常用逻辑用语复习题
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常用逻辑用语复习题
一、选择题:
1.下列四个命题,其中为真命题的是( )
A .命题“若24x =,则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-,则24x ≠”
B .若命题:p 所有幂函数的图像不过第四象限,命题:q 所有抛物线的离心率为1,则命题“p 且q ”为真
C .若命题:p 2,230,x R x x ?∈-+>则2
000:,230p x R x x ??∈-+<
D .若a b >,则()
*n n a b n N >∈
2.下列命题中,p 是q 的充要条件的是( )
①:2p m <-或6m >;2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点;
③:cos cos ;p αβ=:tan tan q αβ=; ④:;p A B A ?=:U U q C B C A ?。
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④ 3.下列说法中正确的是
A .若p ∨q 为真命题,则p ,q 均为真命题
B .命题“0
0,2
0x x R ?∈≤”的否定是“,20x x R ?∈>”
C .“a≥5”是“2
[1,2],0x x a ?
∈-≤恒成立“的充要条件 D .在△ABC 中,“a>b”是“sinA>sinB”的必要不充分条件
4.已知: 0)3)(2(:>--x x q ,的充分不必要条件是若q p ??,则实数a 的取值范围是( )
A.61>- B. C.61≤≤-a D. 5.由命题p :“函数q:“数列a,a 2,a 3,…, a n ,…是等比数列”构成的复合命题中,下列判断正确的是( ) A .p q 为假,p q 为假 B .p q 为真,p q 为真 C .p q 为真,p q 为假 D .p q 为假,p q 为真 6.已知命题:函数的值域为,命题:函数 是减函数,若或为真命题,且为假命题,则实数的取值范围是( ) A . B . C . D .或 7.下列4个命题: 2 2 ∨∧∨∧∨∧∨∧p )2(log 25.0a x x y ++=R q x a y )25(--=p q p q a 1≤a 2 ②“18a ≥ ”是“对任意的正数x ,21a x x + ≥”的充要条件; ③命题“,”的否定是:“,x R ?∈20x x -<” ④已知p,q 为简单命题,则“p q ∧为假命题”是“p q ∨为假命题”的充分不必要条件; 其中正确的命题个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 8.下列命题中正确的是( ) A. 若a b a b →→→→ =和都是单位向量,则 B. 若AB →=DC → ,则A ,B ,C ,D 四点构成平行四边形 C. ,,a b b c a c →→→→→→ 若∥∥则∥ D. 向量AB →与BA → 是两平行向量 9.若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2 (1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 10.命题:p 函数2 2log (2)y x x =-的单调增区间是[1,)+∞,命题:q 函数1 31 x y = +的值域为(0,1),下列命题是真命题的为( ) A .p q ∧ B .p q ∨ C. ()p q ∧? D.q ? 二、填空题:: 11.下列命题中_________为真命题. ①“A ∩B=A ”成立的必要条件是“A B ”; ②“若x 2+y 2 =0,则x ,y 全为0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 12.命题:“2 5:(1,),2302 p x tx x ?∈+->使不等式有解”为真命题,则实数t 的取值范围是______________ 13.已知p:-4<x-a <4,q:(x-2)(3-x)>0,若?p 是?q 的充分条件,则实数a 的取值范围是 . 14.设命题:(),命题:(), 若命题是命题 的充分非必要条件,则的取值范围是 。 15.关于函数(3),0 ()23,0 x x e x f x ax x -?-≥=?-(为常数,且),对于下列命题: x R ?∈02 >-x x p ?? ???≥+-≤-->-+06208201243y x y x y x R y x ∈,q 2 22r y x ≤+0,,,>∈r R r y x q p ? r a 0a > ②若2a = ,则函数在处可导; ③函数在R 上存在反函数; ④函数有最大值 ⑤对任意的实数120x x >≥,恒有 其中正确命题的序号是___________________. 三、解答题: 16.已知命题p :任意x ∈R ,x 2 +1≥a 都成立,命题q (1)若命题p 为真命题,求实数a 的取值范围; (2)若 “p 且q ”为真命题,求实数a 的取值范围. 17.已知条件p :{} 2|230,,x A x x x x R ∈=--≤∈ 条件q :{} 22|240,,x B x x mx m x R m R ∈=-+-≤∈∈ (Ⅰ)若[]0,3A B =I ,求实数m 的值; (Ⅱ)若p 是q ?的充分条件,求实数m 的取值范围. 18(x ∈R ), (Ⅱ)已知m ∈R ,p :关于x 的不等式2()22f x m m ≥+-对任意x ∈R 恒成立; q :函数2(1)x y m =-是增函数.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数m 的取值范围. ()f x 0x =()f x ()f x 19. a,b,c为实数,且a=b+c+1.证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 20.已知集合 (1)能否相等?若能,求出实数的值,若不能,试说明理由? (2)若命题命题且是的充分不必要条件,求实数的取值范围. 21.已知,设命题:函数在区间上与轴有两个不同 的交点;命题:在区间上有最小值.若是真命题,求实数的取值范围. 参考答案 1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11.②④ 12.825 t >- 13.[-1,6] 14.(0 15.①②④ 16.(1)1≤a (2)12≤<-a 17.(1)21≤≤m (2)5>m 或3- 18.(1)1;(2) 19.假设两个方程都没有两个不等的实数根,则 Δ1=1-4b ≤0,Δ2=a 2-4c ≤0,∴Δ1+Δ2=1-4b+a 2 -4c ≤0. ∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a 2 ≤0, 即a 2-4a+5≤0.但是a 2-4a+5=(a-2)2 +1>0,故矛盾. 