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初三上学期数学期末试题

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2024北京昌平区初三(上)期末数学试卷及答案

2024北京昌平区初三(上)期末数学试卷及答案

昌平区2023—2024学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷2024.1本试卷共8页，共三部分，28个小题，满分100分。

考试时间120分钟。

考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请交回答题卡。

一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．1.如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（A ）相离（B ）相切（C ）相交（D ）不确定2．如果2m =3n （n ≠0），那么下列比例式成立的是（A）32nm =（B ）23n m =（C ）32=n m （D ）nm 32=3．将抛物线22y x =向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（A ）22(2)3y x =++（B ）22(2)3y x =-+（C ）22(2)3y x =--（D ）22(2)3y x =+-4.如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC 是⊙O 的直径，∠BAC ＝40°，则∠D 的度数是（A ）40°（B ）50°（C ）60°（D ）90°5.在平面直角坐标系xOy 中，若点)1,(1x A 和)4,(2x B 在反比例函数xy 4=图象上，则下列关系式正确的是（A ）120x x <<（B ）210x x <<（C ）021<<x x （D ）012<<x x 6.如图，一艘轮船航行至O 点时，测得某灯塔A 位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A 相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B 处时，测得灯塔A 恰好在它的正北方向，则AB 的距离可表示为（A ） 40cos 13海里（B ） 04sin 13海里（C ）05sin 13海里（D ）cos5013海里1题图（图换了）4题图，则CBD ∠sin 的值且AD =CE ，连接BD ，AE 相交于点F ，则下列说法正确的是①△ABD ≌△CAE ；②∠BFE =60°；③△AFB ∽△ADF ；④若31=AC AD ，则21=BF AF （A ）①②③（B ）①②④（C ）②③④（D ）①③④二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．写出一个开口向下且过（0，1）的抛物线的表达式_________.下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF ）的外接圆，已知正六边形ABCDEF 的边长是4，则 BC长为______________.12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，DE ，AC 交于点F ，则△CEF 和△ADF 的面积比为．13.如图，在⊙O 中，半径OC 垂直弦AB 于点D ，若OC=3，AB=24，则CD 的长为___________.10题图11题图12题图13题图7题图8题图14.小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A 与其中一个切点B 的距离为3cm ，则这个零件的半径是__________cm.15.如图，AB 是⊙O 直径，点C 是⊙O 上一点，OC =1且∠BOC =60°，点D 是 BC的中点，点P 是直径AB 上一动点，则CP +DP 的最小值为____________.16.已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的对称轴是直线x =1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①0abc >；②20a b +=；③30a c +<；④.ac b a 442＞+其中，正确结论的序号是____________________.14题图15题图16题图三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17.计算：2sin 30tan 453tan 30cos 45︒⋅︒+︒-︒.18.如图，△ABC 中，点D 是边AB 上一点，点E 为△ABC 外一点，DE ∥BC ，连接BE.从下列条件中：①∠E =∠A ；②DE DB BABC=.选择一个作为添加的条件，求证：△EDB ∽△ABC .（18题图也换了，字母好看点）19.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的y 与x 的部分对应值如下表：x …-3-113…y…-31…（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x 的取值范围为_________时，y ＞-3.18题图（图换了）20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，CD =3，BD =1，求sin ∠BCD 及AC 的长.21.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC .求作：射线BP ，使得12ABP BAC ∠=∠.作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径画圆；②延长BA 交⊙A 于点D ，以点D 为圆心，BC 长为半径画弧，与⊙A 交于点P （点C ，P 在线段BD 的同侧）；③作射线BP .射线BP 即为所求.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AP ，DP .∵AB =AC ，∴点C 在⊙A 上.∵ DPDP =，∴12ABP DAP =∠∠（）（填推理依据）.∵DP =BC ,∴________DAP =∠.∴12ABP BAC =∠∠.21题图20题图22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，2）在双曲线1110k y xk =≠（）上，点B 在双曲线2220ky k x=≠（）上，且满足OA ⊥OB ，连接AB .（1）求双曲线1110k y k x=≠（）的表达式；（2）若tan ∠OAB =2，求k 2的值.23.某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB ，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C 处用高1.5m 的测角仪CD 测得塔顶A 的仰角为37°，然后沿CB 方向前行7m 到达点F 处，在F 处测得塔顶A 的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB 的长度大约是多少．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈．）24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 为 AC 的中点，过点D 作⊙O 的切线，交BC 延长线于点P ，连接OD 交AC 于点E .（1）求证：四边形DECP 是矩形；（2）作射线AD 交BC 的延长线于点F ，若tan ∠CAB =43，BC =6，求DF 的长.22题图24题图23题图123题图225．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O 和点A 处，测得OA 距离为6m ，若以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m 的B 处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C 1：2(3)2y a x =-+的一部分，小静恰在点C （0，c ）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C 2：21188ny x x c =-+++的一部分．（1）抛物线C 1的最高点坐标为__________；（2）求a ，c 的值；（3）小林在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n 的整数值可为________________.26.在平面直角坐标系xOy 中，点（0，3），（6，1y ）在抛物线()02≠++=a c bx ax y 上.（1）当31=y 时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线()02≠++=a c bx ax y 经过点（-1，-1），当自变量x 的值满足-1≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0>a 时，点（m -4，2y ），（m ，2y ）在抛物线c bx ax y ++=2上.若2y ＜1y ＜c ，请直接写出m 的取值范围.25题图125题图227.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE=DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F.（1）如图1，当点D为CM的中点时，①依题意补全图形；②直接写出BF和DE的数量关系为______________；（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF与DE之间的数量关系，并证明.27题图127题图228.对于在平面直角坐标系xOy 中⊙T 和⊙T 外的点P ，给出如下定义：已知⊙T 的半径为1，若⊙T 上存在点Q ，满足PQ ≤2，则称点P 为⊙T 的关联点.（1）如图1，若点T 的坐标为（0，0），28题图1①在点1P （3，0），2P （3，-2），3P （-2，2）中，是⊙T 的关联点的是____________；②直线2y x b =+分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，若线段AB 存在⊙T 的关联点，求b 的取值范围；（2）已知点C （0，D （1，0），T （m ，1），△COD 上的每一个点都是⊙T 的关联点，直接写出m 的取值范围.28题图2昌平区2023—2024学年第一学期初三年级期末质量抽测数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）题号12345678答案CBDBAADB二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）17.解：=1321232⎛⨯+- ⎝⎭………………………………………………………………………4分11122=+-1=…………………………………………………………………………………………….5分18.证明：选择①∵DE ∥BC ∴∠EDB=∠ABC …………………………………………………………………………….….…3分∵∠E ＝∠A ∴△EDB ∽△AB C .……………………………………………………………………….………5分或选择②∵DE ∥BC ∴∠EDB=∠ABC ……………………………………………………………………….………….3分∵DE DBBABC=∴△EDB ∽△AB C .………………………………………………………………………….……5分19.解：（1）设二次函数的表达式为1)1(2+-=x a y 把（3，0）代入上式得1)1(2+-=x a y ∴a=14-∴21(1)14y x =--+……………………………………………………………….2分（2）画图………………………………………………………………………….……………………4分（3）当-3<x<5时，y>-3…………………………………………………………………………6分20.解：∵CD ⊥AB ，∴∠CDA =∠CDB =90°.在Rt △CDB 中，BD =1，CD =3，∴CB=2.………………………………………………………….…………………………2分3tan =B .…………………………………………………………………….………………3分∴sin ∠BCD=21..…….…….……………………………………………………….………………4分在Rt △CDB 中，BC =2，3tan =B ，∴AC =32.…………………………………………………………………………………….…5分21.（1）画图………………………………………….…………………………………………………2分（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半………………………………………………4分∠DAP=∠BAC………………………………………….…………………………………………5分22.解：（1）∵点A （1，2）在双曲线1110ky k x=≠（）上，∴21=k ∴xy 21=……………………………………………………………….……………1分（2）如图，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D .∴∠AOC +∠OAC =90°，∠BDO =∠OCA =90°.∵OA ⊥OB ，∴∠AOC +∠BOD =90°.∴∠BOD =∠OAC .∴△BOD ∽△OAC .……………………………………………………………….…………………2分∴BD OD OB OC AC AO==.∵A 的坐标为（1，2），∴OC =1，AC =2.∵Rt △AOB 中，tan OB OAB AO ==∠，∴12BD OD ==………………………………………………………….…………………3分∴BD =OD =.∴B 的坐标为（-）.……………………………………………………………….………4分∴将B （-）代入2220ky k x =≠（）得24k =-.………………………………………5分23.解：根据题意，得AB ⊥BC ，EF ⊥BC ，DC ⊥BC ，DG ⊥AB .∴BG =CD =1.5m ，DE =CF =7m ，∠AEG ==45°，∠ADG =37°，在Rt △AGE 中，∠AEG =45°，∴∠GAE =45°，∴AG =GE .………………………………………………………………………………………1分设AG 为x m ，则GE=x ，GD=x +7在Rt △AGD 中，tan ∠ADG =GD AG ，∴43AG GD≈43(7)x x ≈+………………………………………………………………………………4分x ≈21……………………………………………………………………………5分∴AB =AG +GB ≈21+1.5≈22.5m答：塔高AB 的长约为22.5m ．………………………………………………………………………6分24.证明：（1）连接OC∵AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点∴∠ACB =90°∴∠ACP =90°∵点D 为AC 的中点∴AD DC =∴∠AOD =∠COD∵OA =OC∴OD ⊥AC∵DP 是⊙O 的切线，D 为切点∴OD ⊥DP ………………………………………………………………………………2分∴四边形DECP 是矩形……………………………………………………………………3分（2）如图补全图形，在Rt △ABC 中，BC =6，tan ∠CAB =43∴AC =8，AB =10…………………………………………………………………………………4分∵OD ⊥AC∴AE =EC =4在Rt △AEO 中，OA =5，AE =4，∴OE =3…………………………………………………………………………………5分∴DE=2在Rt △AEO 中，DE =2，AE =4，∴AD =52∵矩形DECP 对边平行∴OD ∥BF ∴1AO AD OB DF==∴FD =52……………………………………………………………………………………………6分25.解：（1）抛物线C 1的最高点坐标为的（3，2）…………………………………………………1分（2）由题可得点A （6，1）…………………………………………………………………2分将A （6，1）代入抛物线C 1：2(3)2y a x =-+得91-=a ………………………………………………………………………………………3分∵对称轴为直线x =3∴点A 和点C 关于对称轴对称.∴c =1（也可让x =0代入表达式求出c =1）………………………………………………4分（3）n =4或n =5……………………………………………………………………………………6分26.解：（1）∵（0，3），（6，3）为抛物线上的对称点∴3260221=+=+=x x x ……………………………………………………………………2分（2）∵()02≠++=a c bx ax y 过（0，3），（-1，-1）∴3=c ，31a b -+=-4+=a b ∴对称轴422b a x a a +=-=-①当0>a 时∵-1≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大∴412a a+-≤-4a ≤∴04a <≤…………………………………………………………………………………………………3分②当0<a 时∵-1≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大∴422a a+≥-45a ≥-∴405a -≤<………………………………………………………………………………………………4分综上：a 的取值范围是405a -≤<或40≤<a （3）56m <<或10m >…………………………………………………………………………………6分27.（1）①补图………………………………………………………………………………………2分②BF =2DE …………………………………………………………………………………………4分（2）当点D 在图2位置时，仍满足BF =2DE………………………………………………………5分证明：如图，AM 与EF 交于点N ，连接EM ，EC∵AB =AC ，∠BAC =90°，M 为BC 中点∴AM =BM =CM=12BC ，∠AMC =∠AMB =90°∵DE =DM ，DE ⊥BC ，∴∠EMC =∠AME =45°∵EM =EM∴△AME ≌△CME∴∠EAM =∠ECM∵在△ANE 和△FNM 中，EF ⊥AE ，∠AMB =90°，∠ANE =∠FNM∴∠NAE =∠NFM （即∠EFC ）∴∠EFC =∠ECM∴EF =EC∵ED ⊥FC∴CF =2DC∵BC =2CM∴BF =BC -CF =2(CM -DC )=2DM =2DE …………………………………………………………7分28.（1）①1P ，3P ……………………………………………………………………………………2分②如图所示可得531≤<b …………………………………………………………………………………4分同理可得1b -≤<-………………………………………………………………………5分（2）1m 1-≤<-……………………………………………………………………………………6分313m +<≤…………………………………………………………………………………7分仅供参考，其他答案酌情给分。

陕西省西安市交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

陕西省西安市交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

A ．B ． ． ． 2．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为框宽度忽略不计），其中较小的内角为A ．4B ．3．一元二次方程的根的情况为（A ．有两个不相等的实数根D ．无法确定3223210x x --=A ．25．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为A ．B ．13A ．10．点在二次函数A ．最大值二．填空题（本大题共14．如图，在矩形段上移动，并与意一点，连接90︒(),A m n 4-ABCD EF EF ,AN CM三．解答题（本大题共1115．计算：(1)；(2)18．已知：如图，点为对角线点，．求证：．19．为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代赛，九年级（2）班的王伟和孙莉两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了()0π3128-+--2cos30tan60sin45cos45︒-︒+︒O ABCD Y E F DE BF =21．西安丰庆公园是现代生态景观与历史文化景观融为一体的皇家园林，园内的最高建筑．某数学活动小组想测量怡心阁的高度心阁的高度：小明沿后退到F 恰好看到标杆顶端22．类比一次函数的研究思路，九年级“励志”行探究．下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)列表：下表是与的几组对应值，则的值为01654210BD x y m x ⋅⋅⋅5-4-3-2-1-y ⋅⋅⋅m(3)函数的图象和直线的交点坐标是______．23．如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线．(1)求证：；(2)若，求的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点．(1)求经过三点的抛物线的表达式；(2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．|1|y x =-2y =ABCD O e BD D AC AD BC 、E DF O e CDF EDF ∠=∠2DF EF ==AD A ()4,2OA OA O 90︒A B ,,B O A L L x L 'L 'D ,,,B O A D图2图3【详解】解：观察图形可得，其主视图是3．A【分析】本题考查了根的判别式，根据题意算出根的判别式即可得；掌握根的判别式即可得．【详解】解：，23210x x --=在Rt ACD中，tan C故选B．【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．7．C【分析】根据二次函数的性质判断出【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，9．B【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，∠的圆周角相等得到ADC=【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，每个内角都相等．13．48【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．1求得相似比为，利用相似比求得∵平行于轴，∴轴，∴，∵，∴，AC x BAC ∠BD x ⊥BAC BDO ∽△△2OC BC =13BC BA BO BD ==18．详见解析【分析】根据平行四边形的性质得出，再证明线段的差得出，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，OEA OFC ∠=∠AOE ≌△△AD AE BC CF -=-ABCD依题意，∴，∵，∴，∴，设，2, 1.5,EM FD MD EF MN ====3 1.5 1.5CM CD MD =-=-=CM AN ∥CME ANE V V ∽CM EM AN EN=AN x =；（3）解：把代入中得：，解得：或，∴函数的图象和直线的交点坐标是：23．(1)见详解(2)【分析】（1）由“直径所对的圆周角等于”和圆周角定理可得2y =|1|y x =-|1|2x -==1x -3x =|1|y x =-2y =390︒设与交于点，∵是等腰直角三角形，AB OD M (),D m n BOA △（2）如图所示，连接AC、（3）如图所示，过点D作DH⊥。

