高等数学复习题(5)(1)

高等数学复习题（一）

一、填空题（每小题4分，共20分） 1、 3sin 2lim(sin

)x x x x x

→∞

+=_________________________________________________ 2、 2

(e cos3tan )x d x x -+-=_______________________________________________ 3、 曲线3

1y x =+上点(2,9)处的切线方程是___________________________________

4、

2221x x dx x ⎛⎫

-= +⎝⎰___________________________________________ 5、 324

11x x d dt dx t =+⎰________________________________________________________

二、单项选择（每小题4分，共20分）

1、已知4lim x

x x a e x a -→∞+⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

，则a 等于( ). A. 2- B. 2 C. 4- D. 4 2、已知tan 2arctan x t y t

=⎧⎨

=⎩，则0t dy

dx =等于( ).

A. 0

B.

1

2

C. 1

D. 2 3、在开区间(),a b 内恒有()0f x '<，()0f x ''>，则在(),a b 上曲线()y f x =( ). A.单调升，上凹 B.单调降，上凹 C. 单调升，上凸 D. 单调降，上凸 4、设()()

()

02

0lim

1x x f x f x x x →-=--，()f x 在(),-∞+∞上连续，则必有( ).

A.()0f x 是()f x 的最大值

B.()0f x 是()f x 的最小值

C.()0f x 是()f x 的极大值

D.()0f x 是()f x 的极小值

5、

32

2

cos xdx π

π

-

=⎰

( ).

A. 0

B. 13

C. 23

D. 43

三、求解下列各题（每小题6分，共30分）

1、求函数32222

2

x x x y x x -+-=+-的间断点，并指出间断点的类型．

2、设0y

x

e e

xy --+=确定了()y y x =，求

dy dx

． 3、计算不定积分arctan xdx ⎰

．

4、求极限()2

3

2

sin lim x

x x t t t dt t dt

→-⎰⎰

．

5、设sin cos 2

x

x y x =-，求y '．

四、求解下列各题（每小题7分，共14分）

1、求函数()4

12ln 7y x x =-的图形的凹凸区间与拐点．

2、在曲线x

y e -=（0x >）上求一点，使过该点的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积最大，并求最大面积． 五、应用题（本题10分）

建造容积为V 的圆柱形容器，已知底部造价是其他部分（指顶与侧面）造价的三倍，问如何设计该容器的底半径和高才能使造价最省？ 六、证明题（本题6分）

若()f x 在[]0,1上有二阶导数，且()()100f f ==，()()2

F x x f x =，证明：在()0,1内

至少存在一点ξ，使()0F ξ''=．

高等数学复习题（二）

一、填空（共5小题，每题4分）

1、已知)(x f 在),(+∞-∞连续，且21)3(=f ，则2

223lim(tan )(sin )x x f x x x

→∞=_________

2、设2

tan

63sin 23)(x

x x f x

-+=，则=')0(f ___________________________________ 3、函数)1ln()(x x x f +-=的单调减少区间是_____________________________________ 4、设x

xe -是)(x f 的一个原函数，则⎰

='dx x f x )(__________________________________

5、=++⎰-dx x x

1

121sin 1_____________________________________________________________

二、单项选择（共5小题，每题4分）

1、下列函数中，在),(+∞-∞上连续的函数是 ( )

(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00

,sin )(x x x x x f (B) ⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0,00,1sin )(x x x

x x f (C) ⎪⎩

⎪⎨⎧=≠-+=0,00,11)(x x x x x f (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(x x x e x f x 2、设)100()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')1(f （ ）

(A) 100! (B) -100! (C) 99! (D) -99!

3、函数562)(3

+-=x x x f 在]2,1[-上满足拉格朗日中值定理中的中值=ξ ( ) (A) 0 (B)

21 (C) 1 (D) 2

3 4、设xdx x x M 4222cos 1sin ⎰-+=π

π，dx x x N )cos (sin 422

3⎰-

+=π

π，2422(sin cos )P x x x dx π

π-=-⎰， 则( )

(A) P

所围平面图形的面积是 ( )

(A) 31 (B) 21 (C) 3

2

(D) 1

三、计算（共5小题，每题5分）

1、求极限x

x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+∞→1232lim

2、已知由方程12

2

2=++y x

e y x 确定了)(x y y =，求dy.

3、由⎪⎩⎪⎨

⎧=+=t

y t x arctan 1ln 2

确定了)(x y y =，求2

2dx

y

d 4、求32

35

)2(2

3)2(53)(-+-=x x x f 的极值。

5、求不定积分dx x x x ⎰-)ln sin (2

6、设)(x f 在0=x 的某领域内连续，且0)0(=f ，4)0(='f ，求4

220

)(lim x dt

t x tf x

x ⎰

-→

四、试解下列各题（每题9分，共18分）