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。
换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法一一分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。
二、学生分析大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。
在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。
通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。
根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。
不定积分分部积分法PPT课件
x
C
4积分时要注意换元法和分部积分法的综合使用。
5利用分部积分求单个函数的不定积分 例8 求积分
1 解： ln xdx x ln x xdx x ln x x C . x
例9 求积分
x arctan x
ln xdx
xdx arctan x
1 x
2
dx
1 1 2 x arctan x d (1 x ) 2 2 1 x 1 x arctan x ln(1 x 2 ) C . 2
二、第四章复习
主要内容：直接积分法，换元法，分部积分法。 1、直接积分法中的基本函数积分表， 基本性质和基本的恒等变形。 2、第一换元法的四个步骤，关键在于第一步凑 微分。 3、第二换元法中的三个基本方法 4、分部积分法 5、几种方法的综合应用
例2 求积分 解
x xe dx
xe
x
dx .
xde x
xe x e x dx
xe e C .
x x
例3 求积分 x arctan xdx .
x2 解 x arctan xdx arctan xd 2
x2 x2 arctan x d (arctan x ) 2 2 x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
课堂练习题
求下列不定积分
dx 1. 5x 7
2.
3. x 1 x 2 dx
1 5. dx 2 x ln x
公开课(分部积分法)教案
《高职数学》公开课教案课题：§ 4。
4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法,正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式教学重点、难点：分部积分法及其应用，恰当选取u 、dv教学内容：一、分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为'+'='uv u (uv)v移项得 v '-'='u (uv)uv对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u ,⎰⎰-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。
二、例题例1C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cosC x x x ++=cos sin. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv选取的一般原则:1.v 容易求得（凑微分法);2。
u vd ⎰比⎰udv 容易求。
例3求⎰dx e x x 2解： x x de x dx e x ⎰⎰=22 C e xe e x dx e xe e x dxxe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例4求 ⎰xdx x arctan解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x [][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧(1）被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序.例6求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin . 练习： (1）(2)xdx x ln 2⎰例7 求 ⎰dx e x解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此[]C x e Ce te dtte tdte dx e x t t t t x +-=+-===⎰⎰⎰)1(2 2 2 2三、小结使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv(1）原则:v 容易求得（凑微分法）; u vd ⎰比⎰udv 容易求;(2）U 的选取按 “反对幂三指”的顺序.四、作业习题4。
3.3 教学设计——分部积分法
教学反思
本节内容是一种求不定积分的方法，通过例题让学生体会体现了从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点，体会不定积分解法的多样性，感悟数学的魅力。
黑板
能力目标2
讲授新课
40’
1.推导分部积分公式
2.典型例题
3.分部积分公式 的选择
1.由导数的乘法推导分部积分公式
2.通过典型例题让学生体会分部积分公式 的选择
3.总结分部积分公式中选u的法则是：按照“反对幂三指”的次序，将出现的两种不同类型的函数中，在此顺序排在前面的
黑板
知识目标1，2
能力目标1
素质目标2
学生互动
20’
完ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课堂练习
1小组讨论课堂习题
2.教师讲解
3.用Mathematica软件检验计算结果
多媒体
素质目标1，3
课堂小结
5’
1.推导分部积分公式
2.通过例题体会分部积分法
3.分部积分公式中选 的法则