2024年北京东城区初三上学期期末考数学试卷和答案

2024年北京东城区初三上学期期末考数学试卷和答案

东城区2023—2024学年第一学期期末统一检测初三数学2024.1一、选择题(每题2分，共16分)1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是2．若3x =是关于x 的方程22=0x x m --的一个根，则m 的值是A ．-15B ．-3C ．3D ．153．关于二次函数22(1)2y x =-+，下列说法正确的是A ．当x =1时，有最小值为2B ．当x =1时，有最大值为2C ．当x =-1时，有最小值为2D ．当x =-1时，有最大值为24．在下列事件中，随机事件是A ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B ．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C ．通常情况下，自来水在10℃结冰D ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点A ,B ,C ,D 都在⊙O 上，则⊙O 的半径为A.3B.6C.32D.626．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地雪场游客人数的周平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是A ．27000(1)8470x +=B ．270008470x =C ．7000(1+2)8470x =D ．37000(1)8470x +=7．如图，某汽车车门的底边长为1m ，车门侧开后的最大角度为72°.若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是A ．2πm 10B ．2πm5C ．22πm5D ．24πm58.⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,E ,F .若⊙O 的半径为2，△ABC 的周长为26，则△ABC 的面积为A.3B.24C.26D.52二、填空题(每题2分，共16分)9.把抛物线22y x =向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．10.若一元二次方程261=0x x +-经过配方，变形为()23x n +=的形式，则n 的值为．11．为了解某小麦品种的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550100200500100020003000发芽种子个数m 4449218947695118982851发芽种子频率m n0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950(1)估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为(结果保留两位小数)；(2)若在相同条件下播种该品种小麦种子10000个，则约有个能发芽．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(1，2)，点B 与点A 关于原点对称，则点B 的坐标为_____________．13.已知二次函数2+8+3y x x =-，当x >m 时，y 随x 的增大而减小，则m 的值可以是____________(写出一个即可)．14.如图，A ,B ,C 是⊙O 上的三个点，若∠ACB=40°，则∠OBA 的大小是_____________°．15.如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为35m，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m.铅球的行进高度y （单位：m）与水平距离x （单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为2121x y -=.若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为.16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ；工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ；工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125(1)在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少_____________天完成．(2)现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是_____________万元.三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17.解方程：()()3121x x x +=+．18.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°．求作：⊙O ，使得△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB 于点O ;②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则⊙O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OC .由作图可知，OB =OA=12AB .∴点B 在⊙O 上．在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴OC =12________()(填推理依据)．∴OC =OA ．∴点C 在⊙O 上．∴△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx =+的图象过点A (3，3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)用描点法画出该二次函数的图象；(3)当0x ＜＜3时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx +＞，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.21.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C .若AB =16，CD =2，求⊙O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围;(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ,B 为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)，OA =3，OB =4，且∠AOB=150°．线段OA 关于直线OB 对称的线段为O A '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段O A '，OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转角()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C ''．若=5A C ''，求∠B OC ''的度数．24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，22BC =，求CD 的长．25.食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题:（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1(%)与浸泡时间t(分)之间的关系，方式二中农药的去除率y2(%)与食用碱溶液的浓度x(%)之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象:(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为__________分钟．(3)方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x %中，x 的取值范围可以是_____________．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2，c )在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =.(1)求t 的值；(2)已知11()M x y ，，22()N x y ，是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <,求m 的取值范围．27.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE ⊥BC ；（2）当BD ≠CD 时(图2中BD ＜CD ，图3中BD >CD )，F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE 的大小，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y +6的“和距离”d 的取值范围．东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案BCADCABC二、填空题(每题2分，共16分）9．223y x =-10．1011．0.95950012.（-1，-2）13．答案不唯一，m ≥4即可14．5015.21251233y x x =-++16．86，38三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17．解：移项，得()()31210.x x x +-+=因式分解，得()()1320.x x +-=……………………………..1分于是得10x +=，或320.x -=……………………………..3分所以方程的两个根分别为1=-1x ，22.3x =……………………………..5分18．解：(1)作图如下，------------------------3分(2)AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.------------------------5分19.解：（1）∵点A (3，3)在抛物线二次函数2y x bx =+的图象上，∴2333b =+.解得2b =-.∴二次函数的解析式为22y x x =-.------------------------2分(2)列表：x …-10123…y…3-13…描点，连线------------------------4分（3）当k ≥1.------------------------5分20．解：（1）所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .…………3分（2）记抽到的2张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M ,M 包含的结果有3种，即AC ，BC ，CD ，且6种可能的结果出现的可能性相等，所以()31==62P M …………5分21．解：连接OA .∵半径OD ⊥AB 于点C ，AB =16，∴∠ACO =90°，AC =12AB =8，………2分设OA =r ，则OC =2r -．在Rt △AOC 中，根据勾股定理，得222OA AC OC =+，即2228(2)r r =+-．………4分解得17r =．∴⊙O 的半径的长17．………5分22．解：(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=有两个不相等的实数根，∴[]()2222=(21)4244148490m m m m m m ∆-+--=++-+=+＞ (2)分解得94m ＞-.∴m 的取值范围是94m ＞-.………..3分(2)由（1）可知，49m ∆=+.由求根公式，得()1212m x +=，()2212m x +=.………..5分∵该方程的两个实数根互为相反数，∴12+0x x =.∴()()2121+21022m m m +++=+=.解得1=2m -，符合题意.∴当方程的两个实数根互为相反数时，1=2m -.………..6分23.解：（1）如图．……………….2分（2）如图，在△A OC ''中，==3OA OA '，==4OC OB '，=5A C '',∴222=A C OA OC ''''+.∴△A OC ''是直角三角形.∴=90.A OC ''︒∠………………..3分∵∠AOB =150°，OA OA OB '与关于直线对称，∴=150.A OB '︒∠………………..4分∴=60C OB '︒∠，即=60α︒.∴=604515B OC C OB B OB '''''-=︒-︒=︒∠∠∠.………………..5分24．(1)证明：如图1，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD=45°.---------------1分∴∠ABD =∠ACD=45°.∵OD =OB ,∴∠ODB =∠OBD =45°.--------------2分∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠OBD =45°.∴∠ODE =∠ODB+∠BDE=90°.∴OD ⊥DE .∵OD 为⊙O 的半径，∴直线DE 是⊙O 的切线.------------------3分（3）如图2，过点B 作BF ⊥CD 于点F .∴∠BFC =∠BFD =90°.∵∠BCD =45°.∴∠CBF =45°.图1∴BF CF =.------------------4分在Rt △BFC 中，BC =根据勾股定理，得=2BF CF =.∵ BCBC =，∴∠CDB =∠BAC =30°.------------------5分∴2=4.BD BF =在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得DF∴CD CF DF =+------------------6分25.解：（1）画图如下，---------------------------------------------------------------------2分（2）10-------------------------------------------4分（3）答案不唯一，如7x ≤≤12.---------------------------6分26．解：(1)由题意可知，42a b c c ++=，∴2b a =-.∴12bt a=-=.---------------------------2分(2)∵0a >，1t =，∴当1x ＞时，y 随x 的增大而增大，当1x ＜，时y 随x 的增大而减小.---------------------------3分①当1m ≥时，∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴121x x <<.∴12y y <，符合题意.---------------------------4分②当112m <≤时，有3122m +<，(i )当111x m <+≤时，∵212m x m +<<+，∴121x x <≤.∴12y y <.(ii )当11m x <<时，设11()M x y ，关于抛物线对称轴1x =的对称点为01()M 'x y ，，则01x >，011=1x x --.∴012x x =-.∵112m <≤，∴0312x <<.∵3122m +≤＜，212m x m ++＜＜∴232x ＞.∴02312x x <<＜.∴12y y <.∴当112m <≤时，符合题意.---------------------------5分③当102m <≤时，3112m +<≤，令11=2x ，23=2x ，则12=y y ，不符合题意.④当102m -<≤时，有1112m +<≤，令1=0x ，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑤当112m -<-≤时，1012m +<≤，令11=2x -，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑥当1m <-时，1221x x m <<+<，∴.12>y y ，不符合题意.综上所述，m的取值范围是12m ≥.---------------------------6分27．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠C =30°.将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，∴DE =DA ，∠ADE =60°.∴△ADE 是等边三角形.∴∠BAE =60°.∴∠AHB =90°.∴BC ⊥AE.………..3分（2）解：选择图2：①补全图形如图所示：………..4分②猜想∠AFE =90°.………..5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE .则∠AHB =∠AHC =90°.∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠CAH =12∠BAC =60°，∠C =30°.∴AH =12AC .∵F 为线段AC 中点，∴AF =12AC .∴AH =AF .由（1）可知△ADE 是等边三角形.∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE.∴∠DAH =∠EAF.在△ADH 和△AEF 中，.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩，，∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.∴∠AFE =∠AHD =90°.………7分选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）28．解：(1)P 1，P 2.………2分(2)3.………4分(3)71122d ≤≤．………7分。

2024年北京朝阳区初三九年级上学期期末数学试题和答案

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张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为 ．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《圆的综合》

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《圆的综合》

2024年1月九上期末——圆的综合1.【东城】24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，BC =CD 的长．2.【西城】24．如图，AB 是O 的直径，AB BC =，AC 交O 于点D ，点F 在OD 的延长线上且12FAD ABC ∠=∠．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若8AF =，4DF =，求AC 的长．3.【海淀】25.如图，AB 为半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上，直线CM 与半圆O 相切于点C ，//CM AD .（1）若MCD ∠α=，求COA ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O 作OE CD ⊥交CM 于点E ，交CD 于点F ，若//CD AB ，6AB =，求CE 的长.4.【朝阳】24．如图，AC ，BD 是圆内接四边形ABCD 的对角线，AC ⊥BD 于点E ，BD 平分∠ADC .（1）求∠BAD 的度数；（2）点P 在DB 的延长线上，P A 是该圆的切线.①求证：PC 是该圆的切线；②若PA =AC =3，直接写出PD 的长.5.【石景山】24．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，12CBF BAC ∠=∠．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若5AB =，1tan 2CBF ∠=，求CE 的长．6.【丰台】24．如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，作DE ⊥AC 交AC 于点E ，延长ED 与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 为等边三角形，AE=3，求⊙O 半径的长．7.【昌平】24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 为 AC 的中点，过点D 作⊙O 的切线，交BC 延长线于点P ，连接OD 交AC 于点E .（1）求证：四边形DECP 是矩形；（2）作射线AD 交BC 的延长线于点F ，若tan ∠CAB =43，BC =6，求DF 的长.8.【通州】25．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB ∥交CO 的延长线于点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）若30A ∠=︒，43AC =，求DF 的长．24题图9.【房山】24.如图,AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且DCB DAC∠=∠，⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，30∠=︒，求AE的长.D10.【大兴】24.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D,过点C作直线CE交OD的延长线于点E,使得∠E=∠B.(1)求证：CE是⊙O的切线.(2)若DE=6,CE=35,求OD的长.11.【门头沟】25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.12.【燕山】24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．(1)求证：AF＝AD；(2)若CE＝4，CF＝2，求⊙O的半径．13.【顺义】25．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．14.【密云】24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的平行线交BC延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，AD=6，求线段CD的长．15.【平谷】24.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，连接AC 、AD ，过点A 作⊙O 的切线与∠ADC 的平分线相交于点E ，DE 交AB 于点G ，交AC 于点F ，交⊙O 于点M ，连接AM ．（1）求证：AC=AD ；（2）若22tan =∠AMD ，CD=4，求AF 长．。

2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析

2023-2024学年九年级上期末数学试卷
一、填空题。

（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．已知2是一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的根，则k的值是．
2．不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
3．反比例函数 剜 剜媵 的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，把点P（3，﹣2）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Q 的坐标为．
5．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为．
6．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，
给出下列命题：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c＝0
④ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
．
⑤8a+c＞0．其中正确的命题是
二、选择题。

（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）7．下列图形中不是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列说法正确的是（）
A．必然事件发生的概率为1B．随机事件发生的概率为0.5
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
9．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）
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2024年北京海淀区初三九年级上学期期末数学试题和答案

2024年北京海淀区初三九年级上学期期末数学试题和答案

海淀九年级数学2024.1第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A.B. C. D.2.抛物线2(1)2y x =--+的顶点坐标是（）A.()1,2- B.()1,2 C.()1,2-- D.()1,2-3.若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为1，则m 的值为（）A.3B.0C.2-D.3-4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++如图所示，则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.没有实数根5.如图，在O 中，AB 为直径，C ，D 为圆上的点，若51CDB ∠=，则CBA ∠的大小为（）A.51B.49C.40D.396.如图，O 的半径为2，将O 的内接正六边形ABCDEF 绕点O 顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A 经过的路径长为（）A.2B.3π C.23π D.4π7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m 1027075015003500700014000成活数n 823566213353180629212628成活的频率n m(结果保留小数点后三位)0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列说法正确的是（）A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C.移植的幼树越多，成活率越高D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.9008.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”.给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30，120或150；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.②③C.①②③D.①②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为________.10.如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB 和EF 前开后重组可得到矩形ABCD ，那么②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）.11.若关于x 的一元二次方程216ax =有整数根，则整数a 的值可以是________（写出一个即可）.12.已知y 是x 的二次函数，表中列出了部分y 与x 的对应值：x 012y1-113.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是________cm .图1图214.如图，PA ，PB 是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，60P ∠=.若O 的半径为3，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）.15.如图，将面积为25的正方形ABCD 的边AD 的长度增加a ，变为面积为22的矩形AEGF .若正方形ABCD 和矩形AEGF 的周长相等，则a 的值是________.16.小云将9张点数分别为19~的扑克牌以某种分配方式全部放入A ，B 两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k 这一事件的概率记为k P .（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，则8P =________；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k ，k P 的最大值是________.三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程：21x x +=.18.已知22310a a -+=，求代数式()2(3)3a a a -++的值.19.如图，在ABC △中，45B ∠=，将ABC △绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，使点B '在BC 的延长线上.求证：BB C B '⊥''.20.已知关于x 的方程2220x mx m n -+-=有两个不相等的实数根.（1）求n 的取值范围；（2）若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m 的值.21.如图，P 是O 外一点，PA 与O 相切，切点为A .画出O 的另一条切线PB ，切点为B .小云的画法是：①连接PO ，过点A 画出PO 的垂线交O 于点B ；②画出直线PB .直线PB 即为所求.（1）根据小云的画法，补全图形；（2）补全下面的证明.证明：连接OA ，OB .OA OB = ，AB PO ⊥，PO ∴垂直平分AB ，OAB OBA ∠∠=.PA ∴=①.PAB ∠∴=②.PAO PBO ∠∠∴=.PA 是O 的切线，A 为切点，OA AP ∴⊥.90PAO ∠∴= .90PBO ∠∴= .OB PB ∴⊥于点B .OB 是O 的半径，PB ∴是O 的切线（③）（填推理的依据）。

2024年北京石景山初三上学期期末数学试题和答案

2024年北京石景山初三上学期期末数学试题和答案

石景山区2023-2024学年第一学期初三期末试卷数 学第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．若34(0)x y y ，则xy的值是(A)34 (B)43(C)74(D)732．如图，在Rt ACB △中，90C °，3AC BC ，则sin A 为(A) 13 (B)4 (C)10(D) 103．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，D 是 AC的 中点．若40B °，则A 的大小为 (A) 50° (B) 60° (C) 70°(D) 80°4．将抛物线23y x 向左平移1个单位长度，平移后抛物线 的解析式为 (A) 23(1)y x(B) 23(1)y x(C) 231y x(D) 231y x5．若抛物线229y xmx 与x 轴只有一个交点，则m 的值为(A) 3(B) 3(C)(D) 3AB C6．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a ，b ．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图2，从“矩”AFE 的一端A 望向树顶端的点C ，使视线通过“矩”的另一端E ，测得8m BD ， 1.6m AB ． 若“矩”的边30cm EF a ，边60cm AF b ，则树高CD 为 (A) 4m (B) 5.3m (C) 5.6m (D) 16m7．在平面直角坐标系xOy 中，若点1(4)y ,，2(6)y ,在抛物线2(3)1(0)y a x a 上，则下列结论正确的是 (A) 121y y(B) 211y y(C) 211y y(D) 121y y8．如图，在ABC △中，CD AB 于点D ，给出下面三个条件： ①A BCD ； ②A BCD ADC ； ③AD CD CD BD. 添加上述条件中的一个，即可证明ABC △是直角三角形的条件序号是 (A) ①②(B) ①③(C) ②③(D) ①②③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 的中点，连接BE 交 对角线AC 于点F ．若6AC ，则AF 的长为 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若点1(3)y ,，2(7)y ,在反比例函数(0)ky k x的图象上，则1y 2y （填“>”“=”或“<”）． DABCE F DCBA第6题 图1 第6题 图2DCH11．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，12AB ，则 AB 的长为 ．12．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，60P °，6PA ，则⊙O 的半径为 ．13．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD 为30m ．若在点A 处测得点D 的俯角 为30°，点C 的仰角 为45°，则乙建筑物的高CD 约为 m （结果精确到0.1m1.4141.732 ）．14．如图，点A ，B 在⊙O 上，140AOB °．若C 为⊙O 上任一点（不与点A ，B 重合），则ACB 的大小为 ．15．如图，E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB °，连接CE .若2AB ，则CE 长的最小值为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a的顶点为(1)P k ,，且经过点(30)A ,，其部分图象如图 所示，下面四个结论中， ①0a ； ②2b a ；③若点(2)M m ,在此抛物线上，则0m ； ④若点()N t n ,在此抛物线上且n c ，则0t ． 所有正确结论的序号是 ．A BCDENBDM第11题 第12题 第13题三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：20248sin 60(1)tan 45 °°．18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，90ACD B °．（1）求证：ACD △∽ABC △； （2）若3AB ，4AD ，求AC 的长．19．已知二次函数223y x x ．（1）将223y x x 化成2()(0)y a x h k a 的形式，并写出其图象的顶点坐标；（2）求此函数图象与x 轴交点的坐标；（3）在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB 于点E ，6CD ，1BE ．求⊙O 的半径．21．已知二次函数2y x bx c 的图象过点(10)A ,和(03)B ,． （1）求这个二次函数的解析式；（2）当14x 时，结合图象，直接写出函数值y 的取值范围．DABC22．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，90B °，3cos 5C，10CD ． 求AB 的长．23．已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I （单位：A ）与电阻R （单位： ）成反比例函数关系，即(0)kI k R ，其图象如图所示．（1）求k 的值；（2）若用电器的电阻R 为6 ，则电流I为 A ；（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流I 不得超过10A ，那么用电器的电阻R应控制的范围是 ．24．如图，在ABC △中，AB AC ，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，12CBF BAC ． （1）求证：BF 是O 的切线； （2）若5AB ，1tan 2CBF ，求CE 的长．I /AB CD25．投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系， 实心球从出手（点A 处）到落地的过程中，其竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系．小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A 的竖直高度为2m ．记实心球运动路线的最高点为P ，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d （单位：m ）．训练情况如下：根据以上信息，（1）求第二次训练时满足的函数关系式； （2）小石第二次训练的成绩2d 为 m ； （3）直接写出训练成绩1d ，2d ，3d 的大小关系．2OA26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a 经过点(33)A a c ,． （1）求该抛物线的对称轴；（2）点1(12)M a y ,，2(2)N a y ,在抛物线上.若12c y y ，求a 的取值范围．27．如图，在Rt ACB △中，90ACB °，60BAC °．D 是边BA 上一点（不与点B重合且12BD BA），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ． （1）求CAE 的度数；（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．若G ACE ，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．DABCE28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和点C 给出如下定义：若点C 在弦AB 的垂直平分线上，且点C 关于直线AB 的对称点在⊙O 上，则称点C 是弦AB 的“关联点”． （1）如图，点1(22A ,，1(22B ,． 在点1(00)C ,，2(10)C ,，3(11)C ,，4(20)C ,中，弦AB 的“关联点”是 ；（2）若点1(0)2C ,是弦AB 的“关联点”，直接写出AB 的长； （3）已知点(02)M ,，(0)15N ,．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．石景山区2023-2024学年第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2024年北京房山区初三九年级上学期期末数学试题和答案

