信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一章-第一章第4-5节
p2 2
L
ps s
,
b
p1 1
p2 2
L
ps s
,
其中 i i 0, (i 1, 2,L , t);
i i 0, (i t 1, 2,L , s).
取
a'
p1 1
p2 2
于是 (120,150, 210, 35) 5.
同样 [120,150, 210, 35] 23 3 52 7 4200.
23
例5 设a, b是两个正整数,则存在整数a ' | a, b' | b,使得
a 'b' [a, b], (a ', b') 1.
证 设a, b有分解式:
a
p1 1
b p1 ' p2 'L pu ', c pu1 ' p2 'L ps ' 于是 n bc p1 ' p2 'L pu ' pu1 ' p2 'L ps '
15
适当改变pi '的次序,即得(1)式.
由归纳法原理, 对于所有n 1的整数,(1)式成立.
再证表达式的唯一性. 假设还有
n q1q2 L qt , q1 q2 L qt
所以[a, b] | m.
此定理表明:任意两个正整数的乘积等于这两个数的 最小公倍数与最大公因数的乘积.这两个数的最小公 倍数不但是最小的正倍数,且是另外的公倍数的因数.
10
推论 设m, a, b是正整数,则[ma, mb] m[a, b].
证
[ma, mb]
m 2 ab (ma, mb)
m2ab m ab m(a,b) (a,b)
信息安全数学基础知识点
第六章 素性检验6.1 拟素数引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任意整数b,(b,n)=1,有)(mod 11n b n ≡- 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得)(mod 11n b n ≡/-，则n 是一个合数。
定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，则n 叫做对于基b 拟素数。
引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则12-d 能整除12-n定理1：存在无穷多个对于基2拟素数。
定理2：设n 是一个奇合数，则(i)n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数当且仅当b 模n 指数整除n-1。
(ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),拟素数，则n 是对于基21b b 拟素数。
(iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数，则n 是对于基1-b 拟素数。
(iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式)(mod 11n b n ≡-不成立，则模n 简化剩余系中至少有一半数使得该同余式不成立。
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////Fermat 素性检验给定奇整数3≥n 和安全参数t 。
1.随即选取整数b ,22-≤≤n b；2.计算()n b r n mod 1-=;3.如果1≠r ，则n 是合数；4.上述过程重复t 次；定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有正整数b ，(b,n)=1, 都有同余式()n b n mod 11≡-成立 定理3：设n 是一个奇合数。
(i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。
信息安全数学基础第1章整除概述.
1.2整数表示
证明 存在性 由欧几里得除法，有整数k，使得 a = q1b a0， 0 a0 b 1， q1 = q2b a1， 0 a1 b 1， qk 1 = qkb ak 1，0 ak 1 b 1， qk = qk+1b ak ，0 ak b 1 其中诸ai与qi都是唯一确定的。则0 < ak b 1， 0≤qk+1<qk<… <q2 <q1 <a,故必有整数k,使得qk+1=0
1.2整数表示
唯一性 设有两种不同的表达式: a= akbk ak 1bk 1 a1b a0 a= ckbk ck 1bk 1 c1b c0 两式相减得: 0= (ak –ck )bk (ak-1 –ck -1) bk 1 (a1 –c1 ) b (a0 –c0), 设j是最小的正整数使得aj ≠cj,则 bj[ (ak –ck )bk-j (aj+1 –cj +1) b+ (aj –cj ) ]=0
1.1整除的概念,欧几里得除法
1.1整除的概念,欧几里得除法
1.1整除的概念,欧几里得除法
1.2整数表示
对于数的十进制表示，我们已经是很熟悉的了。 本章主要介绍实数的b进制表示，以及一些基本 知识
定理 1设b是大于１的整数，则任何正整数a
都可以写成 a = akbk ak 1bk 1 a1b a0 的形式，其中ak 0，ai（0 i k）是在0与 b 1之间唯一确定的整数。
1.1整除的概念,欧几里得除法
下面证明每个合数必有素因子 定理1.2
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数得可除性一整除得概念与欧几里得除法1 整除得概念定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、2整除得基本性质(1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数，(i）若b|a,则|b|｜|ａ|、(ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、(iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、3整除得相关定理（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、(２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b(3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、(４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b(6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c）(7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）＝1, 则c｜b、（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b（9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk二整数得表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、三最大公因数与最小公倍数（一)最大公因数1．最大公因数得概念定义:设就是个整数,若使得 ,则称为得一个因数。
公因数中最大得一个称为得最大公因数。
记作、若，则称互素。
若,则称两两互素。
信息安全中的数学基础第一章
最小公倍数与最大公因子关系
定理1-8
a，b 2）
（a，b）
1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab ，特别地，如果(a，b) = 1，[a，b] = |ab|．
定理2证明
证明
1）做带余除法： d = q[a，b] + r，0r[a，b]， 由于ad，bd，那么 a[a，b]，b[a，b]， 则ar，br， r也是a，b的公倍数，
互素
定义1-7：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，
则称a，b互素．
推论1-1：a，b互素的充分必要条件是：
存在u，v，使ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
v， 使
(a，b)= ua+vb．
最大公因子定理
例6：将a = 888，b = 312的最大公因子表示为(a，b) = ua+vb 解 利用欧几里得除法求最大公因子的过程可以解出． 888 = 2312+264 312 = 1264+48 264 = 548+24 48=2 24 我们有： 264 = 8882312=a-2b 48 = 312264 = b (a-2b) = –a+3b 24 = 264548 = (a-2b)5(–a+3b) =6a17b 故(888，312) = 24 = 6888+(17)312．
（3）近世代数（第二版），韩士安，林磊著，科学出版社， 2009年
《信息安全数学基础》课程介绍
课程内容：数论，近世代数，有限域 课程目的：培养抽象思维能力和严格的逻辑推理 能力, 为学习专业基础课及专业课打好基础
信息安全数学基础环和域基础知识
在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).
