机器学习中的数学第四课参数估计
参数估计知识点
参数估计知识点一、知识概述《参数估计》①基本定义：简单说，参数估计就是通过样本数据去猜总体的一些参数。
比如说，想知道全校学生的平均身高，不可能一个一个去量，那就找一部分学生（样本）量出他们的身高，然后根据这部分学生的身高数据来推测全校学生（总体）的平均身高，这个推测的过程就是参数估计。
②重要程度：在统计学里那可相当重要。
就像要了解一个大群体的情况，直接研究整体往往很难，通过参数估计从样本推测整体的情况就变得可行而且高效。
无论是搞市场调查，还是科学研究，这个工具相当好使。
③前置知识：得有点基本的数学知识，像平均数、方差这些概念要能明白，还得对抽样有点概念，知道怎么从一个大群体里抽取样本出来。
④应用价值：在各种实际场景里都有用。
比如企业想了解消费者对产品的满意度，不可能访谈每个消费者，抽样一部分做参数估计就好了。
还有估算农作物亩产量之类的，都可以用到。
二、知识体系①知识图谱：在统计学里，参数估计是推断统计的一部分，是和假设检验等方法相互联系的。
推断统计主要就是根据样本信息推断总体特征，而参数估计是其中很核心的一部分。
②关联知识：和抽样分布密切相关啊。
抽样分布是参数估计的理论基础，如果不知道抽样分布，那参数估计就像无根之木。
还和概率相关，毕竟在样本中各种数值出现是有概率的。
③重难点分析：掌握难度嘛，开始会觉得有点抽象。
关键在于理解样本和总体之间的关系，以及怎么根据不同的条件选择合适的估计方法。
④考点分析：在统计学考试里常考。
考查方式有直接给样本数据让进行参数估计，或者结合其他知识点，像给出抽样分布然后问参数估计的结果之类的。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：参数估计就是根据样本统计量去估计总体参数。
总体参数就是描述总体特征的数值，像总体均值、方差之类的。
样本统计量就是从样本里计算出来的值，比如说样本均值、样本方差等。
②特征分析：不确定性算一个特点吧。
毕竟样本不是总体，根据样本做的估计不可能完全精准。
参数估计知识点总结
参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。
在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。
参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。
在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。
而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。
二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。
在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。
1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。
对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。
无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。
2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。
一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。
3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。
最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。
贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。
三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。
区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。
《参数估计方法》课件
目录
• 参数估计方法概述 • 点估计 • 区间估计 • 最大似然估计法 • 最小二乘估计法 • 贝叶斯估计法
01
参数估计方法概述
参数估计方法的定义
参数估计方法的定
义
参数估计方法是一种统计学中的 方法，它通过分析样本数据来估 计未知的参数值。这些参数可以 描述总体特性的程度，如平均值 、方差等。
使得它容易进行统计推断。
最小二乘估计法的应用场景
线性回归分析
最小二乘估计法是线性回归分析中最常用的 参数估计方法，用于预测一个因变量与一个 或多个自变量之间的关系。
时间序列分析
在时间序列分析中，最小二乘估计法可用于拟合和 预测时间序列数据，例如ARIMA模型。
质量控制
在质量控制中，最小二乘估计法可用于拟合 控制图，以监测过程的稳定性和预测异常情 况。
区间估计
区间估计是一种更精确的参数估计方法，它给出未知参数的一个置信区间，即有较大的把握认为未知参数落在这个区 间内。例如，用样本均值和标准差来估计总体均值的置信区间。
贝叶斯估计
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它根据先验信息和样本数据来推断未知参数的后验 概率分布。贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出更加准确的参数估计结果。
贝叶斯估计法的性质
01
02
03
贝叶斯估计法是一种主观概率估 计方法，因为它依赖于先验信息 的可信度和准确性。
先验信息的不确定性可以通过引 入一个先验分布来表达，该分布 描述了先验信息中未知参数的可 能取值及其概率。
贝叶斯估计法的后验概率分布可 以用于推断未知参数的估计值和 不确定性程度。
贝叶斯估计法的应用场景
3
参数估计课件讲解
置信区间
置信下限
置信上限
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（3）置信水平：如果我们将构造置信区间的步骤重 复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所 占的比率，称为置信水平。