2024年北京房山区初三九年级上学期期末数学试题和答案

房山区2023—2024学年度第一学期期末检测试卷九年级数学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）2.如果53x y =，那么x yy -的值是（A ）52-（B ）23-（C ）23（D ）523.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（A ）(12)-，（B ）(12)，（C ）(12)--，（D ）(12)-，4.如图，在⊙O 中，若25BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数是（A ）15︒（B ）25︒（C ）50︒（D ）75︒5.将二次函数2y x =的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（A ）25y x =+（B ）25y x =-（C ）2(5)y x =+（D ）2(5)y x =-6.若点1(1)A y ，，2(2)B y ，在反比例函数2y x=-的图象上，则1y ，2y 的大小关系是（A ）12y y >（B ）12y y <（C ）12y y ≥（D ）12y y ≤7.如图,建筑物CD 和旗杆AB 的水平距离BD 为9m ，在建筑物的顶端C 测得旗杆顶部A 的仰角α为30︒，旗杆底部B 的俯角β为45︒，则旗杆AB 的高度为（A ）32m （B ）33m （C ）(329)m+（D ）(339)m+8.如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC AB ⊥，点D 是的中点，连接BD ，OD ，AC ，AD ，AD 与OC 交于点E ，给出下面三个结论：①AD 平分CAB ∠；②AC ∥OD ；③AE .上述结论中，所有正确结论的序号是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是．10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若130C ∠=︒，则A ∠=︒．11．请写出一个图象过点(12)，的函数表达式：．12.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，3DE =，9BC =，2AE =，则EC 的长为．（第10题图）（第12题图）13.如图，A ，B ，D 三点在半径为5的⊙O 上，AB 是⊙O 的一条弦，且OD AB ⊥于点C ，若8AB =，则OC 的长为．（第13题图）（第14题图）14.如图，在33⨯的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O ，A ，B 分别是小正方形的顶点，点C 在OB 上，则的长为．15.在△ABC 中，2BC =，AC =，30A ∠=︒，则△ABC 的面积为．16.在平面直角坐标系xOy 中，A 为y 轴正半轴上一点.已知点(10)B ，，(50)C ，，⊙P 是△ABC 的外接圆.（1）点P 的横坐标为；（2）若BAC ∠最大时，则点A 的坐标为．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：04sin 451)5︒++-.18.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，ADE C ∠=∠．求证：△ADE ∽△ACB ．19.已知二次函数223y x x =+-.（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；（2）结合图象直接写出当11x -<<时，y 的取值范围.20.如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =．求cos A 的值．21.已知：如图⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形．作法：①作⊙O 的直径AB ；；22.如图，在矩形ABCD 中，AC 为对角线，DE AC ⊥，垂足为点E ．（1）求证：DAE EDC ∠=∠；（2）若8BC =，3tan 4EDC ∠=,求DE 的长.23.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线ky x=相交于点(2)P m ，和点Q .（1）求m 的值及点Q 的坐标；（2）已知点(0)N n ，,过点N 作平行于x 轴的直线交直线y x =与双曲线ky x=分别为点11()A x y ，和22()B x y ，.当12x x >时，直接写出n 的取值范围是．24.如图,AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是弦，点D 在AB 的延长线上，且DCB DAC ∠=∠，⊙O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，30D ∠=︒，求AE 的长.25.原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一.实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系.实心球从出手（点A 处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<.九年级一名男生进行了两次训练.（1）第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系2149(5)1212y x =--+.记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为1d ，第二次训练实心球落地的水平距离为2d ，则1d 2d （填“>”“=”或“<”）.水平距离/mx 035679竖直高度/my 217459125591217426.在平面直角坐标系xOy 中，点(1)m ，，(3)n ，在抛物线24(0)y ax bx a =++>上,设抛物线的对称轴为x t =.（1）当m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点00()(3)x n x ≠，在抛物线上，若4m n <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围.27.如图，在等边三角形ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 上的点，且BE CF =，AE ，BF 交于点G .（1）AGF ∠=°；（2）过点A 作AD ∥BC （点D 在AE 的右侧），且AD BC =，连接DG .①依题意补全图形；②用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系，并证明.28.定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙M 内的一点P ，若在⊙M 外存在点P'，使得2MP'=MP ，则称点P 为⊙M 的“内二分点”.（1）当⊙O 的半径为2时，①在1(10)P -，，23(12P ，，31)P -，4(1)P -四个点中，是⊙O 的“内二分点”的是___________；②已知一次函数2y kx k =-在第一象限的图象上的所有点都是⊙O 的“内二分点”，求k 的取值范围；（2）已知点(0)M m ，，(01)B -，，(11)C -，，⊙M 的半径为4，若线段BC 上存在⊙M 的“内二分点”，直接写出m 的取值范围.房山区2023—2024学年度第一学期期末检测试卷参考答案九年级数学第一部分选择题（共16分，每题2分）在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.第二部分非选择题（共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.1x≠10.5011.2y x=或2yx=或22y x=（答案不唯一）12.413.314.π215或16.（1）3；（2）(0（注：第15题答对1个给1分，第16题一空1分）三、解答题（共68分，第17 -22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解：04sin451)5︒++−4152=⨯++−………….………..……….4分6=. ………….………..……….5分18. 证明：∵A A∠=∠，………….………..……….2分又∵ADE C∠=∠，………….………..……….4分∴△ADE∽△ACB. ………….………..……….5分19．（1）二次函数223y x x =+−的图象，如图.………….………..……….2分抛物线的对称轴为直线1x =−. ………….………..……….3分 （2）当11x −<<时，则y 的取值范围是40y −<<. …….………..……….5分 20. 解：在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =，由勾股定理得：12AC ==. ………..……….3分∴12cos 13AC A AB ==. ………….………..……….5分 21. 解：（1）补全的图形如图所示： ………….………..……….2分（2） …….………..……….3分90； 直径所对的圆周角是直角. …….………..……….5分BA22. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ADC ∠=︒.∴90ADE EDC ∠+∠=︒. ………….………..……….1分 ∵DE AC ⊥，∴90ADE DAE ∠+∠=︒. ………….………..……….2分 ∴DAE EDC ∠=∠. ………….………..……….3分（2）解：在Rt △DEC 中，3tan 4EDC ∠=，设3EC x =，4DE x =， 则5DC x =.∵DAE EDC ∠=∠，∴3tan tan 4DAE EDC ∠=∠=. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴8AD BC ==. 在Rt △ADC 中，3tan 4DAC ∠=，8AD =. ∴3tan 4DC DAE AD ∠==. ∴6DC =.∴56DC x ==. ∴65x =. ∴2445DE x ==. ………….………..……….5分 23. 解：（1）∵直线y x =与双曲线ky x=相交于点(2)P m ，. ∴ 2m =. ………….………..……….2分 把点(22)P ，代入ky x=得 EDCBA22k=. ∴4k =. ………….………..……….3分 ∴4y x=. ∴4.y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴222. 2.x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==−⎩⎩，，或∴点Q 的坐标为(22)−−，. ………….………..……….4分 （2）n 的取值范围是2n >或20n −<<. ………….………..……….6分 24.（1）证明：连接OC .∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠. 又∵DCB DAC ∠=∠，∴DCB OCA ∠=∠. .……….1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90OCA OCB ∠+∠=︒.∴90DCB OCB ∠+∠=︒. ………….………..……….2分 又∵OC 是半径，CD 经过⊙O 的半径外端C .∴CD 是⊙O 的切线. ………….………..……….3分（2）解：在Rt △OCD 中，∵90OCD ∠=︒，30D ∠=︒，2OC =，∴4OD =. ………….………..……….4分 ∴6AD AO OD =+=.∵AE 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA AE ⊥. ………….………..……….5分DEA在Rt △EAD 中，∵90EAD ∠=︒，30D ∠=︒，6AD =，∴tan 3063AE AD =⋅︒=⨯= ………….………..……….6分25. （1）5m . ………….………..……….2分解：由题意可知2(6)5y a x =−+. ∵当0x =时，2y =， ∴2(06)52a −+=，解得112a =−， ∴函数关系为21(6)512y x =−−+. ……….………..……….5分 （2）>. ……….………..……….6分 26.（1）解：当0x =时，4y =.∴抛物线与y 轴交点的坐标为(04)，.……….………..……….1分∵点(1)m ，，(3)n ，在抛物线24(0)y ax bx a =++>上，且m n =， ∴31t t −=−，解得2t =. ………….………..……….3分（2）解：由4m a b =++，934n a b =++，∵m n <， ∴820a b +>. ∴4b a >−. ∵0a >， ∴22ba−<，即2t <. ∵4n <， ∴930a b +<. ∴3b a <−. ∴322b a −>,即32t >.综上所述，322t <<. ………….………..……….5分 ∵点00()(3)x n x ≠，在抛物线上， ∴0()x n ，，(3)n ，关于抛物线的对称轴x t =对称，且0x t <. ∴03t t x −=−,解得032x t +=. ∴033222x +<<. ∴001x <<. ………….………..……….6分 27.（1）60； ………….………..……….2分 （2）① 依题意补全图形，如图.………….………..……….4分② 用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系：2223AG BG DG +=.………….………..……….5分证明：作120GAM ∠=︒，在AM 截取AP AG =，连接GP ，PD .∵ AP AG =,120GAP ∠=︒, ∴30AGP APG ∠=∠=︒. ∵ △ABC 是等边三角形， ∴AB BC =,60ABC ∠=︒. 又∵AD BC =,DG FECBA∴ AB AD =. ∵ AD ∥BC ，∴180ABC BAD ∠+∠=︒.∴120BAD ∠=︒. ∵120GAP ∠=︒, ∴ BAG DAP ∠=∠.∴ △BAG ≌△DAP （SAS ）. ∴ BG DP =，120APD AGB ∠=∠=︒. ∵ 30APG ∠=︒， ∴ 90DPG ∠=︒.∴222GP DP DG +=. 过点A 作AQ GP ⊥于点Q ， 在Rt △AGQ 中，∵30AGQ ∠=︒，cos GQAGQ AG∠=，∴2GQ AG =.∴2GP GQ ==. 又∵BG DP =，∴2223AG BG DG +=. ………….………..……….7分28.（1）①2P ，3P ； ………….………..……….2分 ②解：∵当2x =时，0y =，∴一次函数2y kx k =−的图象过点(20)，.如图1，当一次函数2y kx k =−的图象与半径为1的⊙O 相切时，30OBP ∠=︒,得：3k =−. M QPH DG FECBA如图2，当一次函数2y kx k =−的图象与y 轴的交点也是⊙O 与y 轴的交点时，45OBA ∠=︒,得：1k =−.∴13k −<−≤； ………….………..……….5分图1 图2（2）1m <<1m <<+ ………….………..……….7分。

