《常微分方程》考试试卷(A卷)

《常微分方程》考试试卷（A 卷）

班别：

学号： 姓名： 成绩：

一、填空题（每空2分，共30分）

1、形如

的方程，称为齐次方程；齐次方程1dy y dx x =+的通 解为：

。 2、形如 的方程，称为变量分离方程；方程

2dy xy dx =满足初始条件：0x =，1y =的特解为：

。 3、设(,)M x y ， (,)N x y 在某区域内是x ，y 连续函数，

且具有连续的一阶偏导数，则微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是恰当方程的充要条件是： 。

4、函数(,)f x y 称为在R 上关于y 满足利普希茨条件，如果存在常数0L >，使得不等式 对于所有1(,)x y ，2(,)x y R ∈都成立。

5、定义在区间a t b ≤≤上的函数1()x t ，2()x t ，…()k x t ，如果

，则称这些函数是线性相关的；若函数1()x t ，2()x t ，…()k x t 线性相关，则在[,]a b 上它们的伏朗斯基行列式恒为 。

6、 微分方程440d x x dt -=的特征方程为 ，特征根为

、 、 、 ，方程的通解为 。

7、利用分项组合法，微分方程2(3)(4)0y x dx y x dy ---=的通解为

。

二、判断题（每题2分，共10分）

1、微分方程

2

2

30

dy dy

x y

dx dx

⎛⎫

+-=

⎪

⎝⎭

的阶数为1 （）

2、sin(2)

y wx

=为方程

2

2

2

d y

w y

dx

+=的解（）

3、微分方程的通解包括所有的解。（）

4、方程

2

2

d y

y

dx

-=是2阶齐线性微分方程。（）

5、函数1，t，2t，…，k t在任何区间上都线性无关。（）

三、计算题（每题12分，共60分）

1、解微分方程

2

3

1

dy y dx xy x y

+

=

+

2、解微分方程23t dx x e dt

+=

3、解微分方程(4)223x x x t ''-+=-

4、解微分方程221x y '+=

5、求初值问题22:11,1(1)0dy x y R x y dx y ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪-=⎩的解的存在区间，并求第二次

近似解，给出在解的存在区间的误差估计。