九年级上册数学第二章知识点总结

九年级上册数学第二章知识点总结

1、一元二次方程的有关定义及其形式

（1）整式方程及一元二次方程的概念

①.整式方程的定义：方程两边都是关于未知数的整式；

②.一元二次方程的定义一：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。

③.一元二次方程的定义二：只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2次的整式方程。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义

一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

（3）一元二次方程的特殊形式：

①.当b=0，c≠0时，ax2 +c=0

②.当b≠0，c=0时，ax2+bx =0

③.当b=0，c=0时，ax2 =0

2、配方法ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)

（1）直接开平方法的定义

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。（形如：x2 =p且p≥0的形式）

（2）配方法的步骤和方法

方法：①.移项，把方程的常数项移到等号的右边；

②.配方，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原

方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；

③.直接用开平方法求出它的解。

具体步骤：①.把一元二次方程化成一般形式；

②.将二次项的系数化为1；

③.将常数项移到方程的右边；

④.将一次项的系数写成2倍的关系；

⑤.给方程两边同时加上尾项的平方；（即一次项系数绝对

值的一半的平方。这里的尾项是指在完全平方式中的尾

项。）

⑥.把原方程化为（x+m）2=n(当n＜0时，方程无实数解；

当n≥0时，方程有实数解。)的形式；

⑦.直接用开平方求出方程的解；

⑧.方程的解的形式表示为：x

1

=a，x2 =b的形式。

3、公式法ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)

（1）求根公式

b2-4ac≥0时，x=

a ac

b b

2

4 2-

±

-

（2）一元二次方程根的判别式

△=b2-4ac

①.当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

②.当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

③.当b2-4ac<0时，方程无实数根。

（3）具体的步骤：

①.将方程化为一元二次方程的一般ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常

数，a ≠0)；

②.计算△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac ≥0时，方程有实数根；

当b 2-4ac<0时，方程无实数根；

③.代入求根公式，求出方程的根；

④.写出方程的两个根。

（4）一元二次方程的根与系数的关系（也称为：“韦达定理”）

如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2， 则有：a

c x x a b x x =⋅-

=+2121 4、分解因式法

（1）分解因式的概念

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a ·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。

（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤：

①.将方程右边化为零；

②.将方程左边分解为两个一次因式的乘积；

③.设每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；

④.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

（3）分解因式法包括：

①.提公因式法 形如：ax 2+bx =0 → x （ax+b ）=0

(a,b,c 为常数，a ≠0)；

②.运用公式法 形如：a 2x 2- b 2 =0 →(ax+b)(ax-b)=0

或a 2x 2+2abx+ b 2=0 → (ax+b)2=0 (a,b,c 为常数，a ≠0)； ③.十字相乘法 首先将二次项的系数化为1的形式，如：

x 2+bx+c=0(b,c 为常数,) 满足两个条件→（x+m ）（x+n ）=0;

5、一元二次方程在生活中的应用

（1）为什么是0.618 ①.什么叫黄金比 线段AB 上一点C 分线段AB 成两条线段AC ，BC ，若

AB AC =AC BC ，则C 点叫线段AB 的黄金分割点，其中AB

AC 叫黄金比，其值为0.618。

（2）列一元二次方程解应用题的一般步骤

①.审题；

②.设求知数；

③.列代数式；

④.列方程；

⑤.解方程；

⑥.检验根的合理性；

⑦.答

（3）在利用方程来解应用题时，主要分为两个部分：

①.设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x ；但

也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）； ②.寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的

句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

※ 处理问题的过程可以进一步概括为：

解答检验

求解方程抽象分析问题→→