2023北京西城区初三(上)期末数学试题及参考答案

2023北京西城区初三(上)期末数学试题及参考答案

2023北京西城初三（上）期末数 学满分100分，考试时间120分钟．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.二次函数y ＝(x －2)2＋3的最小值是() A.3 B.2 C.－2 D.－32.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.下列事件中是随机事件的是（ ）A.明天太阳从东方升起B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C.平面内不共线的三点确定一个圆D.任意画一个三角形，其内角和是540︒4.如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，45A ∠=︒，80APD ∠=︒，则B ∠的大小是（ ）A.35°B.45°C.60°D.70°5.抛物线221y x =−+通过变换可以得到抛物线()2213y x =−++，以下变换过程正确的是（ ）A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请x 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）A.215x =B.()115x x +=C.()115x x −=D. ()1152x x −=7. 如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒得到CDE ，当点A 的对应点D 落在BC 上时，连接BE ，则BED ∠的度数是（ ）A.30°B.45°C.55°D.75°8.下表记录了二次函数()220y ax bx a =++≠中两个变量x 与y 的5组对应值，其中121x x <<．根据表中信息，当02x −<<时，直线y k =与该二次函数图象有两个公共点，则k 的取值范围是（ ）. A. 726k << B. 726k <≤ C. 823k << D. 823k <≤第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.一元二次方程x 2﹣16＝0的解是_____．10.已知O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为8，则点P 在O ______（填“内”“上”或“外”）．11.若关于x一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．12.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是_____．13.点()3,M m 是抛物线2yx x 上一点，则m 的值是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．14.已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当1x >时，y 随x 的增大而增大，请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：______．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点)A 为圆心，1为半径画圆，将A 绕点O 逆时针旋转的()0180αα︒<<︒得到A '，使得A '与y 轴相切，则α的度数是____．16.如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，且AB OC ⊥，P 为圆上一动点，M 为AP 的中点，连接CM ，若O 的半径为2，则CM 长的最大值是_____．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 解方程：2420x x −+=18. 已知：点A ，B ，C 在O 上，且45BAC ∠=︒．求作：直线l ，使其过点C ，并与O 相切．作法：①连接OC ；②分别以点B ，点C 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于O 外一点D ；③作直线CD ．直线CD 就是所求作直线l ．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：连接OB ，BD ，∵OB OC BD CD ===，∴四边形OBDC 菱形，∵点A ，B ，C 在O 上，且45BAC ∠=︒， ∴BOC ∠=______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形OBDC 是正方形，∴90OCD ∠=︒，即OC CD ⊥，∵OC 为O 半径，∴直线CD 为O 的切线（_________________）（填推理的依据）．19.已知二次函数2=23y x x −−．（1）将2=23y x x −−化成()2y a x h k =−+的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当12x −<<时，结合图象，直接写出函数值y 的取值范围．20.如图，AB 是O 的一条弦，点C 是AB 的中点，连接OC 并延长交劣弧AB 于点D ，连接OB ，DB ，若4AB =，1CD =，求BOD 的面积．21.在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是的是______，其中红球的个数是______；（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．22.如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，将点B 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ，连接AE ，BE ，CE ．（1）求CBE ∠的度数；（2）若ACD 是等边三角形，且30ABC ∠=︒，3AB =，5BD =，求BE 的长．23. 已知关于x 的方程22x 2mx m 90−+−=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，且12x x >，若1225x x =+，求m 的值．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点O 是AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径作圆，使O 与BC 相切于点D ，与AC 相交于点E ．过点B 作BF AC ∥，交ED 的延长线于点F ．（1）若4AB =，求O 的半径；（2）连接BO ，求证：四边形BFEO 是平行四边形．25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =−++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．（1）点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______；（2）求满足的函数关系2116y x bx c =−++； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x t =，且320a b c ++=．（1）当0c 时，求t 的值；（2）点()12,y −，()21,y ，()33,y 在抛物线上，若0a c ，判断1y ，2y 与3y 的大小关系，并说明理由．27.如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45APB ∠=︒，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，连接AQ ．（1）依题意，补全图形，并证明：AQ BP =；（2）求QAP ∠度数；（3）若N 为线段AB 的中点，连接NP ，请用等式表示线段NP 与CP 之间的数量关系，并证明． 28.给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2−−A ，()5,2B −，()1,4C −．（1）在点()4,0D −，()2,2E ，()6,0F 中，与点O 关于线段AB 双对合的点是______；（2）点K 是x 轴上一动点，K 的直径为1． ①若点A 与点()0,T t 关于K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ABC 上存在一点与K 上任意一点关于K 双对合，直接写出点K 横坐标k 的取值范围．的参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】二次函数y=（x-2）2+3，当x=2时，最小值是3，故选A．【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．3.【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是540︒，是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得C ∠，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】解：C A APD ∠+∠=∠，45A ∠=︒，80APD ∠=︒，804535C APD A ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，35B C ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；【详解】解：抛物线221y x =−+通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线()2213y x =−++，故选择：D【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数()112x x =−，由此可得出方程．【详解】解：设邀请x 个队，每个队都要赛()1x −场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得(1)152x x −=． 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．7.【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得30ABC ACB ∠=∠=︒，根据旋转的性质，得BC CE =，30DCE DEC ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，再由等腰三角形和三角形内角和定理得()118030752CBE CEB ∠=∠=︒−︒=︒，即可求得BED BEC CED ∠=∠−∠． 【详解】解：AB AC =，120A ∠=︒，30ABC ACB ∴∠=∠=︒，由旋转得，BC CE =，30DCE DEC ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒，()118030752CBE CEB ∴∠=∠=︒−︒=︒， 753045BED BEC CED ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】根据表中数据得出对称轴=1x −，进而得到抛物线与x 轴的交点，利用交点式得到()()31y a x x =+−，从而得到二次函数表达式为224233y x x =−−+，根据当502x −<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点，可得823k <<． 【详解】解：由()()53m m −，、，可得抛物线对称轴5312x −+==−， 又由()()1,01,0x 、以及对称轴=1x −可得13x =−，()()3,01,0∴−、，则设抛物线交点式为()()31y a x x =+−，()()()22312323y a x x a x x ax ax a =+−=+−=+−与()220y ax bx a =++≠对比可得32a −=，解得23a =−， ∴二次函数表达式为224233y x x =−−+， ∴当52x =−时，2557313226y ⎛⎫⎛⎫=−−+−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 当0x =时，2y =； 当=1x −时，()()28131133y =−−+−−=， 78263<<，当502x −<<时，直线y k =与该二次函数图像有两个公共点， ∴823k <<， 故选：C【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键． 第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】x 1＝﹣4，x 2＝4【解析】【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.【详解】解：方程变形得：x 2＝16，开方得：x ＝±4，解得：x 1＝﹣4，x 2＝4．故答案为：x 1＝﹣4，x 2＝4【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键. 10.【答案】外【解析】【分析】点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外⇔d r ；②点P 在圆上⇔d r =；③点P 在圆内⇔d r <，由此即可判断； 【详解】解：=5r ，8d =， d r ∴>，∴点P 在O 外，故答案为：外．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点P 在圆外⇔d r ；②点P 在圆上⇔d r =；③点P 在圆内⇔d r <是解题的关键．11.【答案】94【解析】【分析】根据判别式0∆=求解即可．【详解】解：∵一元二次方程230x x c ++=有两个相等的实数根，∴2340c ∆=−=，解得94c =． 故答案为：94． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 12.【答案】6π【解析】【分析】根据扇形的面积公式S =2π360n r 计算，即可得出结果．【详解】解：该扇形的面积S =2606360π⨯=6π． 故答案为6π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．13.【答案】①.6②.(3,6)−−【解析】 【分析】将()3,M m 代入二次函数解析式，得出()36M ，，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点()3,M m 是抛物线2yx x 上一点，∴2336m =−=， ∴()36M ，，∴点M 关于原点对称的点的坐标是(3,6)−−，故答案为：6，(3,6)−−．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，求得点()36M ，是解题的关键．14. 【答案】22y x x =−(答案不唯一)【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可．【详解】解：图像过原点，∴可以设解析式为：()1y ax x x =−，当1x >时，y 随x 的增大而增大，∴0a >，开口向上，且对称轴112x x =≤， 即12x ≤， ∴可以设二次函数为()1y ax x x =−，满足102a x >≤，均可．故答案不唯一，如：22y x x =−．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键． 15.【答案】45︒或135︒【解析】【分析】分析可知：A 在以O 为半径的圆上运动，分情况讨论，当A 转到A '时，OA '=，作A B y '⊥轴与点B ，利用勾股定理可知1OB =，进一步可求出旋转角度为45︒；当A 转到A ''时，OA ''=A C x '⊥轴与点C ，利用勾股定理可知1OC =，进一步可求出旋转角度为135︒．【详解】解：∵)A ，将A 绕点O 逆时针旋转()0180αα︒<<︒得到A '∴A 在以O 为半径的圆上运动，当A 转到A '时，OA '=，作A B y '⊥轴于点B ，∵A '半径为1，A '与y 轴相切，∴1BA '=，由勾股定理可得：1OB ===， ∴OBA '为等腰直角三角形，∴45BOA '∠=︒，45AOA '∠=︒，即旋转角度为45︒；当A 转到A ''时，OA ''=A C x '⊥轴于点C ，∵A ''半径为1，A ''与y 轴相切，∴1CA ''=，由勾股定理可得：1OC ===， ∴OCA ''△为等腰直角三角形，∴45COA ''∠=︒，18045135AOA ''∠=︒−︒=︒，即旋转角度为135︒；故答案为：45︒，135︒【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转，理解A 在以O16.1##1+【解析】【分析】连接OM ，PB ，取AO 中点D ，连接CD DM 、、PB ，AB 是⊙O 的直径，可推出90APB ∠=︒和AMO APB ~，由此可知90APB AMO ∠=∠=︒，则M 在以AO 为直径的圆上，当CM 与D 点重合时，CM 最大，根据AB OC ⊥求出CD 长代入即可．【详解】解：连接OM ，PB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴90APB ∠=︒，∵M 为AP 的中点，O 为AB 的中点，∴AMO APB ~，∴90APB AMO ∠=∠=︒，取AO 中点D ，连接CD DM 、，∴M 在以AO 为直径的圆上，∵三角形两边之和大于第三边，且O 的半径为2，∴1DM =，∴当CM 与D 点重合时，CM 最大，∴CM CD DM =+，∵AB OC ⊥，∴CD ==，∴1CM =，1+．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90︒及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键． 三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】12x =+22x =；【解析】【分析】选用配方法可解此方程.【详解】解：x 2-4x+2=0x 2-4x+4-2=0(x-2)2=2∴x-2=解得：12x =+22x =故答案为12x =，22x =【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.18.【答案】（1）见解析；（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．【小问1详解】解：补全图形，如图所示；【小问2详解】90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．19.【答案】（1）2(1)4y x =−−，()1,4−（2）见解析（3）40y −≤<【解析】 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；（3）根据函数图像确定当12x −<<时对应的y 的取值范围即可．【小问1详解】2=23y x x −−22113x x =−+−−2(1)4x =−−．【小问2详解】列表如下：【小问3详解】由图象可得，当12x −<<时，4<0y −≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．20.【答案】52【解析】【分析】设O 的半径为x ，由垂径定理得出BC ，用含x 的式子表示OC ，再根据勾股定理列方程解得半径的长，即可求解．【详解】解：设OD x =，则OB x =．点C 是AB 的中点，OC 过圆心O ，OC AB ∴⊥．4AB =，1CD =，122BC AB ∴==，1OC OD CD x =−=−． 在Rt BCO △中，222OB OC BC =+，222(1)2x x ∴=−+．解得，52x =．52OD ∴=． 1522BOD S OD BC =⋅⋅=∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解题的关键． 21.【答案】（1）0.75，3（2）12【解析】【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；（2）列出表格，利用概率公式计算．【小问1详解】解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75，红球的个数是：40.753⨯=，故答案为：0.75，3；小问2详解】 由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球． 列表如下：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A ）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3）， 所以31()62P A ==． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了利用频率估计概率．22.【答案】（1）60︒（2）4【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到CB CE =,60BCE ∠=︒，进而证明BCE 为等边三角形，即可得到答案；（2）首先证明ACE DCB ≅，之后在Rt ABE 中根据勾股定理得到BE 的长．【小问1详解】 解：将点B 绕点C 逆时针旋转60︒得到点E ，CB CE ∴=，60BCE ∠=︒，BCE ∴△是等边三角形，60CBE ∴∠=︒．【小问2详解】解：ACD 是等边三角形，AC DC ∴=，60ACD ∠=︒ ，ACE DCB ∴∠=∠，又CB CE =，ACE DCB ∴≅ ，AE BD ∴=，5BD =，5AE ∴=．60CBE ∠=︒，30ABC ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，∴在Rt ABE 中，B E3AB =，4BE ∴=．【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关定理是解题的关键．23.【答案】（1）见解析；（2）4−．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出0∆>，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）解方程，再由12x x >，1225x x =+，即可得到关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【小问1详解】证明：()()222419m m ∆=−−⨯⨯−224436m m =−+360=>．∴方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：解方程，得22622m m x ±±==，12x x >，13x m ∴=+，23x m =−．1225x x =+，()2335m m ∴+=−+．4m ∴=−．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．24.【答案】（1）4；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连接OD ，由⊙O 与AB 相切于点A ，与BC 相切于点D ，得到90ODC OD DC ∠=︒=，，由切线长定理得：4BD AB ==，由勾股定理求出BC =O 的半径．（2）连接AD ，交OB 于点H ，由AE 是⊙O 的直径，得到90ADE ∠=︒．根据AB BC ，与⊙O 分别相切于点A ，D ，证得90AHO ∠=︒．得到OB EF ∥．即可证得四边形BFEO 是平行四边形．【小问1详解】解：连接OD ，如图．∵在ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，∴⊙O 与AB 相切于点A ，45ACB ∠=︒．∵OD 是⊙O 的半径，⊙O 与BC 相切于点D ，∴OD BC ⊥．∴90ODC OD DC ∠=︒=，．∵4AB =，∴由切线长定理得：4BD AB ==，由勾股定理得：BC =．∴ 4OD DC ==−．∴⊙O的半径是4．【小问2详解】证明：连接AD ，交OB 于点H ，如图．∵AE 是⊙O 的直径，∴90ADE ∠=︒．∵AB BC ，与⊙O 分别相切于点A ，D ，∴BD AB ABO DBO =∠=∠，．∴OB AD ⊥．∴90AHO ∠=︒．∴AHO ADE ∠=∠．∴OB EF ∥．∵BF AC ∥，∴ 四边形BFEO 是平行四边形．【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．25.【答案】（1）()0,70A ，()40,30P ；（2）21370162y x x =−++； （3）18m【解析】【分析】（1）70m OA =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ，即可得到点A 、P 的坐标； （2）用待定系数法求解即可；（3）由60m OC =，先求出直线BC 的表达式，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ，用含未知数m 的式子表示MN ，再根据二次函数的性质进行判断即可．小问1详解】 解：70m OA =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ， ()0,70A ∴，()40,30P ；【小问2详解】 解：把()0,70A ，()40,30P 代入2116y x bx c =−++【得，270130404016c b c =⎧⎪⎨=−⨯++⎪⎩， 解得，3270b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，21370162y x x ∴=−++； 【小问3详解】解：60m OC =，∴设直线BC 的表达式为()600y kx k =+≠， 把()40,30P 代入，得304060k =+， 解得，34k =−， 3604y x ∴=−+，设213,70162M m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭到BC 竖直方向上的距离最大，作MN y ∥轴交抛物线和直线BC 于点M 、N ， ∴3,604N m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， 213370601624MN m m m ⎛⎫∴=−++−−+ ⎪⎝⎭21910164m m =−++()22213618181016m m =−−+−+()21811810164m =−−++()2112118164m =−−+()2118016m −−≤， ∴当18m =时，MN 最大，即水平距离为18m 时，运动员与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．26.【答案】（1）34（2）231y y y <<【解析】【分析】（1）由320a b c ++=，0c ，可得320a b +=，根据对称轴为直线2b x a=−即可求解； （2）根据320a b c ++=，求得对称轴2b x t a ==−的范围，再将点()12,y −根据对称性转化到对称轴右侧，再根据0a c 得抛物线开口向上，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【小问1详解】当0c 时，得320a b +=， 32b a ∴=−， 332224a b t a a −∴=−==； 【小问2详解】320a b c ++=， 32a c b +∴=−， 333222444a cb ac c t a a a a +−+∴=−=−==+， 0a c >>， 1044c a ∴<<， 314t ∴<<， 点()12,y −关于直线x t =的对称点的坐标是()122,t y +，72242t ∴<+<． 1322t ∴<<+．0a >，∴当x t >时，y 随x 的增大而增大．231y y y ∴<<．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．27.【答案】（1）画图和证明见解析；（2）135°（3）CP =，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS 证明BCP ACQ ≌即可证明AQ BP =； （2）连接QP ，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到45CQP CPQ ∠=∠=︒．再证明APQ CPB ∠=∠．由全等三角形的性质得到CQA CPB ∠=∠．则可以推出45APQ PQA ∠+∠=︒，利用三角形内角和定理即可得到180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；（3）如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．证明ANK BNP ≌．得到KAN PBN ∠=∠，AK BP =，则AK BP ∥．进一步证明135KAP ∠=︒．得到KAP QAP ∠=∠．由此证明KAP QAP ≌，得到KP QP =．在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，则KP QP ==，即可证明CP =．【小问1详解】补全图形，如图所示．证明：∵ 线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，∴90CP CQ PCQ =∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴BCP ACQ ∠=∠，∵AC BC =，∴()SAS BCP ACQ ≌∴AQ BP =；【小问2详解】解：连接QP ，如图所示．由（1）可得PCQ △是等腰直角三角形，∴45CQP CPQ ∠=∠=︒．∴45CQA PQA ∠∠=︒＋．∵45APB ∠=︒，∴APQ CPB ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得CQA CPB ∠=∠．∴45APQ PQA ∠+∠=︒．∴180135QAP APQ PQA ∠=︒−−=︒∠∠；【小问3详解】解；CP =，理由如下：如图所示，延长PN 至K ，使得NK PN =，连接AK ．∵N 为线段AB 的中点，∴AN BN =．∵ANK BNP ∠=∠，∴()SAS ANK BNP ≌．∴KAN PBN ∠=∠，AK BP =．∴AK BP ∥，AK AQ =．∴180KAP APB ∠+∠=︒．∵45APB ∠=︒，∴135KAP ∠=︒．∵135QAP ∠=︒，∴KAP QAP ∠=∠．由BCP ACQ ≌可得AQ BP =，∴AK AQ =，∵AP AP =，∴()SAS KAP QAP ≌．∴KP QP =．∵在等腰直角PCQ △中，CP CQ =，∴KP QP ==．∵2KP NP =，∴CP =．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28.【答案】（1）D ，F ；（2）①2−−t ≤≤2−+52−k ≤≤12或3k ≤≤3+ 【解析】【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案；（2）①由双对合定义可知随着直径GH 的端点G ，H 在K 上运动，点1A 在以点A 为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A ），由此求出取值范围；②找出临界图形，计算可以求出取值范围．【小问1详解】 由双对合定义可知：12MN PQ MN PQ =，， ()1,2−−A ，()5,2B −，6AB AB x ∴=，轴，()4,0D −，()6,0F ，46OD OF OD AB OF AB ∴==，，，，∴O 关于线段AB 的双对合点是D ，F ；故答案为D ，F ；【小问2详解】①设GH 是K 上任意一条直径，则1GH =．设点1A 是与点A 关于K 双对合的点，将点A 和点1A 分别关于点G ，H 对称后重合的点记为2A ，所以点G ，H 分别是2AA 和12A A 的中点．由三角形中位线的知识，可知1AA 22GH ==．随着点G ，H 在K 上运动，点1A 在以点A 为圆心，2为半径的圆上及其内部（不含点A ），将它记为S ．因为点A 与点()0T t ，关于K 双对合，所以当S 与y 轴相交时，可求得t 的值为2−−2−+所以t 的取值范围是2−t ≤≤2−②当ABC 上的一点在AC 上时，如图，则K 上离AC 最近的点到AC 的距离为：1112k ⎛⎫−−+≤ ⎪⎝⎭时存在，解得5122k −≤≤；当ABC 上的一点在BC 上时，则K 上的点离BC 最近的点到BC 的距离不大于1， 即K 到BC 的距离不大于32， AC AB 6==，B C 45∠∠∴==︒，即BC 与x 轴的的夹角为45°，∴交点()30M ，，这时MK ≤，即33k ≤≤；当ABC 上的一点在BC 上时，则K 上的点离AB 最近的点到AB 的距离大于1，不存在；综上所述：52−k ≤≤12或3k ≤≤3+【点睛】本题考查新定义，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键．。

2024年人教版初三数学上册期末考试卷(附答案)

2024年人教版初三数学上册期末考试卷(附答案)

2024年人教版初三数学上册期末考试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 已知一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，则这个三角形的周长是（）cm。

A. 18B. 20C. 22D. 242. 下列哪个数不是有理数？（）A. 3/4B. 0C. √2D. 2/33. 一个正方形的周长是36cm，那么它的面积是（）cm²。

A. 36B. 81C. 144D. 1964. 如果一个圆的半径是4cm，那么它的面积是（）cm²。

A. 16πB. 32πC. 64πD. 128π5. 下列哪个图形是中心对称图形？（）A. 矩形B. 梯形C. 圆D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 一个数的平方根是唯一的。

（）2. 两个全等的三角形一定是相似的。

（）3. 一个等腰三角形的底角一定是锐角。

（）4. 一个圆的周长等于它的直径的π倍。

（）5. 一个平行四边形的对角线互相垂直。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个数的立方根是它自己的数叫做______数。

2. 一个等腰三角形的两个底角是______角。

3. 一个圆的半径是5cm，那么它的周长是______cm。

4. 一个正方形的边长是6cm，那么它的周长是______cm。

5. 一个等腰梯形的两个底角是______角。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述有理数的概念。

