北师大版数学-选修1-1 充分条件与必要条件导学案 (2)

选修1-1 1.2.2充分条件与必要条件导学案

课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的含义.3.正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.4.通过学习，理解对条件的判定可以归结为判断命题的真假．

1．充分条件 “若p ，则q ”形式的命题为真命题是指：由条件p 可以得到结论q .通常记作________，读作“p 推出q ”．此时我们称________________________． 2．必要条件

如果“若p ，则q ”形式的命题为真命题，即________，称p 是q 的____________，同时，我们称q 是p 的____________． 3．充要条件：由于p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件；由于q ⇒p ，所以p 是q 的必要条件，在这种情况下，我们称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件． 4．推出与充分条件、必要条件

若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的________________________； 若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的_________________________； 若p ⇒q ，且q ⇒p ，则称p 是q 的________________________．

一、选择题

1．“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．既是充分条件，又是必要条件

D ．既不充分又不必要条件

2．“m <1

4

”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )

A ．充分不必要条件

B ．充要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

3．设0

2

，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．若f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )

A．{t|t≤0} B．{t|t≥0}

C．{t|t≥－3} D．{t|t≤－3}

题号1234 5

答案

二、填空题

6．“lg x>lg y”是“x>y”的____________条件．

7．p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，那么p是r的____________条件．

8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2

三、解答题

9．求证：关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.

10.已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

能力提升

x1，x2，…，x n. 11．记实数x1，x2，…，x n中的最大数为max{x1，x2，…，x n}，最小数为min{}

已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为

l =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a b ，b c ，c a ，

则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．

1．判断两个条件之间的关系，可以从推出“⇒”或“⇐”成立的情况来确定． 2．可以利用集合间的关系来判断条件之间的关系．

3．利用条件的充分性、必要性可以解决一些与范围有关的问题．

4．探求充要条件，要保证转化过程是等价转化，分清条件的充分性和必要性．

§2 充分条件与必要条件

知识梳理

1．p ⇒q p 是q 的充分条件 2．p ⇒q 充分条件 必要条件

4．充分但不必要条件 必要但不充分条件 既不充分也不必要条件 作业设计 1．A 2．A 3．B 4．A

5．D

6．充分不必要 7．充分不必要

解析 p ⇒q ⇒r ，反之不对． 8．a >2

解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2－a ，即a >2.

9．证明 先证明条件的充分性： ∵⎩

⎪⎨⎪⎧

a ≥2，

b ≤4，⇒a 2≥4≥b ， ∴方程x 2＋2ax ＋b ＝0有Δ＝4(a 2－b )≥0， ∴方程有实数根，① ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，b ≥－4，⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

－2a ≤－4，b ≥－4 ∴(x 1－2)＋(x 2－2)＝(x 1＋x 2－4) ＝－2a －4≤－4－4＝－8<0，

而(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4 ＝b ＋4a ＋4≥－4＋8＋4＝8>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－2＋x 2－2<0，x 1－2x 2－2>0，⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

x 1－2<0，x 2－2<0， ⎩

⎪⎨⎪⎧

x 1<2，x 2<2，即方程有小于2的实数根．② 显然，由①、②知“a ≥2，且|b |≤4”⇒“方程有实数根且两根均小于2”． 再验证条件不必要性：

∵方程x 2－x ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝1，则方程的两根均小于2，而a ＝－1

2

<2，

∴“方程的两根小于2”⇒“a ≥2，且|b |≤4”．

综上，a ≥2，且|b |≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件． 10．解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a

由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 由x 2＋2x －8>0得x <－4或x >2， 所以q ：x <－4或x ≥－2 因为p ⇒q

所以a ≤－4或－2≤3a <0

所以a ≤－4或－2

3

≤a <0

故所求a 的取值范围是

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a |a ≤－4或－23≤a <0.

11．A

12．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ， ∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝2为常数．