高二理科数学圆锥曲线单元测试

F ， F 为椭圆的左焦点， 2
为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（
）
1 A. 0,
2
2 B. 0,
2
1 C. ,1
2
2
D.
,1
2
9 ．把离心率 e
51
x2 y2
2 的曲线 C : a 2 b2 1 a 0, b 0 称之为黄金双曲线．若以
原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆 O ，则圆 O 与黄金双曲线 C （ ）
的渐近线方程为
∵ 以 这 四 个 交 点 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为 16 ， 故 边 长 为 4 ，
在椭圆
上，
， ∴椭圆方程为：
故答案为：
16． 3 3
【解析】
试题分析： 连接 AF1，∵ OD ∥ AB ，O 为 F1F2 的中点， ∴ D 为 BF1 的中点， 又 AD F1B ，
26
2 , 1, 所 以
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从而 NF1 |2 NF2 |2 2 NF1 | NF2 12 F1F2 |2 2 NF1 NF2 12
24 2 NF1 NF2 12
NF1 NF2 6
1 S NF1 NF2 3 , 选 D.
2
6． A
【解析】令
y=1,
代入
2
y
4x ，得 x
1
1
，即 A（ ，1）, 由抛物线的光学性质可知，直线
2
11
则：
m 1
m
② 1 1时 m
3 解得： m=1 进一步得长轴长为 4
4
4
椭圆的离心率 3 ， 则：长轴长为 2 2
故选： D 点睛：在椭圆和双曲线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论 .
5． D
【 解 析 】 设 等 轴 双 曲 线 方 程 为 x2 y2
, 因为过点
22 1 3 N F1
N 2F 2 3 1,F 2F
AB
4
4
经过焦点 F(1,0), 所以 直线 AB 的斜率为 k
【答案】 A
10 1
1 4
4 ，故选 A 3
【解析】 椭圆 x 2 2 y 2
x2 2 ，即为
y2
1 ，则椭圆的 a
2
2, b 1，则由 OP 为 PF1F2
的中线， 即有 PO
1 PF1 PF2 ，则 PF1 PF2
2
x2 2 PO ，可设 P x, y ，则
动点 P 满足 OP OA OB ，其中 、 R ，且
1 ，则点 P 的轨迹方程为
A. x y 0
B. x y 0
C. x 2 y 3 0
2
2
D. x 1 y 2 5
3．抛物线 y2 2 px( p 0) 上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10，则焦点到准线的距
离是（ A. 4
） B. 8
C. 16
A. 无交点
B. 有 1 个交点
C. 有 2 个交点
D. 有 4 个交点
10 ．已知
(
）
，则方程是
与
在同一坐标系内的图形可能是
A
11．设直线 y
B
k x 1 与抛物线 y2
C
4x 相交于
D
、 两点，抛物线的焦点为 F ，若
F 2 F ，则 k 的值为（
）
23
A.
3
22
B.
3
32
C.
2
33
D.
2
12 ．已知椭圆和双曲线有共同焦点
点，当点 A 的纵坐标为 1 时， AF 2 .
（ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）若直线 l 的斜率为 2，问抛物线 C 上是否存在一点
理由 .
M ，使得 MA
MB ，并说明
3 21（ 12 分）．已知椭圆 C 过点 A 1,
，两个焦点为
2
1,0 , 1,0 .
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2） E , F 是椭圆 C 上的两个动点，①如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率之和为 2，证
交 于 A, B 两 点 ， F1B 与 y 轴 相 交 于 D ， 若 A D
于
.
F1 B， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 等
三、解答题
x2 17（ 10 分）．设命题 p ：方程
y2
1表示双曲线；命题 q ：斜率为 k 的直线
2 k 3k 1
l 过定点 P
2
2,1 , 且与抛物线 y
4 x 有两个不同的公共点． 若 p
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
6．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点
. 已知抛物线
2
y 4x 的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线从点 M 3,1 射出，经过抛物线上的点 A
反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为（
3 ，点 ( 3 ， 0) 是双曲线的一
个顶点。 (1) 求双曲线的方程； (2) 经过双曲线右焦点 点，求 AB的长。
F2 作倾斜角为 30°的直线 l ，直线 l 与双曲线交于不同的
A， B两
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20（ 12 分）．过抛物线 C : x2 2 py p 0 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两
，由于△ 为等边三角形，设 AB 与 y 轴交于
M,FM=P,
,
【点睛】 对于圆锥曲线要先定位，
即
，填 。
再定量， 本题的抛物线焦点是在 y 轴正半径。 所以求出抛物线的焦
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点坐标与准线方程， 再把准线方程与双曲线组方程组算出 P,
B 点坐， 再由等边三角形， 可解的
15．
【解析】由题意，双曲线
q 是真命题， 求 k 的
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取值范围．
18（ 12 分）．（1）已知椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 4，求椭圆
的标准方程。
（ 2）已知双曲线过点 4, 3 , 且渐近线方程为 y
1 x , 求该双曲线的标准方程。
2
x2 y2 19（ 12 分）．已知双曲线 C： a 2 b 2 1 的离心率为
( 抛物线上的点到焦点的距
离、抛物线上的点到准线的距离 )进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又
能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦
问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
14．
【解析】由抛物线可知焦点
，准线
D. 32
4．椭圆 mx2 y 2 1 的离心率是 3 ，则它的长轴长是（
）
2
A. 1
B. 1 或 2
C. 2
D. 2 或 4
5 ． 设 经 过 点 2, 1 的 等 轴 双 曲 线 的 焦 点 为 F1 , F2 ， 此 双 曲 线 上 一 点 N 满 足
NF1 NF2 ，则 NF1F2 的面积为（ ）
x1 2, y1
12． A
22 k
y1
x1 1
2 2 ，选 B. 3
【解析】
如图，设椭圆的长半轴长为
，双曲线的半实轴长为 ，则根据椭圆及双曲线的定义：
, ，
设 则，在
, 中根据余弦定理可得到
化简得：
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该式可变成：
, 故选
点睛：本题综合性较强， 难度较大， 运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出
椭圆 C 交于 M ， N 两点，求 MON 面积的最大值．
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1． D
参考答案
【解析】 由题得 c=5, 则 a 2 c2 16 9 ，即 a=3, 所以双曲线的渐近线方程为 y
即 4x 3y 0 ，故选 D
2． C
【解析】设 P x, y
因此 x y y x
2
6
3． B
【解析】∵横坐标为
与 、 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与 得范围。
的数量关系，最后利用基本不等式求
13．【解析】 如图所示， 不妨设点 M位于第一象限， 设抛物线的准线与 轴交于点 ，
作
与点 ，
与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为
，则
，在直角梯形 ，结合题意，有
中，中位线 ，故
，由抛物线的定义有： ．
点睛 :抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离
）
4
A.
3
4
B.
3
4
C.
3
16
D.
9
7．已知点 F1, F2 是椭圆 x 2 2 y 2 2 的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那
么 PF 1 PF2 的最小值是（ ）
A. 2
B. 2 2
C. 0
D. 1
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x2 8．椭圆 a 2
y2 b2 1（ a b 0 ）上存在一点
满足
明：直线 EF 恒过定点 .
22（ 12 分）．已知椭圆 C 的离心率为 3 ，点 A ， B ， F 分别为椭圆的右顶点、上 2
顶点和右焦点，且 S ABF 1
3
．
2
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）已知直线 l ： y kx m 被圆 O ： x2 y2 4 所截得的弦长为 2 3 ，若直线 l 与
c2
a, a 2e2 e 1 0