2. 简述等腰三角形的性质。

3. 简述圆的性质。

4. 简述平行四边形的性质。

5. 简述等腰梯形的性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为8cm，求这个三角形的周长。

2. 已知一个正方形的周长为36cm，求它的面积。

3. 已知一个圆的半径为5cm，求它的面积。

4. 已知一个平行四边形的底边长为8cm，高为6cm，求它的面积。

5. 已知一个等腰梯形的上底长为8cm，下底长为12cm，高为5cm，求它的面积。

六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析有理数和无理数的区别。

2023北京昌平区初三(上)期末数学试题及参考答案

2023北京昌平区初三(上)期末数学试题及参考答案

2023北京昌平初三（上）期末数 学本试卷共8页，三道大题，25个小题，满分100分．考试时间120分钟．一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分） 1. 如图，在一块直角三角板ABC 中，30A ∠=︒，则sin A值是（ ）A.B.12C.2D.2. O 为一根轻质杠杆的支点，cm OA a =，cm OB b =，A 处挂着重4N 的物体．若在B 端施加一个竖直向上大小为3N 的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则a 和b 需要满足的关系是43a b =，那么下列式子正确的是（ ）A.43a b = B.43a b= C.43a b = D.43b a = 3. 关于四个函数22y x =−，213y x =，23y x =，2y x =−的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 对称轴是y 轴D. y 随x 增大而增大4. 为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷酒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的浓度()3mg/my 和时间()min t 满足关系k y t=（0k ≠），已知测得当10min t =时，药物浓度35mg/m y =，则k 的值为（ ） A. 50B. 50−C. 5D. 155. 如图，AB 是O 直径，10AB =，点C ，D 是圆上点，6AC =，AD BC =，点E 是劣弧BD 上的一点（不与B ，D 重合），则AE 的长可能为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106. 怎样平移抛物线22y x =就可以得到抛物线()2211y x =+−（ ） A. 左移1个单位长度、上移1个单位长度 B. 左移1个单位长度、下移1个单位长度 C. 右移1个单位长度、上移1个单位长度 D. 右移1个单位长度、下移1个单位长度7. 如图，为测楼房BC 的高，在距离楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 为（ ）A. 30tanα米B.30tan α米 C. 30sinα米 D.30sin α米 8. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF ，若O 的内接正六边形为正六边形ABCDEF ，则BF 的长为（ ）A. 12B.C. D.二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分） 9. 写出一个开口向上，过()0,2的抛物线的函数表达式______． 10. 在半径为1cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是______cm ． 11. 如图，ABC 中，AC AB =，以AB 为直径作O ，交BC 于D ，交AC 于E ．若25BAD ∠=︒，则EDC ∠=______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线my x=交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为12,y y ，则12y y +的值为_______．13. 我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，1CE =寸，10AB =寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD 的长为______寸．”14. 如图，在ABC 中，3AB =，2sin 3B =，45C ∠=︒，则AC 长为______．15. 如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，AC 为O 的直径，4AC =，60C ∠=︒，则PA =______．的16. 某快递员负责为A ，B ，C ，D ，E 五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 22cos45sin 60︒︒︒+−．18. 如图，矩形ABCD 中，点P 在边AD 上，2PD AP =，连接CP 并延长，交BA 的延长线于点E ，连接BD 交CP 于点Q ．（1）写出图中两对相似的三角形（相似比不为1） （2）求BECD的值． 19. 已知二次函数2=23y x x −−．（1）求二次函数2=23y x x −−图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数2=23y x x −−图象；（3）结合图象直接写出自变量03x ≤≤时，函数的最大值和最小值．20. 我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可． O 中，弧12AOB ∠．情形（1）证明：如图（1），当圆心O 在ACB ∠的边上时 ∵OC OB =， ∴C B ∠=∠．∵AOB ∠是OBC △中COB ∠的外角， ∴AOB C B ∠=∠+∠． ∴2AOB C ∠=∠． 即12∠=∠C AOB ． 请你选择情形（2）或情形（3），并证明．21. 已知：如图，O 过正方形ABCD 的顶点A ，B，且与CD 边相切于点E ．点F 是BC 与O 的交点，连接OB ，OF ，AF ，点G 是AB 延长线上一点，连接FG ，且1902G BOF ∠+∠=︒． 的（1）求证：FG 是O 的切线；（2）如果正方形边长为2，求BG长．22. 小张在学校进行定点M 处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x 米时，球心距离地面的高度为y 米，现测量第一次投篮数据如下：请你解决以下问题：（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；（3）第二次在定点M 处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？23. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A y −，()23,B a y ，()32,C y （点B ，C 不重合）在抛物线212y x x a=−（0a ≠）上． （1）当1a =时，求二次函数的顶点坐标； （2）①若23y y =，则a 的值为______；②已知二次函数的对称轴为t ，当132y y y >>时，求t 的取值范围．的24. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，AD AC =，连接CD ，点E 是CB 上一点，CE DB =，过点E 作CD 的垂线分别交CD ，AB 于F ，G ．（1）依题意补全图形；（2）BCD α∠=，求CAB ∠的大小（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段AG ，AC ，BC 之间的数量关系，并证明． 25. 已知：对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和O ，O 的半径为4，交x 轴于点A ，B ，对于点P 给出如下定义：过点C 的直线与O 交于点M ，N ，点P 为线段MN 的中点，我们把这样的点P 叫做关于MN的“折弦点”．（1）若()2,0C −①点()10,0P ，()21,1P −，()32,2P 中是关于MN 的“折弦点”的是______；②若直线y kx =+（0k ≠）上只存在一个关于MN 的“折弦点”，求k 的值；（2）点C 在线段AB 上，直线y x b =+上存在关于MN 的“折弦点”，直接写出b 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分） 1. 【答案】B 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵30A ∠=︒， ∴1sin sin 302A =︒=． 故选：B ．【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 【答案】D 【解析】【分析】将根据等式的性质将原式进行变形，即可判断． 【详解】解：由题意知， 0a b ≠、，在下列选项中： A ．将43a b =两边同除以12得：34a b=，故此选项错误； B ．将43a b =两边同除以ab 得：34a b=，故此选项错误； C ．将43a b =两边同除以4b 得：34a b =，故此选项错误； B ．将43a b =两边同除以3a 得：43b a =，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查等式的变形，能够根据等式的性质进行正确的变形是解题的关键． 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据a 值得函数图象的开口方向，从而判定A ；根据a 值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或电低点，从而判定B ；根据函数的对称轴判定C ；根据函数的增减性判定D ．【详解】解：A ．函数22y x =−与2y x =−的开口向下，函数213y x =与23y x =开口向上， 故此选项不符合题意；B ．函数22y x =−与2y x =−的开口向下，有最高点；函数213y x =与23y x =开口向上，有最低点， 故此选项不符合题意； C ．函数22y x =−，213y x =，23y x =，2y x =−的对称轴都是y 轴，故此选项符合题意；D ．函数22y x =−与2y x =−，当0x <时，y 随x 增大而增大，当0x >时，y 随x 增大而减小；函数213y x =与23y x =，当0x <时，y 随x 增大而减小，当0x >时，y 随x 增大而增大；故此选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数2(0)y ax a =≠的图象性质是解题的关键． 4. 【答案】A 【解析】【分析】把10min t =，35mg/m y =代入ky t=即可． 【详解】解：∵当10min t =时，药物浓度35mg/m y =，∴代入ky t =得，510k =解得：50k = 故选：A ．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 5. 【答案】C 【解析】【分析】先依次求出BC 、AD 的长，即可根据AD AE AB <<得到AE 的范围，最后判断即可． 【详解】解：连接BC 、AD ，∵AB 是O 直径，∴90C ∠=︒， ∵10AB =，6AC =∴8BC ==，∵AD BC =， ∴8AD BC ==， ∴810AE <<∴AE 的长可能为9， 故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧弦之间的关系，解题的关键是根据AD BC =得到AD BC =． 6. 【答案】B 【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可判断．【详解】解：由抛物线22y x =， 左移1个单位长度，下移1个单位长度，可得到抛物线()2211y x =+−，故选：B ．【点睛】此题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键． 7. 【答案】A 【解析】【详解】在Rt △ABC 中，tan BCACα=，∴BC ＝AC·tanα，即BC ＝30tanα米． 故选A ． 8. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得AB AF =，则AB AF =，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得90OMB ∠=︒，12BM FM BF ==，再根据60OA OB AOB =∠=︒，可得OAB 是等边三角形，则6OB AB ==，最后结合三角函数即可求解．【详解】解：连接OA ，交BF 于点M ，连接OB ，∵六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，∴AB AF =，1360606AOB ∠=⨯︒=︒， ∴AB AF =， ∵OA 经过圆心O ，∴=OA BF ，12BM FM BF ==， ∴90OMB ∠=︒，∵60OA OB AOB =∠=︒，，∴OAB 是等边三角形，∴6OB AB ==，∵在Rt OBM △中，90OMB ∠=︒，60AOB ∠=︒，sin BM AOB OB∠=，∴sin 6062BM OB =︒=⨯=，∴22BF BM ==⨯=故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）9. 【答案】22y x =+(答案不唯一)【解析】【分析】根据开口向上，所以0a >，又经过点()0,2，则2c =，即可写出一个a 为正数，2c =的解析式即可．【详解】解：∵开口向上，∴0a >，又经过点()0,2，∴抛物线解析式为：22y x =+(答案不唯一)，故答案为：22y x =+(答案不唯一)【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．10. 【答案】3π 【解析】【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．【详解】解：半径为1cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是6011803ππ⨯=． 故答案为：3π． 【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式：180n r l π=是解题的关键． 11. 【答案】50︒##50度【解析】 【分析】在等腰三角形ABC 中，根据三线合一可求得50BAC ∠=︒，然后利用圆内接四边形的性质可求得EDC BAC ∠=∠即可【详解】解：∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥，∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∴250BAC BAD ∠=∠=︒，∵180BAC BDE ∠=︒−∠，∴18050EDC BDE ∠=︒−∠=︒，故答案为：50︒【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等腰三角形三线合一，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键12. 【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴120y y +=，故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.13. 【答案】26【解析】【分析】根据垂径定理得出AE 的长，设半径为r 寸，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接OA ，AB CD ⊥，∴由垂径定理知，点E 是AB 的中点，∴152AE AB OE OC CE OA CE ===−=−，， 设半径为r 寸，由勾股定理得，()22222++OA AE OE AE OA CE ==−，即()2225+1r r =−，解得：13r =， ∴226CD r ==，即圆的直径为26寸．故答案为：26．【点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键．14. 【答案】【解析】【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，解Rt △ABD ，得出2AD =，进而解Rt ADC ，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，∵3AB =，2sin 3B = ∴2sin 323AD B AB =⨯=⨯=， ∵45C ∠=︒，AD DC ⊥∴sin AD AC C==故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】根据已知条件得出90ABC ∠=︒，30CAB ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质得出2BC =，勾股定理求得AB =PAB 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵AC 为O 的直径，4AC =，60C ∠=︒，∴90ABC ∠=︒，30CAB ∠=︒， ∴122BC AC ==，∴AB == ∵PA 是O 的切线，∴90CAP ∠=︒∴903060BAP CAP CAB ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∵PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，∴PA PB =∴PAB 等边三角形，∴PA AB ==故答案为：【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．16. 【答案】 ①. A ，B ，C (答案不唯一) ②. A ，B ，E【解析】【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥，求解即可；（2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥的三个小区即可．【详解】解：（1）∵A 小区需送快递数量15，需取快递数量6，B 小区需送快递数量10，需取快递数量5，C 小区需送快递数量8，需取快递数量5，∴若前往A 、B 、C 小区，需取快递数量为151083330++=>，需取快递数量为6551615++=>，∴前往A ，B ，C 小区满足条件，故答案：A ，B ，C (答案不唯一)；（2）前往A 小区收益为：1516228⨯+⨯=(元)，前往B 小区收益为：1015220⨯+⨯=(元)，前往C 小区收益为：815218⨯+⨯=(元)，前往D 小区收益为：417218⨯+⨯=(元)，前往E 小区收益为：1314221⨯+⨯=(元)，∵28212018>>>，15101330++>，65415++=，∴他的最优方案是前往A 、B 、E 小区收益最大，故答案为∶A ，B ，E ．【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.【答案】14【解析】【分析】先将特殊角的三角函数值代入，再进行化简．22322⎛⎫+− ⎪ ⎝⎭⨯⎪ 34= 14=【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的运算，掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．18. 【答案】（1）EAP EBC ∽，EQB CQD ∽（答案不唯一）（2）32BE CD = 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求出AB CD ，AD BC ∥，再证明三角形相似即可； （2）先根据EAP EBC ∽求出BE AB ，再根据矩形的性质求解． 【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ，AD BC ∥，∴E QCD ∠=∠，EAP EBC ∠=∠；∵EAP EBC ∠=∠，E E ∠=∠，∴EAP EBC ∽；∵E QCD ∠=∠，EQB CQD ∠=∠，∴EQB CQD ∽．【小问2详解】∵2PD AP =，∴3AD AP =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，AB CD =，∴3BC AP =，∵EAP EBC ∽， ∴3BE BC AE AP==， ∴3BE AE =，∴2AB AE =， ∴32BE AB =， 即32BE AB =， ∵AB CD =， ∴32BE CD =． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19. 【答案】（1）()1,4−（2）见解析 （3）函数最大值为0，最小值为4−．【解析】【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式，由此求得顶点坐标；（2）根据题意画出函数的图象即可；（3）观察图象写出函数y 的取值范围．【小问1详解】解：∵()222314y x x x −−−==−． ∴抛物线的顶点坐标是()1,4−．【小问2详解】解：二次函数2=23y x x −−的图象如图所示：【小问3详解】解：观察图象得，当自变量03x ≤≤时当1x =时，y 取最小值，此时4y =−，当3x =时，y 取最大值，此时0y =，∴当03x ≤≤时，40y −≤≤．即：函数最大值为0，最小值为4−．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数图像，解题的关键是正确的画出函数图像． 20. 【答案】见解析【解析】【分析】情形（2）：延长AO 交O 于点D ，连接BD ，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质求解即可求得答案；情形（3）：延长AO 交O 于点D ，连接BD ，利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质求解即可求得答案．【详解】情形（2）：如图2，当圆心O 在ACB ∠的内部时，延长AO 交O 于点D ，连接BD ，则D C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角都相等），OB OD =，D OBD ∴∠=∠，AOB D OBD ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），22AOB D C ∴∠=∠=∠， 即12∠=∠C AOB ． 情形（3）：如图3，当圆心O 在ACB ∠的外部时，延长AO 交O 于点D ，连接BD ，则D C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角都相等），OB OD =，D OBD ∴∠=∠，AOB D OBD ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），22AOB D C ∴∠=∠=∠，即12∠=∠C AOB ． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质及三角形外角性质是解此题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）98BG =【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出12BAF BOF ∠=∠，结合已知条件得出90G BAF ∠+∠=︒，即可得证； （2）连接EO 并延长交AB 于点H ，根据题意得出OH AB ⊥，设AO r =,则2OH r =−，在Rt AOH △中，222AH OH AO +=，求得54r =，根据cos cos AB AF FAB FAB AF AG ∠==∠=，求得AG 的长，进而即可求解．【小问1详解】证明：∵BF BF =， ∴12BAF BOF ∠=∠， ∵1902G BOF ∠+∠=︒ ∴90G BAF ∠+∠=︒∴90AFG ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABF ∠=︒，AF ∴为O 的直径， 即点O 在AF 上，∴OF FG ⊥， ∴FG 是O 的切线； 【小问2详解】解：如图，连接EO 并延长交AB 于点H ，∵O 过正方形ABCD 的顶点A ，B ，且与CD 边相切于点E ，∴OH AB ⊥，∴1AH HB ==，设AO r =,则2OH r =−，在Rt AOH △中，222AH OH AO +=()22212r r +−= 解得：54r =∴52AF = ∵FG AF ⊥，FB AB ⊥ ∴cos cos AB AF FAB FAB AF AG∠==∠= 即52252AG=, 解得：258AG =, ∴259288BG AG AB =−=−=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，余弦的定义，勾股定理，掌握正方形的性质以及圆的性质是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析 （2）小昊不能阻止此次投篮（3）0.275米【解析】【分析】（1）先描出点()0,1.8，()2,3，()4,3.4，()6,3，再用平滑曲线连接即可；（2）先求出抛物线解析式，再求出当1x =的y 值与2.4比较即可；（3）求出当 6.5x =时的y 值，再用3.05y −即可．小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】解：小昊不能阻止此次投篮．理由：设抛物线解析式为2y ax bx c =++，把()0,1.8，()2,3，()6,3代入，得 1.84233663c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：0.10.81.8a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴20.10.8 1.8y x x =−++，当1x =时，则 2.5y =，∵2.5 2.4>，∴小昊不能阻止此次投篮．【小问3详解】解：对于抛物线20.10.8 1.8y x x =−++， 当 6.5x =时，20.1 6.50.8 6.5 1.8 2.775y =−⨯+⨯+=， 3.05 2.7750.275−=(米)， ∵第二次在定点M 处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方， ∴小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象性质是解题的关键． 23. 【答案】（1）1,1 （2）①2a =−；②1223t <<或2t <− 【解析】【分析】（1）先将1a =代入抛物线212y x x a=−，然后再化成顶点式即可解答； （2）①先分别求得32y y 、，再根据23y y =得到关于a 的分式方程求得a 的值，再看是否与B 、C 重合即可解答；先求得抛物线的对称轴为t a =，然后分0a >和a<0两种情况，分别根据二次函数的增减性和对称性即可解答．【小问1详解】 【解：将1a =代入抛物线212y x x a=−可得：()22211y x x x =−=−−． 所以二次函数的顶点坐标为1,1．【小问2详解】解:①将()23,B a y 代入212y x x a =−可得：2963a y a a =−= 将()32,C y 代入212y x x a =−可得：344y a =− ∵23y y = ∴434a a=− 解得：1222,3a a =−= 经检验：1222,3a a =−=是分式方程的解 ∴当23a =时，()22,B y ∵()32,C y∴点B 与点C 重合，故23a ≠，即2a =−； ②二次函数212y x x a =−的对称轴为212x a a−=−=⨯，即t a = 当0a >时，10a>，二次函数图像开口向上，当 0a >时，y 随x 的增大而增大 由轴对称可得点()11,A y −关于x a =的对称点为()121,a y +∵132y y y >>∴2123a a +>>，即1223a << 当a<0时，10a<，二次函数图像开口向下，当 a<0时，y 随x 的增大而增大 由轴对称可得点()32,C y 关于x a=对称点为()322,a y − ∵132y y y >>∴1223a a −>−>，即2a <− 综上，1223a <<或2a <−，即1223t <<或2t <−． 的【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质、二次函数的增减性和对称性等知识点，灵活应用二次函数的性质成为解答本题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）2CAB α∠=（3）AG AC BC +=【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）先求出ACD ∠，再在ACD 中根据等腰三角形性质求出CAB ∠即可；（3）设AD AC a ==，CE DB b ==，再证明BCD BGE ，求出BG 的长即可．【小问1详解】解：补齐图形如下： 【小问2详解】∵BCD α∠=，90ACB ∠=︒，∴90ACD α∠=︒−，∵AD AC =，∴90ACD ADC α∠=∠=︒−，∴()1801802902CAB ACD ADC αα∠=︒−∠−∠=︒−︒−=【小问3详解】设AD AC a ==，CE DB b ==，∴AB AD BD a b =+=+，∴BC ===∴BE BC CE b =−=，∵CD EF ⊥∴90ADC EGD ∠+∠=︒，∴EGD BCD α∠==∠， ∴BCDBGE ∴BG BE BC BD==∴2b BG b a b==+−∴(2AG AB BG a b b a a =−=+−+−=∵BC =，AC a =∴AG BC AC =−即AG AC BC +=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，数形结合，用代数式表示线段长，准确的计算是本题的关键．25. 【答案】（1）①1P 点、2P 点；②k 的值是2. （2）-44b ≤≤.【解析】【分析】（1）①根据题意P 点是弦MN 的中点，则OP MN ⊥，因此CP CO ≤.分别计算1OP ，2OP ，3OP 的长度，与OC 的长作比较即可判断.②将C 点坐标代入y kx = 中求出k 值即可.（2）分别计算y x b =+过A 点和B 点时b 的值，即可写出b 的取值范围.【小问1详解】解：①如图，∵P 为MN 的中点，∴OP MN ⊥，∴CP CO ≤，即2CP ≤.∵()10,0P ，∴12CP =此时，P 点是直径MN 的中点，符合题意.∵()21,1P −，∴22CP ==<，∴()21,1P −符合题意.∵()32,2P ，∴32CP ==>，∴()32,2P 不符合题意.∴1P 、2P 点是折弦点.故答案为：1P 点、2P 点②把()2,0C −代入y kx =中得-20k +=，解得k = 此时直线MN 是定直线，它只有一个折弦点.【小问2详解】解：把(4,0)A −代入y x b =+中得4b =，把(4,0)B 代入y x b =+中得4b =−，∴b 的范围是-44b ≤≤【点睛】本题主要考查了垂径定理，能够读懂题意，会画图分析是解题的关键.。