注意： 整数环Z不是域； 当n是合数时，Zn不是域。 有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。
域的特征
F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得 的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，则记char(F) =∞.
性质：如果char(F)有限，则一定是素数.
域的例子（3）
构造方法
域上的多项式环 不可约多项式
定理
令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，则域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.
注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.
1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码
教学资料
资料仅供参考
定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
类似的有环同态基本定理
概念的类比
群
环
正规子群
信息安全数学基础复习笔记
信息安全数学基础复习笔记
12.3复习笔记
第⼀章、整数的可除性
1.1 整数的概念、欧⼏⾥得除法
1.2 最⼤公因数与⼴义欧⼏⾥得除法
1.3 整除的进⼀步性质及最⼩公倍数
1.4 整数分解
1.5 素数的算术基本定理
第⼆章、同余
2.1 同余的概念及基本性质
2.2 剩余类及完全剩余系
2.3 简化剩余系与欧拉函数
2.4 欧拉定理、费马⼩定理、Wilson定理
2.5 模重复平⽅算法
12.5复习笔记
第三章、同余式
3.1 基本概念及⼀次同余式
3.2 中国剩余定理
3.3 ⾼次同余式的解法及解数
3.4 素数模的同余式
第四章、⼆次同余式与平⽅剩余4.1 ⼀般⼆次同余式
4.2 模为奇素数的平⽅剩余与平⽅剩余4.3 勒让得符号
4.4 ⼆次互反律
4.5 雅可⽐符号
第五章、原根与指标
5.1 指数及基本性质
5.2 原根
5.3 指标及n次同余式。
信息安全数学基础
信息安全数学基础导言信息安全是在当前信息时代中广泛关注的一个重要领域。
它涉及到保护数据的机密性、完整性和可用性，以及防止未经授权的访问、修改或破坏数据的行为。
在信息安全领域，数学起着至关重要的作用。
数学提供了许多基础概念和技术，用于保护信息和数据。
本文将介绍信息安全的一些数学基础知识。
1. 整数论整数论是信息安全中不可或缺的一部分，其主要研究整数及其性质。
在信息安全中，整数论常用于加密算法和密钥生成。
其中，最常见的整数论问题是素数的应用。
素数是只能被1和自身整除的整数。
在信息安全中，素数被广泛应用于加密算法，如RSA算法。
RSA算法的基本原理是利用两个大素数的乘积作为公钥的模数，并求解其积的欧拉函数值。
因此，整数论中研究素数的性质和生成方法对于实现安全的RSA加密算法非常重要。
除了素数，整数论还涉及到很多其他概念和技术，如模运算、同余和剩余类等。
这些概念和技术在信息安全中的密码算法和密钥生成中起着至关重要的作用。
2. 离散数学离散数学是信息安全中的另一个重要基础。
离散数学研究的是离散结构，如集合、图论、布尔代数等。
在信息安全中，离散数学的概念和技术被广泛应用于密码学和网络安全。
密码学是关于信息加密和解密的科学，其中离散数学起着关键作用。
密码学使用离散数学的技术来设计和分析密码算法。
例如，离散数学的图论技术可以用于构建网络拓扑图，以评估网络的安全性。
布尔代数被广泛应用于逻辑门电路的设计和分析，用于实现对信息的逻辑操作和处理。
离散数学的另一个重要应用是在密码学中的离散对数问题。
离散对数问题是指已知一个数的底数和模数，求解指数的问题。
这个问题在公钥密码学中扮演着重要角色，如Diffie-Hellman密钥交换协议和椭圆曲线密码算法。
3. 概率论与统计学概率论和统计学是信息安全中的另一对重要基础。
它们被用于分析密码算法的安全性、测量信息系统的可靠性，并为风险评估和安全决策提供支持。
在密码学中，概率论和统计学的概念被广泛应用于对密码算法的攻击和破解。
信息安全数学基础第一章
1.1 群的定义-群的定义
注4：由于群里结合律是满足的，把元素 的n次连乘 ：由于群里结合律是满足的，把元素a的 次连乘 记为a 交换群也可记为na），称为a的 次幂 ），称为 记为 n （交换群也可记为 ），称为 的n次幂 或称乘方）。 （或称乘方）。 注5：若(G, )只满足结合律，则称 为半群；如果 只满足结合律， 为半群； ： 只满足结合律 则称G为半群 (G, ) 满足结合律且有单位元，则称 为有单位元的 满足结合律且有单位元，则称G为有单位元的 半群。 半群。
SL(n, R ) ≤ GL(n, R )
18
1.2
群的性质群的性质-子群
定理1 一个群G和它的一个子群 和它的一个子群H有 定理1 一个群 和它的一个子群 有： 1）G的单位元和 的单位元是同一的； 的单位元和H的单位元是同一的 ） 的单位元和 的单位元是同一的； 2）如果 ∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H． 中的逆元， ）如果a∈ ， 在 中的逆元 ．