在构造置信区间时，我们可以用所希望的值作为
置信水平。比较常用的置信水平是：90％，95％ 和99％，通常用 1－ 表示置信水平，其中 称 为显著性水平。
由抽样平均误差
mx =
s = 1.5 =0.15(小时) n 10
D x = zm= 1.96? 0.15 0.29（4 小时）
\ x - 0.294 ＃X x + 0.294，即3.706 ＃X 4.294
因此，以95%置信度，估计该地区内居民每天
看电视的平均时间在3.706到4.294个小时之间。
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4. F（z）、 z、 Δ、μ之间的关系
F（z）与z具有一一对应的关系，所以已知概率 保证程度F（z）就可以求出概率度z ；若已知z 也就可以知道F（z）。
给定F（z） z Δ = z×μ
样本 μ 和总体参数的点估计值
m= s n
给定Δ
抽样平均误差
Δ/μ= z
F（z）
19
5.区间估计的特点
（1）指出总体被估计参数的上限和下限， 即指出总体参数的可能范围，而不是直 接给出总体参数的估计值。
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两个需要注意的问题
如果用某种方法构造的所有区间中有95％的 区间包含总体参数的真值，5％的区间不包含 总体参数的真值，那么，用该方法构造的区 间称为置信水平为95％的置信区间。
置信区间是一个随机区间，它会因样本的不 同而不同，而且不是所有的区间都包含参数 真值。
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2.抽样误差汇总
参数估计公式
参数估计公式参数估计是统计学中非常重要的一个概念，它是指对于一个总体的一些参数进行估计，使得估计值接近于真实值。
参数估计一般分为点估计和区间估计两种，其中点估计是指用一个数值来估计总体参数，而区间估计是指用一个区间来估计总体参数。
本文将着重介绍点估计中的一些常用的精确估计方法。
首先，最简单也是最常用的点估计方法是样本均值估计总体均值。
假设我们有一个样本数据集，包含n个观测值，样本均值可以作为总体均值的一个良好估计。
它的计算公式如下：\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]其中，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本均值可以作为总体均值的一个无偏估计，即样本均值的期望等于总体均值。
另外一个常用的点估计方法是样本方差估计总体方差。
样本中的每一个数据点和样本均值之间的差别可以用来估计总体的分散程度。
样本方差可以通过以下公式计算：\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)其中，\(s^2\)表示样本方差，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据点的取值，n表示样本的个数。
样本方差是总体方差的一个无偏估计，即样本方差的期望等于总体方差。
除此之外，还有一些其他的点估计方法，例如极大似然估计和最小二乘估计等。
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计参数值。
最小二乘估计是一种常用的线性回归模型参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型估计值之间的平方残差和来估计参数值。
在进行参数估计时，我们通常需要估计参数的精确度。
一个常用的方法是计算参数的标准误差。
对于样本均值的标准误差，可以用以下公式计算：\(SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}\)其中，\(SE(\bar{x})\)表示样本均值的标准误差，s表示样本方差，n表示样本的个数。
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
参数估计PPT课件
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
参数估计 教学PPT课件
• 2.极大似然估计法
•（1）写出总体X的分布律或密度函数f(x,θ)
•（2）写出Biblioteka 然函数L( x1,n
, xn, ) f (xi , )
i 1
•（3）对似然函数取对数 ln L(x1,, xn , )
•（4）对 ln L(x1,, xn , ) 求导得似然方程
•（5）解似然方程，得极大似然估计量
(n
1))
又 X ?, S ? n 16, 0.1, t1 2 (n 1) ?
区间估计例题
• 例2：从自动机床加工的同类产品中随 机抽取16件，测得长度值为：12.50， 12.12，12.01，12.28，12.09，12.16， 12.03，12.01，12.06，12.13，12.07， 12.11，12.08，12.01，12.03，12.06，
0.90的置信区间：
（1）如果已知σ＝0.01 （2）如果σ未知
区间估计例题
解：（1）σ＝0.01已知，a的置信度为1-α的置
信区间为
0.01 ( X n u1 2 )
又 X ?, n 16, 0.1, u1 2 1.645
（2）σ未知，a的置信度为1-α的置信区间为
(X
S n
1
t1
2
ˆ ˆ(X1,, X n )
极大似然估计法例题
例1：设总体X~(0-1)分布,求p的极大似然估计.
解：总体X的分布律 P(X x) px (1 p)1x, x 0,1
似然函数 取对数
n
L( p) pxi (1 p)1xi pnx (1 p)nnx i 1
ln L( p) nx ln p (n nx) ln(1 p)
设产品长度X～N(a,σ2). 求σ2的置信区间（α＝0.05）
第四章参数估计解读
2、一致性： 3、有效性：
2019/1/1
D(1 ) D(2 )[能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
位居民,发现其中女性有20人,问该社区女性的人数?