2024年北京燕山区初三上学期期末考数学试卷和答案

2024年北京燕山区初三上学期期末考数学试卷和答案

燕山地区2023—2024学年第一学期九年级期末考试数学试卷2024.1一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．．1．下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．已知点P 在半径为r 的⊙O 内，且OP ＝3，则r 的值可能为A ．1B ．2C ．3D ．43．下列函数中，当0x >时，y 随x 的增大而减小的是A ．y ＝xB ．y ＝1x +C ．y ＝2x D ．y ＝2x -4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是A ．13B ．49C ．59D ．235．如图，点A ，B 在⊙O 上，点C 是劣弧AB ︵的中点，∠AOC ＝80°，则∠CDB 的大小为A ．40°B ．45°C ．60°D ．80°6．电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x ，根据题意可列方程为A ．23.5 6.8x =B ．3.5(1 6.8)x +=C ．23.5(1) 6.8x +=D ．23.5(1) 6.8x -=7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点都在格点上，则△ABC 外接圆的圆心坐标为A ．(3，2)B ．(2，3)C ．(2，2)D ．(3，3)8．平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2+bx (a ≠0)的部分图象如图所示，给出下面三个结论：①a •b ＞0；②二次函数y ＝ax 2+bx (a ≠0)有最大值4；③关于x 的方程ax 2+bx ＝0有两个实数根14=-x ，20=x ．上述结论中，所有正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．平面直角坐标系xOy 中，与点P (－4，1)关于原点对称的点的坐标是．10．一元二次方程(3)3x x x -=-的解是．11．将抛物线212y x =向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为．12．已知某二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为(1，3)，则这个二次函数解析式可以是．13．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，切点为A ，B ，若∠AOB ＝90°，P A ＝3，则⊙O 的半径为．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AD ，若OE ＝3，CD ＝8，则AD 的长为．15．在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有a 个红球，这些球除颜色外无其他差别．为估计a 的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：摸球的次数n 2050100200300400500摸到红球的次数m133262117181238301摸到红球的频率mn0.650.640.620.5850.6030.5950.602根据以上数据，估计a 的值约为．16．2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y (件)与销售单价x (元)之间近似满足函数关系：2180－y x =+(30≤x ≤50)．(1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为w (元)，则w 与x 的函数关系式为；(2)该网店每周销售该礼盒所获最大利润为元．(第14题)(第13题)宸宸琮琮莲莲三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．解方程：220+-=．41x x18．已知250-，求代数式22＝x x-x x x-+-的值．3(2)(1)19．2023年7月31日，北京遭遇140年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组(信息登记)，B组(物资发放)，C组(垃圾清运)的其中一组．(1)小东被分配到A组是事件(填“必然”，“随机”或“不可能”)；小东被分配到A组的概率是．(2)请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．20．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB上．(1)若BC＝6，BD＝9，求线段AE的长．(2)连接AD，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠BDA的度数．21．阅读下面的材料一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．以x2＋10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；②一方面大正方形的面积为(x＋)2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2＋10x＝39，可得方程(x＋)2＝39＋，则方程的正数解是x ＝．根据上述材料，解答下列问题．(1)补全花拉子米的解法步骤②；(2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x 2－6x ＝7的正数解的正确构图是(填序号)．22．已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m -+-=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，请你写出一个满足条件的m 值，并求出此时方程的根．23．已知二次函数23(0)+y ax bx a =+≠的图象经过点A (1，0)，B (3，0)．(1)求该函数的解析式；(2)当x ＞3时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值小于二次函数23+y ax bx =+的值，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．24．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，以AD 为直径作⊙O 与BC 相切于点E ，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．(1)求证：AF ＝AD ；(2)若CE ＝4，CF ＝2，求⊙O 的半径．图1①②25．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为y 1，y 2(单位：克)．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y 1，y 2与x 的几组对应值如下：x (分钟)05101520…y 1(克)2523.52014.57…y 2(克)252015105…(1)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；(2)进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，y 1与x 之间近似满足函数关系210.04+y x bx c =-+．场景B 的图象是直线的一部分，y 2与x 之间近似满足函数关系2y ax c =+(a ≠0)．请分别求出场景A ，B 满足的函数关系式；(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为x A ，x B ，则x A x B (填“＞”，“＝”或“＜”)．26．在平面直角坐标系xOy 中，点M (－1，m )，N (3，n )在抛物线2y ax bx c =++(a ＞0)上，设抛物线的对称轴为x ＝t ．(1)若m ＝n ，求t 的值；(2)若c ＜m ＜n ，求t 的取值范围．27．如图，△ABC 为等边三角形，点M 为AB 边上一点(不与点A ，B 重合)，连接CM ，过点A 作AD ⊥CM 于点D ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AE ，连接BE ．(1)依题意补全图形，直接写出∠AEB 的大小，并证明；(2)连接ED 并延长交BC 于点F ，用等式表示BF 与FC 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙C 和⊙C 外一点P 给出如下定义：连接CP 交⊙C 于点Q ，作点P 关于点Q 的对称点P′，若点P′在线段CQ 上，则称点P 是⊙C 的“关联点”．例如，图中P 为⊙C 的一个“关联点”．(1)⊙O 的半径为1．①如图1，在点A (2-，0)，B (2，2)，D (0，3)中，⊙O 的“关联点”是；②已知点M 在直线323y x =-上，且点M 是⊙O 的“关联点”，求点M 的横坐标m 的取值范围．(2)直线31()y x =--与x 轴，y 轴分别交于点E ，点F ，⊙T 的圆心为T (t ，0)，半径为2，若线段．．EF ．．上所有点．．．．都是⊙T 的“关联点”，直接写出t 的取值范围．图1备用图燕山地区2023—2024学年第一学期九年级期末考试数学试卷答案及评分参考2024年1月阅卷须知：1．为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可。

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《几何综合》

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《几何综合》

2024年1月九上期末——几何综合1.【东城】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时(图2中BD＜CD，图3中BD>CD)，F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．2.【西城】27．在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，CM AB ⊥于点M ．点P 在射线CM 上，连接AP ，作CD AP ⊥于点D ．连接MD ，作CE MD ⊥于点E ，作//DF AB 交直线CE 于点F ，连接MF ．图1图2备用图（1）当点P 在线段CM 上时，在图1中补全图形，并直接写出ADM ∠的度数；（2）当点P 在线段CM 的延长线上时，利用图2探究线段DF 与AM 之间的数量关系，并证明；（3）取线段MF 的中点K ，连接BK ，若8AC =，直接写出线段BK 的长的最小值．3.【海淀】27.如图，在ABC △中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠∠=.（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF .①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小.4.【朝阳】27．已知线段AB 和点C ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD ，将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°-α，得到线段BE ，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF ，BF .（1）如图1，点C 在线段AB 上，依题意补全图1，直接写出∠AFB 的度数；（2）如图2，点C 在线段AB 的上方，写出一个α的度数，使得3AF =成立，并证明.图1图25.【石景山】27．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，60BAC ∠=°．D 是边BA 上一点（不与点B 重合且12BD BA <），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ．（1）求CAE ∠的度数；（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．若G ACE ∠=∠，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．6.【丰台】27．已知在△ABC中，AB=AC，0°<∠BAC<90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接ＢD，CD．（1）如图1，当∠BAC=α时，∠ＡBD=（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当α=90°时，连接BD，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F，交BD于点E，连接DF．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数；②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．7.【昌平】27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE=DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F.（1）如图1，当点D为CM的中点时，①依题意补全图形；②直接写出BF和DE的数量关系为______________；（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF与DE之间的数量关系，并证明.图1图227题图127题图28.【通州】27．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在AB 的延长线上，取AD 的中点F ，连结CD 、CF ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CE ，连结AE 、BE ．（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE 、CF 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．9.【房山】27.如图，在等边三角形ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 上的点，且BE CF =，AE ，BF 交于点G .（1）AGF ∠=°；（2）过点A 作AD ∥BC （点D 在AE 的右侧），且AD BC =，连接DG .①依题意补全图形；②用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系，并证明.10.【大兴】27.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为BA的延长线上一点,连接PC,以点P为中心,将线段PC顺时针旋转90°得到线段PD,连接BD.(1)依题意补全图形;(2)求证:∠ACP=∠DPB;(3)用等式表示线段BC,BP,BD之间的数量关系,并证明.11.【门头沟】27.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在△ABC外作射线CP，且∠ACP=α，点A关于CP的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CP于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当α=30°时，直接写出∠CNB的度数；（3）当0°<α<45°时，用等式表示线段BN，CM之间的数量关系，并证明．12.【燕山】27．如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点(不与点A，B重合)，连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE．(1)依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明；(2)连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明．13.【顺义】27．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．14.【密云】27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．（1）依据题意，补全图形；（2）直接写出∠A C E+∠B C D的度数；（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段A E与CF之间的数量关系，并证明．15.【平谷】27.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F.（1）依题意补全图形，（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明.。

初三上册数学期末考试题及答案

初三上册数学期末考试题及答案

初三上册数学期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 2B. √2C. 0.5D. 3.14答案：B2. 一个数的平方根是它本身，这个数是A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么它的周长是A. 7B. 10C. 11D. 14答案：C4. 已知一个数列的前三项为1, 2, 4，那么第四项是A. 8C. 6D. 5答案：A5. 函数y=2x+3的图像经过点A. (0, 3)B. (1, 5)C. (2, 4)D. (3, 9)答案：B6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A7. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的体积是A. 24立方厘米B. 12立方厘米C. 26立方厘米D. 36立方厘米答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可能是B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 一个角的补角是90°，那么这个角是A. 90°B. 45°C. 30°D. 60°答案：B10. 一个数的立方根是它本身，这个数是A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方是25，这个数是____。

答案：±52. 一个数的倒数是2，这个数是____。

答案：1/23. 一个数的相反数是-3，这个数是____。

答案：34. 一个数的绝对值是10，这个数是____。

答案：±105. 一个数的平方根是4，这个数是____。

答案：16三、解答题（共50分）1. 解方程：x² - 5x + 6 = 0（10分）答案：x₁ = 2，x₂ = 32. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，求第三边的长度。

（10分）答案：第三边的长度为10cm。

人教版初三上册《数学》期末考试卷及答案【可打印】

人教版初三上册《数学》期末考试卷及答案【可打印】

一、选择题（每题1分，共5分）1. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）。

A.（2，3）B.（2，3）C.（2，3）D.（2，3）2. 已知一组数据：1，2，3，4，5，那么这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）。

A. 3，3，3B. 3，3，3.5C. 3，3，4D. 3，3，4.53. 下列函数中，属于一次函数的是（）。

A. y=2x+1B. y=x^2C. y=2/xD. y=3sinx4. 已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=2时，y=4，那么k的值为（）。

A. 2B. 4C. 2D. 45. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数是（）。

A. 40°B. 70°C. 80°D. 90°二、判断题（每题1分，共5分）1. 任意两个等腰三角形的底边长度相等。

（）2. 两条平行线上的任意两个点之间的距离相等。

（）3. 当两个数的和为0时，它们互为相反数。

（）4. 函数y=2x+1的图像是一条直线。

（）5. 正比例函数的图像经过原点。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若x2y=3，则2x4y=______。

2. 若函数y=kx（k≠0）的图像经过点（1，2），则k=______。

3. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，则∠B的度数是______。

4. 若一组数据的平均数为5，则这组数据的总和是______。

5. 若两个等腰三角形的底边长度相等，则它们一定全等。

（）四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述正比例函数的定义。

2. 简述等腰三角形的性质。

3. 简述函数图像平移的规律。

4. 简述求解二元一次方程组的方法。

5. 简述众数、中位数、平均数的定义及区别。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 某商店销售一批商品，售价为每件20元，成本为每件15元。

若要使利润率达到50%，则售价应定为多少元？2. 已知函数y=kx（k≠0），若该函数的图像经过点（2，4），求k的值。

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《代数综合》

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《代数综合》

2024年1月九上期末——代数综合1.【东城】26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2，c )在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =.(1)求t 的值；(2)已知11()M x y ，，22()N x y ，是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <,求m 的取值范围．2.【西城】26．在平面直角坐标系xOy 中，()1,A t y ，()1,B t y+，()23,C t y +三点都在抛物线224y ax ax =-+（0a >）上．（1）这个抛物线的对称轴为直线________．（2）若132y y y >≥，求t 的取值范围；（3）若无论t 取任何实数，点A ，B ，C 中都至少有两个点在x 轴的上方，直接写出a 的取值范围．3.【海淀】26.在平面直角坐标系xOy 中，点()1,A m -，点()3,B n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上.设抛物线的对称轴为直线x t =.（1）当2t =时，①直接写出b 与a 满足的等量关系；②比较m ，n 的大小，并说明理由；（2）已知点()0,C x p 在该抛物线上，若对于034x <<，都有m p n >>，求t 的取值范围.4.【朝阳】26．在平面直角坐标系xOy 中，点(x 1，m )，(x 2，n )在抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)上，设抛物线的对称轴为x =t .（1）若对于x 1=1，x 2=3，有m =n ，求t 的值；（2）若对于t -1<x 1<t ，2<x 2<3，存在m ＞n ，求t 的取值范围．5.【石景山】26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过点(33)A a c +,．（1）求该抛物线的对称轴；（2）点1(12)M a y -,，2(2)N a y +,在抛物线上.若12c y y <<，求a 的取值范围．6.【丰台】26．在平面直角坐标系xOy 中，点（m +2，1y ），（6，2y ）为抛物线22y x mx n =-+上两个不同的点．（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（2）若12y n y <<，求m 的取值范围．7.【昌平】26.在平面直角坐标系xOy 中，点（0，3），（6，1y ）在抛物线()02≠++=a c bx ax y 上.（1）当31=y 时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线()02≠++=a c bx ax y 经过点（-1，-1），当自变量x 的值满足-1≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0>a 时，点（m -4，2y ），（m ，2y ）在抛物线c bx ax y ++=2上.若2y ＜1y ＜c ，请直接写出m 的取值范围.8.【通州】26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线2221y x mx m =-+-上任意两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）若12x m =-，25x m =+，则1y ______2y ；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）（3）若对于114x -≤<，24x =，都有12y y ≤，求m 的取值范围．9.【房山】26.在平面直角坐标系xOy 中，点(1)m ，，(3)n ，在抛物线24(0)y ax bx a =++>上,设抛物线的对称轴为x t =.（1）当m n =时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点00()(3)x n x ≠，在抛物线上，若4m n <<，求t 的取值范围及0x 的取值范围.10.【大兴】26.在平面直角坐标系xOy 中，点（2，m ）在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为x=t .(1)当m =c 时，求t 的值；(2)点(-1,y 1),(3,y 2)在抛物线上，若c <m ,比较y 1，y 2的大小，并说明理由．11.【门头沟】26.在平面直角坐标系xOy 中，点M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）为抛物线2y ax bx c=++(a >0)上任意两点，其中12x x <.（1）若抛物线的对称轴为x =2，当12x x 、为何值时，12y y c ==；（2）设抛物线的对称轴为x =t ，若对于124x x +>，都有12y y <，求t 的取值范围.12.【燕山】26．在平面直角坐标系xOy 中，点M (－1，m )，N (3，n )在抛物线2y ax bx c =++(a ＞0)上，设抛物线的对称轴为x ＝t ．(1)若m ＝n ，求t 的值；(2)若c ＜m ＜n ，求t 的取值范围．13.【顺义】26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2ax +a 2﹣4与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）若a ＝1，求抛物线的对称轴及A ，B 两点的坐标；（2）已知点（3﹣a ，y 1），（a +1，y 2），（﹣a ，y 3）在该抛物线上，若y 1，y 2，y 3中有且仅有一个大于0，求a 的取值范围．14.【密云】26．在平面直角坐标系xOy 中，点（2，m ）和（5，n ）在抛物线y =x 2+2bx 上，设抛物线的对称轴为x=t ．（1）若m=0，求b 的值；（2）若mn ＜0，求该抛物线的对称轴t 的取值范围．15.【平谷】26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数mx x y 22-=的图象上两个点A ),(11y x ，B ),(22y x ，点A 、B 之间的部分（包含点A 、点B ）记作图象G ，图象G 上y 的最大值与最小值的差记作y G ．（1）求这个二次函数的对称轴（用含m 的代数式表示）；（2）当m=1，x 1=0，x 2=3时，求y G 的值；（3）当121-=m x ，122+=m x 时，恒有y G ＞21y y -，求m 的取值范围．。