布置作业或任务
5’
1课后通过习题体会分部积分法，熟练掌握分部积分法
2.用Mathematica软件检验计算结果
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
分部积分法
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课的教学内容是分部积分法，这是积分的基本方法之一，学生已经学习了不定积分的直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法，每种方法都有针对的积分类型，而分部积分是针对被积函数是两种不同类型函数乘积的情形。
教学目标
知识目标
1.理解分部积分法的思想；
3.通过自主探究两函数乘积的不定积分，帮助学生提高自我学习与自我研究的能力。
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念1.1 引言引入不定积分概念，解释其在微积分中的重要性。
举例说明实际问题中的不定积分应用。
1.2 不定积分的定义介绍不定积分的定义和符号表示。
解释不定积分与定积分的区别。
1.3 基本积分公式推导基本积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分。
强调记忆和掌握基本积分公式的重要性。
第二章：不定积分的计算方法2.1 换元积分法介绍换元积分法的概念和步骤。
举例说明换元积分法的应用。
2.2 分部积分法介绍分部积分法的概念和步骤。
举例说明分部积分法的应用。
2.3 部分分式积分法介绍部分分式积分法的概念和步骤。
举例说明部分分式积分法的应用。
第三章：不定积分的应用3.1 平面区域的面积介绍平面区域面积的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算平面区域面积。
3.2 曲线的长度介绍曲线长度的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线长度。
3.3 曲线的弧长介绍曲线弧长的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线弧长。
第四章：高阶不定积分4.1 高阶不定积分的定义介绍高阶不定积分的定义和符号表示。
解释高阶不定积分与一阶不定积分的区别。
4.2 高阶不定积分的计算方法推导高阶不定积分的计算方法。
举例说明高阶不定积分的计算应用。
4.3 求解高阶不定积分的一般步骤介绍求解高阶不定积分的一般步骤。
强调记忆和掌握求解高阶不定积分的技巧。
第五章：特殊函数的不定积分5.1 三角函数的不定积分推导三角函数的不定积分公式。
举例说明三角函数的不定积分的应用。
5.2 指数函数的不定积分推导指数函数的不定积分公式。
举例说明指数函数的不定积分的应用。
5.3 对数函数的不定积分推导对数函数的不定积分公式。
举例说明对数函数的不定积分的应用。
第六章：常数项的不定积分6.1 常数项的不定积分的定义引入常数项的不定积分的概念。
解释常数项的不定积分与一般函数的不定积分的区别。
6.2 常数项的不定积分的计算推导常数项的不定积分的计算公式。
积的不定积分-换元法与分部积分法
第14节 积的不定积分-换元法与分部积分法 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：第五章可微性与微分第二节 微分的逆运算-不定积分（二）不定积分的计算二、和差积商函数的不定积分（法则、公式）1.和的不定积分（法则）=不定积分线性运算性质2.积的不定积分（公式）显然，只利用不定积分的线性运算性质求积分是远远不够的，必须继续寻找不定积分的求解方法。
下面就给出由复合函数求导公式得到的不定积分的换元法, 和由乘积求导公式得到的分布积分法：（1）、换元法1）第一换元积分法定理1 设被积函数形如)()]([x x f ϕϕ', 其中)(u f 有原函数)(u F ，)(x u ϕ=具有连续的导数，则C x F du u f dx x x f x u +=='=⎰⎰)]([])([)()]([)(ϕϕϕϕ.(1)证 由复合函数的求导法则，得， 所以)]([x F ϕ是)()]([x x f ϕϕ'的一个原函数，因而C x F dx x x f +='⎰)]([)()]([ϕϕϕ. ▌ 注❶ 称公式(1)为第一换元公式. 常简记第一换元法为 .❷ 其应用步骤为：C x F C u F u d u f x d x f dx x x f dx x h x u +===+============'===⎰⎰⎰⎰=)]([)()()()]([)()]([)()(ϕϕϕϕϕϕ代回积分换元凑微分变形关键是变形到凑微分这一步，它实现了从未知向已知的转化，故第一换元法又简称“凑微法”.例1 求dx x ⎰cos 2.解 原式C x C u du u x d x +=+===⎰⎰2sin sin cos )2(2cos .例2 求⎰+xdx 23. 解 原式⎰⎰++=+==++=C x C u u du x x d 23ln 21ln 212123)23(21.注❶ 一般地, C b x a ab x a dx ++=+⎰ln 1. ❷ 凑微运算熟练后，可不写出中间变量u .)()]([)()]([)]([x x f x x F x F dxd ϕϕϕϕϕ'=''=du u f dx x x f x u )()()]([)(⎰⎰======'ϕϕϕ例3 求 dx xx ⎰+21.解 原式)1(ln 211)1(21222x dx x x d +=++=⎰.例4 求 dx x x ⎰-3234.解 原式C x C x x d x +--=+-⋅-=---=⎰2323)34(272)34(3291)34(34913333例5 求⎰dx x tan .解 原式C x x x d dx x x+-=-==⎰⎰cos ln cos )(cos cos sin .类似可得 C x dx x +=⎰sin ln cot .例6 求 )0(22≠+⎰a a x dx.解 原式 . 例7 求⎰>-)0(22a xa dx . 解 原式 .例8 求⎰-22a x dx)0(≠a .