不定积分分部积分法教案
不定积分的分部积分法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
x
arctan
x
1
x x
2
dx
x arctan x 1
2
d (1 x2 ) 1 x2
x arctan x 1 ln(1 x2 ) c 2
第9页
练习 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
cos(ln
x)]
C.
第8页
例5 求 arctan xdx
解 arctan xdx x arctan x xd (arctan x)
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2dex x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2( xe x e x ) C .
第5页
例3 求 x ln xdx
解
x
ln
xdx
1 2
ln
xd
(
x2
)
1 [x2 ln x x2d ln x] 1 [x2 ln x x2 1 dx]
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C
.
第7页
练习 求积分 sin(ln x)dx.
不定积分的分部积分法
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 解
x arctan xdx .
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 求不定积分 解
2 ( x 2 x ) cos xdx .
2 2 ( x 2 x ) cos x d x ( x 2 x )d(sin x )
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 12 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx , 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )
第三节不定积分的分部积分法PPT培训课件
2 x 2 e x 2 e x 2 C .
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递
推公式
例13 求积分 x(lnx)ndx.(nN*)
解
In x(lx n)ndx
(lnx)nd(x2) 2
x 2 2arx ctx 2 a 21 n 1 x 2d x
x 2 2arc x t1 2 a (1 n 1 1 x2)d x
x 2arx c t1(a x a nrx c) tC a . n
2
2
例6 求不定积分 arcsxd ixn. 解 arcsxidnxxarx cs x id (narx)csin
6 、 计 算 x x d ， 可 e x u _ _ _ _ _ _ , d 设 _ _ _ _ v _ _ _ _ _ _ .
二、求下列不定积分：
1、x2co2sxdx； 2
2、(lnx)3 x2
dx；
3、 eaxcosnxdx； 5、cos(lnx)dx；
4、 e3 xdx； 6、 xearctanx dx .
x1
x1
xd(e x)e xdx
x1
x1
x1
xexexd xexd x
x1
xe x C.
二、小结
１.口诀（反、对、幂、三、指）; ２.单纯的反三角函数、对数函数积分， 可直接运用分部积分； ３.不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C； ４.有时应结合换元积分，先换元后再分部； ５.被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
se3cxdx 1 2 (sx e ta c x n ls ne x t ca x ) n C
不定积分分部积分法教案
第三节 分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=+dx uv vdx u C uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
Cx x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）3 例题讲解例1．计算不定积分dx xe x ⎰． 解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x e v =（*），于是 x x x x xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰x x xe e C =-+． 注意：（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
不定积分-教案
不定积分 的几何意义就是，其表示了 的一族积分曲线 .这族积分曲线可由积分曲线 向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.
4.1.3基本积分公式表
1.求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算.
(1) ，或 ;
(2) ，或 .
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） ;
（6） ;
*（7） ;
*（8） ;
*（9） ;
*（10） ．Biblioteka 授课序号03教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
分部积分法
教学难点
分部积分法
参考教材
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例题讲解
例4.38求不定积分 ．
例4.39求不定积分 ．
例4.40求不定积分 ．
注多次使用分部积分时， 和 的选取类型要与第一次的保持一致，否则将回到原积分.本例选取幂函数为 ，正(余)弦函数为 ．并两次使用了分部积分法．
分部积分法的使用熟练后， 与 的选取不必写出，只要把被积表达式凑成 的形式，即可使用分部积分公式．
大纲要求
熟练掌握分部积分法.
教 学 基 本 内 容
定理4.4设 ， 在区间 上都有连续的导数，则有 ，即 ，简记为 ．
注1.分部积分法应用的基本步骤可归纳为：
= ．
2. 和 的选取非常关键．选取 和 一般要遵循下面两个原则：
(1)由 要容易求得 ；
(2) 要比 容易积分．
不定积分的分部积分法.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计标题：《探究不定积分中分部积分法则的教学设计》引言：不定积分是高中数学中的一大难点，其中分部积分法则是求解不定积分的重要方法之一。
因此，在教学中，如何深入浅出地教授分部积分法则，培养学生的问题解决能力和实际应用能力，是一项重要的任务。
本文将结合教学实践经验，就不定积分中的分部积分法则进行浅谈，并设计一节关于分部积分法则的教学活动，以引导学生主动探究、灵活运用分部积分法则。
一、总体设计：1. 教学目标：- 了解分部积分法则的起源和应用背景；- 掌握分部积分法则的基本内容和应用方法；- 提高学生的实际问题解决能力和创新思维能力。
2. 教学内容：- 分部积分法则的基本概念和原理；- 分部积分法则的应用方法和技巧；- 分部积分法则在实际问题中的应用。
3. 教学方法：- 示范教学：通过具体例子引导学生理解分部积分法则的原理和应用方法；- 探究式教学：引导学生通过实例分析和讨论，主动探索分部积分法则的应用技巧；- 合作学习：组织学生在小组中完成分部积分法则相关问题的解决和探究。
二、教学步骤：步骤一：导入教师通过一个生动的例子引入分部积分法则的概念和应用背景，激发学生对分部积分法则的兴趣。
步骤二：概念讲解教师对分部积分法则的概念进行简要讲解，包括基本原理和公式。
步骤三：示例分析教师以具体的例子演示分部积分法则的应用方法，引导学生跟随思路和步骤进行计算。
步骤四：问题解决教师组织学生在小组中合作解决一些由分部积分法则引发的问题，鼓励学生积极讨论和思考。
