考研数学公式大全(高数、线代、概率论应有尽有)

dx
1
x
arctg C
a2 x2 a
a
dx
1 xa
ln
C
x2 a2 2a x a
dx
1 ax
ln
C
a2 x2 2a a x
dx
x
arcsin C
a2 x2
a
dx
cos 2 x
sec 2 xdx
tgx
C
dx sin 2
x
csc 2
xdx
ctgx
C
sec x tgx dx sec x C
csc x ctgxdx csc x C a x dx a x C
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n xdx
2
cos n xdx
n 1 I n2
n
0
0
x 2 a 2 dx x 2
2
2
1 cos 1 cos
sin
1 cos 1 cos
sin
tg
ctg
2
1 cos
sin
1 cos
2
1 cos
sin
1 cos
·正弦定理： a b c 2 R
sin A sin B sin C
·余弦定理： c 2 a 2 b 2 2 ab cos C
f f 函数 z f ( x , y ) 在一点 p ( x , y )的梯度： grad f ( x , y ) i j
x y
它与方向导数的关系是 单位向量。
f ：
grad
f
(x,
y)
e
，其中
e
cos
i
sinj ，为来自l方向上的lf 是 grad f ( x , y ) 在 l上的投影。 l
cx cy cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程：
1、点法式： A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0，其中 n { A , B , C }, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
2、一般方程： Ax By Cz D 0
xyz 3、截距世方程： 1
-ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差角公式：
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
tg tg tg ( )
1 tg tg ctg ctg 1
引力： F k m 1 m 2 , k 为引力系数 r2
函数的平均值：
b
1
y b a f ( x ) dx a
均方根：
b
b
1
a
f
2 (t ) dt
a
空间解析几何和向量代数：
空间 2点的距离： d M 1 M 2 ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2
ctg 2 1 ctg 2
2 ctg 2 tg tg 2 1 tg 2
sin 3 3 sin 4 sin 3 cos 3 4 cos 3 3 cos
3tg tg 3 tg 3
1 3tg 2
·半角公式：
1 cos
sin
2
2
1 cos
cos
在点 M 处的法平面方程：
(t )( x x ) (t )( y y ) (t )( z z ) 0
0
0
0
0
0
0
若空间曲线方程为：
F
(x,
y,
z)
0
, 则切向量
G ( x , y , z ) 0
Fy
T {
Gy
Fz
F z
,
G z Gz
F x
Fx
,
G x Gx
Fy }
Gy
曲面 F ( x , y , z ) 0 上一点 M ( x 0 , y 0 , z 0 )，则：
导数公式：
高等数学公式
( tgx ) sec 2 x ( ctgx ) csc 2 x (sec x ) sec x tgx (csc x ) csc x ctgx ( a x ) a x ln a
1 (log a x )
x ln a
1 (arcsin x )
1 x2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C
2
2
a 2 x 2 dx x
2
三角函数的有理式积分：
a 2 x 2 a 2 arcsin
x C
2
a
2u
1 u2
x
2 du
sin x
1 (arccos x )
1 x2
1 ( arctgx )
1 x2
1 ( arcctgx )
1 x2
基本积分表：
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
sec xdx ln sec x tgx C
csc xdx ln csc x ctgx C
x
J (u , x)
u
1 (F ,G )
v
1 (F ,G )
y
J (y,v)
y
J (u , y)
微分法在几何上的应用：
F
v Fu Fv
G
Gu Gv
v
空间曲线
x (t)
y
(t )在点
M
( x 0 , y 0 , z 0 )处的切线方程：
z
(t )
x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
， cos x
， u tg ， dx
1 u2
1 u2
2
1 u2
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦 双曲余弦 双曲正切
ex ex : shx
2
e x ex : chx
2
shx
e x ex
: thx
chx e x e x
arshx ln( x x 2 1）
archx ln( x x 2 1 )
ctg ( ) ctg ctg
·和差化积公式：
sin sin 2 sin
cos
2
2
sin sin 2 cos
sin
2
2
cos cos 2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
·倍角公式：
sin 2 2 sin cos cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 cos 2 sin 2
3、过此点的法线方程：
x x0
y y0
z z0
Fx (x0, y0, z0 ) Fy (x0, y0, z0 ) Fz (x0, y0, z0 )
方向导数与梯度：
函数 z f ( x , y )在一点 p ( x , y )沿任一方向
l 的方向导数为：
f f
f
cos sin
l x
y
其中 为 x 轴到方向 l的转角。
abc
平面外任意一点到该平
面的距离：
d Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B2 C 2
空间直线的方程： 二次曲面：
x x 0 mt
x x 0
y y 0
zz 0
t , 其中
s {m , n , p}; 参数方程：
y
y 0 nt
m
n
p
z
z 0
pt
x2
y2
z2
1、椭球面： 1
向量在轴上的投影： Pr ju AB AB cos , 是 AB 与 u 轴的夹角。
Pr ju ( a1 a 2 ) Pr ja1 Pr ja 2
a b a b cos a x b x a y b y a z b z , 是一个数量 ,
两向量之间的夹角：
cos
a xbx a yby a zbz
sin cos tg ctg
-sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
-tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα
2
2
2
2
2
2
ax a y az bx by bz
i jk
c a b a x a y a z , c a b sin .例：线速度：
bx by bz
v w r.
