三阶系统综合分析与设计

目录

摘要 (1)

1 设计内容 (2)

1.1 设计题目 (2)

1.2 设计任务 (2)

２绘制三阶系统的根轨迹 (3)

2.1 常规方法绘制根轨迹 (3)

2.2用MATLAB绘制根轨迹 (4)

3 不同条件下K的取值 (5)

3.1 当-8为闭环系统的一个极点时，K的取值 (5)

3.2 主导极点阻尼比为0.7时的k值 (6)

4 求系统的稳态误差 (6)

4.1 位置误差系数 (7)

4.2 速度误差系数 (7)

4.3 加速度误差系数 (8)

4.4 输入信号为

2

5.2

)(1

)(t

t

t

t r+

+

=时的稳态误差 (8)

5 绘制单位阶跃响应曲线 (9)

6 频域特性分析 (10)

6.1绘制Bode图和Nyquist曲线 (10)

6.2相角裕度和幅值裕度 (12)

7 加入非线性环节判断稳定性 (13)

7.1 求死区特性环节的描述函数 (13)

7.2 根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性 (14)

8 设计体会 (15)

参考文献 (17)

摘要

三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂。在工程上常采用闭环主导极点的概念对三阶系统进行近似分析，或直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。在课程设计中，要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线，用系统的闭环主导极点来估算三系统的动态性能，以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节判断其稳定性。

1 设计内容

1.1 设计题目

三阶系统的综合分析和设计

初始条件：某单位反馈系统结构图如图1-1所示：

图1-1 图1-2

1.2 设计任务

要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1、试绘制随根轨迹

2、当-8为闭环系统的一个极点时，K=?

3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K值（以下K取这个值）

4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为

2

t r+

=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差+

t

t

)(1

5.2

)(t

5、用Matlab绘制单位阶跃相应曲线

6、绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度

7、如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图1-2所示，

其中2,10==k e ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性

8、认真撰写课程设计报告。

２ 绘制三阶系统的根轨迹

图2 系统结构图

由图1可得，三阶系统的开环传递函数为：

G （s ）=

)

6)(3(++s s s K

2.1 常规方法绘制根轨迹

根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下：

（1）根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。

开环极点分别为0、-3、-6，无开环零点。

（2）根轨迹的分支数。n=3，m=0，所以分支数为3 。且它们是连续的并且对称于实轴。

（3）根轨迹的渐进线。本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式:

把n=3,m=0代入求得：

)2,1,0(300,180,600

3)

12(180)12(==-+=︒-+=

︒︒︒q q m n q a φ )

1(,2,1,0,180)12(--=︒-+=

m n q m

n q a Λφ

渐近线与实轴的交点为：

3036

301

1

-=---=

--=

∑∑==m

n z

p n j m

i i

j a σ

(4)根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。因此实轴上[-∞，-6] [-3,0]必为根轨迹。 (5)确定根轨迹的分离点。该系统中没有有限零点，由法则五得：

于是分离点方程为：

061

311=++++d d d

因此可以求得分离点d=-1.3,d=-4.7（不合题意，舍去） (6)根轨迹与虚轴的交点。

闭环特征方程式为 018923=+++k s s s 对上式应用劳斯判据，有：

3s 1 18 2s 9 k

1s

8

18*9k

-

0s k

令劳斯表中1s 行的首项为零，得k= 162,根据2s 行的系数，得辅助方程 92s +k=0

代k=162并令s=jw,解得交点坐标

2.2用MATLAB 绘制根轨迹

MATLAB 为绘制根轨迹编程如下：

num=[1];

4.204.2j 0 4.2j ω=±-，所以与虚轴的交点为（，），（，）。

den=[1 9 18 0]; syms=tf(num,den); rlocus(syms)

MATLAB 产生的根轨迹如图2所示：

图3 闭环系统的根轨迹

3 不同条件下K 的取值

3.1 当-8为闭环系统的一个极点时，K 的取值

由图1的系统的闭环传递函数为 ()()1()()G S s G S H S ϕ=

=+K

S S s K

+++18923

闭环特征方程式为

018923=+++k s s s