an = 1 ⇔ | a | n
的阶， 2）记 | a | 为元素 a 的阶，则 |a| i | a |= (| a |, i )
16
1.2
群的性质-群的分类 群的性质-群的分类
从元素个数来分：有限群与 从元素个数来分：有限群与无限群 的剩余类加法群、乘法群， 次对称群等为有 模 n 的剩余类加法群、乘法群， n 次对称群等为有 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群。 限群。 从代数运算的交换性来分：交换群与 从代数运算的交换性来分：交换群与非交换群 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 模 n 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 n 换群； 次对称群， 换群； 次对称群，一般线性群和特殊线性群等 非交换群。 为非交换群。
《信息安全数学基础》部分课后习题答案
《信息安全数学基础》课后作业及答案第1章课后作业答案 (2)第2章课后作业答案 (6)第3章课后作业答案 (13)第4章课后作业答案 (21)第5章课后作业答案 (24)第6章课后作业答案 (27)第7章课后作业答案 (33)第8章课后作业答案 (36)第9章课后作业答案 (40)第10章课后作业答案 (44)第11章课后作业答案 (46)第12章课后作业答案 (49)第13章课后作业答案 (52)第1章课后作业答案习题1：2, 3, 8(1), 11, 17, 21, 24, 25, 312. 证明：存在整数k，使得5 | 2k + 1，并尝试给出整数k的一般形式。
证明k = 2时，满足5 | 2k + 1。
5 | 2k + 1，当且仅当存2k + 1 = 5q。
k, q为整数。
即k = (5q– 1)/2。
只要q为奇数上式即成立，即q = 2t + 1，t为整数即，k = 5t + 2，t为整数。
3. 证明：3 3k + 2，其中k为整数。
证明因为3 | 3k，如果3 | 3k + 2，则得到3 | 2，矛盾。
所以，3 3k + 2。
8. 使用辗转相除法计算整数x, y，使得xa + yb = (a, b)：(1) (489, 357)。
解489 = 357×1 + 132,357 =132 × 2 + 93,132 = 93 × 1 + 39,93 = 39 × 2 + 15,39 = 15 × 2 + 9,15 = 9 × 1 + 6,9 = 6 × 1 + 3,6 = 3 × 2 + 0,所以，(489, 357) = 3。
132 = 489 – 357×1,93 = 357 – 132 × 2 = 357 – (489 – 357×1) × 2 = 3 × 357 – 2 ×489,39 = 132 – 93 × 1 = (489 – 357×1) – (3 × 357 – 2 ×489) × 1 = 3 ×489 – 4× 357,15 = 93 – 39 × 2 = (3 × 357 – 2 × 489) – (3 ×489 – 4× 357) × 2 = 11× 357 – 8 × 489,9 = 39 – 15 × 2 = (3 ×489 – 4× 357) – (11× 357 – 8 × 489) × 2 = 19 × 489 – 26× 357,6 = 15 – 9 × 1 = (11× 357 –8 × 489) – (19 × 489 – 26× 357) = 37 ×357 – 27 × 489,3 = 9 – 6 × 1 = (19 × 489 – 26× 357) – (37 × 357 – 27 × 489) = 46 ×489 – 63 × 357。
信息安全数学基础-知识点总结
地分解成有限个素数的乘积。 如果我们把相同的素因子写在一起，则每个正整数n的素分解都
可以写成
，其中q1,q2,…,qt是彼此不同的素数，而ni≥1，1≤i≤t，我们称
此式为正整数n的标准分解式。
定义1.3.6：设整数n≥2，若a1|m, a2|m，… ，an|m，则称正整数m为正整数a1, a2, ..., an的公倍 数。正公倍数中最小者叫做最小公倍数。用记号[a1,a2,...,an]或者lcm(a1,a2,...,an)表示。
定理1.1.1：若整数a，b，c满足条件a|b且b|c，则a|c。
定理1.1.2：设整数a，b，c满足条件c|a且c|b，则m, nZ，都有c|(ma+nb)。
定义1.1.2：一个大于1的正整数，若只能被1和其本身整除，而不能被其他正整数整除，则称 其为素数（或质数），通常记为p或p1, p2, p3, …。
定理1.3.5：设a与b是两个不全为0的整数，那么d是a与b的最大公因数当且仅当下面两个条件 成立：(i) d|a且d|b；(ii) 若c是一个整数，且c|a，c|b，则c|d。
定义1.3.4：设a1，a2，…，an是不全为0的整数，那么这些整数的最大公因数是这些整数的公因 数集中的最大整数，记为(a1，a2，…，an)。
定理1.3.11：如果n是一个合数，则n有一个不超过 的素因子。（反证法）
1）爱拉斯托散（Eratosthenes）方法
若n有素分解式