ax ay
az
向量的混合积： [ a b c ] ( a b ) c b x b y b z a b c cos , 为锐角时，
x
y
z
全微分的近似计算：
z dz f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y
多元复合函数的求导法
：
z
f [ u ( t ), v ( t )] dz
z
u
z
v
dt u t v t
z z u z v z f [u ( x , y ), v ( x , y )]
n
a
b
ba 1
梯形法： f ( x )
[ ( y 0 y n ) y1 y n1 ]
n2
a
b
ba
抛物线法： f ( x )
[( y 0 y n ) 2 ( y 2 y 4 y n 2 ) 4 ( y1 y 3 y n 1 )]
3n
a
定积分应用相关公式：
功： W F s 水压力： F p A
·反三角函数性质： arcsin
x arccos x
arctgx
arcctgx
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
( uv ) ( n )
C
k n
u
(nk
)v
(k
)
k 0
u ( n ) v nu ( n 1) v n ( n 1) u v ( n 2 ) n ( n 1) ( n k 1) u ( n k ) v ( k ) uv ( n )
1 1 x arthx ln
2 1 x
sin x
lim
1
x 0 x
lim (1 1 ) x e 2 .7182818284
x
x
59045 ...
三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
Fy
dx 2 x F y
y F y dx
隐函数
F (x, y, z)
z 0，
Fx
z ，
Fy
x
Fz
y
Fz
隐函数方程组：
F (x, y,u,v) 0
G (x, y,u,v) 0
F
(F ,G )
J
u
(u ,v) G
u
u
1 (F ,G )
v
1 (F ,G )
x
J (x,v)
1、过此点的法向量：
n { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ), F y ( x 0 , y 0 , z 0 ), F z ( x 0 , y 0 , z 0 )}
2、过此点的切平面方程
： F x ( x 0 , y 0 , z 0 )( x x 0 ) F y ( x 0 , y 0 , z 0 )( y y 0 ) F z ( x 0 , y 0 , z 0 )( z z 0 ) 0
a2 b2 c2
x2
y2
2、抛物面：
z（, p , q 同号）
2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面： 双叶双曲面：
x2
y2
z2
1
a2 b2 c2
x2
y2
z2
（1 马鞍面）
a2 b2 c2
多元函数微分法及应用
z
z
u
u
u
全微分： dz dx dy du dx dy dz
x
y
多元函数的极值及其求法：
设 f x ( x 0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) 0，令： f xx ( x 0 , y 0 ) A , f xy ( x 0 , y 0 ) B , f yy ( x 0 , y 0 ) C
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f (b ) f ( a ) f ( )( b a )
f (b ) f ( a ) f ( )
柯西中值定理：
F (b ) F ( a ) F ( )
当 F ( x ) x 时，柯西中值定理就是
拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式： ds 1 y 2 dx , 其中 y tg
x u x v x
当 u u ( x , y )， v v ( x , y )时，
du u dx u dy dv v dx v dy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：
隐函数
dy F ( x , y ) 0，
Fx
d ，
2
y
( F x )＋
( F x ) dy
dx
平均曲率： K
. : 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变
s
M 点的曲率：
d
K lim
s 0 s
ds
直线： K 0;
y .
(1 y 2 ) 3
半径为
a 的圆：
1 K .
a
定积分的近似计算：
化量； s ： M M 弧长。
b
ba
矩形法： f ( x )
( y 0 y1 y n1 )