所以假设不成立,原命题正确,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 20. (1)当时,当时 显然 ,故时, . (2) 当时, 则解得 5 12 当时,则 综上是的充分不必要条件,实数的取值范围是或. 21.要使函数在上与轴有两个不同的交点, 必须 2分 即 4分 解得. 所以当时,函数在上与轴有两个不同的交点. 5分 下面求在上有最小值时的取值范围: 方法1:因为 6分 ①当时,在和上单调递减,在上无最小值; 7分 ②当时,在上有最小值 ; 8分 在上有最小值. 9分 所以当时,函数在上有最小值. 10分 方法2:因为 6分 因为,所以. 所以函数是单调递减的. 7分 要使在上有最小值,必须使在上单调递增或为常数. 8分 即,即. 9分 所以当时,函数在上有最小值.10分 若是真命题,则是真命题且是真命题,即是假命题且是真命题. 11分 所以 1 2分 解得或 .13分 故实数的取值范围为. 14分 最新常用逻辑用语全章测试题 一、选择题(每小题只有一个答案,每道题3分,共30分) 1.下列语句中的简单命题是( ) A .3不是有理数 B .?AB C 是等腰直角三角形 C .3x +2<0 D .负数的平方是正数 2.命题:“方程x 2-2=0的解是x =2±”中使用逻辑联系词的情况是( ) A .没有使用逻辑联结词 B .使用了逻辑联结词“且” C .使用了逻辑联结词“或” D .使用了逻辑联结词“非” 3.“a 2+b 2≠0”的含义是 ( ) A .a ,b 不全为0 B .a ,b 全不为0 C .a ,b 中至少有一个为0 D .a ,b 中没有0 4.如果命题“非p 为真”,命题“p 且q ”为假,那么则有( ) A .q 为真 B .q 为假 C .p 或q 为真 D .p 或q 不一定为真 5.x y >1的一个充分不必要条件是 ( ) A .x >y B .x >y >0 C .x <y D .y <x <0 6.下列全称命题 ①末位是0的整数,可以被2整除;②不相交的两条直线是平行直线;③偶函数的图像关于y 轴对称;④正四面体中两侧面的夹角相等; 其中真命题的个数为( ) A .l B .2 C .3 D .0 7.已知集合A 、B ,全集∪,给出下列四个命题( ) ①若A B ?,则A B B =; ②若A B B =,则A B B =; ③若()a A C B ∈,则a A ∈; ④若()a C A B ∈,则()a A B ∈ 则上述正确命题的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8.给出命题: ①若0232=+-x x ,则x =1或x =2; ②若32<≤-x ,则0)3)(2(≤-+x x ; ③若x =y =0,则02 2=+y x ; ④若*∈N y x ,,x +y 是奇数,则x ,y 中一奇,一偶. 那么( ) A .①的逆命题为真 B .②的否命题为真 C .③的逆否命题为假 D .④的逆命题为假 9.下列命题中,真命题的个数为 ①对所有正数x x < ②不存在实数x ,使x<4且x2+5x=24 ③存在实数x ,使得|x+1|≤1且x2>4 ④3≥3 A .1 B .2 C .3 D .4 2016年高考数学文试题分类汇编—常用逻辑用语 1、(2016年山东高考)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α, 内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面 α和平面相交”的 (A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 2、(2016年上海高考)设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( ) (A )充分非必要条件(B )必要非充分条件(C )充要条件(D )既非充分也非必要条件 4、(2016年四川高考)设p:实数x ,y 满足x>1且y>1,q: 实数x ,y 满足x+y>2,则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5、(2016年天津高考)设0>x ,R y ∈,则“y x >”是“||y x >”的( ) (A )充要条件 (B )充分而不必要条件(C )必要而不充分条件(D )既不充分也不必要条件 6、(2016年浙江高考)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2016年高考数学理试题分类汇编—常用逻辑用语 1、(北京理数4).设a ,b 是向量,则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2、(山东文理数6)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 3、(上海文理数15)设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件(C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 4、(四川理数7)设p :实数x ,y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2,q :实数x ,y 满足1,1,1,y x y x y ≥-??≥-??≤? 则p 是q 的 (A )必要不充分条件 (B )充分不必要条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件 5、(四川文数5) 设p:实数x ,y 满足x>1且y>1,q: 实数x ,y 满足x+y>2,则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6、(天津理数)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n ?1+a 2n <0”的( ) 麻博达《常用逻辑用语》单元训练 1 2 班级:姓名: 题号 1 2 345678910答案 3 一、选择题: 4 1.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是() 5 A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.0 2 2= +b a 6 2.“至多有三个”的否定为() 7 A.至少有三个 B.至少有四个 C.有三个 D.有四个 8 3.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题p:肖像在9 这个盒子里;银盒上写有命题q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写有命题r:肖像不在10 金盒里.p、q、r中有且只有一个是真命题,则肖像在() 11 A.金盒里 B.