微积分知识点归纳
微积分知识点简单总结
微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。
3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。
微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。
微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。
4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。
不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。
不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。
5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。
定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。
第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。
第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。
微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。
微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。
高等数学一-微积分总结-知识归纳整理
导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。
a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。
2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。
A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。
A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。
记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。
例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。
微积分知识点归纳
微积分知识点归纳微积分是数学中最基础也是最重要的分支之一、它研究的是函数的变化和求解问题的方法。
微积分的核心思想是将一个复杂的问题进行分解，然后通过求和和求极限的方法来得到问题的解答。
以下是微积分中一些重要的知识点的归纳：1.极限：极限是微积分的核心概念。
通过求极限，可以描述函数的变化趋势、计算无穷大和无穷小的值。
极限的定义是当自变量趋于其中一特定值时，函数的值趋于其中一极限值。
2.导数与微分：导数描述了函数的变化率。
它表示函数在其中一点的切线斜率。
求导的方法包括了基本的求导法则和一些特殊函数的求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数等。
微分是导数的几何意义，也可以理解为函数的一小段近似线性变化。
3.积分与定积分：积分是导数的逆运算。
它表示函数在一定区间上的累积变化量。
定积分是积分的一种具体形式，它可以求解曲线下面的面积、路径长度和体积等问题。
定积分的计算方法包括基本的定积分法则和换元法、分部积分法等。
4.微分方程：微分方程描述了函数与其导数之间的关系。
它是微积分中一个很重要的应用领域。
常见的微分方程包括一阶线性微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等，可以通过积分的方法进行求解。
5.泰勒级数与级数收敛性：泰勒级数是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以将复杂的函数简化为无限可微的多项式函数进行计算。
级数收敛性研究级数求和是否能收敛到有限的值，常用的判别法有比值判别法、根值判别法和级数展开法等。
6.空间解析几何：空间解析几何是微积分的一个重要应用。
它研究了点、直线、平面和曲线在三维空间中的性质和关系。
通过微积分的方法可以求解空间曲线的长度、曲率和曲面的面积等问题。
7.多元函数微积分：多元函数微积分研究的是多变量函数的导数、偏导数和多重积分等。
它在计算机科学、经济学和物理学等领域有广泛的应用。
8.偏微分方程与变分法：偏微分方程描述了多元函数的偏导数与自变量之间的关系。
变分法是一种求解偏微分方程的方法，它通过极小化一些泛函来求解偏微分方程的解。
微积分上重要知识点总结
1、常用无穷小量替换2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。
3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。
5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。
6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。
7、极限的四则运算法则。
8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。
9、两个重要极限及其变形10、等价无穷小量替换定理11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。
左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。
13、连续函数的四则运算14、反函数、复合函数、初等函数的连续性15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。
16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。
17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式18、隐函数的导数。
19、高阶导数的求法及表示。
20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。