且p1<p2<…<ps，则根据定理1.3.11我们得到 ：
据此，我们可以使用下面的“筛选法”筛选出不超过n的一切素数。这种“筛选法”是由古希 腊数学家爱拉斯托散发明的，故被称为爱拉斯托散方法。
①. 自反性：若a是一个整数，则a≡a (mod m)。
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章 整数的可除性一 整除的概念和欧几里得除法 整除的概念定义 设♋、♌是两个整数，其中♌≠ 如果存在一个整数 ❑ 使得等式 ♋♌❑ 成立，就称♌整除♋或者♋被♌整除，记作♌♋ ，并把♌叫作♋的因数，把♋叫作♌的倍数 这时，❑也是♋的因数，我们常常将❑写成♋／♌或 否则，就称♌不能整除♋或者♋不能被♌整除，记作♋ ♌整除的基本性质☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时， ♌也遍历整数♋的所有因数☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时，♋♌也遍历整数♋的所有因数☎✆设♌，♍都是非零整数，☎♓✆若♌♋，则 ♌♋ ☎♓♓✆若♌♋，则♌♍♋♍☎♓♓♓✆若♌♋，则 ♌≤ ♋ 整除的相关定理☎✆ 设♋，♌≠ ，♍≠ 是三个整数 若♍♌，♌♋，ab则♍♋☎✆ 设♋，♌，♍≠ 是三个整数，若♍♋，♍♌，则♍♋±♌☎✆ 设♋，♌，♍是三个整数 若♍♋，♍♌则对任意整数♦，♦，有♍♦♋♦♌☎✆ 若整数♋ ⑤♋⏹都是整数♍≠ 的倍数，则对任意⏹个整数♦，⑤，♦⏹，整数是♍的倍数☎✆ 设♋，♌都是非零整数 若♋♌，♌♋，则♋±♌ ☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♌≠ ，♍ ≠ ，如果☎♋ ♍✆则 ☎♋♌ ♍✆☎♌ ♍✆☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♍≠ ，如果♍｜♋♌ ☎♋ ♍✆ 则♍ ♌☎✆ 设☐ 是素数，若☐ ♋♌ 则☐ ♋或☐♌☎✆ 设♋ ⑤♋⏹是⏹个整数，☐是素数，若☐ ♋ ⑤♋⏹ 则☐一定整除某一个♋ 二 整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化 三 最大公因数和最小公倍数 ☎一✆最大公因数 ．最大公因数的概念nn a s a s ++ 11定义：设是个整数，若使得 ，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作若 则称 互素．若 则称两两互素．思考： ．由两两互素，能否导出．由 能否导出两两互素？．最大公因数的存在性☎✆若 不全为零，则最大公因数存在并且☎✆若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．．求两个正整数的最大公因数．定理 ：设任意三个不全为零的整数，且 则辗转相除法由带余除法 得☎✆⑤⑤因为每进行一次带余除法，余数至少减少 ，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即由☎✆知，定理 ：任意两个正整数 则是☎✆中最后一个不等于零的余数．定理 ：任意两个正整数的任意公因数都是的因数． ．性质定理 ：任意两个正整数，则存在整数，使得成立定理 ：设是不全为零的整数．☎♓✆若则☎♓♓✆若则☎♓♓♓✆若是任意整数，则从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：♊♋ 且♌♍．求两个以上正整数的最大公因数设则有下面的定理：定理 ：若 是个正整数，则只需证♊是的一个公因数．♋ 是的公因数中最大一个例 求解：．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握）方法一 运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；方法二 补充的方法方法三 运用列表法求解☎二✆ 最小公倍数．最小公倍数的定义定义： 是 个整数，如果对于整数，有那么叫做的一个公倍数．在 的一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍数．记作 ．．最小公倍数的性质．定理 ：设是任给的两个正整数，则☎♓✆的所有公倍数都是的倍数．☎♓♓✆定理 ：设正整数是的一个公倍数，则．求两个以上整数的最小公倍数定理 ：设是个正整数 若则只需证：♊是 的一个公倍数，即♋设是的任一公倍数 则例 求解：又四 素数 算术基本定理．素数、合数的概念定义：一个大于 的整数，如果它的正因数只有 和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．．性质定理 ：设是大于 的整数，则至少有一个素因数，并且当是合数时，若是它大于 的最小正因数，则p ，都有定理 设⏹是一个正整数，如果对所有地素数n☐ ⏹则⏹一定是素数求素数的基本方法：爱拉托斯散筛法。
信息安全数学基础第01章
1 正整数 全体素数 全体合数
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 整数的二进制表示法 数值转换
