高二理科数学圆锥曲线单元测试

( 抛物线上的点到焦点的距
离、抛物线上的点到准线的距离 )进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又
能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦
问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
14．
【解析】由抛物线可知焦点
，准线
∴ AF1 AB . ∴ AF1 2AF2 . 设 AF2 n ， 则 AF1 2n ， F1F2
c e
a
F1F2 AF1 AF2
3n 3
.
3n 3
3n ， ∴
考点：椭圆离心率 .
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【方法点晴】 本题考查的是椭圆的几何性质 （离心率问题） ，属于中档题 . 本题的切入点就在
原点 O 上，利用平行关系，推出 D 点也是中点，从而思路豁然开朗 . 解析几何的中心思想就
或双曲线，当 和 同号时，抛物线开口向左，方程
表示椭圆 表示椭圆，
无符合条件的选项，当 和 异号时，抛物线 示双曲线，故选 A.
11． B
【 解 析 】 设 M x1, y1 , N x2, y2 ， 因 为 F
开口向右，方程
表
2 F ，所以 由抛 物线 定义 得
x1 1 2 x2 , y1 2 y2 y12 4 x1 , y22 4x2 x1 4 x2 ,
，由于△ 为等边三角形，设 AB 与 y 轴交于
M,FM=P,
,
【点睛】 对于圆锥曲线要先定位，
即
，填 。
再定量， 本题的抛物线焦点是在 y 轴正半径。 所以求出抛物线的焦
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点坐标与准线方程， 再把准线方程与双曲线组方程组算出 P,
B 点坐， 再由等边三角形， 可解的
15．
【解析】由题意，双曲线
相交于 两点， 若△
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15 ．已知椭圆
离心率为 ，双曲线
的渐近线与椭圆有四个
交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为
16，则椭圆 的方程为 _______________
16 ．设椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点为 F1, F2 ，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相
F ， F 为椭圆的左焦点， 2
为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（
）
1 A. 0,
2
2 B. 0,
2
1 C. ,1
2
2
D.
,1
2
9 ．把离心率 e
51
x2 y2
2 的曲线 C : a 2 b2 1 a 0, b 0 称之为黄金双曲线．若以
原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆 O ，则圆 O 与黄金双曲线 C （ ）
是数形结合，善于抓图像的性质，是解好解析几何题的关键所在，特别是小题
. 离心率问题
是重点题型，主要思路就是想方设法去建立
a、 c 的等或者不等的关系即可 .
17．
【解析】 试题分析：（ 1）命题 p 中式子要表示双曲线， 只需
，对于命题 q：
直线与抛线有两上不同的公共点，即设直线
y kx 2k 1与抛物线方程组方程组，只需
x1 2, y1
12． A
22 k
y1
x1 1
2 2 ，选 B. 3
【解析】
如图，设椭圆的长半轴长为
，双曲线的半实轴长为 ，则根据椭圆及双曲线的定义：
, ，
设 则，在
, 中根据余弦定理可得到
化简得：
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该式可变成：
, 故选
点睛：本题综合性较强， 难度较大， 运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出
q 是真命题， 求 k 的
取值范围．
18（ 12 分）．（1）已知椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 4，求椭圆
的标准方程。
（ 2）已知双曲线过点 4, 3 , 且渐近线方程为 y
1 x , 求该双曲线的标准方程。
2
x2 y2 19（ 12 分）．已知双曲线 C： a 2 b 2 1 的离心率为
，解出两个不等式（组）中 k 的范围，再求出交集。
试题解析：命题 真，则
，解得
或
命题 为真，由题意，设直线 的方程为
，即
， ，
联立方程组
，整理得
要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足
解得
且
， ，
若
是真命题，则
所以 的取值范围为
是它们的一个交点， 且
，记椭圆和双
曲线的离心率分别为
，则 的最大值是（ ）
A.
B.