21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、22、微分形式的不变性23、微分近似公式:24、导数在经济问题中的应用(应用题):（1）边际(变化率,即导数)与边际分析:总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润（2）弹性(书78页)及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系25、中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、26、洛必达法则求极限(89页)27、函数单调性28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别,最大利润、最小平均成本、最大收益问题,经济批量问题。
高中数学微积分知识点
高中数学微积分知识点一、导数的概念与运算。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 函数y = f(x)的导数f^′(x)，y^′或(dy)/(dx)，f^′(x)=limlimits_Δ x→0(f(x + Δ x)-f(x))/(Δ x)。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
3. 基本初等函数的导数公式。
- C^′=0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′=-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′=e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)（x>0）4. 导数的运算法则。
- (u± v)^′=u^′± v^′- (uv)^′=u^′v + uv^′- ((u)/(v))^′=frac{u^′v - uv^′}{v^2}(v≠0)二、导数的应用。
1. 函数的单调性。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，则y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，则y = f(x)在这个区间内单调递减。
2. 函数的极值。
- 设函数y = f(x)在点x_0处可导，且在x_0处取得极值，那么f^′(x_0) = 0。
微积分知识点总结ppt
微积分知识点总结ppt一、基本概念1. 导数的定义：导数的定义是函数在一点的导数，是该函数在这一点的切线的斜率。
2. 导数的性质：基本公式，和，积，商法则等。
3. 函数的极值：通过导数求函数的极值点及极值。
4. 函数的单调性：通过导数研究函数的单调性。
5. 函数的凹凸性：通过导数研究函数的凹凸性。
二、微分学1. 微分的概念：微分是函数在某一点处的导函数的表现，是切线的截距。
2. 微分的计算：通过导函数求微分。
3. 微分的应用：微分在函数的近似计算，误差估计及优化问题中的应用。
三、积分学1. 不定积分：通过求导数的逆运算求不定积分。
2. 定积分：通过Riemann和定积分求解面积及曲线弧长等问题。
3. 定积分的性质：定积分的基本性质及计算公式。
4. 定积分的应用：定积分在物理，力学，生物等领域的应用。
四、微积分基本定理1. 微积分基本定理的概念：微分与积分之间的关系。
2. 牛顿—莱布尼兹公式：微积分基本定理的应用。
3. 微积分基本定理的证明：微积分基本定理的几何和代数证明。
4. 微积分基本定理的应用：微积分基本定理在实际问题中的应用。
五、一元函数微积分1. 一元函数极限：一元函数极限的概念及计算方法。
2. 一元函数连续性：一元函数连续性的概念及计算方法。
3. 一元函数导数：一元函数导数的概念及计算方法。
4. 一元函数积分：一元函数积分的概念及计算方法。
六、多元函数微积分1. 多元函数极限：多元函数极限的概念及计算方法。
2. 多元函数连续性：多元函数连续性的概念及计算方法。
3. 多元函数偏导数：多元函数偏导数的概念及计算方法。
4. 多元函数积分：多元函数积分的概念及计算方法。
七、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义及分类。
2. 微分方程的解法：微分方程的解法及技巧。
3. 微分方程的应用：微分方程在物理，工程等领域的应用。
八、泰勒级数与麦克劳林级数1. 泰勒级数：泰勒级数的定义及计算方法。
微积分笔记整理
微积分笔记整理以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：一、导数（Derivative）1. 定义：函数在某一点的切线斜率。
2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。
3. 导数的意义：- 函数的变化率。
- 曲线的切线斜率。
- 判断函数的单调性。
二、微分（Differential）1. 定义：函数在某一点的切线增量。
2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。
3. 微分的意义：- 切线的近似值。
- 函数的增量。
三、积分（Integral）1. 定义：函数在某个区间上的面积。
2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。
3. 积分的意义：- 函数的面积。
- 函数的平均值。
- 求导的逆运算。
四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。
2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。
3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。
五、常见函数的导数和积分1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。
2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。
3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。
4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。
5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。
(完整word版)微积分(知识点概要).(良心出品必属精品)