银盒里 12 C.铅盒里 D.在哪个盒子里不能确定 13 4.不等式对于恒成立,那么的取值范围是() 14 A. B. C. D. 15 5.“a和b都不是偶数”的否定形式是() A.a和b至少有一个是偶数 B.a和b至多有一个是偶数 16 17 C.a是偶数,b不是偶数 D.a和b都是偶数 6.某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”,初听起来,这似乎只是普通的赞美18 说词,然而他的实际效果大哩,原来这句话的等价命题是 ( ) 19 A .不拥有的人们不一定幸福 B .不拥有的人们可能幸福 20 C .拥有的人们不一定幸福 D .不拥有的人们不幸福 21 7.若命题“p 或q”为真,“非p”为真,则 ( ) 22 A .p 真q 真 B .p 假q 真 C .p 真q 假 D .p 假q 假 23 8.条件p :,,条件q :,,则条件p 是条件q 的( ) 24 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 25 C .充要条件 D .即不充分也不必要条件 26 9.2x2-5x -3<0的一个必要不充分条件是 ( ) 27 A .-<x <3 B .-<x <0 28 C .-3<x < D .-1<x <6 29 10.设原命题:若a+b≥2,则a,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真30 假情况是( ) 31 A .原命题真,逆命题假 B .原命题假,逆命题真 32 C .原命题与逆命题均为真命题 D .原命题与逆命题均为假命题 33 二、填空题: 34 11.下列命题中_________为真命题. 35 ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”; 36 ②“若022=+b a ,则x ,y 全为0”的否命题; 37 ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; 38 集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一)集合 1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用 . 2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ; ②空集是任何集合的子集,记为A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ,同时A B ,那么A=B. 如果C A C B B A ,那么,. [注]:①Z ={整数}(√)Z ={全体整数}(×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例: S=N ;A=N , 则C s A={0}) ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A =,C A B =C S (C A B )=D (注:C A B =). 3.①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R 二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R }一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例:1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是.(例:A={(x ,y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =) 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n -1个.③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例:①若325b a b a 或,则应是真命题. 解:逆否:a =2且b =3,则a+b =5,成立,所以此命题为真. ②,且21y x 3y x . 解:逆否:x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3.例:若255x x x 或,. 4.集合运算:交、并、补. 5.主要性质和运算律 (1)包含关系:,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C (2)等价关系:U A B A B A A B B A B U I U U C (3)集合的运算律: 交换律:. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律:,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律:. ,A A A A A A 求补律:A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律:C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式: (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”; (为了统一方便) 常用逻辑用语单元测试题 一、选择题 1、下列语句中是命题的个数是( ) ①空集是任何集合的真子集; ②求0432=--x x 的根; ③满足023>-x 的整数有哪些? ④把门关上; ⑤垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗? ⑥自然数是偶数。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、对于实数c b a ,,有下列命题:其中真命题的个数是( ) ①若b a >,则bc ac >; ②若22bc ac >,则b a >; ③若220b ab a b a >><<,则; ④若0011<>>>b a b a b a ,,则,。 A 、1 B 、2 C 、3 C 、4 3、命题“若3662==a a ,则”与其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( ) A 、0 B 、2 C 、3 C 、4 4、已知”的”是“,则“、00≠≠∈mn m R n m ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、设5<∈x R x ,那么成立的一个必要不充分条件是( ) A 、5 1 高考文科数学试题分类汇编13:常用逻辑用语 一、选择题 1 .(2013年高考重庆卷(文))命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 ( ) A .