第十四章 光的衍射

k 干涉相消（暗纹）2 k 个半波带
第14章 光 的 衍 射 二
a sin 2k
光强分布

2 a sin (2k 1) 2
k 干涉相消（暗纹）
干涉加强（明纹）
I
o
sin
3
a
2
a


a

a
2

a
3

a
第14章 光 的 衍 射
S
L1
a
R
f 2 x3 3 3.534 10 m a
第14章 光 的 衍 射 （3）最多能有多少条明纹； 由明纹条件
a sin (2k 1)

2
sin 1
1 2a k ( 1) 169 .3 169 2
N (2k 1) 339
（4）若把整个装置放入水中
解： 中央明纹宽度
其它明纹宽度
2f x0 5.46 mm a f x 2.73 mm a
如将单缝位置作上下小距离移动，屏上衍射条纹不变。
第14章 光 的 衍 射 例14.1 用波长为λ 的单色光照射狭缝，得到单缝 的夫琅禾费衍射图样，第3级暗纹位于屏上的P处，问： (1)若将狭缝宽度缩小一半，那么P处是明纹还是暗纹？ (2)若用波长为1.5λ的单色光照射狭缝，P处是明纹还是 暗纹？ 解: 利用半波带法直接求解，与暗纹对应的半波带 数为偶数2k；与中央明纹除外的明纹对应的半波带 数为奇数2k＋1(k＝1,2，…为明纹级数).
第14章 光 的 衍 射 对应于该 值，单缝处波面可分的半波带数为
2k 1 3个
(3)设第2级暗条纹到中央明条纹中心O的距离为 对应的衍射角为
2，故第1级明条纹的线宽度为
x2 ，
2 x x2 x1 f tan 2 f tan 1 f ( ) f a a a
图13.11 平行单色光的倾斜入射
第14章 光 的 衍 射 讨 论
(a b) sin k
(k 0,1,2,)
光强分布
I
3 2
条纹最高级数
0

2
3
(a b) sin
π k , sin k 2 ab
ab k k max
根据已知条件，在屏上P处出现第3级暗纹，所以 对于P位置，狭缝处的波面可划分为6个半波带.
第14章 光 的 衍 射
(1)缝宽减小到一半，对于P位置，狭缝处波面可分 为3个半波带，则在P处出现第1级明纹. (2)改用波长为1.5λ 的单色光照射，则狭缝处波面 可划分的半波带数变为原来的一点五分之一，对于 P位置，半波带数变为4个，所以在P处将出现第2级 暗纹.

L2
P
x

f
O
x

I
3 a
2 a

sin 当 较小时，
x f

b

2 f 3 f a a
a f a
o

a f a
2
sin 3
a 3 f a
2 f a
x
第14章 光 的 衍 射
a sin 2k
讨论

2
k干涉相消（暗纹）
第14章 光 的 衍 射
教学基本要求
1 了解惠更斯－菲涅耳原理及它对光的衍射现 象的定性解释. 2 理解用波带法来分析单缝的夫琅禾费衍射条 纹分布规律的方法，会分析缝宽及波长对衍射条纹 分布的影响. 3 理解光栅衍射公式 , 会确定光栅衍射谱线的 位置，会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布 的影响. 4 理解衍射对光学仪器分辨率的影响. 5 了解x射线的衍射现象和布拉格公式的物理意 义.

一定
a a增大， 1减小 a 0, 1 0 光直线传播 π 1增大 a , 1 a减小， 衍射最大
1越大，衍射效应越明显. a 一定，越大，
（2）中央明纹
2
角范围 sin a a
（
k 1 的两暗纹间）
线范围

a
f x
n水 a sin (2k 1)

2
N (2k 1) 451
第14章 光 的 衍 射
14.3.1 光栅衍射现象
许多等宽度、等距离的狭缝排列起来形成的光学元件. 衍射角
L
P
Q

o
f
第14章 光 的 衍 射 14.3.2 光栅衍射规律 光栅的衍射条纹是衍
衍射角

a
b ab
第14章 光 的 衍 射
光栅中狭缝条数越多，明纹越细.
(a)1条缝 (d)5条缝
(b)2条缝
(e)6条缝
(c)3条缝
(f)20条缝
第14章 光 的 衍 射
(a b) sin k
(k 0,1,2,)
k 1, sin k 1 sin k

ab
光栅常数越小，明纹越窄，明纹间相隔越远

o
（衍射角 ：向上为正，向下为负 .）
菲涅尔波带法
BC a sin k
2
(k 1,2,3,)
第14章 光 的 衍 射
一 半波带法
a
A
B
R
A
A1

C
L
P
Q
a sin 2k
a
缝长
o
L
A
B
2
B
A
2
R
/2
A1
C

P
Q
a sin (2k 1)
k 1,2,3,
I
sin
ab
0
一级光谱
三级光谱 二级光谱
a sin (2k 1)

2
干涉加强（明纹）
sin ,
x1 f
（1）第一暗纹距中心的距离
x x f , a sin a f

a
f
R
a
第一暗纹的衍射角

L
P
f
1 arcsin

a
o
x
第14章 光 的 衍 射
第一暗纹的衍射角 1 arcsin
因此中央明条纹的线宽度为
x0 2x1 2 1.5 3 mm
(2)第1级明条纹对应的衍射角 满足
3 6 107 3 sin (2k 1) 4.5 10 2a 2 2 104

所以第1级明条纹中心到中央明条纹中心的距离为
x f tan f sin 0.5 4.5 103 2.25 103 m 2.25 mm
（2）中央明纹中心到第三级暗纹之间的距离；
（3）最多能有多少条明纹；
1.33），最多能 （4）若把整个装置放在水中（n水＝ 有多少条明纹？
第14章 光 的 衍 射 解：（1）中央明纹的宽度
f 2 l0 2 2.356 10 m a
（2）求中央明纹中心到第三级暗纹之间的距离； 由暗纹条件可得
B
A2
o
/2
第14章 光 的 衍 射
R
A1
A

