专题2.9 函数周期性题型解密(解析版)

★课标卷高考(采分点） (9)

★:函数周期性的考查:

①『解题策略』:定义:给定函数()f x ,对于定义域中的任意x ,存在不为0的常数t ,恒有()()f x T f x +=, 则()f x 为周期函数,T 为它的周期,且nT 亦为周期。常见周期有:

ⅰ.对于定义域中的任意x ,恒有()()f x T f x +=-,则()f x 为周期函数,且周期为2T ;

ⅱ.对于定义域中的任意x ,恒有1()()

f x T f x +=,则()f x 为周期函数,且周期为2T ; ⅲ.对于定义域中的任意x ,恒有1()()f x T f x +=-

,则()f x 为周期函数,且周期为2T ; ⅳ.对于定义域中的任意x ,恒有1()()1()

f x f x T f x ++=-,则()f x 为周期函数,且周期为T 4; ⅴ.对于定义域中的任意x ,恒有1()()1()f x f x T f x -+=

+,则()f x 为周期函数,且周期为T 2; ⅵ.如果()f x 有两条对称轴,,x a x b b a ==>,则()f x 为周期函数,且周期为2()b a -；

ⅶ.如果()f x 关于点(,0)a 对称,又关于直线x b =对称,则()f x 为周期函数,且周期为4()b a -;

ⅷ.如果()(1)(2),f x f x f x =---等价于()(3)f x f x =--,则()f x 为周期函数,且周期为6。

②【考题例析】:(高考题)已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=当(0,2)x ∈时,22)(x x f =, )7(f =

( )

A.-2

B.2

C.-98

D.98

【解析】(7)(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-,选A.

③「☆历年新课标全国卷同类试题汇总☆」

1.(2018年新课标全国卷II11)已知)(x f 是定义域为()+∞∞-,的奇函数,满足)1()1(x f x f +=-.若 2)1(=f ,则)50()3()2()1(f f f f +⋅⋅⋅+++= ( )

A.-50

B.0

C.2

D.50

【解析】)(x f 关于直线1=x 对称,且关于原点对称,所以)(x f 以4为周期,0)4()2()0(===f f f ,

2)1()1()3(-=-=-=f f f ,0)4()3()2()1(=+++f f f ,∴原式=2)2()1(=+f f ,选C.

④〖新课标全国卷与其它省市同类高考试题荟萃〗

1.(高考题)已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数,若对于0x ≥,都有(2()f x f x +=）

,且当[0,2)x ∈时,2()log (1f x x =+）

,则(2008)(2009)f f -+的值为 ( ) A.2- B.1- C.1 D.2

【解析】(2008)(0)0,f f -==(2009)(1)1f f ==,选C 。

2.(高考题)若()f x 是R 上周期为5的奇函数,且满足()()11,22f f ==,则()()34f f -= ( )

A.－1

B.1

C.－2

D.2

【解析】1)2()1()1()2()4()3(-=-=---=-f f f f f f ，选A.

秒杀技巧:设一个周期[)5,0∈x 时,x x f =)(,直接可得.

3.(高考题)设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当[]0,1x ∈时,()1f x x =+,则3()2f = . 【解析】2

3)21()21()23

(==-=f f f 。 4.(高考题)定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=,当31x -≤<-时,()f x =2(2)x -+,当31<≤-x 时,()f x x =,则(1)(2)......(2012)f f f +++= ( )

A.335

B.338

C.1678

D.2012

【解析】(1)1,(2)2,f f ==(3)1f =-,(4)0f =,(5)1f =-,(6)0f =,

原式335(1)(2)338f f =++=,选B 。

5.(高考题)已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[]1,0上的增函数”是“()f x 为 []4,3上的减函数”的 ( )

A.既不充分也不必要的条件

B.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件

D.充要条件

【解析】选D.

6.(高考题)奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f += ( )

A.-2

B.-1

C.0

D.1

【解析】.0)0()8(,8===f f T ,1)9(=f ,选D 。

7.(高考题)若函数))((R x x f ∈是周期为4的奇函数,且在[]2,0上的解析式为⎩⎨

⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1()(x x x x x x f π, 则)6

41()429(f f += . 【解析】163)43()43()429(-=-=-=f f f ，2

1)67()67()641(=-=-=f f f ，)641()429(f f +=516。 8.(高考题)设()f x 是定义在R 上周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,⎩⎨⎧<≤<≤-+-=1

0,01,24)(2x x x x x f ,则

3()2

f = . 【解析】1)2

1()23(=-=f f 。 9.(2016年山东卷)已知函数)(x f 的定义域为R .当0

-=x x f ;当11≤≤-x 时, )()(x f x f -=-;当21>x 时,)2

1()21(-=+x f x f ,则)6(f = ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2

【解析】)(x f 以1为周期,2)1()1()6(=--==f f f ,选D 。

10.(2016年四川卷)已知函数)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当10<

x f 4)(=,则)1()2

5(f f +-= . 【解析】2)2

1()25(-=-=-f f ,)1()1()1(f f f -==-,0)1(=∴f ,原式=-2。 11.(2016年江苏卷)设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[)1,1-上,⎪⎩

⎪⎨⎧<≤-<≤-+=10,5201,)(x x x a x x f ,其中R a ∈.若⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2925f f ,则()a f 5的值是 . 【解析】代入得53=a ,()a f 5=5

2)1()3(-=-=f f 。 12.(2017年山东卷文)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且)2()4(-=+x f x f .若当[3,0]x ∈-时, ()6x f x -=,则()919f = .

【解析】)(x f 以6为周期,6)1()1()919(=-==f f f 。