解 : 抽出者为女性的样本成数 :
m 20 P 0 .4 n 50
用P 0.4作为总体成数 P的估计值,
因些该社区的女性人数 : 500 0.4 200(人)
2019/1/1 7
三、求点估计值的标准
1、无偏性：
E (x) n 2 2 2 ˆ2 ˆ E ( S ) , S (样本修正方差) S n-1
2019/1/1
1
4、简单随机样本：由一组相互独立且服从同一
种分布形态的随机变量所构成的样本，包括两
种情况:
(1)重复抽样(有回置的抽样) : 平均误差SE x
n
(2)不重复抽样(无回置的抽样):SE x
2
n (1 ) n N
2
2019/1/1
5、统计量
(1)统计量是指用来反映样本有关特征的量数(指标). (2)假设有n个随机变量x1,x2……xn:
2 (x -x) i i 1 n
n-1 总体方差 2的点估计值
样本方差S
2
1 或S [ xi 2 n-1
2
( xi ) 2 n
]
假设在n次观测中, A类出现m次: m 样本成数P (事件A出现的概率)作为总体成数P的点估计值 n
参数估计概述范文
参数估计概述范文
参数估计是机器学习中一个重要的概念，它可以被用来从数据中学习
和推断模型的参数。
参数估计是基于一些观测数据得出估计值，从而通过
这些参数计算特定模型的最优模型参数。
参数估计的目的是在数据集中寻找最佳的模型参数，以便进行更精确
的预测。
根据所使用的算法不同，参数估计的方法也可以不同。
最常用的
参数估计技术包括极大似然估计、最小二乘估计、梯度下降法、最小化偏
差和贝叶斯参数估计等。
极大似然估计是参数估计最常用的方法，该方法的目的是根据观测数
据估计模型参数，使得模型参数最大化发生观测数据的可能性。
假设一些
模型用于估计参数，则其极大似然函数值是模型参数的最佳估计值。
最小二乘估计是一种参数估计技术，它的目的是最小化模型参数和观
测数据之间的平方差。
基于此，最小二乘估计可以求出在现有数据中最接
近目标变量的模型参数。
梯度下降法是一种参数估计技术，它的目的是最小化模型参数和观测
数据之间的损失函数。
梯度下降法的优势在于，它以贪心的方式，在每次
迭代中都能够发现一个更加优化的参数。
这样可以最快的收敛到一个最优值。
最小化偏差是另一种常用的参数估计技术，它的目的是估计模型参数。
参数估计方法
参数估计方法
参数估计（Parameter Estimation）是统计学中重要的一个研究目标，也是机器学习
领域中重要的一个问题。
参数估计的目的是从给定的数据中求取一组模型参数，使得模型
最能拟合数据。
常用的参数估计方法有最小二乘法（Least Squares）、极大似然法（Maximum Likelihood）等。
最小二乘法是一种估计统计模型参数的经典方法，其基本思想是求解使得拟合散点的
模型函数的残差的平方和最小的参数向量。
它的优点是简单易行，但不能解决线性模型参
数求解问题而有多解的情况。
极大似然法是在概率论和统计学中广泛使用的参数估计技术，它的基本思想是找到使
出现观测数据最有可能的模型参数，即概率估计参数使得所有观测数据的联合概率（likelihood）最大。
优点是可以给出参数的分布关系，而每个参数的准确值也可以得到。
缺点是计算难度稍大。
此外，对参数估计的选择也会受到具体的应用背景的影响。
例如，在机器学习中，如
果所需要估计的参数太多，可以考虑使用正则化技术，通过引入一定的约束条件来达到减
少估计参数数量的目的。
因此，在实际应用中如何正确选择参数估计方法，以求得最符合实际情况的模型参数，是相当重要的研究课题。
参数估计的若干方法及应用
参数估计的若干方法及应用
参数估计是指在一组观测数据或实验结果中，出最有效的参数值，以
满足实验结果或经验数据的最佳拟合，是机器学习和统计学中重要的技术，也是数据挖掘的核心过程。
参数估计通常分为经验参数估计法和概率参数
估计法，它们的估计结果和拟合效果是不同的。
一、经验参数估计法
经验参数估计法是一种基于经验数据的唯一参数估计方法，它只需要
对历史数据进行几次迭代就可以得出拟合参数的估计值，它的优点是可以
迅速收敛，有利于提高算法的效率。
常用的经验参数估计法包括最小二乘法、最小平方误差法、平滑最小二乘法、弦截法等。
（1）最小二乘法是一种经典的经验参数估计方法，它最大程度地减
少了数据拟合时的残差，也就是预测值和实际值之间的差异。
它将残差的
平方和作为优化的目标函数，最小二乘法的优化问题可以用矩阵的形式进
行求解。
（2）最小平方误差法是求解参数矩阵的有效方法，它是基于极大似
然估计的，通过极大似然法求解参数，来得到一个使得观测数据出现的概
率最大的参数矩阵，这样就可以得出一组最优参数。
（3）平滑最小二乘法是一种非线性的经验参数估计法，它的目的是
使参数矩阵有一个均匀的变化。
参数估计