微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
称常数b 为它的极限，记为ax →lim f(x)=b 否则就称极限不存在。
微积分知识点
. 微积分知识点：
第六章：定积分及其应用
1、变上限定积分函数求导，及其奇偶性的证明；
2、定积分的计算：带有绝对值的定积分计算，利用对称性计算；
3、定积分的应用：计算平面图形的面积；
第七章：无穷级数
1、判断级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛；
2、求幂级数的收敛半径；
3、将函数展开成幂级数形式；
第八章：多元函数
1、多元函数的定义域，求多元函数的表达式；
2、求多元函数的偏导数和高阶偏导数；
3、求多元函数的全微分；
4、求隐函数的偏导数和二阶偏导数；
5、求多元函数的极值和条件极值；
6、利用直角坐标计算二重积分；
7、利用二重积分计算平面图形的面积；
第九章微分方程
1、求可分离变量的微分方程的通解；
2、求一阶线性微分方程的通解；
3、解可降阶的二阶微分方程。
.;。
经济数学—微积分(函数的知识点及结论)
集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳①定义：一组对象的全体形成一个集合②特征：确定性、互异性、无序性③表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图④分类：有限集、无限集、空集φ⑤数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N *、空集φ⑥关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝⑦运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算AC U＝{x|x∉A且x∈U}，U为全集⑧性质：A⊆A；φ⊆A；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；A∩C U A＝φ；A∪C U A＝I；C U( C U A)＝A；C U(A⋃B)＝(C U A)∩(C U B)方法：数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意：①区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n)(Nn∈个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n④空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为BA⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A的情况⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。
”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳1绝对值不等式①不等式)0(><aax的解集是{}axax<<-;②不等式)0(>>aax的解集是{}axaxx-<>或,③不等式｜ax+b｜<c, c>0的解集为{})0(|><+<-ccbaxcx;④不等式｜ax+b｜>c c>0的解集为{})0(,|>>+-<+ccbaxcbaxx或⑤两边都为非负数（或式）时，可两边平方⑥含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。
高中微积分重要知识点总结
高中微积分重要知识点总结一、函数与极限1. 函数概念：函数是一种特殊的映射关系，它将一个自变量映射为一个因变量。
2. 函数的性质：奇函数、偶函数、周期函数等。
3. 极限概念：当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的常数。
4. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性等。
5. 极限的计算方法：无穷小替换法、洛必达法则、泰勒展开式等。
二、导数与微分1. 导数的概念：函数在某一点的变化率。
2. 导数的性质：可加性、可积性、伊尔米特公式等。
3. 导数的计算方法：基本导数公式、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导等。
4. 微分的概念：函数值的变化量与自变量的变化量的比值。
5. 微分的性质：可加性、可积性、微分中值定理等。
三、微分中值定理与应用1. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。
2. 泰勒公式及应用：泰勒展开式、泰勒公式的应用。
3. 凹凸性与拐点：二阶导数的概念、凹凸性的判定、拐点的判定。
四、不定积分与定积分1. 不定积分：初等函数的不定积分、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分等。
2. 定积分：黎曼积分的概念、定积分的性质、定积分的计算方法、定积分的应用。
五、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的分类、微分方程的初值问题等。
2. 微分方程的解法：可分离变量法、齐次微分方程、常数变易法、一阶线性微分方程等。
3. 高阶微分方程：高阶微分方程的基本概念、高阶微分方程的解法、特解与通解等。
六、级数与收敛1. 级数的概念：无穷级数、收敛级数、发散级数、等比级数、调和级数等。
2. 收敛的判定：级数的收敛判定、级数的比较判别法、级数的积分判别法、级数的根值判别法等。
3. 级数的运算：级数的加法、级数的乘法、级数的分解、级数的换序等。
综上所述，高中微积分的重要知识点包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分与定积分、微分方程以及级数与收敛等内容。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
微积分基本知识汇总
定义：如果
具有任意阶导数，则幂级数
在点x=x
称为
在点x
处的泰勒级数。
[1]
=0，得到的级数[2]
在泰勒公式中，取x
称为麦克劳林级数。
函数
的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与
的麦克劳林级数一致。
[3]
注意：如果
的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。