步骤五：实践应用教师设计一些与实际问题相关的综合性应用题，让学生通过分部积分法则求解，并分析计算结果的实际意义。
步骤六：总结巩固教师引导学生总结分部积分法则的基本内容和应用方法，并进行概念巩固和习题训练。
三、教学评价：1. 教师评价：- 学生是否能够理解分部积分法则的原理和应用方法；- 学生在解决分部积分法则相关问题时的思维活跃程度；- 学生是否能够熟练应用分部积分法则解决实际问题。
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第三节 第四节
第五节 分部积分法
教学内容：分部积分法
教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取
v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用
教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时 教学进程：
我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分⎰
⋅xdx x cos
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔ ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt t
t t ⎰
--⋅
⋅2
11arccos 更为复杂
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）
已知： '')'(uv v u v u +=⋅
对上式两边积分得：⎰⎰
+=+dx uv vdx u C uv '' 移项得：
⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰
dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C
x x x xdx
x x x dx
x x xdx
x ++=-==
↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样
先要化的和要求积分的
通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式
设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：
⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）
3 例题讲解
例1．计算不定积分dx xe x ⎰
．
解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x
e v =（*），
于是
x x x x
xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰
x x xe e C =-+． 注意：
（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
（2）若设x
e u =,xdx dv =，则
dx e x e x dx xe x x x
⎰⎰-=222
121， 积分dx e x x
⎰
2比积分⎰
dx xe x
要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点： （1）v 要易求；
（2）积分⎰'vdx u 要比积分⎰
'dx v u 易计算．
练习：求⎰
xdx x sin
例2．计算不定积分⎰
xdx ln
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1⋅即可。
解：设x u ln =，1='v ，则x
u 1
='，x v =， 于是
C
x x x dx
x
x x x xdx
xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰ln 1
ln ln ln
注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例3．计算不定积分⎰
xdx x arctan 。
解 设x v x u ='=,arctan ；则2
2
21,11x v x u =+=
',
于是 ⎰xdx x arctan dx x x x x ⎰
+-=222121arctan 21dx x x x x ⎰+-+-=1
1121arctan 21222
dx x x x ⎰+--=
)111(21arctan 2122211
arctan (arctan )22x x x x C =--+ 211
(1)arctan 22x x x C =+-+
练习：求⎰xdx arcsin 。
例 4. 计算不定积分2x x e dx ⎰
．
解 设 2u x = ，x
e v ='，则x u 2='，x
e v =， 于是
2222x x x x x e dx x de x e xe dx ==-⎰⎰⎰
22[]x x x x e xe e dx =--⎰
222x
x
x
x e xe e C =-++
注意： 如果要两次分部积分，选取v u ',要一致，否则会还原．
例5．计算不定积分xdx e x sin ⎰
．
解：
xdx
e x e x e xdx e x e xde xdx
e x x x x
x
x
x sin cos sin cos sin sin sin ⎰⎰⎰⎰--=-==
好像进入了死胡同，实则不然，令I xdx e x =⎰
sin ,则上式变为：
)2
(,)cos sin (21cos sin 2cos sin 11C C C x e x e I C x e x e I I
x e x e I x x
x x x x =+-=
+-=--=其中则
练习：求⎰
xdx e x cos 。
从这几个典型例题可以看到，一般情况下， v u ',可按下列规律选择： （1）形如,
sin kxdx x n ⎰,cos kxdx x n ⎰，dx e x kx
n ⎰（其中n 为正整数）的不定积分，令
n x u =，余下的凑成v '。
（2）形如xdx x n ln ⎰，xdx x n arcsin ⎰，xdx x n arctan ⎰
时，令n
x v ='，余下的凑成u 。
（3）形如bxdx e bxdx e ax ax cos ,sin ⎰
⎰ 的不定积分，可以任意选择u 与v '，但由于要
使用两次分部积分公式，两次选择u 与v '应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。
说明
（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u 及v '，使v u '更加便于积分． （2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．
例6．求dx e x I x
n n ⎰=
的递推公式，其中n 为正整数，并求出32
1
,,I I
I 。
解：111----=-=-==⎰⎰
⎰
n x n x n x n x
n x
n x n n nI e x dx e x n e x dx e nx e x dx e x I
因此可得dx e x I x
n n ⎰=
的递推公式为
),3,2,1(,1 =-=-n nI e x I n x
n n
其中C e dx e I x x +==⎰
0，那么有
101C e xe I xe I x
x x +-=-=
22122222C e xe e x I e x I x
x x x ++-=-=
3232336633C e xe e x e x I e x I x
x x x x +-+-=-=
例7．计算不定积分dx e x
⎰
．
解
dx e
x
⎰dt te tdt e t t t
x ⎰⎰====222t tde =⎰)(2⎰-=dt e te t t
c e te t
t +-=222C =-+
4小结
1、分部积分公式
2、在分部积分的公式中，v u ',的选取。
3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。
作业：习题4－3（132P ）1、4、5、7、8、9、10。