高等代数考研复习[线性空间]
考研数学一大纲详细解析高等代数部分重点知识回顾
考研数学一大纲详细解析高等代数部分重点知识回顾在考研数学一考试中，高等代数是一个非常重要的部分。
正确理解并掌握高等代数的相关知识，对于顺利通过考试至关重要。
本文将对考研数学一大纲中高等代数部分的重点知识进行详细解析和回顾，帮助考生做好复习准备。
一、线性代数基础知识回顾1.1 行列式行列式是矩阵运算中非常常见的概念。
在考研数学一中，行列式的计算是必须要掌握的基本技能。
行列式的定义、性质以及计算方法都需要熟练掌握。
1.2 矩阵与方程组矩阵与方程组是线性代数中的重要内容之一。
通过矩阵的运算，我们可以简洁地表示和解决方程组的问题。
对于矩阵的基本运算、矩阵的秩、矩阵的逆等方面的知识点，都需要进行深入的理解和掌握。
1.3 向量空间和线性变换向量空间和线性变换是线性代数的核心内容。
对于向量空间的定义、性质以及向量空间的子空间等方面的知识点，需要进行详细的回顾和理解。
此外，线性变换的概念、性质以及线性变换的矩阵表示等内容也是需要重点关注的。
二、数域与二次型2.1 数域的性质与特征数域是高等代数中的重要概念，对于数域的性质和特征需要进行系统的回顾和理解。
数域的定义、运算规则、特征方程等方面的知识都需要掌握。
2.2 二次型的概念与性质二次型是线性代数中的一个重要概念，掌握二次型的概念、矩阵表示以及二次型的规范形等知识是必须的。
同时，需要注意掌握二次型的正定、负定和半定等性质，以及使用正交变换进行规范化的方法。
三、特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。
对于特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法等内容，需要进行详细的回顾和掌握。
特别要注意掌握矩阵的相似对角化和特征值分解的相关方法。
3.2 特征多项式与特征方程特征多项式与特征方程是特征值与特征向量的重要工具。
需要熟练掌握特征多项式与特征方程的定义、性质以及计算方法，以便在解决相关问题时能够灵活应用。
四、线性空间与线性变换4.1 线性空间的基本定义线性空间是线性代数中的重要概念，对于线性空间的基本定义、性质以及子空间等内容，需要进行详细的回顾和理解。
东华大学高等代数考研题库
东华大学高等代数考研题库东华大学是中国一所著名的高等学府，其高等代数课程是数学专业学生必修的一门课程。
对于有意向参加东华大学研究生入学考试的学生来说，了解和掌握高等代数的相关知识至关重要。
以下是一些可能包含在东华大学高等代数考研题库中的内容，供考生复习参考：线性空间与子空间- 线性空间的定义和性质- 子空间的判定和性质- 线性子空间的基和维数线性变换- 线性变换的定义和性质- 线性变换的矩阵表示- 线性变换的不变子空间特征值与特征向量- 特征值和特征向量的定义- 特征值和特征向量的计算方法- 特征值和特征向量在矩阵分解中的应用二次型- 二次型的定义和性质- 二次型的规范型和标准型- 二次型的正定性行列式- 行列式的定义和性质- 行列式的计算方法- 行列式在矩阵可逆性判定中的应用矩阵理论- 矩阵的基本运算- 矩阵的秩和迹- 矩阵的逆和伪逆线性方程组- 线性方程组的解法- 线性方程组解的存在性和唯一性- 线性方程组的几何解释内积空间- 内积空间的定义和性质- 正交基和正交补- 投影算子和最小二乘法张量代数- 张量的定义和性质- 张量的运算- 张量在多变量函数微积分中的应用群论基础- 群的定义和性质- 子群和正规子群- 群的同态和同构考生在准备考研时，应深入理解这些概念，并掌握相应的计算方法和证明技巧。
同时，建议考生通过阅读教材、参加辅导班、做历年真题等方式，全面提高自己的数学素养和解题能力。
希望这些内容能够帮助考生在东华大学的高等代数考研中取得优异成绩。
高等代数考研复习[线性变换]描述
![高等代数考研复习[线性变换]描述](https://img.taocdn.com/s3/m/7bea248a4693daef5ef73dbf.png)
A 1(1,2, ,n )= (1,2, ,n ) A1.