解 原式Cax a x a a x a x a dx a x a x a ++-=+--=+--=⎰ln 21]ln [ln 21)11(21.注 可推广到C bx a x b a b x a x dx +---=+-⎰ln 1)()(.例9(P .164) 求 ⎰dx x sec . 解 原式C x x xx x x d x x dx x x x ++=++=++=⎰⎰sec tan ln sec tan )sec tan (tan sec )tan (sec sec .类似可得 C x dx x +-=⎰cot csc ln csc注 例5—例9实际上时常用的积分，故应补充到基本积分公式表中，(16) C x dx x +-=⎰cos ln tan ； (17) C x dx x +=⎰sin ln cot ； (18) C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec ； (19)C x dx x +-=⎰cot csc ln csc ；(20) ；(21) ；(22) C ax a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122. 注 凑微法是计算不定积分时使用频率最高的一种技巧，使用它的关键是熟练掌握函数的微分形式，常用的可参见P.137，也可只记微分形式：)(1b ax d a dx +=， 111++=a a dx a dx x ， x x de dx e =， x d dx x ln 1=， x d dx x sin cos =， x d dx x cos sin -=, x d dx x tan sec 2=，x d dx x cot csc 2-=，⎰⎰+=+=+=Ca x a a x a xd a a x a dx arctan 11)()(1)1(2222Ca x a x a x d +=-=⎰arcsin )(1)(2⎰+=+C a x a x a dx arctan 122C a x x a x d +=-⎰arcsin 22x d dx x21=, x d x dx arcsin 12=- x d dx x arctan 112=+,还有一些常用，但难度较大的，如)c o ss i n ()s i n (c o s x x d dx x x +-=±， )ln ()ln 1(x x d dx x =+， )()1(x x xe d dx x e =+， 2211x d x dx x ±=±±，例10 求⎰+x ex d 1.解 原式 .例11 求⎰+)ln 21(x x dx . 解 原式C x x xd ++=+⎰ln 21ln 21ln 21ln .例12 求dx x x x ⎰+)1(arctan .解 原式C x x d x x dx x +==+=⎰⎰22)arctan (arctan arctan 2)(1arctan 2. 例13 求dx x ⎰3sin .解 原式 C x x x d x ++-=--=⎰32s co 31cos )s co ()sin 1(.例14 求dx x ⎰2s co .解 原式C x x x d x x dx x ++=+=+⎰⎰2sin 4121)2(2cos 412122cos 1.例15 求dx x ⎰4cos . 解 原式C x x x dx x x dx x +++=+++=+⎰⎰4sin 3212sin 4183)24cos 12cos 21(41)22cos 1(2.例16 求⎰dx x x 2cos 3cos .解 原式Cx x dx x x ++=+=⎰5cos 101sin 21)5cos cos (21.例17 求dx x ⎰6sec .解 原式C x x x x d x +++=+=⎰5322tan 51tan 32tan tan )tan 1(.例18 求dx x x ⎰35sec tan . 解 原式C x x x dx x x x x d x x ++==+-=-=⎰⎰3sec 5sec 7sec )sec sec 2(sec sec sec )1(sec 357246222.2）第二换元法第一换元法虽然应用相当广泛，但对于某些积分就不适用，，如⎰-dx x a 22， ，⎰++dx x 111等，为此介绍第二换元法。
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第三节 第四节
第五节 分部积分法
教学内容：分部积分法
教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取
v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用
教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时 教学进程：
我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分⎰
⋅xdx x cos
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔ ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt t
t t ⎰
--⋅
⋅2
11arccos 更为复杂
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）
已知： '')'(uv v u v u +=⋅
对上式两边积分得：⎰⎰
+=+dx uv vdx u C uv '' 移项得：
⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰
dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C
x x x xdx
x x x dx
x x xdx
x ++=-==
↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样
先要化的和要求积分的