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 定理1.2.1（带余数除法）：设a是正整数，b是整数，则 一定存在唯一的整数q和r，使得 b=qa+r，其中0≤r<a 并分别称q与r为a 除b的商和余数。
1.1 整数
整除 定理1.1.1：若整数a，b，c满足条件a|b且b|c，则a|c。
证明：若a|b且b|c，则由定义1.1.1知道存在整数e和f使得 b=ae且c=bf，于是 c=bf=(ae)f=a(ef) 由于整数e与f的乘积仍然是整数，因而a|c。
例如：由于11|66且66|198，由定理1.1.1就有11|198。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 为什么重复带余除法的过程可以在有限步骤内使得商为 0？
因为b>1，n>0，故 q0>q1>…>qi>… qk-1 ≥0 而qi均为整数，故该不等式一定在有限项内成立。而当 qk-1<b时，必有 qk-1=b∙0+ak， 0≤ak<b 故重复带余除法过程可以在有限步骤内使得商为0。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 证明思路：按照带余除法的方法，先证表达式的存在性 ，再证明其唯一性。
1.2 整数的进位制表示法
带余除法 证明：先证表达式的存在性。首先，以b除n，得到 n=bq0+a0， 0≤a0<b 如果q0≠0，继续以b除q0，得到 q0=bq1+a1， 0≤a1<b 继续这个过程，依次得到 q1=bq2+a2， 0≤a2<b q2=bq3+a3， 0≤a3<b ……..................... qk-2=bqk-1+ak-1，0≤ak-1<b qk-1=b∙0+ak， 0≤ak<b 当商为0时，结束这个过程。
信息安全的数学基础
信息安全的数学基础
信息安全的数学基础可以总结为以下几个方面：
1. 密码学：涉及到各种加密算法和解密算法，主要是数论、代
数和概率论方面的知识。
对称加密算法（如DES、AES等）和非对称加
密算法（如RSA、ECC等）都是基于数学原理的。
2. 数字签名：数字签名是数字证书体系的基础。
数字签名涉及
到哈希函数、公钥密码体制等数学算法，这些算法在数字认证、电子
邮件、电子商务等领域得到广泛应用。
3. 随机数生成：随机数生成是很多加密算法中不可或缺的功能。
在信息安全中，随机数的产生要具有不可预测性，这可以通过伪随机
序列算法和真随机序列算法来实现。
其中，真随机序列算法主要依赖
于物理随机事件的产生，如收音机收音噪声和光学噪声等，这也需要
数学中的统计学和概率论知识。
4. 数字证书：数字证书是数字身份证明的一种方式，它包括了
某个实体的公钥以及相关的信息，可以用于数字证明的验证。
数字证
书一般采用了基于数学算法的公钥密码体制，如RSA和ECC等。
此外，数字证书的设计和实现还要涉及证书格式、证书吊销等方面的数学知识。
总之，信息安全中的数学基础是十分广泛和深奥的，需要掌握多
种数学知识才能确保信息安全。
信息安全数学基础(武汉大学)第一章
称 q 为 b 除 a 的不完全商。 当b | r 时， b | a ；特别的，当 r = 0 时，q 为完全商。
2011-3-15 西南交通大学信息科学与技术学院
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(1) 取 c = 0，则 0 ≤r < |b|，称 r 为 a 被 b 除后的最小 非负余数，此时， b | a r=0 (2) 取 c = 1，则 1 ≤r ≤|b|，称 r 为 a 被 b 除后的最小 正余数，此时， b | a r =|b| (3) 取 c = -|b|+ 1，则 -|b|+ 1 ≤ r ≤ 0 ，称 r 为 a 被 b 除 后的最大非正余数，此时， b | a r=0 (4) 取 c = -|b|，则 -|b|≤ r < 0，称 r 为 a 被 b 除后的最大 负余数，此时， b | a r = -|b| (5) 当 b 为偶数时，取 c = -|b|/ 2，有 -|b|/ 2 ≤ r < |b|/ 2， 或取 c = -|b|/ 2 + 1，有 -|b|/ 2 < r ≤ |b|/ 2； 当 b 为奇数时，取 c = -(|b|-1) / 2，有-(|b|-1) / 2 ≤ r ≤ (|b|-1) / 2，此时，称 r 为绝对值最小余数
2011-3-15
西南交通大学信息科学与技术学院
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（问题3－素数个数是否无限？）
定理1-3：素数有无穷多个。
证明：反证法。假定素数只有有限多个（k个），记为
p1=2, p2=3, … , pk 设整数 n=p1· p2…pk+1, ∵ n>pi (i=1,2,…,k), ∴ n 为合数。 由定理1-2知，一定存在1≤j≤k，使得 pj | n， 又∵ pj | p1· p2…pk,, ∴ 由整除的性质1-1(3)得： pj | (n - p1· p2…pk)=1 而这是不可能的，所以存在无穷多个素数。
信息安全数学基础
信息安全数学基础信息安全是当今社会中非常重要的一个领域，随着互联网的发展和普及，信息安全问题也日益突出。
而要保障信息的安全，数学基础是至关重要的。
