数论中的一些公式

以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3

1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6

1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2

2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3

1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!

2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2

1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/

(2*4*6*...*(2n+2))

1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+ 2))

1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...

2^n >= n^2 , n=4, 5,...

2^n >= 2n + 1, n=3,4,...

r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0

1*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0

1/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1

(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数注:()用来标记下标

cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中s in(x/2) != 0

1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1) cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))

其中sin(x/2) != 0

5^n - 1能被4整除

7^n - 1能被6整除

11^n - 6能被5整除

6*7^n - 2*3^n能被4整除

3^n + 7^n - 2能被8整除

n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域

定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k

则

1 + n/

2 <=H(2^n) <= 1 + n

H(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n

1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4

欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:

k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)

可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1)) =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);

=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)

若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

若N>2, 欧拉函数E(N)必定是偶数

若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)

若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，那么

E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)

若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)

因子和: 若 k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2) *...*(pi^0 + ... + pi^ai)

没有一个平方数是以2,3,7,8结尾的

max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2

ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m' m' = m / gcd(m, c)

如果 a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ..., mn) 则可以得到 a % l = b % l