(ⅴ)同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系： 设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间V的两
组基，且 (1, 2, , n ) (1,2, ,n ) X . 如果 A (1,2, ,n ) (1,2, ,n ) A,
则称 A B 是V的线性变换，并称它为 A 与 B
的乘积. 说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分 配率，数乘结合律.但是不满足交换律.
线性变换的方幂与多项式变换：
n个线性变换 A 的乘积称为 A 的n次幂，记为 A n即 A n =AA A. 规定：A 0 =E.当A 可逆时，规定
(A 1)n =A n . 一般地，A B B A , 但是
那么 A 就是V上满足条件的线性变换.
(ⅲ) 线性变换的矩阵
A 设1,2, ,n 是n维空间V的一组基， 是V
的线性变换，如果基的像可以被基线性表出，
即 A (1) a111 + a212
A
(2 ) a121 + a222
A (n ) a1n1 + a2n2
（2）如果对任意的α ∈V，A(α)=α，则称A为V的 恒等变换（也叫单位变换）. （3）A是V的线性变换的充分必要条件是：
A (k l ) kA () lA ( ),, ,V ,k,l P.
1.2 线性变换性质： 设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变
换，则有 (1) A (0) 0, A () A ();
变换. 说明：线性空间V上的所有线性变换对于线性
变换的加法与数乘变换构成P上的线性空间,记 为L(V).即对 A ,B L(V ) A +B L(V ), kA L(V ).
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
高代复习题及答案
V 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x 1 x 2 x 3 x 4 0 .求 V 1 V 2 与 V 1 V 2 的基与维数.
33.设 V 是 3 维线性空间， 1 , 2 , 3 为它的一个基.线性变换 : V V ，
x1 1 x 2 2 x 3 3 2 x1 1 3 x 2 2 4 x 3 3
1 40.设 1 , 2 , 3 是 3 维欧氏空间 V 的一组基，这组基的度量矩阵为 1 2
1
（3） V
(0)
(V ) .
2.已知是 n 维欧氏空间的正交变换，证明：的不变子空间 W 的正交补 W 也是的不变子空
间．
1 0 3.已知复系数矩阵 A 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 ， 2 1
（1） 求矩阵 A 的行列式因子、不变因子和初等因子； （2） 求矩阵 A 的若当标准形.（15 分）
6.设 A 为 n 阶方阵，
W1 x R | Ax 0 ， W 2 x R | ( A E ) x 0
n n
n 证明 A 为幂等矩阵，则 R W 1 W 2 .
7.若设 W= f ( x ) f (1) 0 , f ( x ) R [ x ] n , 试证：W 是 R [ x ] n 的子空间，并求出 W 的一组基及维数.
2 3
3 。 6
（１）证明： ( x , y ) 是 R 2 的内积，因而 R 2 按此内积构成一个欧氏空间， （２）求 R 2 的一组标准正交基， （３）求矩阵 P ，使得 A P P .
32.设 R 4 的两个子空间为： V 1
考研数学一大纲重难点解析高等代数部分知识点详细解读
考研数学一大纲重难点解析高等代数部分知识点详细解读高等代数是考研数学一科目中的重要内容之一，也是考生们普遍认为难度较大的部分。
在准备考研数学一科目时，对高等代数的重点知识点的详细解读和解析是非常关键的。
本文将就考研数学一大纲中高等代数部分的重难点进行讲解，帮助考生们更好地掌握这一部分内容。
一、线性空间与线性变换1.1 线性空间的定义与基本性质线性空间是高等代数中的基本概念，它包含了向量空间、函数空间等多种实例。
在本部分中，我们将介绍线性空间的定义与基本性质，包括线性空间的封闭性、零向量与零子空间等概念的解读。
1.2 线性变换的定义与性质线性变换是线性空间中的一类特殊映射，具有保持线性组合和零向量的性质。
本节中，我们将详细解析线性变换的定义与性质，包括线性变换的定义、线性变换的代数表示以及线性变换的核与值空间的解释。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组的解法与性质线性方程组是高等代数中的重要内容，其解的存在性和唯一性是考生们经常关心的问题。
在本部分中，我们将介绍线性方程组的解法与性质，包括齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的判别条件，以及线性方程组解的结构和解的个数等问题的详细解析。
2.2 矩阵的运算与性质矩阵是线性方程组中的重要工具，它具有良好的运算性质和代数性质。
在本节中，我们将详细解读矩阵的运算与性质，包括矩阵的加法、数乘和乘法运算，以及矩阵的转置、逆矩阵和秩等性质的解析。
三、特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义与性质特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也是高等代数考试中的重点内容。
在本部分中，我们将详细解析特征值与特征向量的定义与性质，包括特征值与特征向量的几何意义，以及求解特征值与特征向量的方法的讲解。
3.2 对角化与相似矩阵对角化是线性代数中的一种重要的矩阵变换方法，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中起着重要的作用。
本节中，我们将详细解读对角化和相似矩阵的概念与性质，包括可对角化矩阵的判定条件和对角化的方法的解析。
高等代数-线性空间
α1, α2,, αn 和 β1, β2,, βn 是 V的两组基 ( β1, β2,, βn ) ( α1, α2,, αn ) A
x1
y1
ξ
(α
1
α
2
α
n
)
x2
(
β
1
β
2
β
n
)
y2
xn
yn
α1, α2,, αn 和 β1, β2,, βn 是 V的两组基 ( β1, β2,, βn ) ( α1, α2,, αn ) A
( x 3 + x + 1 ) m x 2 + x + 1 mod f ( x )
例: 用不可约多项式构造有限域
F16 = F2[ x ] / ( x 4 + x + 1 ) 的乘法 :
0
0000 x 5 x 2 + x
0110
x
0010 x 6 x 3 + x 2 1100
x2
0100 x7 x 3+ x + 1 1011
个数少
个数多
β1, β 2,, β t 线性相关
要表出线性无关的向量组，
向量个数一个也不能少！
线性表出
α1, α2, , αs
β1, β2 , , β t
s≥t
线性无关
例: 证明在实线性空间 C∞( R ) 中, 向量集 ex , e2x, … , enx, …
线性无关. 证: 只需证明对任意正整数 n , 向量组
1) 线性无关 2) 能线性表出 V 3) 向量个数 = dim V
坐标变换
当基底改变时, 向量的坐标怎样变化 ? 先看一下基底的变换 …
高等代数(线性空间)
例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实 数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是 普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自 。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。 例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。 例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。 任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组 合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如 果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1