本文将从信息安全的数学基础入手，简要介绍一些与信息安全密切相关的数学概念和方法。
首先，我们要了解信息安全的基本概念。
信息安全是指在计算机系统中，对信息的保密性、完整性和可用性进行保护的一系列技术和措施。
而在实现这些目标的过程中，数学起着至关重要的作用。
其中，最基本的数学概念之一就是密码学。
密码学是研究如何在敌手存在的情况下，实现信息的保密性和完整性的科学。
在密码学中，数论和代数是两个非常重要的数学分支，它们为密码算法的设计和分析提供了重要的数学基础。
在密码学中，最基本的算法之一就是对称加密算法。
对称加密算法使用一个密钥来对信息进行加密和解密。
而在对称加密算法中，数学中的置换和替换运算是非常重要的。
通过置换和替换运算，可以使得加密后的信息在没有密钥的情况下难以被破解。
而在对称加密算法中，数学基础的坚实与否直接决定了算法的安全性。
除了对称加密算法外，公钥加密算法也是信息安全中非常重要的一部分。
公钥加密算法使用了数论中的大数分解和离散对数等数学问题，这些问题的复杂性使得公钥加密算法能够提供较高的安全性。
同时，公钥加密算法也是实现数字签名和数字证书的基础，这些技术在信息安全中起着至关重要的作用。
此外，信息安全中还涉及到随机数生成、哈希函数、消息认证码等数学概念和方法。
随机数的质量直接关系到密码算法的安全性，而哈希函数和消息认证码则是保证信息完整性的重要手段。
这些方法的设计和分析都需要数学的支持。
总之，信息安全的数学基础是非常重要的。
密码学、数论、代数、概率论等数学分支为信息安全提供了坚实的基础。
只有深入理解和熟练运用这些数学知识，才能更好地保障信息的安全。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，让大家对信息安全的数学基础有一个更清晰的认识。
信息安全数学基础答案第一二三四五章(许春香 廖永建)
mi| a-b
则 [m1,…,mn] | (a-b) 所以 a=b (mod [m1,…,mn] ).
（11） 对两式进行变形有 21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的 m 即使求 21 和 1001 的公约数, 为 7 和 1. （ 12 ） (70!)/(61!)=
bc=k2d(m/d)+r 所以 ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1, 所以两边可以同除以一个 c, 所以结论成立. 第二个问题： 因为 a=b(mod m), 所以 a-b=ki*mi， a-b 是任意 mi 的倍数，所以 a-b 是 mi 公倍数，所以 [mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约 数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15） 将整数每位数的值相加, 和能被 3 整除则整数能被 3 整除, 和能被 9 整除则整数能被 9 整除, (1)能被 3 整除, 不 能被 9 整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能
=-1×2 ×3× 4 ×5 ×6 ×7× 8× 9 (mod 71) =1 (mod 71) 所以 70！=61！ (mod 71)
13、证明：因为 2 = -1 (mod 3), 所以 2n = (-1)n (mod 3), 2n +1= (-1)n +1(mod 3). 当 n 为奇数时， 2n +1= 0(mod 3)，即能被 3 整除. 当 n 为偶数时， 2n +1= 2(mod 3)，即不能被 3 整除. 14、证明: (1) 因为 ac=bc (mod m),
又由定理 1（page7） ，存在 j1 满足 又因为 pj 为素数，所以有 q1 = pj1 同理得 q2 = pj2 得 注意：在证明过程没使用标准因子分解式！ 6、 因为非零 a, b, c 互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为 a=p1p2––pr, b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因 为 a, b, c 互素, 所以 a, b, c 中没有公共(相同)素因子, 明显 ab 和 c 也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). 定义： （1）如果整数 dai （2） 设 d0 是 ai (1 ≤ i≤ n) ,则 d 称为 ai 的公因子． (1 ≤ i≤ n)的公因子， 如果 ai (1 ≤ ,…, qr = pjr,