C. 2 D. 3
二、填空题 (20 分 )
13．已知 是抛物线
的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为
的中点，则
____________ ．
14 ．抛物线
的焦点为 F，其准线与双曲线
为等边三角形，则 ＝________
, 则x
3 ,y
3
1 x 2 y 3 0 , 选 C.
x y, 2
yx 6
6 的点到焦点的距离是 10，∴该点到准线的距离为 10，
4 x，
3
抛物线的准线方程为
，
∴
故选 B． 4． D
【解析】 把椭圆 mx2 y2 1 方程转化为： x2 y2 1 11 m
分两种情况：① 1 1时椭圆的离心率 3
m
D. 32
4．椭圆 mx2 y 2 1 的离心率是 3 ，则它的长轴长是（
）
2
A. 1
B. 1 或 2
C. 2
D. 2 或 4
5 ． 设 经 过 点 2, 1 的 等 轴 双 曲 线 的 焦 点 为 F1 , F2 ， 此 双 曲 线 上 一 点 N 满 足
NF1 NF2 ，则 NF1F2 的面积为（ ）
）
4
A.
3
4
B.
3
4
C.
3
16
D.
9
7．已知点 F1, F2 是椭圆 x 2 2 y 2 2 的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那
么 PF 1 PF2 的最小值是（ ）
A. 2
B. 2 2
C. 0
D. 1
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x2 8．椭圆 a 2
y2 b2 1（ a b 0 ）上存在一点
满足
明：直线 EF 恒过定点 .
22（ 12 分）．已知椭圆 C 的离心率为 3 ，点 A ， B ， F 分别为椭圆的右顶点、上 2
顶点和右焦点，且 S ABF 1
3
．
2
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）已知直线 l ： y kx m 被圆 O ： x2 y2 4 所截得的弦长为 2 3 ，若直线 l 与
AB
4
4
经过焦点 F(1,0), 所以 直线 AB 的斜率为 k
【答案】 A
10 1
1 4
4 ，故选 A 3
【解析】 椭圆 x 2 2 y 2
x2 2 ，即为
y2
1 ，则椭圆的 a
2
2, b 1，则由 OP 为 PF1F2
的中线， 即有 PO
1 PF1 PF2 ，则 PF1 PF2
2
x2 2 PO ，可设 P x, y ，则
交 于 A, B 两 点 ， F1B 与 y 轴 相 交 于 D ， 若 A D
于
.
F1 B， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 等
三、解答题
x2 17（ 10 分）．设命题 p ：方程
y2
1表示双曲线；命题 q ：斜率为 k 的直线
2 k 3k 1
l 过定点 P
2
2,1 , 且与抛物线 y
4 x 有两个不同的公共点． 若 p
椭圆 C 交于 M ， N 两点，求 MON 面积的最大值．
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1． D
参考答案
【解析】 由题得 c=5, 则 a 2 c2 16 9 ，即 a=3, 所以双曲线的渐近线方程为 y
即 4x 3y 0 ，故选 D
2． C
【解析】设 P x, y
因此 x y y x
2
6
3． B
【解析】∵横坐标为
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高二年单元考试试卷（圆锥曲线）
一、选择题（ 60 分）
x2 y2 1．已知双曲线 C : a2 16 1 a 0 的一个焦点为 5,0 ，则双曲线 C 的渐近线方程
为（ ）
A. 4x 3y 12
B. 4x 41y 0
C. 16 x 9 y 0
D. 4x 3 y 0
2．平面直角坐标系中， 已知 O 为坐标原点， 点 A 、 B 的坐标分别为 (1,1) 、 3,3 . 若
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
6．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点
. 已知抛物线
2
y 4x 的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线从点 M 3,1 射出，经过抛物线上的点 A
反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为（
的渐近线方程为
∵ 以 这 四 个 交 点 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为 16 ， 故 边 长 为 4 ，
在椭圆
上，
， ∴椭圆方程为：
故答案为：
16． 3 3
【解析】
试题分析： 连接 AF1，∵ OD ∥ AB ，O 为 F1F2 的中点， ∴ D 为 BF1 的中点， 又 AD F1B ，
c2
a, a 2e2 e 1 0
1
0 e1
e 1 ，选 C.
