高中数学解析几何专题版.doc

高中解析几何专题（精编版）

1. （天津文）设椭圆

x 2

y 2

1(a b 0)

的左、右焦点分别为

1

，F 2。点 P(a,b) a 2 b 2

F

满足 | PF 2 | | F 1F 2 |.

（Ⅰ）求椭圆的离心率 e ；

（ Ⅱ ） 设 直 线 PF 2 与 椭 圆 相 交 于 A ， B 两 点 ，

若 直 线 PF 2 与 圆

(x 1)2 ( y

3) 2 16 相交于 M ，N 两点，且 | MN | 5 | AB | ，求椭圆的

8

方程。

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线的方程、 两点间的距离

公式、点到直线的距离公式、 直线与圆的位置关系等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想， 考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。

（Ⅰ）解：设 F 1 ( c,0), F 2 (c,0)( c 0) ，因为 | PF 2 | | F 1 F 2 |，

c 2

c

0, 得

c

所以 (a

c) 2 b 2 2c ，整理得 2

1 1（舍）

a

a a

或 c 1

, 所以 e 1 .

a 2 2

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 a 2c,b

3c ，可得椭圆方程为 3x 2 4 y 2 12c 2 ，直

线 FF 的方程为

y 3( x c).

2

A ，

B 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 3x 2 4y 2 12c 2 ,

消 去 y 并 整 理 ， 得 y

3( x c).

x 2

8

x 1

0, c, 5x

2

8cx

0 。解得 x 1

0, x 2 8

5

c ，得方程组的解

5

y 1

3c, y 2

3 3 c.

5

不妨设 A 8 c, 3 3 c ， B(0,

3c) ，

5

5

2

3 c

2

16 c.

所以 | AB |

8 c

3 3c

5

5

5

于是 | MN |

5

| AB | 2c.

8

圆心

1, 3 到直线 2

的距离 d

| 3

3

3c |

3 | 2 c |

PF

2

2

.

2

42 ，所以 3

(2

因为 d 2

| MN |

c) 2 c 2 16.

2

4 整理得 7c

2

12c 52

0，得 c

26

（舍），或 c 2.

7

精选

所以椭圆方程为

x 2

y 2

16 1.

12

2. 已知椭圆 G :

x 2

2

6

，右焦点为（ 2

2

y 2 1(a b 0) 的离心率为

2 ,0 ），斜率

a

b

3

为 I 的直线 l 与椭圆 G 交与 A 、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为

P （-3,2 ）.

（ I ）求椭圆 G 的方程；

（ I I ）求 PAB 的面积 . 【解析】

解：（Ⅰ）由已知得 c

2 2,

c

6 .

a

3

解得 a 2 3.

又 b 2

a 2 c 2

4.

所以椭圆 G 的方程为

x 2

y 2 1.

12

4

（Ⅱ）设直线 l 的方程为 y x m.

y x m

由 x 2 y 2

得

12

4 1

x 2 m 2

4 6 mx 12 0. 3

设 A 、B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )( x 1 x 2 ), AB 中点为 E ( x 0 , y 0 ) ， 则 x 0

x 1 x 2

3m ,

2

4

m

y 0

x 0

m

4

因为 AB 是等腰△ PAB 的底边， 所以 PE ⊥AB.

2

m

所以 PE 的斜率 k

4 1.

3 3m

4

解得 m=2。

此时方程①为 4

2

12

x 0.

x

解得 x 1

3, x 2 0. 所以 y 1 1, y 2 2.

所以 |AB|= 3 2 .

此时，点 P （— 3，2）到直线 AB ： x y 2

0 的距离 d

| 3 2 2 | 3 2 ,

2 2

所以△ PAB 的面积 S=1

| AB | d 9 .

2 2