高等代数考研真题详解
高等代数考研真题详解高等代数考研真题详解高等代数是数学专业研究生考试的重要科目之一，也是数学学科中的基础课程。
考研真题是考生备考的重要参考资料，通过对真题的详细解析，可以帮助考生更好地理解高等代数的知识点，提高解题能力。
本文将对几道高等代数考研真题进行详细解析，帮助考生更好地备考。
第一道题目是关于线性空间的性质的判断题。
题目如下：判断下列命题的正确性：1. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v的倍数，则V是有限维的。
2. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v与另一个向量的线性组合，则V是有限维的。
对于第一题，我们可以通过反证法来证明其正确性。
假设V是无限维的，那么存在一个无限长的线性无关向量组，我们可以找到一个向量w，使得w与这个向量组线性无关。
那么w就无法表示为v的倍数，与题目的条件矛盾，因此V是有限维的。
对于第二题，我们可以通过举例来证明其正确性。
假设V是有限维的，那么存在一个有限长的基底，我们可以选择其中的一个向量v作为题目中所述的非零向量。
对于任意一个向量x，我们可以找到一组系数使得x可以表示为v与另一个向量的线性组合，因此V是有限维的。
通过以上的解析，我们可以得出第一题的命题是正确的，而第二题的命题是错误的。
接下来，我们来看一道关于线性空间的子空间的题目。
题目如下：设V是数域K上的线性空间，U和W是V的子空间，证明U∩W也是V的子空间。
对于这道题目，我们需要证明U∩W满足线性空间的三个条件：非空性、封闭性和加法逆元存在性。
首先，由于U和W都是V的子空间，所以它们都非空。
因此，U∩W也非空。
其次，对于U∩W中的任意两个向量u和w，由于u和w分别属于U和W，所以它们也属于V。
因此，u和w的线性组合也属于V。
根据线性空间的定义，u和w的线性组合也属于U和W。
因此，u和w的线性组合也属于U∩W。
所以，U∩W对于向量的加法封闭。
最后，对于U∩W中的任意一个向量u，由于u属于U和W，所以u的加法逆元也分别属于U和W。
高等代数6.2 线性空间的定义与简单性质
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ． 证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
g
b a
k a ak
2) 加法与数量乘法定义为： a,b R ,k R
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1
log22
1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间．
k1, k2 P, k1 k2 , 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
作业
P273 习题3：5）6）7）
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
引例1 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： (a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn ) (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
( ) 0
习题与复习题详解线性空间高等代数
习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答 是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘; 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知;n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵;数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵; 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭; 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +; 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈;,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈;所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律1 a b ab ba b a ⊕===⊕;2()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;3 R +中存在零元素1; ∀a R +∈; 有11a a a ⊕=⋅=;4 对R +中任一元素a ;存在负元素1n a R -∈; 使111a a aa --⊕==;511a a a ==; 6()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;7 ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵;其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则１; 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ⨯中;{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零; 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中 的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=;即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知; 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中;求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 1; 0 ; - 1 ; 0 . 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩. 由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为-7;11;-21;30. 4．已知3R 的两组基Ⅰ： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11Ⅱ：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443 （1） 求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解1设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭; 知基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 3β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 4 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 据题意有234010101⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭; 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数. 5．