因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。
一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。
但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。
例如
，就可以被展开为一个洛朗级数。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式[1]：
定理一
设函数
在
的某个邻域
内具有任意阶导数，则函数
在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项满足[4]
定理二
如果
在区间
能展开成泰勒级数
则右端的幂级数是惟一的。
[
下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。
[2]指数函数：
自然对数：
几何级数：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数:。
高等数学微积分知识整理
f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。
f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。
（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。
4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。
（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
微积分上知识点概括
知识点1.定义域：偶次根式内的式≧0反三角函数的对应式的绝对值≦1 幂函数的幂≠0指数函数的底＞0且≠1 对数函数的底＞0且≠1 2.几个常用字母表示：总成本：C总收益：R L （x ）=R （x ）-C （x ） 总利润：L需求量：d Q 供给量：s Q 3.夹逼准则4.无穷小量：极限为零的变量设α，β是统一变化过程中的两个无穷小量。
如果0lim =βα，则称α是β的高阶无穷小量，记作α=o(β)。
如果0c lim≠=βα（c 为常数），则称α与β是同阶无穷小量，特别，当c=1时，称α与β是等价无穷小量，记作α~β。
如果∞=βαlim，则称α是β的低阶无穷小量 常见等价无穷小量：当x →0时，sinx~x ，tanx~x ，arcsinx~x ，x ~1-e x ，}nxx ~11n-+，1-cosx~2x 2，In （1+x ）~x 5.求极限：①共轭因子法：求极限2-x 3-5x lim 22x +→ ②换元必须换极限过程 ③：时当m n =④无穷多个无穷小的和未必是无穷小6.两个重要极限：①1x sinxlimx =→ ②e x11lim xx =+∞→）（（∞1未定式） 7.函数y=f （x ）在点0x 连续的条件： ①函数y=f （x ）在点0x 有定义 ②）（x f lim 0xx →存在 ③）（x f lim 0xx →=f （0x ） 连续=左连续+右连续8.间断点：第一类间断点：（左、右极限皆存在） ①可去间断点：左、右极限皆存在且相等 ②跳跃间断点：左、右极限皆存在但不相等第二类间断点：（左、右极限至少一个不存在） ③无穷间断点：极限为∞者为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠,00b a ,0n m >当时,∞⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++++--∞→ lim 110110m m m n n n x b x b x b a x a x a n m <当时④振荡间断点：函数 f(x)=cos(1/x)或f(x)=sin(1/x)在x=0处无定义，且当x 趋向于0时，对应的函数值在-1和1之间变动无数次，所以 x=0称为 f(x)= cos(1/x)或f(x)=sin(1/x)的 “振荡间断点”。
微积分知识点归纳资料
知识点归纳1. 求极限2.1函数极限的性质P35唯一性、局部有界性、保号性P34 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是：A x f x f x f x f x x x x ==+==-+-→→)()0()()0(lim lim 0000 2.2 利用无穷小的性质P37：定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
0)sin 2(30lim =+→x x x定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
0)1sin (20lim =→xx x定理3无穷大的倒数是无穷小。
反之，无穷小的倒数是无穷大。
例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 13123523+--+x x x x 0=2.3利用极限运算法则P412.4利用复合函数的极限运算法则P452.4利用极限存在准则与两个重要极限P47夹逼准则与单调有界准则，lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=，lim )(∞→x ϕ)())(11(x x ϕϕ+e =，lim 0)(→x ϕ)(1))(1(x x ϕϕ+e = 2.6利用等价无穷小P55当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66)(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120lim a x →)()(x g x f )()(lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞，其它未定式 ∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数）2. 