对任意x R ∈,使得20x < B .不存在x R ∈,使得20x < C .存在0x R ∈,都有2 00x ≥ D .存在0x R ∈,都有2 00x < 【答案】A 2 .(2013年高考四川卷(文))设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ?∈∈,则 ( ) A .:,2p x A x B ??∈∈ B .:,2p x A x B ???∈ C .:,2p x A x B ??∈? D .:,2p x A x B ???? 【答案】C 3 .(2013年高考湖南(文))“1 麻博达《常用逻辑用语》单元训练 班级:: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题 号 答 案 一、选择题: 1.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是()A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.0 2= 2 a +b 2.“至多有三个”的否定为()A.至少有三个B.至少有四个C.有三个D.有四个3.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题p:肖像在这个盒子里;银盒上写有命题q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写有命题r:肖像不在金盒里.p、q、r中有且只有一个是真命题,则肖像在() A.金盒里B.银盒里 C.铅盒里D.在哪个盒子里不能确定 4.不等式对于恒成立,那么的取值范围是()A.B.C.D. 5.“a和b都不是偶数”的否定形式是() A.a和b至少有一个是偶数B.a和b至多有一个是偶数C.a是偶数,b不是偶数D.a和b都是偶数 6.某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”,初听起来,这似乎只是普通的赞美说词,然而他的实际效果大哩,原来这句话的等价命题是() A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福 7.若命题“p或q”为真,“非p”为真,则()A.p真q真B.p假q真C.p真q假D.p假q假 8.条件p:,,条件q:,,则条件p是条件q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件9.2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是() A.-<x<3 B.-<x<0 C.-3<x<D.-1<x<6 10.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是() A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题二、填空题: 11.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”; ②“若0 2= 2 a,则x,y全为0”的否命题; +b ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。 12.若p:“平行四边形一定是菱形”,则“非p”为________。13.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则s是q的________条件,r是q的___________条件,p是s的__________条件。 14.设p、q是两个命题,若p是q的充分不必要条件,那么非p是非q的___________条件。 三、解答题: 15.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。(1)矩形的对角线相等且互相平分; (2)正偶数不是质数。 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1.集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中. (2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. (4)五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B (或B ?A ). (2)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ,A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B . 两集合相等:A =B ?? ???? A ? B , A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性. (4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}. 3.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B }. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B }. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (2)已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中 元素的互异性可知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. 常用逻辑用语测试题 一 、 选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列语句不是命题的有( ) ①2 30x -=;②与一条直线相交的两直线平行吗③315+=;④536x -> A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 2.(改编题)命题“a 、b 都是奇数,则a +b 是偶数”的逆命题是 ( ) A .a 、b 都不是奇数,则a +b 是偶数 B .a +b 是偶数,则a 、b 都是奇数 C .a +b 不是偶数,则a 、b 都不是奇数 D .a +b 不是偶数,则a 、b 不都是奇数 3.命题“若a >b ,则2 2 ac bc >”(这里a 、b 、c 都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 ( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .0个 4.命题“若A ∪B =A ,则A ∩B=B ”的否命题是( ) A .若A ∪ B ≠A ,则A ∩B ≠B B .若A ∩B =B ,则A ∪B=A C .若A ∩B ≠A ,则A ∪B ≠B D .