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信息安全数学基础第一阶段知识总结信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数得可除性一整除得概念与欧几里得除法1 整除得概念定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、2整除得基本性质(1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数，(i）若b|a,则|b|｜|ａ|、(ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、(iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、3整除得相关定理（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、(２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b(3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、(４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b(6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c）(7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）＝1, 则c｜b、（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b（9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk二整数得表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、三最大公因数与最小公倍数（一)最大公因数1．最大公因数得概念定义:设就是个整数,若使得,则称为得一个因数。
公因数中最大得一个称为得最大公因数。
记作、若，则称互素。
若,则称两两互素。
?思考:１.由两两互素，能否导出2。
由能否导出两两互素？２。
最大公因数得存在性（1)若不全为零,则最大公因数存在并且(2)若全为零,则任何整数都就是它得公因数。
这时,它们没有最大公因数．3.求两个正整数得最大公因数。
定理1：设任意三个不全为零得整数，且则辗转相除法由带余除法得（1）……因为每进行一次带余除法，余数至少减少1，且就是有限整数,故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数就是零得情况，即由(1)知，定理2：任意两个正整数,则就是(１）中最后一个不等于零得余数. 定理３:任意两个正整数得任意公因数都就是得因数。
4.性质定理4:任意两个正整数,则存在整数，使得成立定理5:设就是不全为零得整数。
（ｉ)若则(ii)若则(ｉii)若就是任意整数，则从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论:①② 且?③④5.求两个以上正整数得最大公因数设则有下面得定理:定理6:若就是个正整数,则只需证①就是得一个公因数．②就是得公因数中最大一个例求解:6．求两个正整数得最大公因数得线性组合（重点掌握)方法一运用辗转相除法求最大公因数得逆过程;方法二补充得方法方法三运用列表法求解（二）最小公倍数１.最小公倍数得定义定义：就是个整数，如果对于整数,有,那么叫做得一个公倍数.在得一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍?数.记作。
2.最小公倍数得性质。
定理1:设就是任给得两个正整数，则（ｉ)得所有公倍数都就是得倍数.(ii)定理２：设正整数就是得一个公倍数，则3。
求两个以上整数得最小公倍数定理３:设就是个正整数, 若则只需证:①就是得一个公倍数，即,②设就是得任一公倍数，则例1 求解:又?四素数算术基本定理1．素数、合数得概念定义:一个大于1得整数，如果它得正因数只有１与它得本身,我们就称它为素数，否则就称为合数。
2.性质定理1:设就是大于1得整数,则至少有一个素因数，并且当就是合数时，若就是它大于1得最小正因数,则定理2设n就是一个正整数，如果对所有地素数,都有p n，则n一定就是素数、求素数得基本方法：爱拉托斯散筛法。
定理3:设就是素数,就是任意整数，则(i) 或(ii) 若则或3．素数得个数定理4：素数得个数就是无穷得.4。
算术基本定理定理5任一整数ｎ〉1都可以表示成素数得乘积，且在不考虑乘积顺序得情况下，该表达式就是唯一得、即n= ｐ1… pｓ，p1≤… ≤p s , (1)其中p i就是素数,并且若ｎ= q1…qｔ, q1≤… ≤q t，其中q j就是素数,则ｓ= t , p i = ｑj, １≤i ≤ｓ、推论1:设就是任一大于1得整数,且为素数，且则就是得正因数得充分必要条件就是推论２：且为素数.则第二章同余一同余概念与基本性质〈一>、同余得定义.定义: 如果用去除两个整数所得得余数相同,则称整数关于模同余，记作如果余数不同，则称关于模不同余，记作、定理１：整数关于模同余充分必要条件就是〈二〉、性质。
定理2：同余关系就是一种等价关系,即满足(１)自反性:(2）对称性:若(3)传递性：若定理3:若则:定理４:若且则定理５:若且则定理６：若,则定理7:若且则定理8:若则定理9设整数n有十进制表示式：n = ａk１0k+ ａk—1１0k—1 + … + a1１0 + a0，0≤ａi <10则 3 | n得充分必要条件就是3 | a k+ …+ a0 ;而９｜n 得充分必要条件就是9 | a k+ … + a0、定理10设整数n有１000进制表示式:ｎ＝ａk１０００ｋ＋…+ a1 10０0 + ａ0 , 0≤a i〈10０0 则7(或11，或1３）|n得充分必要条件就是７(或11，或1３)能整除整数( a0 ＋a2 + …）–( a1 + a3 + …）例１:求７除得余数.解:除得余数为4。