已知Px 4的两组基Ⅰ：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，Ⅱ：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g（1） 求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；（2） 求在两组基下有相同坐标的多项式fx .解 1 设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. 2设多项式fx 在基Ⅰ下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组只有零解;则fx 在基Ⅰ下的坐标为(0,0,0,0)T ;所以fx = 0习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0; 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3; 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解α.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解(,)d αβ=αβ-. 3．求下列向量之间的夹角 1 ()()10431211αβ==--,,,，,,,2 ()()12233151αβ==,,,，,,,3()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解1(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.2(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=;,4παβ∴==.3(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=;α==β==,αβ∴=3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量;证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+- 所以22()αβαγγβ-≤-+-; 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中;求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交;则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 . 齐次线性方程组的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 1 正交化; 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ; 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭2 将123,,βββ单位化则*1β;*2β;*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基;所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法; 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解;所以*1β;*2β;*3β是解空间的一组标准正交基.3． 设1α;2α ;… ;n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基; A 是n 阶正交矩阵;证明: 1αA ;2αA ;… ;n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基; 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵; 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基.5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基; 证明 也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知123,,βββ所以是单位正交向量组; 构成V 的一组标准正交基.习题五 A一、填空题1．当k 满足 时;()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠; 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩; 故答案为1. 3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义; 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x ; 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算; 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换; 所以123(,,)x x x = 33;-82;154.4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭; 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3; 则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组基础解系含5 – 3 =2 个向量; 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=; 则12a =或1.故答案为12a =.二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是 . A (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111B (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212C (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213D (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 C 选项的集合对向量的加法不封闭; 故选C.2.331,23P A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为 .A 1B 2C 3D 4解 向量组A =123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩; 故选A.解 因 B 选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）; 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆， 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关. 故选B.解 因122313 ()()()0αααααα-+---=; 所以 C 选项中向量组线性相关; 故选C. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r ; 该方程组的解空间的维数为s; 则 .A s=rB s=n-rC s>rD s<r 选B6. 已知A; B 为同阶正交矩阵; 则下列 是正交矩阵. A A+B B A-B C AB D kA k 为数 解 A; B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选C.7. 