信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结

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第一章整数得可除性

一整除得概念与欧几里得除法

1 整除得概念

定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或

否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、

2整除得基本性质

(1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数，

(i）若b|a,则|b|｜|ａ|、

(ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、

(iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、

3整除得相关定理

（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、

(２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b

(3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、

(４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数

s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数

（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b

(6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c）

(7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）

＝1, 则c｜b、

（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b

（9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk

二整数得表示

主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、

三最大公因数与最小公倍数

（一)最大公因数

1．最大公因数得概念

定义:设就是个整数,若使得,则称为得一个因数。公因数中最大得一个称为得最大公因数。记作、

若，则称互素。

若,则称两两互素。?思考:１.由两两互素，能否导出

2。由能否导出两两互素？

２。最大公因数得存在性

（1)若不全为零,则最大公因数存在并且

(2)若全为零,则任何整数都就是它得公因数。这时,它们没有最大公因数．

3.求两个正整数得最大公因数。

定理1：设任意三个不全为零得整数，且则

辗转相除法

由带余除法得

（1）

……

因为每进行一次带余除法，余数至少减少1，且就是有限整数,故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数就是零得情况，即由(1)知，定理2：任意两个正整数,则就是(１）中最后一个不等于零得余数. 定理３:任意两个正整数得任意公因数都就是得因数。

4.性质

定理4:任意两个正整数,则存在整数，使得成立

定理5:设就是不全为零得整数。

（ｉ)若则

(ii)若则

(ｉii)若就是任意整数，则

从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论:

①

② 且?

③

④

5.求两个以上正整数得最大公因数

设

则有下面得定理:

定理6:若就是个正整数,则

只需证①就是得一个公因数．②就是得公因数中最大一个

例求

解:

6．求两个正整数得最大公因数得线性组合（重点掌握)

方法一运用辗转相除法求最大公因数得逆过程;

方法二补充得方法

方法三运用列表法求解

（二）最小公倍数

１.最小公倍数得定义

定义：就是个整数，如果对于整数,有,那么叫做得一个公倍数.在得一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍?数.记作。

2.最小公倍数得性质。

定理1:设就是任给得两个正整数，则

（ｉ)得所有公倍数都就是得倍数.

(ii)

定理２：设正整数就是得一个公倍数，则

3。求两个以上整数得最小公倍数

定理３:设就是个正整数, 若

则

只需证:①就是得一个公倍数，即,

②设就是得任一公倍数，则

例1 求

解:

又?

四素数算术基本定理

1．素数、合数得概念

定义:一个大于1得整数，如果它得正因数只有１与它得本身,我们就称它为素数，否则就称为合数。

2.性质

定理1:设就是大于1得整数,则至少有一个素因数，并且当就是合数时，若就是它大于1得最小正因数,则

定理2设n就是一个正整数，如果对所有地素数,都有

p n，则n一定就是素数、

求素数得基本方法：爱拉托斯散筛法。

定理3:设就是素数,就是任意整数，则

(i) 或(ii) 若则或

3．素数得个数

定理4：素数得个数就是无穷得.

4。算术基本定理

定理5任一整数ｎ〉1都可以表示成素数得乘积，且在不考虑乘积顺序得情况下，该表达式就是唯一得、即

n= ｐ1… pｓ，p1≤… ≤p s , (1)

其中p i就是素数,并且若ｎ= q1…qｔ, q1≤… ≤q t，其中q j就是素数,则ｓ= t , p i = ｑj, １≤i ≤ｓ、

推论1:设就是任一大于1得整数,且

为素数，且则就是得正因数得充分必要条件就是