考研数学公式大全(高数、线代、概率论应有尽有)

dx
1
x
arctg C
a2 x2 a
a
dx
1 xa
ln
C
x2 a2 2a x a
dx
1 ax
ln
C
a2 x2 2a a x
dx
x
arcsin C
a2 x2
a
dx
cos 2 x
sec 2 xdx
tgx
C
dx sin 2
x
csc 2
xdx
ctgx
C
sec x tgx dx sec x C
csc x ctgxdx csc x C a x dx a x C
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n xdx
2
cos n xdx
n 1 I n2
n
0
0
x 2 a 2 dx x 2
2
2
1 cos 1 cos
sin
1 cos 1 cos
sin
tg
ctg
2
1 cos
sin
1 cos
2
1 cos
sin
1 cos
·正弦定理： a b c 2 R
sin A sin B sin C
·余弦定理： c 2 a 2 b 2 2 ab cos C
f f 函数 z f ( x , y ) 在一点 p ( x , y )的梯度： grad f ( x , y ) i j
x y
它与方向导数的关系是 单位向量。
f ：
grad
f
(x,
y)
e
，其中
e
cos
i
sinj ，为来自l方向上的lf 是 grad f ( x , y ) 在 l上的投影。 l
cx cy cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程：
1、点法式： A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0，其中 n { A , B , C }, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
2、一般方程： Ax By Cz D 0
xyz 3、截距世方程： 1
-ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差角公式：
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
tg tg tg ( )
1 tg tg ctg ctg 1
引力： F k m 1 m 2 , k 为引力系数 r2
函数的平均值：
b
1
y b a f ( x ) dx a
均方根：
b
b
1
a
f
2 (t ) dt
a
空间解析几何和向量代数：
空间 2点的距离： d M 1 M 2 ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2
ctg 2 1 ctg 2
2 ctg 2 tg tg 2 1 tg 2
sin 3 3 sin 4 sin 3 cos 3 4 cos 3 3 cos
3tg tg 3 tg 3
1 3tg 2
·半角公式：
1 cos
sin
2
2
1 cos
cos
在点 M 处的法平面方程：
(t )( x x ) (t )( y y ) (t )( z z ) 0
0
0
0
0
0
0
若空间曲线方程为：
F
(x,
y,
z)
0
, 则切向量
G ( x , y , z ) 0
Fy
T {
Gy
Fz
F z
,
G z Gz
F x
Fx
,
G x Gx
Fy }
Gy
曲面 F ( x , y , z ) 0 上一点 M ( x 0 , y 0 , z 0 )，则：
导数公式：
高等数学公式
( tgx ) sec 2 x ( ctgx ) csc 2 x (sec x ) sec x tgx (csc x ) csc x ctgx ( a x ) a x ln a
1 (log a x )
x ln a
1 (arcsin x )
1 x2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C
2
2
a 2 x 2 dx x
2
三角函数的有理式积分：
a 2 x 2 a 2 arcsin
x C
2
a
2u
1 u2
x
2 du
sin x
1 (arccos x )
1 x2
1 ( arctgx )
1 x2
1 ( arcctgx )
1 x2
基本积分表：
tgxdx ln cos x C
ctgxdx ln sin x C
sec xdx ln sec x tgx C
csc xdx ln csc x ctgx C
x
J (u , x)
u
1 (F ,G )
v
1 (F ,G )
y
J (y,v)
y
J (u , y)
微分法在几何上的应用：
F
v Fu Fv
G
Gu Gv
v
空间曲线
x (t)
y
(t )在点
M
( x 0 , y 0 , z 0 )处的切线方程：
z
(t )
x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
， cos x
， u tg ， dx
1 u2
1 u2
2
1 u2
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦 双曲余弦 双曲正切
ex ex : shx
2
e x ex : chx
2
shx
e x ex
: thx
chx e x e x
arshx ln( x x 2 1）
archx ln( x x 2 1 )
ctg ( ) ctg ctg
·和差化积公式：
sin sin 2 sin
cos
2
2
sin sin 2 cos
sin
2
2
cos cos 2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
·倍角公式：
sin 2 2 sin cos cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 cos 2 sin 2
3、过此点的法线方程：
x x0
y y0
z z0
Fx (x0, y0, z0 ) Fy (x0, y0, z0 ) Fz (x0, y0, z0 )
方向导数与梯度：
函数 z f ( x , y )在一点 p ( x , y )沿任一方向
l 的方向导数为：
f f
f
cos sin
l x
y
其中 为 x 轴到方向 l的转角。
abc
平面外任意一点到该平
面的距离：
d Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B2 C 2
空间直线的方程： 二次曲面：
x x 0 mt
x x 0
y y 0
zz 0
t , 其中
s {m , n , p}; 参数方程：
y
y 0 nt
m
n
p
z
z 0
pt
x2
y2
z2
1、椭球面： 1
向量在轴上的投影： Pr ju AB AB cos , 是 AB 与 u 轴的夹角。
Pr ju ( a1 a 2 ) Pr ja1 Pr ja 2
a b a b cos a x b x a y b y a z b z , 是一个数量 ,
两向量之间的夹角：
cos
a xbx a yby a zbz
sin cos tg ctg
-sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
-tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα
2
2
2
2
2
2
ax a y az bx by bz
i jk
c a b a x a y a z , c a b sin .例：线速度：
bx by bz
v w r.
ax ay
az
向量的混合积： [ a b c ] ( a b ) c b x b y b z a b c cos , 为锐角时，
x
y
z
全微分的近似计算：
z dz f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y
多元复合函数的求导法
：
z
f [ u ( t ), v ( t )] dz
z
u
z
v
dt u t v t
z z u z v z f [u ( x , y ), v ( x , y )]
n
a
b
ba 1