线性空间中;两组基之间的过渡矩阵 .A 一定不可逆B 一定可逆C 不一定可逆D 是正交矩阵 选BB1．已知4R 的两组基 Ⅰ： 1234, αααα,,Ⅱ：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, 1 求由基Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵；2 求在两组基下有相同坐标的向量. 解 １设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; 所以由基Ⅱ到基Ⅰ的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. 2设在两组基下有相同坐标的向量为α; 又设α在基Ⅰ和基Ⅱ下的坐标均为),,,(4321x x x x ; 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ; 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 齐次线性方程的一个基础解系为(0,0,0,1)η=; 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈． 故在基Ⅰ和基Ⅱ下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 1 由题有因0011001112220≠;所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量;构成3 R 的基. 2 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭3 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为 解 1 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭; 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2112341234123411112(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=;则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关; 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为1; 2; 3.5．当a 、b 、c 为何值时;矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵;应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.6．设 是n 维非零列向量; E 为n 阶单位阵; 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明 因为是n 维非零列向量; T αα所以是非零实数.又22TTT TT T TA E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭; 所以22T T T TTA A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==--⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设T E A αα2-=; 其中12,,,Tn a a a α=（）; 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A T T T T T T T =-=-=-=αααααα2)(2)2(;所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=;所以A 为正交阵.证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且。
高等代数(北大版)第6章《线性空间》习题解答
第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。
又因,M N M ⊂ 故M N M =。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N ⊂所以MN N =。
2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。
证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。
反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。
若x M NL M NL ∈∈∈（），则x ，x 。
在前一情形X x MN ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
高等代数方法线性空间
第二篇 线性空间当代及古典代数学是一门研究运算和运算规则的学科．它致力于具有更一般本性之元素上各种运算诸性质的研究．运算所反映的是数学对象之间的一种多对一的对应关系，它给集合中原本松散堆集的元素中的任意两个之间带来了“千丝万缕”的联系，运算是使集合产生数学结构的原因，运算性质的不同决定着这种结构的不同．线性代数所研究的是各种数学对象的线性运算。
在代数、几何、数学分析等不同的数学领域内的许多数学对象具有加法和数乘运算（比如多项式、矩阵、几何向量等等），这两种运算是数学中最基本、最普遍的两种运算．尽管这些运算的对象不同、具体的运算方式不同，但是从纯数学的角度看它们却有着共性．抽取它们中所包含的共同的数学内容进行抽象研究就形成了线性空间的概念，从这个角度讲线性空间就是线性代数研究的制高点。
这种研究方法更具概括性和普遍意义，能更深刻、更本质地反映事物的规律，可以大大提高研究效率．同时应该清楚，这种研究方法抓住了不同事物的共性而抛弃了具体对象的个性，因此与各具体对象的个性相关的内容在这种研究方法中无法得到体现．这是一个研究角度问题． 下边我们来分析线性空间理论中的几个重要研究思路。
如无特别说明，下边的讨论均在数域P 上的线性空间V 中进行。
§1 向量的线性关系设α1,α2,⋯,αm 是线性空间V 中的一组向量，这组向量作各种可能的线性组合可以得到V 中的无穷多个向量。
由此就产生了一种想法，即“能否用线性空间中有限个向量通过作线性组合把整个空间中的所有向量都表达出来？”如果这种想法能够实现，我们就能用这有限个向量来掌控整个空间中的无穷多个向量，这对线性空间的研究将是十分有利的。
但是很遗憾，这种想法并不总能实现。
不过这启示我们就此把线性空间分成两类，这就是所谓的有限维线性空间和无限维线性空间。
其中的有限维线性空间就是上述的可以“以有限把握无限”的那一类线性空间。
有限维线性空间和无限维线性空间的数学结构有很大差别，它们的研究方法也不同。
高等代数-线性空间
负向量存在性
(5) 1 ; (6) a( ) a a ,a K;
数乘与加法的协调
(7) (a b) a b,a,b K;
(8) a(b ) (ab).
线性空间_例
例4 Kmn {A (aij )mn | aij K, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n}
(2) 数乘
若k K, (a1, a2 ,L , an ) , 则 k (ka1, ka2 ,L , kan ).
n维向量_3
向量运算规则（八条运算规则）
(1) 加法交换律 ;
0向量存在性
(2) 加法结合律 ( ) ( );
(3) 0,, 0 ; (4) , , 0;
例6. 所有偶数集合是数环, 不是数域.
例7. Q( 3) {a b 3 a,b Q}是数域. Q(3 2) {a b3 2 a,b Q} 不是数域, 是数环. W {a3 2 a Q}不是数环, 也非数域.
命题 任一数域必包含0, 1. 命题 任一数域必包含有理数域Q. 命题 R和C之间不存在任何其他数域.