若A ∪B =B ,则A ∩B =A 5.(改编题)下列有关命题的说法中错误的个数是( ) ①若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题 ②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 ③命题“若2 320x x -+=,则1x =“的逆否命题为:“若1,x ≠则2 320x x -+≠” ④对于命题:,p x R ?∈使得2 10x x ++<,则:,p x R ??∈均有2 10x x ++≥ A 4 B 3 C 2 D 1 6.已知命题:p R x ∈?,022 ≤++a ax x .若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(,0][1,)-∞+∞ B.[0,1] C.(,0)(1,)-∞+∞ D.(0,1) 7.(原创题)“ 2a b =-”是“直线20ax y +=垂直于直线1x by +=”的( ) A.充分而不必要条件 B.充分必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.用反证法证明命题:“a ,b ∈N ,ab 能被5整除,那么a ,b 中至少有一个能被5整除”时,假设的内容是( ) A .a 、b 都能被5整除 集合与常用逻辑用语 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题 1.已知集合A={x|x=2n —l ,n∈Z},B={x|x 2一4x<0},则A ∩B=( ) A .}1{ B .}41{< 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U和集合A,B如图所示,则(?)∩B( ) A.{5,6} B.{3,5,6} C.{3} D.{0,4,5,6,7,8} 解析:选 A.由题意知:A={1,2,3},B={3,5,6},?={0,4,7,8,5,6},∴(?)∩B={5,6},故选A. 2.设集合A={(x,y)+=1},B={(x,y)=3x},则A∩B的子集的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:选A.集合A中的元素是椭圆+=1上的点,集合B中的元素是函数y=3x的图象上的点.由数形结合,可知A∩B中有2个元素,因此A∩B的子集的个数为4. 3.已知M={-a=0},N={-1=0},若M∩N=N,则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.0或1或-1 解析:选D.由M∩N=N得N?M.当a=0时,N=?,满足N ?M;当a≠0时,M={a},N={},由N?M得=a,解得a=±1,故选D. 4.设集合A={-<1,x∈R},B={1 ={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为( ) A.0 B.6 C.12 D.18 解析:选D.当x=0时,z=0;当x=1,y=2时,z=6;当x=1,y=3时,z=12. 故集合A⊙B中的元素有如下3个:0,6,12. 所有元素之和为18. 6.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>y,则x>”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 解析:选A.命题“若x>y,则x>”的逆命题是“若x>,则x>y”,无论y是正数、负数、0都成立,所以选A. 7.设全集U={x∈N*≤a},集合P={1,2,3},Q={4,5,6},则“a∈[6,7)”是“?=Q”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.若a∈[6,7),则U={1,2,3,4,5,6},则?=Q;若?=Q,则U={1,2,3,4,5,6},结合数轴可得6≤a<7,故选C 8.下列命题中,真命题是( ) A.?m∈R,使函数f(x)=x2+(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数f(x)=x2+(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,函数f(x)=x2+(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,函数f(x)=x2+(x∈R)都是奇函数 解析:选A.对于选项A,?m∈R,即当m=0时,f(x)=x2+=x2是偶函数.故A正确. 9.已知命题p:?x∈R,x>,则p的否定形式为( ) A.?x0∈R,x0<0B.?x∈R,x≤ C.?x0∈R,x0≤0D.?x∈R,x< 解析:选C.命题中“?”与“?”相对,则?p:?x0∈R,x0≤0,故选C. 第一章:集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 (1)集合:集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。 (2)常用的集合表示法:①列举法;②描述法;③数轴或图像表示法;④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合,要么不属于,二者必居其一; 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的; 1.判断集合表示是否正确; 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关; 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法: 4.集合间的基本关系 (2)有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集。符号表示为:5.集合的运算 集),写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 (1)元素与集合间关系问题 (2)集合与集合间关系问题 (3)集合的基本运算: ①有限集(数集)间集合的运算; ②无限集间集合的运算:数轴(坐标系)画图、定域、求解; ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A ,y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ,则集合M 与P 之间的关系式为( ) 选修2-1常用逻辑用语测试题 一.选择题(每小题5分,共60分) 1.一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中( ) A 真命题与假命题的个数相同 B 真命题的个数一定是奇数 C 真命题的个数一定是偶数 D 真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数 2.