C
L
P
B
A2
a sin 0
a sin 2k
/2
BC a sin Q k o 2 （ k 个半波带）

中央明纹中心
2 a sin (2k 1) 干涉加强（明纹） 2k 1 个半波带 2 a sin k （介于明暗之间） (k 1,2,3,) 2
(子波波源) 并与
s 子波在 P点引起的振动振幅 r

有关 .
菲涅尔指出 衍射图中的强度分布是因为衍射时， 波场中各点的强度由各子波在该点的相干叠加决定. P 点振动是各子波在此产生的振动的叠加 .
第14章 光 的 衍 射
夫 琅 禾 费 单 缝 衍 射
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L
衍射角
f
P
Q
A
a

B
C
a sin
f

a
f
中央明纹的宽度 l0 2 x1 2

a
第14章 光 的 衍 射 单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
第14章 光 的 衍 射 入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越大， 1越大，衍射效应越明显.
第14章 光 的 衍 射 （3）条纹宽度（相邻条纹间距）
a sin 2k k 干涉相消（暗纹） 2 a sin (2k 1) 干涉加强（明纹） 2 f 除了中央明纹外的其 l k 1 f k f 它明纹、暗纹的宽度 a
S
G
*
第14章 光 的 衍 射 菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 菲涅尔衍射 夫琅禾费 衍射
S
缝
P
缝
光源、屏与缝相距有限远 在夫 实琅 验禾 中费 实衍 现射
光源、屏与缝相距无限远
S
L1
R
L2
P
第14章 光 的 衍 射
14.1.2
惠更斯 — 菲涅尔原理
S
e r P *
S ： t 时刻波阵面
S
S ：波阵面上面元
第14章 光 的 衍 射 例14.2 波长λ ＝6000 Å的单色光垂直入射到缝 宽a＝0.2 mm的单缝上，缝后用焦距f＝50 cm的会聚透 镜将衍射光会聚于屏幕上.求：(1)中央明条纹的角宽 度、线宽度；(2)第1级明条纹的位置以及单缝处波面 可分为几个半波带？(3)第1级明条纹宽度. 解: (1)第1级暗条纹对应的衍射角0 为
(a b) sin
射和干涉的总效果
相邻两缝间的光程差：
Δ (a b) sin
光栅方程（明纹位置）
光栅常数
(a b) sin k (k 0,1,2,)
a ：透光部分的宽度
b
：不透光部分的宽度
光栅常数：105 ~ 106 m
第14章 光 的 衍 射 暗纹条件: 在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗 条纹.这些暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相 消而形成的.
（中央明纹向上移动）
D
a

C

B
第14章 光 的 衍 射 例1 一单缝，宽为a=0.1 mm，缝后放有一焦距为 50 cm的会聚透镜，用波长=546.1 nm的平行光垂直照 射单缝，试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央明纹的 宽度和中央明纹两侧任意两相邻暗纹中心之间的距 离．如将单缝位置作上下小距离移动，屏上衍射条纹 有何变化？
当 角满足下述条件
n ( a b) sin (k ) N
则出现暗条纹.
k 0， 1 ， 2，
k为主极大级数，N为光栅缝总数，n为正整数.
第14章 光 的 衍 射
缺级现象: 从光栅公式看来应出现某k级明条纹的位置，实际 上却是暗条纹，即k级明条纹不出现，这种现象称 为光栅的缺级现象.
缺级条件：
ab k k a
'
k ' 1, 2,3,
ab 一般只要 为整数比时，则对应的k级明条 a
纹位置一定出现缺级现象.
第14章 光 的 衍 射 光线斜入射时的光栅公式
(a b)(sin sin ) k
k 0， 1 ， 2 ，
式中 表示衍射方向与法线间的夹角，均取正值
第14章 光 的 衍 射
作业
• P190• 11 • 13 • 17
第14章 光 的 衍 射
14.1.1 光的衍射现象及分类
光在传播过程中若遇到尺寸比光的波长 大得不多的障碍物时，光会传到障碍物的阴 影区并形成明暗变化的光强分布的现象
第14章 光 的 衍 射 光的衍射现象:
圆孔衍射
S
*
H
P
单缝衍射
6 107 0.5 3 1.5 10 m 1.5 mm 4 2 10
由此可见，第1级明条纹的宽度约为中央明纹宽 度的一半.
第14章 光 的 衍 射
例2
波长为589nm的平行光垂直地入射到
a 0.1mm 的单缝上，使在离透镜 f 2m 远的屏上
产生衍射条纹。求： （1）中央明纹的宽度；
k 1 k 增大． 一定， a b 减少，
入射光波长越大，明纹间相隔越远
a b 一定， 增大，k 1 k 增大．
第14章 光 的 衍 射
14.3.3 衍射光谱
k不同，按波长分开形成光谱. 入射光为白光时，不同，
(a b) sin k
(k 0,1,2,)
6 107 3 sin 0 3 10 a 2 104

因 sin 0 很小，可知中央明条纹的角宽度为
20 2sin 0 6 103 rad
第14章 光 的 衍 射 第1级暗条纹到中央明条纹中心O的距离为
x1 f tan 0 f 0 0.5 3103 1.5103 m 1.5 mm

（4）单缝衍射的动态变化 单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变 .
R
f
o
单缝上移，零级明 纹仍在透镜光轴上.
第14章 光 的 衍 射 （5）入射光非垂直入射时光程差的计算
Δ BC DB
a(sin sin )
（中央明纹向下移动）
a

D
A
C

B A
Δ BC DA a(sin sin )