线性映射和线性变换
线性空间理论的应用
矩阵的秩——对矩阵分类 线性方程组解的结构
目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域和数环 • 熟练掌握线性空间的概念、基本性质； • 正确判断一个集合对于给定的运算是否构
成一个线性空间
集合
➢ 若干个事物的整体称为集合(记作A, B, C等) ➢ 组成集合的事物称为元素(记作a, b, c等) ➢ 集合具有：确定性、互异性、无序性
a11 a22 L amm ,
则称 是1,2 ,L
,
的
m
线性组合,
或称向量 可
高等代数第六章 线性空间
线性空间的维数
定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关的向 量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么V就称为 无限维的。
按照这个定义，几何空间中向量所成的 线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n 维的；
由所有实系数多项式所成的线性空间是 无限维的，因为对于任意的N，都有N个线
我们来证01=02。 由于01、 02是零元素，所以 01+02 =01， 01+02 =02
于是 01=01 +02=02。 这就证明了零元素的唯一性。
2.负元素是唯一的。
这就是说，适合条件 0的元素 是被元素 唯一决定的。 假设 有两个负元素 与 ， 0, 0. 那么 0 ( ) ( ) 0 .
例1
设
V
a11 a21
a12
a22
aij
R
那么 V 对于矩阵的加法和数乘构成数域 R
上的线性空间.
1 0
0 1
0 0
0 0
E11
0
0
,
E12
0
0
,
E21
1
0
,
E22
0
1
是 V 的一个极大线性无关组
例2 问 F[x]4 中的向量组
f1(x) 3x3 x 2
f3(x) x
是n个线性无关的向量，而且每一个次数小
于n的数域F上的多项式都可以被它们线性表 出，所以 F[x]n 是n维的，而 1, x, x2 ,, xn1 就是
它的一组基。
在这组基下,多项式
f
(x)
a0
a1 x
a xn1 n1
湖南省考研数学复习资料高等代数重要定理整理
湖南省考研数学复习资料高等代数重要定理整理湖南省考研数学复习资料：高等代数重要定理整理在湖南省考研数学复习过程中，高等代数是一个重要的内容模块。
为了帮助考生更好地备考，本文将对高等代数中的重要定理进行整理。
一、线性代数基础1. 向量空间相关定理向量空间是线性代数研究的核心概念之一，以下是与向量空间相关的重要定理：（1）向量空间的定义与性质。
（2）子空间的定义与性质，以及子空间的判定定理。
（3）基和维数的定义与性质。
（4）坐标与坐标变换的相关理论。
2. 矩阵理论定理矩阵是线性代数中的重要工具，以下是与矩阵理论相关的重要定理：（1）矩阵的定义与性质。
（2）行列式的定义与性质，以及行列式的计算方法。
（3）矩阵的秩与线性方程组解的关系。
（4）特征值和特征向量的定义与性质，以及特征值与特征向量的计算方法。
二、线性变换与线性方程组1. 线性变换理论定理线性变换是线性代数中的重要内容，以下是与线性变换理论相关的重要定理：（1）线性变换的定义与性质。
（2）线性变换矩阵的存在唯一性定理。
（3）线性变换的标准形与相似性的相关理论。
（4）核与像的定义与性质。
2. 线性方程组的定理线性方程组是线性代数中的基础内容，以下是与线性方程组相关的重要定理：（1）线性方程组的基本概念与性质。
（2）线性方程组的解的存在唯一性定理。
（3）齐次线性方程组与非齐次线性方程组的性质与求解方法。
（4）线性方程组解的结构定理。
三、线性空间与线性映射1. 线性空间理论定理线性空间是线性代数中的重要研究对象，以下是与线性空间相关的重要定理：（1）线性子空间的定义与性质。
（2）线性子空间的直和与因子空间的相关理论。
（3）线性空间的对偶空间与伴随算子的定义与性质。
2. 线性映射的定理线性映射是线性代数中的核心概念之一，以下是与线性映射相关的重要定理：（1）线性映射的定义与性质。
（2）线性映射与矩阵的关系。
（3）线性映射的核与像的性质。
（4）线性映射的可逆性定理。
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1.2 常用线性空间
n P (1)n维向量空间： {(a1, a2,
, an ) | ai , P}
Pn 空间的基 1, 2 , , n 其中 i (0
n dim P n. 空间维数 P
1
i
0)
n
nm P (2)矩阵空间： Anm | A (aij ), aij P.
3 1 1 3 3 0 1 1 F1 , F2 , F3 , F4 . 1 1 1 1 2 1 0 2
(1)求由 F1, F2 , F3 , F4到 E11, E12 , E21, E22 的过渡矩阵.