例2:求得个位数.解:得个位数为。
二完全剩余系与互素剩余系<一>、剩余类.1。
定义１：设就是一个给定得正整数.则叫做模得剩余类。
定理１：设就是模得剩余类，则有（1）中每一个整数必属于这个类中得一个,且仅属于一个.(2）中任意两个整数属于同一类得充要条件就是?<二>、完全剩余系1.定义2：在模得剩余类中各取一个数则个整数称为模得一组完全剩余系。
任意个连续得整数一定构成模得一组完全剩余系.2.形成完全剩余系得充要条件．定理2:个整数形成模得完全剩余系得充要条件就是：3．完全剩余系得性质．定理３：若则当遍历模得完全剩余系时,则?也遍历模得完全剩余系。
定理4 设ｍ就是一个正整数,a就是满足(a,m）=1得整数,则存在整数a’1≤a’〈ｍ，使得aa’≡１(modｍ）定理5：若当分别遍历模得完全剩余系时,则也遍历模得完全剩余系.例1:问就是否构成模得完全剩余系?解：就是得一个排列。
能构成模得一组完全剩余系．〈三〉简化剩余系1、简化剩余类、简化剩余系概念.定义３:若模得某一剩余类里得数与互素,则把它称为模得一?个互素剩余类。
在与模互素得全部剩余类中，各取出一整数组成得系,叫做模得一组简化剩余系。
在完全剩余系中所有与模互素得整数构成模得简化剩余系.2.简化剩余系得个数.定义4:欧拉函数就是定义在正整数集上得函数,得值等于?序列与互素得个数。
为素数定理６:个整数构成模得简化剩余系得充要条件就是定理7：若遍历模得简化剩余系,则也遍历模得简化剩余系定理8设m1 ,m2就是互素得两个正整数,如果x１, ｘ２分别遍历模m1与m2得简化剩余系,则m2x１+m1x2遍历模m1ｍ2得简化剩余系、定理9：若，则∏∏--=-===n p knp a ka ap p n p n n p p pn n s |1|1)11()11()11()(101 ?则有标准因数分解式为设正整数定理〈三＞欧拉定理费马小定理威尔逊定理1．欧拉定理设m 就是大于1得整数，如果a 就是满足(ａ，m)=1得整数，则2.费马定理设p 就是一个素数，则对任意整数a ,我们有ａp ≡ａ(mod p ） 3．(wilso ｎ）设p 就是一个素数、则 <四〉模重复平方计算法主要掌握运用该方法解题过程第三章同余式1.同余式得定义定义1 设m 就是一个正整数,设ｆ(x ）为多项式其中ａi 就是整数,则ｆ（x) ≡0（ mo ｄ m ）（1)叫作模ｍ同余式、若0 （m ｏd m), 则ｎ叫做f （x)得次数,记作de ｇf 、此时，（1）式又叫做模ｍ得ｎ次同余式、 2.同余式得解、解数及通解表达式定理 1 设m 就是一个正整数,ａ就是满足a m 得整数则一次同余式ａｘ≡ｂ (ｍod ｍ）有解得充分必要条件就是（a ，ｍ)|b ，而且，当同余式有解时,其解数为d =（ａ， m)、定理2设ｍ就是一个正整数，a 就是满足(ａ，m)=1得整数，则一次同余式 a ｘ≡ １（mod m)有唯一解ｘ≡a ’(m ｏd m)、定理3 设m 就是一个正整数,a 就是满足（a ，ｍ）|ｂ得整数,则一次同余式ax ≡ b （mod ｍ) 得全部解为.1)m ,a (,,1,0t )m mod ()m ,a (m t ))m ,a (m mod ()m ,a (a )m ,a(b x 1-=+???? ????? ???≡- 3.中国剩余定理定理1 （中国剩余定理)设就是k 个两两互素得正整数，则对任意得整数,同余式组一定有解，且解就是唯一得例1 计算解一利用２、4定理 1（Eul ｅｒ定理）及模重复平方计算法直接计算、因为77=7·11,所以由２、4 定理１（Ｅｕler 定理),,又1000000=166６６·60+40,所以)77 mod (22)2(2404016666601000000≡?=,设ｍ=77，b=2,令a=1、将40写成二进制,40＝2３ + ２5 ,运用模重复平方法,我们依次计算如下: （1）)77(mod 4,1,02100≡≡≡==b b a a n 计算（2) n 1 = 0，计算)77 mod (16b b ,1a a 21201≡≡≡=（3） n 2 = 0，计算 )77 mod (25b b ,1a a 22312≡≡≡= (4）n 3 = 1, 计算)77 mod (9b b ,25b a a 234323≡≡≡?=(5) n 4 ＝ 0 , 计算)77 mod (4b b ,25a a 24534≡≡≡=（6) ｎ６ = 1 ，计算最后，计算出解二令,因为７7=7·11，所以计算x(mo ｄ 77) 等价于求解同余式组因为Eul ｅr 定理给出 ,以及１000000＝16６666·6+4，所以)7 mod (22)2(2b 4166666610000001≡?≡≡、令，分别求解同余式)11 mod (17M ),7 mod (111M '2'1≡≡,得到故x ≡2·11·2+8·7·1≡1００≡２3(m ｏd 77）因此,2 ≡23(ｍo ｄ７7）例2:解同余式组解: 原同余式组有解且同解于两两互素同余式组有惟一解。