结论：不管总体X服从何种分布， 结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本方差， 的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即
1 n µ = X = ∑ Xi n i =1 1 n σ 2 = ∑ ( X i − X ) 2 = Sn2 n i =1
估计值为
1 n µ = x = ∑ xi n i =1
ˆ L( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = max L( x1 , x2 ,L , xn , θ )
ˆ 为参数θ的极大似然估计值。 则称 θ 为参数θ的极大似然估计值。
参数的极大似然估计法
求解方法： 求解方法： （1）构造似然函数 L(θ ) = f ( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = Π f ( xi , θ ) ） （2）取自然对数 ） （3）令 ）
$ 将样本观测值 x1 , x2 ,L , xn 代入 θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ) ， $ 参数θ 称为参数 的估计值。 得到的值 θ ( x1 , x2 ,L , xn ) 称为参数θ的估计值。
点估计（ 如果构造一个统计量 点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为 由数字特征法，
1 20 µ = x = ∑ xi = 5.21 20 i =1 1 20 2 2 2 σ =S = ∑ ( xi − 5.21) = 0.049 20 − 1 i =1
n
ln L( x1 , x2 ,L , xn ,θ ) = ∑ ln f ( xi , θ )
i =1
n
参数估计的方法
参数估计的方法
1 参数估计的概念
参数估计（Parameter Estimation）是指基于样本观测数据，构
建统计模型，用来估计未观测总体参数得出最有效的模型解释参数结
果的过程。
参数估计是统计学里研究重要问题的一个根本步骤，它先
假设一个统计模型，然后求解模型的参数，从而最能满足观测数据的
条件。
2 参数估计的方法
1.参数最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：最大
似然估计的基础是独立，同分布的随机变量的概率密度函数或概率分
布函数必须可知。
该方法下只需估计一个参数，则把样本数据的似然
函数定义为θ；如果需要估计多个参数，则把样本数据的似然函数定
义为$L(θ)=\prod\limits_i^nf(x_i;θ)$，其中f(x;θ)是关于未知
参数θ 的概率密度函数。
2.方差最小估计（Minimum Variance Estimation）：该方法的基
本思想是选择一种损失函数，把参数估计估计结果误差的.期望最小化，从而得出最优参数估计结果。
3.贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：基于先验知识，建模到
后验知识的过程，利用样本信息改进模型参数和变量之间关系的方法。
3 参数估计的作用
参数估计是统计学里研究重要问题的一个根本步骤，它可以帮助我们识别变量之间的相互影响，从而更好的预测未来的发展趋势，决定合适的策略。
在企业战略决策，市场营销，生产服务运筹控制，经济营商模型分析决策管理，投资事前风险分析，社会环境分析等方面都有重要的作用。
参数估计名词解释
参数估计名词解释参数估计又称最大似然估计、贝叶斯估计，它是在对样本观测值进行估计时，所采用的统计方法。
1。
定义：由于误差项总有正负号之分，因此当两个有偏的随机变量服从正态分布时，可利用它们之间的均值与方差相等这一性质来建立以均值为未知参数的二元随机变量的线性模型，而求出未知参数的估计值。
2。
统计特性：(1)期望为常数，(2)方差为2(3)均值与方差相等(4)具有正态分布的特征(5)服从正态分布(6)边际概率等于零。
2。
主要步骤：(1)列出所有有效数字和，并考虑分布是否有意义;(2)进行误差估计;(3)进行方差和协方差估计;(4)进行区间估计。
3。
参数估计方法的优点：(1)参数估计比较简单。
(2)易于掌握。
(3)易于得到统计量的精确解。
4。
参数估计的缺点：(1)当变量服从正态分布时，对它的参数进行估计是很困难的。
(2)应用上具有一定的局限性。
(3)难以适应复杂情况的需要。
5。
提高估计精度的途径：(1)合理选择假设检验的显著水平，尽可能减小误差。
(2)在取均值时，应注意使之不服从正态分布。
(3)取极大似然估计值时，要注意约束条件。
3。
参数估计在数学处理中有着广泛的应用。
最大似然估计方法主要用于样本容量小于N的情形。
在解决资料类型与解答类型有交互作用的问题时，应充分利用似然函数对解答类型的敏感程度，而使用最大似然估计。