2024年北京平谷区初三九年级上学期期末数学试题及答案

2024年北京平谷区初三九年级上学期期末数学试题及答案

一、选择题( 本题共 16 分,每小题 2 分)
x
y
A.
=
2
3
6. 关于反比例函数 y = -
3
4
12. 如图,在☉O 中, AB 是☉O 的直径, C, D 是☉O 上的点.
如果∠CDB = 27°,那么∠CBA 的度数为
.
3
5
初三数学试卷 第 1 页( 共 8 页)
初三数学试卷 第 2 页( 共 8 页)


函数的图象;




26. 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y = x2 - 2mx 的图象上两个点 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),点
A、 B 之间的部分(包含点 A、点 B)记作图象 G,图象 G 上 y 的最大值与最小值的差记作 y G .
(1) 求这个二次函数的对称轴( 用含 m 的代数式表示) ;
为等边三角形,则称点 P 为线段 AB 的“ 关联点” .
至
千米 / 小时范围内.
(1) 已知点 A(1,0 ) 和点 B (0, 3 ) ,点 P 为线段 AB 的 “ 关联点” ,直接写出点 P 的坐
标
;
(2) 若 A(2, 2 3 ) , Q(4,0) ,点 B 是线段 OQ 上一点,点 P 为线段 AB 的“ 关联点” ,当
x -1
.
10. 如图,在 △ABC 中, D 为 AB 上一点, 添加一个条
件:
, 使得△ADC∽△ACB.
11. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,如果 cosA =
AC = 2,那么 AB 的长为
.
1
,
3
D. 6

青岛市2023-2024学年市南区59中初三上册期末数学试题

青岛市2023-2024学年市南区59中初三上册期末数学试题

2024年青岛市市南区第五十九中学期末考试九年级数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1．本试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，共26题.第I 卷为选择题,共10小题，30分；第II 卷为填空题、作图题、解答题，共16题，90分2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效。

第I 卷（共30分）一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1．如果将抛物线22y x =+先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)1y x =++C ．21y x =+D ．2(1)1y x =+-2．在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，盒子中白色球的个数可能是A ．24个B ．18个C ．16个D ．6个3．若关于x 的方程230ax x c -+=有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a ，c 的值可以是()A ．1a =，3c =B ．2a =-，4c =-C ．1a =-，3c =D ．5a =，1c =4．反比例函数3(3)k y k x -=<图象经过点(3,)A a -、(1,)B b -、(2,)C c ，则a 、b 、c 的大小关系是()A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b>>5．沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是()A ．B ．C ．D ．6．在正方形网格中，ABC ∆的位置如图所示，则tan A ∠的值为A ．12B ．22C ．13D ．337．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为(-，(0,3)-，则点M 的坐标为A ．，2)-B ．，2)C ．(2,-D ．(2,--8．如图所示，是一个几何体的俯视图和正视图（主视图），则该几何体的表面积为A ．2(5900400)cm π+B ．2(5900500)cm π+C ．2(16001650)cm π+D ．27500cm9．如图，在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点G 在CD 上，4BC =，2CE =，H 是AF 的中点，那么CH 的长为()A 10B ．10C ．37D 716．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE 、BE 、DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点F ．若2AE AF ==，10BF =，则下列结论其中正确的有（）个①AEB AFD ∆≅∆；②EF EB ⊥；③点B 到直线AE 的距离为32；④40ABF ADF S S ∆∆+=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（共90分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11．已知15a b a -=，则a a b =+．12．计算：sin 30tan 453︒-︒+︒=．13．由于手机市场的迅速成长，某品牌的手机为了赢得消费者，在一年之内连续两次降价，从5980元降到4698元，如果每次降低的百分率相同，求每次降低的百分率是多少？设这个降低百分率为x ，则根据题意，可列方程．14．如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．15．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，若组成这个几何体的小立方块的个数为n ，则n 的最小值与最大值的和为．10．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0abc >；②方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一个根大于2且小于3；③若1(0,)y ，23(,)2y 是抛物线上的两点，那么12y y <；④1120a c +<；⑤对于任意实数m ，都有()m am b a b ++，其中正确的结论是．A ．5B ．4C ．3D ．2三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17．如图，有一块三角形的铁皮．求作：以B ∠为一个内角的菱形BEFG ，使顶点F 在AC 边上．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．四、解答题18．（本小题满分6分）已知关于x 的一元二次方程2(24)60kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当1k =时，用配方法解方程．19．（本小题满分6分）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．（1）求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明）（2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由．20．（本小题满分6分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB 、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分）:（1）求出y 与x 之间的函数关系；（2）开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A 、C 两点处测得该塔顶端F 的仰角分别为48α∠=︒，65β∠=︒，矩形建筑物宽度20AD m =，高度35DC m =．计算该信号发射塔顶端到地面的高度FG （结果精确到1)m ．（参考数据：sin 480.7︒≈，cos 480.7︒≈，tan 48 1.1︒≈，sin 650.9︒≈，cos 650.4︒≈，tan 65 2.1)︒≈22．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数11(0)y k x b k =+≠的图象与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象相交于(3,4)A ，(4,)B m -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围；（2）若点D 在x 轴上，位于原点右侧，且OA OD =，求S △ABO ：S △ABD ．如图，在矩形ABCD中，点G，H是对角线AC上的两点，且AG CH⊥交AB=，过AC的中点O作EF AC于点E，交CD于点F．（1）求证：AEG CFH∆≅∆；（2）若45∠+∠=︒，请你判断四边形GEHF的形状，并说明理由．BAC CFH24．（本小题满分8分）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价x元，销售量为y千克．（1）求出y与x的函数关系；（2）当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？（3）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（4）为了在该批水果保质期内尽快销售完，且又要保证每天盈利不低于1500元，那么涨价多少元时可使销售量最大？最大销售量是多少？在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，依次作正方形111CD E F ，正方形1222D D E F ，正方形2333D D E F ，⋯，正方形1n n n n D D E F -，顶点1D ，2D ，3D ，⋯，n D 在边AC 上，顶点1E ，2E ，3E ，⋯，n E 在边AB 上．【探究】（1）正方形111CD E F 的边长为；（2）正方形1222D D E F 的边长；（3）写出正方形1n n n n D D E F -的边长（用含n 的代数式表示）．26.（本小题满分10分）已知，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =6cm ,BD =8cm .延长BC 至点E ，使CE =BC ，连接ED ．点F 从点E 出发，沿ED 方向向点D 运动，速度为1cm/s,过点F 作FG ⊥ED 垂足为点F 交CE 于点G ；点H 从点A 出发，沿AD 方向向点D 运动，速度为1cm/s,过点H 作HP ∥AB ，交BD 于点P ，当F 点停止运动时，点H 也停止运动．设运动时间为t （0＜t ≤3），解答下列问题：（1）当HG ∥AC 时，求t 的值；（2）设六边形PCGFDH 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使点P 在∠CED 的平分线上？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．。

2023北京海淀初三(上)期末数学(试卷含答案解析)

2023北京海淀初三(上)期末数学(试卷含答案解析)