求导数的方法2.1导数的定义P77：lim 00|)(→∆==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆)()(000lim h x f h x f h )()(000lim -+=→hx f h x f h ---=→)()(000lim 00)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 左极限：hx f h x f x f h )()()(0000lim -+='-→- 右极限：h x f h x f x f h )()()(0000lim -+='+→+ 定理1：)(x f y =在0x 处可导的充分必要条件是：)()(00x f x f +-'='2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、复合函数的导数P872.3高阶导数P922.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P982.5函数的微分定义P1002.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P1033.求积分的方法3.1原函数的定义、不定积分的定义P1613.2不定积分的性质P163：性质1－性质4例10 ,P1653.3基本积分表3.4换元积分法3.4.1凑微分法P167常用凑微分公式P1683.4.2变量代换法P170补充基本积分公式P1733.5分部积分法P1753.6有理函数的积分4.6.1有理函数的积分P1804.6.2三角有理函数的积分万能置换公式，修改的万能置换公式4.6.3简单无理函数的积分P1864.其它4.1 判断函数连续性及间断性P59例1,例2,例4,例5,例6,例84.2求方程的根4.2.1零点定理P67,例5,例64.2.2罗尔定理P114,例1,例24.4.3判断根的唯一性：罗尔定理P114 的例2,单调性P132例5 4.4.4导数的几何意义P80、可导性与连续性的关系P81例10,例11 4.4证明恒等式P116,例34.5证明不等式4.5.1用拉格郎日中值定理P117,例44.5.2利用函数单调性P132,例44.5判断单调性P131与凹凸性P133、求拐点P1344.6求函数的极值及最值4.6.1求函数的极值P136必要条件P137，第一充分条件P137，第二充分条件P139 4.6.2求函数的最值P1404.7求曲线的渐近线P1444.8导数在经济学中的运用4.8.1边际函数及其经济意义P1474.8.2弹性函数及其经济意义P150。
微积分知识点总结梳理
微积分知识点总结梳理一、导数1. 导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的重要工具。
给定函数y=f(x)，如果函数在某一点x0处的导数存在，那么它的导数可以用以下极限来定义：\[f’(x_0)=\lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\]2. 导数的几何意义导数的几何意义指的是函数在某一点处的导数就是该点处切线的斜率。
切线和曲线在该点处相切，且与曲线在该点处有着相同的斜率。
3. 导数的计算方法导数的计算方法有很多种，常见的有用极限定义、求导法则、隐函数求导、参数方程求导等方法。
其中求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则、三角函数法则、反三角函数法则、复合函数求导法则等。
4. 导数的应用导数在物理学、工程技术、经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，速度、加速度等物理量都与导数有密切的关系。
在经济学中，边际收益、边际成本、弹性系数等经济学指标的计算都需要用到导数。
二、积分1. 积分的定义积分是导数的逆运算，它是函数的面积或曲线长度的定量描述。
给定函数y=f(x)，函数在区间[a, b]上的定积分可以用以下极限来定义：\[\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta{x}\]其中\[Δx=\frac{b-a}{n}\]2. 积分的几何意义积分的几何意义指的是函数在区间[a, b]上的定积分就是该函数与x轴所围成的曲边梯形的面积。
它表示函数在该区间上的总体积或总体积分。
3. 积分的计算方法积分的计算方法有很多种，常见的有用不定积分的积分法则、定积分的积分法则、分部积分法、换元积分法、特殊函数积分法等。
4. 积分的应用积分在几何学、物理学、工程技术、统计学等领域都有着重要的应用。
在几何学中，积分可以用来计算曲线长度、曲线面积和曲面体积。
微积分知识点
微积分知识点微积分是数学中重要的分支之一，它研究的是变化与运动的规律，能够描述和解决各种实际问题。
本文将介绍微积分的基本概念和常用的知识点。
一、导数与微分1.导数的定义在微积分中，导数表示函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx，定义为极限lim Δx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx。
导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
2.求导法则求导法则是计算导数的基本规则，常用的法则有：- 常数规则：常数的导数为0；- 变量规则：变量的导数为1；- 基本初等函数的导数：如幂函数、指数函数、对数函数的导数等；- 四则运算法则：加减乘除的导数计算规则。
3.高阶导数高阶导数表示函数的导数的导数，记作f''(x)，也可以表示成dy^2/dx^2。
高阶导数的计算方法与一阶导数类似，可以通过多次求导来得到。
4.微分微分是导数的另一种表示形式，它表示函数在某一点上的变化量。
如果y是函数f(x)在x点的值，dx是x的增量，dy是它对应的函数值的增量，那么微分dy可以表示成dy=f'(x)dx。
微分的应用十分广泛，例如在数值计算、误差分析等领域中都有重要的作用。
二、积分与不定积分1.积分的定义积分是导数的逆运算，它表示函数在一定区间上的累积变化量。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的积分记作∫[a, b] f(x)dx，表示在该区间上函数f(x)与x轴之间的面积。
2.定积分与不定积分积分有两种常见形式，一种是定积分，另一种是不定积分。
- 定积分是区间上的积分，表示计算函数在某一区间上的累积量，其结果是一个确定的数值；- 不定积分是函数的积分，表示求解一个函数的原函数（或称为原始函数）。
不定积分的结果是一个包含常数C的函数集合。
3.牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要公式，它连接了定积分和不定积分。
该公式表示定积分与不定积分之间的关系，即∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是函数f(x)的一个原函数。