在解决处理容易发生小偏差的问题时，经常要用到最大似然估计方法。
通过统计推断获得参数估计的方法叫做参数估计。
参数估计是从样本统计量的期望或方差入手，建立样本统计量的模型，然后根据样本统计量与样本参数之间的关系，即样本统计量的数学期望，来估计总体参数的一种统计方法。
参数估计的重要性在于能够用最少的计算次数达到准确的结果。
一般认为，估计的精确度越高，模型的精确度就越高。
参数估计要用到期望和方差，它在实际中起了十分重要的作用。
期望是对未知量X的估计，它表示对应于所考察的特定量X的随机变量y与总体参数之间的函数关系;方差是对总体参数估计的偏差，它表示随机变量Y与总体参数之间的函数关系。
参数估计PPT课件
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
机器学习中的参数估计方法
机器学习中的参数估计方法分类：机器学习2015-01-10 19:46 20人阅读评论(0) 收藏举报机器学习参数估计前几天上的机器学习课上，老师讲到了参数估计的三种方法：ML，MAP和Bayesian estimation。
课后，又查了一些相关资料，以及老师推荐的LDA方面的论文《Parameter estimation for text analysis》。
本文主要介绍文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计，以及三者之间的区别。
1、最大似然估计MLE首先回顾一下贝叶斯公式这个公式也称为逆概率公式，可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式，即最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，似然函数可以写做由于有连乘运算，通常对似然函数取对数计算简便，即对数似然函数。
最大似然估计问题可以写成这是一个关于的函数，求解这个优化问题通常对求导，得到导数为0的极值点。
该函数取得最大值是对应的的取值就是我们估计的模型参数。
以扔硬币的伯努利实验为例子，N次实验的结果服从二项分布，参数为P，即每次实验事件发生的概率，不妨设为是得到正面的概率。
为了估计P，采用最大似然估计，似然函数可以写作其中表示实验结果为i的次数。
下面求似然函数的极值点，有得到参数p的最大似然估计值为可以看出二项分布中每次事件发的概率p就等于做N次独立重复随机试验中事件发生的概率。
如果我们做20次实验，出现正面12次，反面8次那么根据最大似然估计得到参数值p为12/20 = 0.6。
2、最大后验估计MAP最大后验估计与最大似然估计相似，不同点在于估计的函数中允许加入一个先验，也就是说此时不是要求似然函数最大，而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大，即注意这里P（X）与参数无关，因此等价于要使分子最大。
与最大似然估计相比，现在需要多加上一个先验分布概率的对数。
在实际应用中，这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：相合性
ˆ 是 1 lx (θ) 的极大值点，所以 lim θ ˆ 收敛于 E (ln(fθ (X ))) 的 而θ n 极大值点。 所以我们只需要证明 θ0 确实是 E (ln(fθ (X ))) 的极大值点. 因为 ln(x) 是个凹函数，根据琴生不等式我们有 ∫ ∫ ln(fθ (x))fθ0 (x)dx − ln(fθ0 (x))fθ0 (x)dx
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：矩估计
矩估计的基本原理：大数定律 根据大数定律我们知道, 对于任何随机变量 X , 当样本数 n → ∞ n 1 ∑ 时， n Xi 收敛于 E (X ). 所以
i=1
a1 (X ) → α1 (X ) 对于任意的 k 阶矩，令 Y = X k ，那么 Y 也是一个随机变量， 所以同样满足大数定律，于是 ak (X ) = a1 (Y ) → α1 (Y ) = αk (X ) 而中心矩都可以表示成原点矩的多项式，所以我们同样有 mk (X ) → µk (X )
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：点估计的评判准则
相合性 (consistency): 当样本数量趋于无穷时，估计量收敛 于参数真实值. 无偏性 (bias): 对于有限的样本，估计量所符合的分布之期 望等于参数真实值. 有效性 (efficiency): 估计值所满足的分布方差越小越好. 渐进正态性 (asymptotic normality): 当样本趋于无穷时，去 中心化去量纲化的估计量符合标准正态分布.