通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式
设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：
⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）
3 例题讲解
例1．计算不定积分dx xe x ⎰
．
解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x
e v =（*），
于是
x x x x
xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰
x x xe e C =-+． 注意：
（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
（2）若设x
e u =,xdx dv =，则
dx e x e x dx xe x x x
⎰⎰-=222
121， 积分dx e x x
⎰
2比积分⎰
dx xe x
要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点： （1）v 要易求；
（2）积分⎰'vdx u 要比积分⎰
'dx v u 易计算．
练习：求⎰
xdx x sin
例2．计算不定积分⎰
xdx ln
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1⋅即可。
解：设x u ln =，1='v ，则x
u 1
='，x v =， 于是
C
x x x dx
x
x x x xdx
xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰ln 1
ln ln ln
注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例3．计算不定积分⎰
xdx x arctan 。
解 设x v x u ='=,arctan ；则2
2
21,11x v x u =+=
',
于是 ⎰xdx x arctan dx x x x x ⎰
+-=222121arctan 21dx x x x x ⎰+-+-=1
1121arctan 21222
dx x x x ⎰+--=
)111(21arctan 2122211
arctan (arctan )22x x x x C =--+ 211
(1)arctan 22x x x C =+-+
练习：求⎰xdx arcsin 。
例 4. 计算不定积分2x x e dx ⎰
．
解 设 2u x = ，x
e v ='，则x u 2='，x
e v =， 于是
2222x x x x x e dx x de x e xe dx ==-⎰⎰⎰
22[]x x x x e xe e dx =--⎰
222x
x
x
x e xe e C =-++
注意： 如果要两次分部积分，选取v u ',要一致，否则会还原．
例5．计算不定积分xdx e x sin ⎰
．
解：
xdx
e x e x e xdx e x e xde xdx
e x x x x
x
x
x sin cos sin cos sin sin sin ⎰⎰⎰⎰--=-==
好像进入了死胡同，实则不然，令I xdx e x =⎰
sin ,则上式变为：
)2
(,)cos sin (21cos sin 2cos sin 11C C C x e x e I C x e x e I I
x e x e I x x
x x x x =+-=
+-=--=其中则
练习：求⎰
xdx e x cos 。
从这几个典型例题可以看到，一般情况下， v u ',可按下列规律选择： （1）形如,
sin kxdx x n ⎰,cos kxdx x n ⎰，dx e x kx
n ⎰（其中n 为正整数）的不定积分，令
n x u =，余下的凑成v '。
（2）形如xdx x n ln ⎰，xdx x n arcsin ⎰，xdx x n arctan ⎰
时，令n
x v ='，余下的凑成u 。
（3）形如bxdx e bxdx e ax ax cos ,sin ⎰
⎰ 的不定积分，可以任意选择u 与v '，但由于要
使用两次分部积分公式，两次选择u 与v '应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。
说明
（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u 及v '，使v u '更加便于积分． （2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．
例6．求dx e x I x
n n ⎰=
的递推公式，其中n 为正整数，并求出32
1
,,I I
I 。
解：111----=-=-==⎰⎰
⎰
n x n x n x n x
n x
n x n n nI e x dx e x n e x dx e nx e x dx e x I
因此可得dx e x I x
n n ⎰=
的递推公式为
),3,2,1(,1 =-=-n nI e x I n x
n n
其中C e dx e I x x +==⎰
0，那么有
101C e xe I xe I x
x x +-=-=
22122222C e xe e x I e x I x
x x x ++-=-=
3232336633C e xe e x e x I e x I x
x x x x +-+-=-=
例7．计算不定积分dx e x
⎰
．
解
dx e
x
⎰dt te tdt e t t t
x ⎰⎰====222t tde =⎰)(2⎰-=dt e te t t
c e te t
t +-=222C =-+
4小结
1、分部积分公式
2、在分部积分的公式中，v u ',的选取。
3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。
作业：习题4－3（132P ）1、4、5、7、8、9、10。