(06天津)设集合M={x|0 《常用逻辑用语》单元测试 班级:_______姓名:_______座号:______成绩: 一、选择题:(每题5分) 1.(湖南卷2)“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的() A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.(重庆卷2)设m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的() (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.(福建卷2)设集合A={x |1 x x -<0},B={x |0<x <3},那么“x ∈A ”是“x ∈B ”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(广东卷6)已知命题:p 所有有理数都是实数,命题:q 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是() A .()p q ?∨ B .p q ∧ C .()()p q ?∧? D .()()p q ?∨? 5.(2009浙江文)“0x >”是“0x ≠”的() A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件6.(浙江文)“2 1sin =A ”是“A=30o”的() (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D )既不充分也不必要条件 7.(2009江西卷文)下列命题是真命题的为() A .若11x y =,则x y =B .若21x =,则1x = C .若x y =,则x y =D .若x y <,则22x y < 8.(2009天津卷文)设””是“则“x x x R x ==∈31,的() A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9.对于下列命题: ①,1sin 1x R x ?∈-≤≤,②22,sin cos 1x R x x ?∈+>,下列判断正确的是(). 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.(集合的基本运算)已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥,集合{|01}B x x =<<,则() A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2.(集合的基本运算)若集合{}02A x x =<<,且A B B =I ,则集合B 可能是() A.{}0 2, B.{}0 1, C.{}0 1 2,, D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.(集合的基本运算)设集合{}|2M x x =<,{}1,1N =-,则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ,()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0,故个数为1,故选C. 4.(集合间的关系)已知集合 ,若,则() A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5.(充分条件和必要条件)设x R ∈,i 是虚数单位, 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-,得()()2 22332330x x +-=-+?--=,1314x -=--=-. 而由2230{ 10 x x x +-=-≠,得3x =-.所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件.故选C. 寒假作业(一) 集合与常用逻辑用语(注意解题的速度) 一、选择题 1.设集合A ={x |log 2x <0},B ={m |m 2 -2m <0},则A ∪B =( ) A .(-∞,2) B .(0,1) C .(0,2) D .(1,2) 2.(2017·沈阳一检)命题p :“?x ∈N * ,? ????12x ≤12”的否定为( ) A .?x ∈N * ,? ????12x >12 B .?x ?N * ,? ????12x >12 C .?x 0?N * ,? ????12x 0>12 D .?x 0∈N * ,? ????12x 0>12 3.(2017·山东高考)设函数y =4-x 2 的定义域为A ,函数y =ln(1-x )的定义域为B ,则A ∩B =( ) A .(1,2) B .(1,2] C .(-2,1) D .[-2,1) 4.若集合M =??? x ∈R ?? ?? ? ? x +2x -1≤0,N 为自然数集,则下列选项中正确的是( ) A .M ?{x |x ≥1} B .M ?{x |x >-2} C .M ∩N ={0} D .M ∪N =N 5.(2018届高三·洛阳五校联考)已知全集U =R ,集合A ={x |x 2 -3x -4>0},B ={x |-2≤x ≤2},则如图所示的阴影部分所表示的集合为( ) A .{x |-2≤x <4} B .{x |x ≤2或x ≥4} C .{x |-2≤x ≤-1} D .{x |-1≤x ≤2} 6.设集合A ={x |x >-1},B ={x ||x |≥1},则“x ∈A 且x ?B ”成立的充要条件是( ) A .-1 专题01 集合与常用逻辑用语 【2020年】 1.(2020·新课标Ⅰ)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 2.(2020·新课标Ⅱ)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?= ( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2, ?1,0,2,3} 3.(2020·新课标Ⅲ)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中 元素的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4.(2020·北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 5.(2020·山东卷)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2最新常用逻辑用语全章测试题
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