i=1 n 1∑ = ln(fθ (xi )) n i=1 1 n lx (θ )
这个无穷求和就收敛于（大数定律） ∫ E (ln(fθ (X ))) = ln(fθ (x))fθ0 (x)dx
x
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：相合性
相合性 相合性是最基本的要求，矩估计的相合型是由大数定律来保证 的. 极大似然估计的相合型也是隐含的由大数定律来保证的 假设一个随机变量 X 服从 fθ0 (x). 最大化 lx (θ) 跟最大化 是一样的 n 1 1∑ lx (θ) = lxi (θ) n n
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
所以似然方程为
∂l ∂σ
=
∂l ∂µ
= 0, 也就是
n
1∑ a= xi n
i=1 n 1∑ 2 (xi − a)2 σ = n i=1
因此得到极大似然估计量 a ˆ=X σ ˆ2 = 1∑ (xi − X )2 n
n i=1
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：无偏性
无偏性 任何一个满足相合性的参数估计，当样本趋于无穷的时候都会收 敛与参数的真实值. 但是对于有限样本的情况下，这个估计值的 期望不见得总等于参数的真实值. n 1 ∑ 比如我们做的关于正态分布的方差的估计 σ ˆ2 = n (xi − X )2 .
实坐标空间 函数 函数积分 随机变量 随机变量的期望 随机变量的方差 随机变量的 n 阶原点矩 随机变量的 n 阶中心矩
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数学基础班第 4 课课件：参数估计
参数估计
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：极大似然估计
极大似然估计基本原理：最大化似然函数 假设样本 {X1 , · · · , Xn } 服从概率密度函数 fθ (x). 其中 θ = (θ1 , · · · , θk ) 是未知参数. 当固定 x 的时候，fθ (x) 就是 θ 的函数，我们把这个函数称为似 然函数, 记为 Lx (θ) 或 L(θ).
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：极大似然估计
Example (正态分布的参数估计) X 服从参数为 θ = (µ, σ ) 的正态分布，独立重复实验 n 次得到 样本 X1 , · · · , Xn . 请利用极大似然估计来估计参数 θ.
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：相合性
也就是说 E (ln(fθ (X ))) − E (ln(fθ0 (X ))) ≤ 0 于是 θ0 就是关于 θ 的函数 E (ln(fθ (X ))) 的极大值点.
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n i=1 k
mk (X ) =
1∑ (Xi − X )k n
n i=1
总体 k 阶矩： αk (X ) = E (X ) µk (X ) = E ((X − E (X ))k )
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L(µ, σ ) =
n ∏
1 (x − µ)2 √ ) exp(− 2σ 2 2 πσ i=1
n 1 ∑ n l(µ, σ ) = C − 2 (xi − µ)2 − ln(σ 2 ) 2σ 2 i=1
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：矩估计
Example (两点分布的参数估计) X 服从两点分布取值为 {−1, 1}，P (−1) = 1 − θ, P (1) = θ. 现在 独立重复实验 n 次，得到样本 X1 , · · · , Xn . 请利用矩估计来估计 参数 θ. 首先考虑哪一个矩可以用来估计参数 θ. 对于两点分布来说 E (X ) = (1 − θ) · (−1) + θ · 1 = 2θ − 1 E (X 2 ) = (1 − θ) · 1 + θ · 1 = 1
x x
∫ ln(fθ (x)/fθ0 (x))fθ0 (x)dx
x
=
∫ fθ (x) ≤ ln( fθ (x)dx) fθ0 (x) 0 x ∫ = ln( fθ (x)dx)
x
= ln(1) = 0
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似然函数不是概率，但是很类似于概率. 当 θ 给定的时候，它是概率密度。当 x 给定，θ 变化的时候，他就类似于在表示，在这个观测量 x 的条件下，参数 等于 θ 的可能性 (不是概率). 起个名字叫做似然函数.
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数学基础班第 4 课课件：参数估计
管枫
七月在线
July, 2016
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பைடு நூலகம்
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
主要内容
点估计
– 矩估计
– 极大似然估计 – 点估计的评判准则
– 区间估计: 用一个区间去估计 g (θ)
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管枫
数学基础班第 4 课课件：参数估计
点估计：矩估计
矩估计 矩估计法的基本思想是根据大数定律，利用样本矩对总体分 布矩进行估计. 然后利用总体矩与参数的关系来对参数进行估计. 记号: 样本 k 阶矩： ak (X ) = 1∑ k Xi n