高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)
..
.
0
D
( 2 ) 由 于 积 分 区 域 0 位 于 半 平 面 | (A:，V) | .V + • 、彡 1 1 内 ， 故 在
/ ) | : & (.f + y) 2 彡(A + y) 3 • 从『("• J( v + ＞ )：drr ^ jj ( x + y) \lfr.
于 等 于 零 的 点 ， 而 不 包 含 使 被 积 函 数 1 - 2/ - y2 小 于 零 的 点 ， 即 当 £ » 是 椭 圆 2/ + y2
= l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.
& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
( 1 ) Ju+ y) 2 山 7 与 J[ U， 其 中 积 分 区 域 D 是 由 x 轴 、 ^ 轴 与 直 线 A + . 、 =
IJ
( 2) J J / c / ( X , y) drr = Aj| y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A： 为 常 数 ) ；
o
n
,
(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr
其中 /) = /)! U /)2， ，
A 为两个
I)
f( x, y) i\a = jjf( x, y)da+ JJ/ ( xfy)
da.
p,un}
V,
n；
Sa4 . 试 确 定 积 分 区 域 / ) ， 使 二 重 积 分 ][(1 - 2x2 - y2) d« ly 达 到 最 大 值 . I) 解 由 二 重 积 分 的 性 质 可 知 ，当 积 分 区 域 / ＞ 包 含 了 所 有 使 被 积 函 数 1 - 2. v2 - V2 大
y 2
D2
-1 O i T
-2 图 10 - 1
数，故
/ , = J j ( x 2 + y 1 ) 3d ( j = 2jj( x2 + y 1 ) 3 d c r .
fh
i)i
又 由 于 D3 关 于 ; t 轴 对 称 ，被 积 函 数 ( / + r2) 3 关 于 y 是 偶 函 数 ，故 jj( x 2
b\
lh
..
.
尤 公 共 内 点 的 WK 域 .
证 ( 丨 ) 由 于 被 枳 函 数 . / U, y) = 1 , 故 山 二 t 积 分 定 义 得
n
"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac, = l i m cr = a. A—0
n
( 2 ) Ji/ ( x, j) ( Ic7 = lim ^
D
I)
1 所围成；
( 2 ) J(x + 7) 2 如 与 ■ ， 其 中 积 分 区 域 0 是 由 圆 周 ( . r- 2)2 + ( . v- l)2 =
t)
n
2 所围成；
( 3 ) I'M A； + y) ( lor 与 ! " [ In( X + y) ] 2 ( 1 ( 7 ， 其 中 Z＞ 是 三 角 形 闭
..
.
( 3 ) 由 于 积 分 区 域 D 位 于 条 形 区 域 1 U， y) | 1 彡 1 + 7 彡 2 丨 内 ， 故 知 区 域 / ) 上 的 点 满 足 0 彡 InU+ y) 彡 1， 从 而 有 [ lnU+ y) ] 2 彡 lnU+ . y ) . 因 此
jj[ ln( A: + y) ] 2( Jo- ^ + y)d
K 域，三顶点分别为
l)
"
(1，0)，(1，1)，(2,0);
( 4 ) Jpn(:r + y) dcr 与 In(:t + y) ] 2fW， 其 中 / ) = | (.r , . v) | 3 ，
0 彡、彡 1 .
i)
i)
解 ( 1) 在 积 分 K 域 0 上 ， 故 有
(x + j) 3 ^ (x + y) 2. 根 据 二 重 积 分 的 性 质 4 ，可 得
( 4 ) 由 于 积 分 区 域 / ) 位 于 半 平 面 丨 ( x， y) | . v+ y 彡 e| 内 ，故 在 Z) 上 有 ln( x+ y) 彡 1， 从 而 ：In (-v + ) ' ) ] 2 彡 In (:c + ) ' ) . 因 此
Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.
i)
a
3 6. 利 用 二 重 积 分 的 性 质 估 计 下 列 积 分 的 值 ：
i)
1
n
= A lim y/ ( ^ ( , i7, ) A( 7- , = k \ \ f{ x, y) Aa.
A-° 台
• {!
( 3 ) 因 为 函 数 / U， y) 在 闭 区 域 / ) 上 可 积 ， 故 不 论 把 £ » 怎 样 分 割 ， 积 分 和 的 极
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限总 是不变的.因此在分割 D时 , 可 以 使 和 / ) 2的公共边界永远是一条分割线.这样
fix. y) 在 A U D 2 上 的 积 分 和 就 等 于 & 上 的 积 分 和 加 D2 上 的 积 分 和 ， 记 为
^/(^, ,17,) ACT, = ^/( ^, , 17,) ACT, + ^/(^, ,17,) ACT,.
/)(U0,
",
l)：
令 所 有 的 直 径 的 最 大 值 A- 0, 上 式 两 端 同 时 取 极 限 ， 即 得 J
jf/ ( x, y)da = 0；
D
如 果 积 分 区 域 D 关 于 ： K 轴 对 称 ， 而 被 积 函 数 / ( x， y) 关 于 ： c 是 奇 函 数 ， 即
/ ( ~ x, y) = - / ( 太 ， y) ， 则
= 0. D « 3.利用二重积分定义证明：
(1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为 的 面 积 ) ；
从而得
+ j2 ) 3dcr = 2j( x2 + y 2 ) 3 d a = 2/ 2 .
Dy
1 )：
/, = 4/2. (2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：
如 果 积 分 区 域 关 于 ^ 轴 对 称 ， 而 被 积 函 数 / ( x, y) 关 于 y 是 奇 函 数 ， 即 fix , - y ) = -f(x,y) ,PJ