2
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于
a,b, c 的方程
或不等式，再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式，而建立关于 a, b,c 的方程或不等
式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等
26
2 , 1, 所 以
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从而 NF1 |2 NF2 |2 2 NF1 | NF2 12 F1F2 |2 2 NF1 NF2 12
24 2 NF1 NF2 12
NF1 NF2 6
1 S NF1 NF2 3 , 选 D.
2
6． A
【解析】令
y=1,
代入
2
y
4x ，得 x
1
1
，即 A（ ，1）, 由抛物线的光学性质可知，直线
2
11
则：
m 1
m
② 1 1时 m
3 解得： m=1 进一步得长轴长为 4
4
4
椭圆的离心率 3 ， 则：长轴长为 2 2
故选： D 点睛：在椭圆和双曲线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论 .
5． D
【 解 析 】 设 等 轴 双 曲 线 方 程 为 x2 y2
, 因为过点
22 1 3 N F1
N 2F 2 3 1,F 2F
与 、 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与 得范围。
的数量关系，最后利用基本不等式求
13．【解析】 如图所示， 不妨设点 M位于第一象限， 设抛物线的准线与 轴交于点 ，
作
与点 ，
与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为
，则
，在直角梯形 ，结合题意，有
中，中位线 ，故
，由抛物线的定义有： ．
点睛 :抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离
A. 无交点
B. 有 1 个交点
C. 有 2 个交点
D. 有 4 个交点
10 ．已知
(
）
，则方程是
与
在同一坐标系内的图形可能是
A
11．设直线 y
B
k x 1 与抛物线 y2
C
4x 相交于
D
、 两点，抛物线的焦点为 F ，若
F 2 F ，则 k 的值为（
）
23
A.
3
22
B.
3
32
C.
2
33
D.
2
Leabharlann Baidu12 ．已知椭圆和双曲线有共同焦点
动点 P 满足 OP OA OB ，其中 、 R ，且
1 ，则点 P 的轨迹方程为
A. x y 0
B. x y 0
C. x 2 y 3 0
2
2
D. x 1 y 2 5
3．抛物线 y2 2 px( p 0) 上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10，则焦点到准线的距
离是（ A. 4
） B. 8
C. 16
点，当点 A 的纵坐标为 1 时， AF 2 .
（ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）若直线 l 的斜率为 2，问抛物线 C 上是否存在一点
理由 .
M ，使得 MA
MB ，并说明
3 21（ 12 分）．已知椭圆 C 过点 A 1,
，两个焦点为
2
1,0 , 1,0 .
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2） E , F 是椭圆 C 上的两个动点，①如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率之和为 2，证
3 ，点 ( 3 ， 0) 是双曲线的一
个顶点。 (1) 求双曲线的方程； (2) 经过双曲线右焦点 点，求 AB的长。
F2 作倾斜角为 30°的直线 l ，直线 l 与双曲线交于不同的
A， B两
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20（ 12 分）．过抛物线 C : x2 2 py p 0 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两
.
9． D
【 解析】由题意知
51 2
2
c
b
，所以
a
a
2
c
6 25
1
1
a
4
5 1 ，因为 2
2
b
5 1 1 ，所以 b 1，所以 b a ，所以圆 O 与黄金双曲线 C 的左右两支各有 2
a
2
a
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个交点，即圆 O 与黄金双曲线 C 由 4 个交点，故选 D.
10． A
【解析】 方程
即
，表示抛物线，方程
2
y2 1，
即 有 PO
x2 y2
x2 1 x2 2
x2
1
1 ，当 x 0 时 ， 取 得最 小 值 1， 则
2
PF1 PF2 的最小值为 2 ，故选 A.
8． C
【
解
析
】设
P x, y
，
则
由
x c, y x a, y 0 x c x a y2 0 ，因为
F
得
2
x2 y 2
ab2 a 2c
a2 b2 1 ，所以 x a或 x