1 线性空间概念、基维数与坐标
1.1
线性空间的定义： 设V是一个非空集合，P是一个数域.在V的元 素之间定义了两种运算：加法与数乘，并且 两种运算满足8条性质.则称集合V是数域P上 的线性空间. 简单地说：带有线性运算的集合，同时运算 满足8条性质的集合称为线性空间. 线性空间中的元素称为向量，线性空间也称 为向量空间.
y1 y 2 A . yn
(1 , 2 ,
y1 y , n ) 2 , yn
那么，
x1 x 2 xn
题型分析：1)确定空间的基与维数
nn V { A | A A , A P }, 求V的基与维数. 例1 设
过渡矩阵都是可逆的！并且由 1, 2 , , n 到
1 坐标变换：设 1, 2 , , n 与 1, 2 , , n 都是
n维空间V的基，对V中任一向量，有
x1 x , n ) 2 ( 1 , 2 , xn
1.4 坐标 V , 有 设 1, 2 , , n 是n维空间V的一组基，
x11 x2 2
xn n (1 , 2 ,
x1 x 2 , n ) . xn
称 ( x1, x2 , , xn )为 在基 1, 2 , , n 下的坐标.
生成子空间的基是生成元 1, 2 , , s 的极大
线性无关组.维数是生成元向量组的秩.
1.3 基与维数 定理：如果线性空间V中有n个线性无关的向量
1 , 2 , , n ,且V中任一向量都可用它们线性表出，
那么V是n维的，而 1, 2 , , n 就是V的一组基.
定理给出了确定线性空间基与维数的方法，事实上， 常常是先在V中任取一个向量，然后根据条件，确 定这个向量能否被一组向量线性表示，再证明这组 向量线性无关。从而确定基与维数.
P
nm
nm E . 的基是 ij 维数 dim P nm.
(3)多项式空间：
P[ x] f ( x) | f ( x) an x n an1x n1
a1x a0 , ai P
P[ x]n f ( x) | ( f ( x)) n. 特别有：
1 3 22 A , 例2 设 0 2 求 R 的子空间
W { X | AX XA, X R } 的基与维数.
22
例3 (1) 把C看做自身的线性空间，求它的基 与维数.把C看做R上的线性空间，求它的基与 维数. (2)若 V {(a bi, c di ) | a, b, c, d R} 则V对通常
高等代数考研复习
第六章 线性空间
2014年 8月
第六章 线性空间
线性空间是2维、3维几何空间及n维向
量空间的推广.线性空间是定义了两种 运算加法与数乘的集合.线性空间具有 较强的抽象性和应用的广泛性.
本章的主要内容分为两部分: (1)线性空间概念、基维数与坐标
(2)线性子空间的运算
1)过渡矩阵：设 1, 2 , , n 与 1, 2 , , n 都是n
维空间V的基，它们之间的关系是：
( 1 , 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A. 其中，A为n阶方阵.称A为由基1, 2 , , n 到基
1 , 2 , , n 的过渡矩阵.
a1 (2)设 M a 3
a2 . 求M在上面两组基下的矩阵. a4
(3)求一个非零矩阵，使得它在这两组基下有相 同的坐标. 例2 1)证明在 P[ x]n 中多项式
fi ( x) ( x a1 ) ( x ai1 )( x ai1 ) ( x an )(i 1,2, , n)
在n维空间V中，取定一组基 1, 2 , , n 则可在V
与 P 上建立一个一一映射.
:V P
n
n
, , , ( x1 , x2 , , xn ).
1 2 n
且 是同构映射.同构保持运算.因此常将V n P 中元素的运算转化为 中向量的运算.
1.5 基变换与坐标变换
P[ x]n 的基： 1, x, x 2 , , x n1; 或 1,( x 1),( x 1)2 , ,( x 1)n1;
P[ x]n 的维数： dim P[ x]n n.
(4)生成子空间：
n L(1 , 2 , , s ) ki i | ki P, i V . i1
加法与数乘构成线性空间，V在C上是几维的？在 R上又是几维的？ nn nn A P , r ( A ) r . W { B | B P , AB 0}. 例4 设 求 dimW .
2)求过渡矩阵 E11 , E12 , E21 , E22 与 例1 在 R22 中取两组基：