2023北京海淀初三（上）期末数 学注意事项：1．本试卷共6页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ）A. B.C. D.2. 点()1,2A 关于原点对称的点的坐标是（ ）A. 1,2B. 1,2C. ()1,2−−D. ()2,1 3. 二次函数22y x =+的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）A. 23y x =+B. ()212y x =−+ C. 21y x =+ D. ()212y x =++ 4. 如图，已知正方形ABCD ，以点A 为圆心，AB 长为半径作A ，点C 与A 的位置关系为（ ）A. 点C 在A 外B. 点C 在A 内C. 点C 在A 上D. 无法确定 5. 若点()0,5M ，()2,5N 在抛物线()223y x m =−+上，则m 的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1−6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O 旋转一定角度α后能与自身重合，则该角度α可以为（ ）A. 30︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒ 7. 如图，过点A 作O 的切线AB ，AC ，切点分别是B ，C ，连接BC ．过BC 上一点D 作O 的切线，交AB ，AC 于点E ，F ．若90A ∠=︒，AEF △的周长为4，则BC 的长为（ ）A. 2B.C. 4D.8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A 驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F 口驶出的概率是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 二次函数243y x x =−+的图象与y 轴的交点坐标为______．10. 半径为3且圆心角为120︒的扇形的面积为________.11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．______．12. 若关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______． 13. 二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则ab ______0（填“>”，“<”或“=”）．14. 如图，ABC 是O 的内接三角形，OD AB ⊥于点E ，若O 45ACB ∠=︒，则OE =______．15. 对于二次函数2y ax bx c =++，y 与x 的部分对应值如表所示．x 在某一范围内，y 随x 的增大而减小，写出一个符合条件的x 的取值范围______．16. 如图，AB ，AC ，AD 分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若2AB =，下面四个结论中，①该圆的半径为2； ②AC ̂的长为π2；③AC 平分BAD ∠； ④连接BC ，CD ，则ABC 与ACD 的面积比为．所有正确结论的序号是______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：226x x −=．18. 已知抛物线22y x bx c =++过点()1,3和()0,4，求该抛物线的解析式．19. 已知a 为方程22310x x −−=的一个根，求代数式()()()1132a a a a +−+−的值．20. 如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为直径，BC CD =．若50A ∠=︒，求B ∠的度数．21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．（1）小明抽到甲训练场的概率为______；（2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．22. 已知：如图，PA 是O 的切线，A 为切点． 求作：O 的另一条切线PB ，B 为切点．作法：以P 为圆心，PA 长为半径画弧，交O 于点B ； 作直线PB ．直线PB 即为所求．（1）根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明过程．证明：连接OA ，OB ，OP ．∵PA 是O 的切线，A 为切点，∴OA PA ⊥．∴90PAO ∠=︒．在PAO 与PBO 中，,,______,PA PB OP OP =⎧⎪=⎨⎪⎩∴PAO PBO ≌．∴90∠=∠=︒PAO PBO ．∴OB PB ⊥于点B ．∵OB 是O 的半径，∴PB 是O 的切线（____________________）（填推理的依据）．23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，O 为某紫砂壶的壶口，已知A ，B 两点在O 上，直线l 过点O ，且l AB ⊥于点D ，交O 于点C ．若30mm AB =，5mm CD =，求这个紫砂壶的壶口半径r 的长．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上．过点C 作O 的切线l ，过点B 作BD l ⊥于点D ．（1）求证：BC 平分ABD ∠；（2）连接OD ，若60ABD ∠=︒，3CD =，求OD 的长．25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．（1）请在图2中建立平面直角坐标系xOy ，并求出该抛物线的解析式；（2）“技”与“之”的水平距离为2a 米．小明想同时达到如下两个设计效果：① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a 的值；若不能实现，请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++过点()2,1．（1）求b （用含a 的式子表示）；（2）抛物线过点()2,M m −，()1,N n ，()3,P p ．①判断：()()11m n −−______0（填“＞”“＜”或“＝”）；②若M ，N ，P 恰有两个点在x 轴上方，求a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒．D 是AB 边上一点，DEAC ⊥交CA 的延长线于点E ．（1）用等式表示AD 与AE 的数量关系，并证明；（2）连接BE ，延长BE 至F ，使EF BE =．连接DC ，CF ，DF ．①依题意补全图形；②判断DCF 的形状，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．（1）已知()30A ，，()50B ，， ①在点()160P ，，()212P −，，()332P ，中，线段AB 的融合点是______； ②若直线y t =上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；（2）已知O 的半径为4，(),0A a ，()1,0B a +，直线l 过点()0,1T −，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ''．若对于实数a ，存在直线l ，使得O 上有A B ''的融合点，直接写出a 的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【解析】【分析】如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．依据中心对称图形的概念即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．2. 【答案】C【解析】【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横、纵坐标均取相反数可直接得到答案．【详解】解：点A（1，2）关于原点对称的点的坐标是（-1，-2），故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．3. 【答案】D【解析】【分析】根据函数平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案．【详解】解：由题意可得，22y x=+的图象向左平移1个单位长度可得，2y x=++，(1)2故选D．【点睛】本题考查函数图像平移规律，解题关键是熟练掌握规律：左加右减，上加下减．4. 【答案】A【解析】【分析】设正方形的边长为a，用勾股定理求得点C到A的圆心之间的距离AC，AB为A的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论．【详解】解：设正方形的边长为a，则AB a，AC==，AB AC <，∴点C 在A 外， 故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系． 5. 【答案】B【解析】 【分析】由函数的解析式可知函数对称轴为022x m +==，从而得出m 的值． 【详解】由函数()223y x m =−+可知对称轴是直线x m =，由()0,5M ，()2,5N 可知，M ，N 两点关于对称轴对称，即0212x +==， 1m ∴=，故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图像上点的对称性是解题的关键． 6. 【答案】C【解析】【分析】连接,OA OB ，可得AB AC BC ==，从而得到13601203AOC ∠=⨯︒=︒，即可求解． 【详解】解：如图，连接,OA OC ，∵ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，即AB AC BC ==， ∴13601203AOC ∠=⨯︒=︒． ∴该角度α可以为120︒．故选：C【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键．7. 【答案】B【解析】【分析】利用切线长定理得出AB AC =，DF FC =，DE EB =，再根据三角形周长等于4，可求得2AB AC ==，从而利用勾股定理可求解．【详解】解：∵AB ，AC 是O 的切线，切点分别是B ，C ， ∴AB AC =，∵DF 、DE 是O 的切线，切点是D ，交AB ，AC 于点E ，F ，∴DF FC =，DE EB =，∵AEF △的周长为4，即4AF EF AE AF DF DE AE AC AB ++=+++=+=，∴2AB AC ==，∵90A ∠=︒，∴BC ===故选：B ．【点睛】本题考查切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．8. 【答案】B【解析】【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H 、G 、E 、F 处都是等可能情况，从而得到在四个出口H 、G 、E 、F 也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有H 、G 、E 、F 四个，所以，最终从点F 驶出的概率为14， 故选：B ．【点睛】本题考查了概率，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】()0,3【解析】【分析】令0x =，求得y 的值即可.【详解】令0x =，得2433y x x =−+=，∴二次函数的图象与y 轴的交点坐标为()0,3，故答案为：()0,3．【点睛】本题考查的是二次函数与y 轴的交点，正确计算是解答此题的关键．10. 【答案】3π．【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式S=2360n r π，进而求出即可． 【详解】解：∵半径为3，圆心角为120°的扇形，∴S 扇形=2360n r π=21203360π⨯⨯=3π． 故答案为3π．【点睛】此题主要考查了扇形面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．11. 【答案】0.51（答案不唯一）【解析】【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.51附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.51，故答案为：0.51（答案不唯一）．【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．12. 【答案】94m <【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于m 的不等式，即可解得答案．【详解】解：∵230x x m −+=的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴0∆>，即()2340m −−>， 解得：94m <， 故答案为：94m <． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根．13. 【答案】<【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，判断a 的符号，根据对称轴的位置，判断b 的符号，进而得到ab 的符号．【详解】解：由图象，可知：抛物线的开口向上：0a >，对称轴在y 的右侧：b x 02a=−>，即：0b <， ∴0ab <；故答案为：<． 【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．14. 【答案】1【解析】【分析】连接OA ，OB ，由圆周角定理求得224590AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，再由等腰三角形三线合一性质求得1452AOE BOE AOB ∠=∠=∠=︒，从而求得45AOE OAE ∠=∠=︒，得到OE AE =，然后在Rt AOE △中，90AEO ∠=︒，由勾股定理求解即可．【详解】解：连接OA ，OB ，∴224590AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵OD AB ⊥于点E ，OA OB = ∴1452AOE BOE AOB ∠=∠=∠=︒， ∴45AOE OAE ∠=∠=︒，∴OE AE =，在Rt AOE △中，90AEO ∠=︒，由勾股定理，得222OE AE OA +=，∴2222OE OA ==， ∴1OE =，故答案为：1．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形三线合一性质是解题的关键．15. 【答案】2x >（答案不唯一，满足32x ≥即可） 【解析】【分析】根据表格，用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：把=1x −，=3y −；0x =，1y =；1x =，3y =分别代入2y ax bx c =++，得313a b c c a b c −+=−⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：131a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴22373124y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭， ∵10a =−<， ∴当32x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当2x >时，y 随x 的增大而减小，故答案为：2x >（答案不唯一，满足32x ≥即可）． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16. 【答案】①③④【解析】【分析】根据圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理逐一判断可选项即可．【详解】解：根据题干补全图形，连接BC CD OA OB OC OD OE ，，，，，，，根据内接正六边形的性质可知：60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 是等边三角形，2OA OB AB ===，圆的半径为2，所以①正确；根据内接正方形的性质可知：=90AOC ︒∠，AC 的长为：90π2π180⨯=，所以②错误； ∵OA OD =，120AOD ∠=︒，∴30OAD ∠=︒，∵OA OC =，=90AOC ︒∠，∴45OAC ∠=︒，∵60OAB ∠=︒，∴604515BAC =︒−︒=︒∠，∴BAC DAC ∠=∠，∴AC 平分BAD ∠， 所以③正确；过点A 作AH BC ⊥交CB 延长线于点H ，AG CD ⊥交DC 延长线于点G ， ∵1302ACB AOB ∠=∠=︒， ∴12AH AC =，∵AC ==∴AH =1245ADC AOC ∠=∠=︒，∴2AG AD =， 设OB 交AD 于点M ，∵60AOM ∠=︒，∴OM AD ⊥，2AD AM =，∵30OAM ∠=︒， ∴112MD OA ==，∴AM ==，∴2AD AM ==，∴AG =，∵=BAC CAD ∠∠，∴CD BC =，∴1212ABC ACD BC AH SAH S AG DC AG •====•，所以④正确； 因此正确的结论：①③④故答案为：①③④【点睛】本题考查圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17 【答案】11x =，21x =【解析】【分析】用配方法求解即可．【详解】解：22161x x −+=+，()217x −=，∴1x −=∴11x =，21x =．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法求解一元二次方程是解题的关键．18. 【答案】2234y x x =−+【解析】【分析】把()1,3和()0,4代入22y x bx c =++，解方程组求出b 、c 的值即可得答案.【详解】解：∵抛物线22y x bx c =++过点()1,3和()0,4，∴32,4.b c c =++⎧⎨=⎩解方程组，得3,4.b c =−⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式是2234y x x =−+．关键.19. 【答案】1【解析】【分析】将a 代入方程中得2231a a −=，将所求代数式化简整理后，把2231a a −=整体代入即可.【详解】解：∵a 为方程22310x x −−=的一个根，∴22310a a −−=．∴2231a a −=．∴原式=()222213646122312111a a a a a a a −+−=−−=−−=⨯−=． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值.解题的关键是掌握整体代入法.20. 【答案】65B ∠=︒【解析】【分析】连接AC ．利用等弧所对圆周角相等，得出DAC BAC ∠=∠，从而得出1252BAC DAB ∠=∠=︒，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：如图，连接AC ．∵BC CD =，∴DAC BAC ∠=∠．∵50DAB ∠=︒， ∴1252BAC DAB ∠=∠=︒． ∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒．∴9065B BAC ∠=︒−∠=︒．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 21. 【答案】（1）13 （2）13【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】 解：小明抽到甲训练场的概率为13， 故答案为：13； 【小问2详解】根据题意，可以画出如下树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等．小明和小天抽到同一场地训练（记为事件A ）的结果有3种，所以，()3193P A ==． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22. 【答案】（1）见解析 （2）OA OB =，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）按照作法作出图形即可；（2）连接OA ，OB ，OP ，证明PAO PBO ≌即可证明PB 是O 的切线．【小问1详解】补全图形，如图所示： 【小问2详解】连接OA ，OB ，OP ．∵PA 是O 的切线，A 为切点，∴OA PA ⊥．∴90PAO ∠=︒．在PAO 与PBO 中，,,,PA PB OP OP OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴PAO PBO ≌．∴90∠=∠=︒PAO PBO ．∴OB PB ⊥于点B ．∵OB 是O 的半径， ∴PB 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：OA OB =，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．23. 【答案】25mm【解析】【分析】连接OB ，根据垂径定理求得1152BD AB ==，又由5DO r =−，即可由勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接OB ．∵l 过圆心O ，l AB ⊥，30AB =， ∴1152BD AB ==． ∵5CD =，∴5DO r =−．∵222BO BD DO =+，∴()222155r r =+−． 解得25r =．∴这个紫砂壶的壶口半径r 的长为25mm ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）OD =【解析】【分析】（1）连接OC ，求得OC BD ∥，得到OBC CBD ∠=∠，即可求得BC 平分ABD ∠． （2）连接AC ，求得90ACB ∠=︒，在Rt BDC 中，求得6BC =；在Rt ACB △中，2AB AC =，OC =Rt OCD △中，利用勾股定理可求得OD =．【小问1详解】证明：如图，连接OC ．∵直线l 与O 相切于点C ，∴OC l ⊥于点C ．∴90OCD ∠=︒．∵BD l ⊥于点D ，∴=90BDC ∠︒．∴180OCD BDC ︒∠+∠=．∴OC BD ∥．∴OCB CBD ∠=∠．∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠．∴OBC CBD ∠=∠．∴BC 平分ABD ∠．【小问2详解】解：连接AC ．∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒．∵60ABD ∠=︒， ∴1302OBC CBD ABD ︒∠=∠=∠=．在Rt BDC 中，∵30CBD ∠=︒，3CD =，∴26BC CD ==．在Rt ACB △中，∵30ABC ∠=︒，∴2AB AC =．∵222AC BC AB +=，∴AB =∴12OC AB ==．在Rt OCD △中，∵222OC CD OD +=，∴OD =【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键25. 【答案】（1）20.25y x =−（答案不唯一）（2）能实现；a =【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出点的坐标，代入求解析式即可； （2）设“技”的坐标()20.25a a −−，，表示“科”()22a a −−，，列出方程解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．设这条抛物线表示的二次函数为2y ax ．∵抛物线过点()5, 6.25−，∴25 6.25a =−∴0.25a =−∴这条抛物线表示的二次函数为20.25y x =−．【小问2详解】能实现；a =由“技”与“之”的水平距离为2a 米，设“技”()20.25a a −−，，“之”()20.25a a −，， 则 “科”()22a a −−，，“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，()220.25 1.5a a ∴−−−=，解得：a =a =舍去) 【点睛】本题考查运用二次函数解决实际问题，建立适当的平面直角坐标系，求出函数解析式是解题的关键．26. 【答案】（1）2b a =−（2）①＜②a 的取值范围是1138a −<≤−或1a ≥ 【解析】【分析】（1）把()2,1代入21y ax bx =++，计算即可；（2）①把()2,M m −代入21y ax bx =++，得18m a −=，把()1,N n 代入21y ax bx =++，得1n a −=−，当0a >时，180m a −=>，10n a −=−<，得()()110m n −−<；当a<0时，180m a −=<，10n a −=−>，得()()110m n −−<；即可得出结论； ②把()2,M m −，()1,N n ，()3,P p 代入21y ax bx =++，得81m a =+，1n a =−+，31p a =+．当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为1x =，则抛物线在1x =时，取得最小值n ．所以M ，P 在x 轴上方，N 在x 轴上或x 轴下方，则81031010a a a +>⎧⎪+>⎨⎪−+≤⎩，解得1a ≥．当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为1x =，所以抛物线在1x =时，取得最大值n ，且<m p ．所以N ，P 在x 轴上方，M 在x轴上或x 轴下方．则10310810a a a −+>⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得1138a −<≤−． 【小问1详解】解：把()2,1代入21y ax bx =++，得4211a b ++=，∴2b a =−；【小问2详解】解：①把()2,M m −代入21y ax bx =++，得421m a b =−+，由（1）知：2b a =−，∴18m a −=，把()1,N n 代入21y ax bx =++，得1n a b =++，1n a −=−，当0a >时，180m a −=>，10n a −=−<，∴()()110m n −−<，当a<0时，180m a −=<，10n a −=−>，∴()()110m n −−<，绽上，()()110m n −−<；②由（1）知2b a =−，∴221y ax ax =−+∴抛物线对称轴为1x =．∵抛物线过点()2,M m −，()1,N n ，()3,P p ，∴81m a =+，1n a =−+，31p a =+．当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为1x =，∴抛物线在1x =时，取得最小值n ．∵M ，N ，P 恰有两点在x 轴上方，∴M ，P 在x 轴上方，N 在x 轴上或x 轴下方．∴81031010a a a +>⎧⎪+>⎨⎪−+≤⎩，解得1a ≥．当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为1x =，∴抛物线在1x =时，取得最大值n ，且<m p ．∵M ，N ，P 恰有两点在x 轴上方，∴N ，P 在x 轴上方，M 在x 轴上或x 轴下方．∴10310810a a a −+>⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得1138a −<≤−． 综上，a 的取值范围是1138a −<≤−或1a ≥． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．27. 【答案】（1）2AD AE =，理由见解析；（2）①如图；②结论：DCF 是等边三角形，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据DE AC ⊥，120BAC ∠=︒可知90DEA ∠=︒，30ADE BAC DEA ∠=∠−∠=︒，利用含30︒角的直角三角形性质：30︒角所对直角边等于斜边的一半，可得2AD AE =．（2）①根据题意补全图形即可；②延长BA 至点H 使AH AB =，连接CH ，FH ，根据AB AC =可知AH AC =，由18060HAC BAC ∠=︒−∠=︒，得ACH 是等边三角形，HC AC =，60AHC ACH ∠=∠=︒，根据AH AB =，EF BE =，可知2HF AE =，HF AE ∥，得60FHA HAC ∠=∠=︒，120FHC FHA AHC ∠=∠+∠=︒，FHC DAC ∠=∠，由2AD AE =，得HF AD =，由HA AC =，可证明FHC DAC ≌△△，可得FC DC =，HCF ACD ∠=∠，60FCD ACH ∠=∠=︒，从而可证明DCF 是等边三角形．【小问1详解】解：线段AD 与AE 的数量关系：2AD AE =．证明： DE AC ⊥，90DEA ∴∠=︒．120BAC ∠=︒，30ADE BAC DEA ∴∠=∠−∠=︒2AD AE ∴=；【小问2详解】解：①补全图形，如图．②结论：DCF 是等边三角形．证明：延长BA 至点H 使AH AB =，连接CH ，FH ，如图．AB AC =，∴AH AC =．18060HAC BAC ∠=︒−∠=︒，∴ACH 是等边三角形．∴HC AC =，60AHC ACH ∠=∠=︒．AH AB =，EF BE =，∴2HF AE =，HF AE ∥．∴60FHA HAC ∠=∠=︒．∴120FHC FHA AHC ∠=∠+∠=︒．∴FHC DAC ∠=∠，2AD AE =，∴HF AD =．HC AC =，∴FHC DAC ≌△△（SAS ）∴FC DC =，HCF ACD ∠=∠．∴60FCD ACH ∠=∠=︒．∴DCF 是等边三角形．【点睛】此题考查了含30︒角的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握相关知识点是解题关键．28. 【答案】（1）①1P ，3P；②当22t −≤≤时，直线y t =上存在线段AB 的融合点（21a ≤≤或1a −≤≤【解析】 【分析】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB 融合点的轨迹为分别以点A ，B 为圆心，AB 长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y t =与两圆相切时是临界点，据此求解即可；（2）先推理出A B ''的融合点的轨迹即为以T 为圆心，()1TA −的长为半径的圆和以T 为圆心，以()1TB +的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与O 内切，外切时a 的值即可得到答案．【小问1详解】解：①如图所示，根据题意可知1P ，3P是线段AB 的融合点， 故答案为；1P ，3P ；②如图1所示，设PA 的垂直平分线与线段AB 的交点为Q ，∵点Q 在线段PA 的垂直平分线上，∴PQ AQ =，∴当点Q 固定时，则点P 在以Q 为圆心，AQ 的长为半径的圆上，∴当点Q 在AB 上移动时，此时点P 的轨迹即线段AB 的融合点的轨迹为分别以点A ，B 为圆心，AB 长为半径的圆及两圆内区域．当直线y t =与两圆相切时，记为1l ，2l ，如图2所示．∵()30A ，，()50B ，， ∴2AB =,∴2t =或2t =−．∴当22t −≤≤时，直线y t =上存在线段AB 的融合点．【小问2详解】解：如图3-1所示，假设线段AB 位置确定，由轴对称的性质可知TA TA TB TB ''==，，∴点A '在以T 为圆心，TA 的长为半径的圆上运动，点B '在以T 为圆心，以TB 的长为半径的圆上运动， ∴A B ''的融合点的轨迹即为以T 为圆心，()1TA −的长为半径的圆和以T 为圆心，以()1TB +的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；当TA TB <时，如图3-2所示，当以T 为圆心，()1TA −为半径的圆与O 外切时， ∴141TA −=+，6=， ∴2136a +=，∴a =；如图3-3所示，当以T 为圆心，()1TB +为半径的圆与O 内切时， ∴13TB +=，2=， ∴22114a a +++=， ∴31a （负值舍去）；1a ≤≤时，存在直线l ，使得O 上有A B ''的融合点；同理当TA TB >时，当以T 为圆心，()1TB −为半径的圆与O 外切时，∴141TB −=+，6=， ∴221136a a +++=，∴1a =−（正值舍去）；当以T 为圆心，()1TA +为半径的圆与O 内切时， ∴13TA +=，2=， ∴214a +=，∴a =；∴1a ≤≤l ，使得O 上有A B ''的融合点；1a ≤≤或1a ≤≤时存在直线l ，使得O 上有A B ''的融合点．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等等，正确推理出对应线段的融合点的轨迹是解题的关键．。

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初三上学期数学期末试题
(完卷时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列二次根式中，最简二次根式是 ( )
A ． 2
B ．8
C ．12
D ．18 2．一元二次方程x (x －1)＝0的解是 ( )
A ．x ＝0
B ．x ＝1
C ．x ＝0或x ＝1
D ．x ＝0或x ＝－1 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
4．如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A ＝15°，则∠BOC 的度数是( )
A ．15°
B ．300°
C ．45°
D ．75° 5．下列事件中，必然发生的是( )
A ．某射击运动射击一次，命中靶心
B ．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
C ．掷一次骰子，向上的一面是6点
D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上 6．如图所示，△ABC 中，D
E ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，DE ＝6，则BC 的值为( )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
7．如图所示，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为( )
A ．8cm 了
B ．6cm
C ．5cm
D ．4cm
8．若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则两圆的位置关系是 ( )
A ．相交
B ．外离
C ．内含
D ．外切
A
B
C
D
第4题图
A
B
C
D
E 第6题图
第7题图
9．将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC 与含30°角的直角三角板DCB )按图示方式叠放，斜边交点为O ，则△AOB 与△COD 的面积之比等于 A ．1∶ 2 B ．1∶2 C ．1∶ 3 D ．1∶3 10．已知b a ≠，0122=--a a ，0122
=--b b ，则b a +（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．二次根式x 2－1 有意义，则x 的取值范围是__________________．
12．关于x 的方程()0212
=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是____ ____．
13．如图所示，某公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影
部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落点在黑色石子区域内概率是_____________．
14．某小区2011年绿化面积为2000平方米，计划2013年底绿化面积要达到2880平方米．如
果每年的增长率相同，那么这个增长率是__________________．
15．如图所示，n ＋1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B 3D 2C 2的面积为S 2，…，△B n ＋1D n C n 的面积为S n ，则S 1＝________，S n ＝__________(用含n 的式子表示)．
三、解答题(共7小题，共70分) 16．计算：(每小题8分，共16分)
(1) 27×50÷ 6 (2) 2
3 9x ＋6x
4 －2x 1x
A
B
O
第9题图
D
第13题图
A C 1 第15题图
C 2 C 3 C 4
C 5
17．(10分)已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1) 分别写出图中点A 和点C 的坐标； (2) 画出△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'； (3) 在(2)的条件下，求点C 旋转到点C' 所经过的路线长(结果保留π)．
18．(10分)在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明
和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．
19．(10分)如图所示，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝30°，弦BC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于
D ，连AD ．
(1) 求直径AB 的长；
(2) 求阴影部分的面积(结果保留π)．
1 2 3 4 5 6 7 8
第17题图
D
第19题图
20．(12分)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)的关系符合一次函数y＝－x＋140．
(1) 直接写出销售单价x的取值范围．
(2) 若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售
单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3) 若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．
21．(12分）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？。

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