微积分11预备知识

( x0, x0 ) 称为 x0 的右邻域 .
O0.5 (2)
(2,3) (3,4)
§1.2 函数概念
一、变量与函数
在某一过程中不断变化的量称为变量(x,y,z). 在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量(a,b,c).
定义1.2 设有两个变量 x 与 y , 变量 x 属于某实数 集合 D . 如果存在一个确定的法则（也说对应规则） f，使得对于每一个 x D，都有唯一的一个实数 y 与之对应，则称这个对应法则 f 为定义在实数集合 D上的一个函数. 记作 y f ( x), x D
x2 1
二、函数的表示法
函数的表示法： 表格法、图示法和解析法（公式法）. 例1 20世纪60年代世界人口增长情况如下表所示：
年份 t / 公元 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968
人口n / 百万 2972 3061 3151 3213 3234 3285 3356 3420 3483
x 两个函数相同：定义域和对应法则都相同． (2)对应法则f也可用其他符号F , g,h等表示. 自变量与因变量也与字母表示无关. (3)函数f ( x)表示将法则f施用于x, x可换成其他的字母或数学式子。
例:若f ( x) x2,则f ( x 1) ? f (a) ? f ( f ( x)) ?
.
单调递增函数或单调递减函数统称为单调函数.
例 函数 y x2 在 (,0)内是严格单减的; 在 (0, )内是严格单增的. 但在(,∞)内不是单调函数.
二、有界性
y y x2
1
O
1x
定义1.4 设函数 f ( x) 在实数集D上有定义，
x 通常称为自变量，y 称为因变量 .
D 称为 f 的定义域 . 通常记为D( f ) .
全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记为R( f ) . 即 R( f ) { y y f ( x), x D( f )} 说明：(1)函数的两个要素: 定义域 D( f ) 和对应法则f .
y = arcsin( x2 + 2)与x > y是否为函数？ y = x2与y = x3 是否为相同的函数？
O ( x0 ) ( x0 , x0 ) 其中x0称为O ( x0 )的中心点， 称为O ( x0 ) 的半径.
O ( x0 )
x0
Ox
O ( x0 ) { x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 )称为 x0 的
去心邻域. 其中( x0 , x0 ) 称为 x0 的左邻域，
解：f ( x 1) ( x 1)2;
f (a) a2;
f ( f ( x)) f 2( x) x2 2 x4
(4)一般定义域是指使函数有意义的自变量的集合.
例：确定y
1
1
e x的定义域.
1 ln x
解：只需x 0且1 ln x 0, 因此x 0且x e.
故定义域为D {x | x 0且x e} (0,e) (e,) 练习：确定y 1 ln( x 3)的定义域.
y
x
x, x,
当x 0 当x 0
例如, 取整函数 y [ x] ,
[ x] 表示不超过 x 的最大整数, 即
y [x] n, n x n 1, n 0, 1, 2, 3,
可以证明: 对任意的实数 x, 有不等式
y y=[x]
4 2
[x] x [x] 1
-4
-2 O
-2
-4
2
4x
注意：1. 分段函数的定义域是其各段子区间的并集； 2. 分段函数在其整个定义域上是一个函数，而 不是几个函数.
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§1.3 函数的几何特征
一、单调性 二、有界性 三、奇偶性 四、周期性
一、单调性
定义1.3 设函数 f ( x) 在实数集D上有定义，
∀x , x ∈D, 12
当 x1 x2 时,
二、实数的绝对值及其基本性质
定义1.1 设 x 是一个实数，则x 的绝对值定义为
x
x, 当x x，当x
0时 0时
绝对值 x 的几何意义是：x 表示点 x 到O 的距离 . 而 x y 则表示点 x 与点 y 之间的距离 .
设a 0 , 不等式 x a 表示点 x 到原点的 距离小于等于a .
b a 称为区间的长度.
端点为无限的区间表示及其含义：
[a, ) {x a x } {x x a} ;
Oa
x
(,a) {x x a} {x x a} ;
Oa x (, ) R {x x } .
邻域的概念
设 0 , 我们称 O ( x0 ) 为 x0 的 邻域,
绝对值有以下一些基本性质：
1. x 0;
2. x x ;
3 . x x2 ;
4. x x x ;
5. x y x y ; 6. x y x y ;
7 . xy x y ;
8 . x x ( y 0) . yy
9.若a 0,{ x | x a} { x | a x a}
若 f ( x ) ≤ f ( x ), 称 f ( x) 为 D上的 单调递增函数 ;
1
2
若
f
(x ) 1
≥
f
(x ), 2
称
f
(x)
为
D上的 单调递减函数
.
若
f(x )< 1
f (x ), 2
称
f ( x) 为 D上的 严格单调增函数 ;
若
f(x )> 1
f (x ), 2
称
f (x) 为
D 上的严格单调减函数
10.若a 0,{ x | x a} { x | x a} { x | x a}
三、区间与邻域
区间的表示及含义： 设a,b为实数，且a b, 开区间(a ,b) { x a x b } ;.
Oa
b
x
闭区间[a ,b] { x a x b } .
Oa
b
x
类似地还有半开半闭区间 (a,b] 和 [a,b) .
例2 某气象站用温度自动 T 0C
记录仪记录某地的气温变 30
化情况 . 设某天 24 小时
20
T
P
的气温变化曲线如图所示. 10
O
t
24 t
用解析表达式表示函数关系的方法称为解析法 .
有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不
同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称为
分段函数.
例如，绝对值函数
y x