根据微积分知识点归纳总结(精华版)
根据微积分知识点归纳总结(精华版)根据微积分知识点归纳总结（精华版）
一、导数与微分
1. 导数的定义与计算方法
2. 导数的几何意义与物理应用
3. 微分的概念与计算方法
4. 微分的几何意义与物理应用
二、函数的极限与连续
1. 函数极限的定义与性质
2. 常见函数的极限计算
3. 函数连续的定义与判定方法
4. 连续函数的性质与常见函数的连续性
三、微分中值定理与应用
1. 雅可比中值定理的概念与应用
2. 拉格朗日中值定理的概念与应用
3. 柯西中值定理的概念与应用
4. 罗尔中值定理的概念与应用
四、定积分与面积计算
1. 定积分的概念与性质
2. 定积分的计算方法与性质应用
3. 平面曲线弧长的计算方法
4. 平面图形面积的计算方法
五、微分方程与应用
1. 微分方程的定义与常见类型
2. 一阶微分方程的解法与应用
3. 高阶微分方程的解法与应用
4. 微分方程在科学与工程中的应用
本文档对微积分知识点进行了归纳总结，包括导数与微分、函
数的极限与连续、微分中值定理与应用、定积分与面积计算以及微
分方程与应用。
每个知识点简要介绍了其定义、性质、计算方法以
及常见应用，以帮助读者快速理解与掌握微积分的核心概念与技巧。
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知识点归纳
1. 求极限
2.1函数极限的性质P35
唯一性、局部有界性、保号性
P34 A x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是
：A x f x f x f x f x x x x ==
+==-+-→→)()0()()0(lim lim 0
000 2.2 利用无穷小的性质P37：
定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
0)sin 2(30
lim =+→x x x
定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
0)1sin (20lim =→x
x x
定理3无穷大的倒数是无穷小。
反之，无穷小的倒数是无穷大。
例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131
23523+--+x x x x 0=
2.3利用极限运算法则P41
2.4利用复合函数的极限运算法则P45
2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47
夹逼准则与单调有界准则，
lim 0→x x x
tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x
arcsin 1=，
lim )(∞→x ϕ)())(11(x x ϕϕ+
e =，lim 0
)(→x ϕ)(1
))(1(x x ϕϕ+e =
2.6利用等价无穷小P55
当0→x 时，
x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221
~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数
2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66
)(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a
x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120
lim a x →)()
(x g x f )()
(lim x
g x f a x ''=→
基本未定式：00，∞∞
，
其它未定式 ∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数）
2. 求导数的方法
2.1导数的定义P77：
lim 00|)(→∆==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ∆-
∆+=∆∆→∆)
()(000lim
h x f h x f h )
()(000lim -+=→
h
x f h x f h ---=→)()(000lim 00)()(lim 0
x x x f x f x x --=→ 左极限：h x f h x
f x f h )
()()(0000lim -+='-→- 右极限：h x f h x f x f h )
()()(0000lim -+=
'+→+
定理1：)(x f y =在0x 处可导的充分必要条件是：)()(00x f x f +-'='
2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、
复合函数的导数P87
2.3高阶导数P92
2.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P98
2.5函数的微分定义P100
2.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P103
3.求积分的方法
3.1原函数的定义、不定积分的定义P161
3.2不定积分的性质P163：性质1－性质4
例10 ,P165
3.3基本积分表
3.4换元积分法
3.4.1凑微分法P167
常用凑微分公式P168
3.4.2变量代换法P170
补充基本积分公式P173
3.5分部积分法P175
3.6有理函数的积分
4.6.1有理函数的积分P180
4.6.2三角有理函数的积分
万能置换公式，修改的万能置换公式
4.6.3简单无理函数的积分P186
4.其它
4.1 判断函数连续性及间断性P59
例1,例2,例4,例5,例6,例8
4.2求方程的根
4.2.1零点定理P67,例5,例6
4.2.2罗尔定理P114,例1,例2
4.4.3判断根的唯一性：罗尔定理P114 的例2,单调性P132例5 4.4.4导数的几何意义P80、可导性与连续性的关系P81例10,例11 4.4证明恒等式P116,例3
4.5证明不等式
4.5.1用拉格郎日中值定理P117,例4
4.5.2利用函数单调性P132,例4
4.5判断单调性P131与凹凸性P133、求拐点P134
4.6求函数的极值及最值
4.6.1求函数的极值P136
必要条件P137，第一充分条件P137，第二充分条件P139 4.6.2求函数的最值P140
4.7求曲线的渐近线P144
4.8导数在经济学中的运用
4.8.1边际函数及其经济意义P147
4.8.2弹性函数及其经济意义P150。