1.6 矢量场的HELMHOLTZ定理
1.6无旋场与无散场
q q 1 E 4r 4 r
1 'E (r ' )dV ' 4r V
q 4r
qr 4r 3
小结
1）矢量场的源 2）矢量场按源的分类 3）亥姆霍兹定理
二、矢量场按源的分类 1）无旋场 仅有散度源而无旋度源的矢量场 这种场一定无旋涡
F dl 0
l
这种场的旋度处处为零 因为
F 0
线积分和路径无关 因此是保守场
0
因此这种场可以用标量场的梯度表示
F
例：静电场
2)无散场
仅有旋度源而无散度源的矢量场 这种场无通量源 F dS 0
0
2
4）既可能有散，也可能有旋的矢量场 这样的场可分解为两部分： 无旋场部分和 无散场部分
F (r ) (r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
三、亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理 : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界， 源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定 后，该矢量场可表示为
S
这种场的散度处处为零 因为
F 0
A 0
F A
因此这种矢量场可以表示为另一个矢量场的旋度
例如，恒定磁场
3）在要讨论的场区，既无旋又无散 源在要讨论的区域之外 F 0 F () 0 F 0
V
求远离散度源区域处的矢量场E 。
r' 在远离散度源区域处， ｜ｒ｜＞＞｜ ｜， 可近似认为 r r ' r
E
解：由亥姆霍兹定理，因为E是无旋场，则
1 ( r ) 4 ' E (r ' ) dV ' r r' V
helmholtz定理
1.5 Helmholz定理自强●弘毅●求是●拓新1.5 矢量场的问题关于矢量场的三个基本问题：矢量场除有散和有旋外，是否有别的特性？ 是否存在不同于通量源和旋涡源的激励源？ 如何唯一的确定一个矢量场？1.5.1 Helmholtz定理空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一并且可以 表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即F r Fe r Fl r 其中 Fe r 为无散场，Fl r 为无旋场。
1.5.1 Helmholtz定理Helmholtz 定理明确回答了上述三个问题。
即任一矢 量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡 源激发；并且满足： Fe r 0另一部分是无旋场，由通量源激发，满足： Fl r 01.5.1 Helmholtz定理例 证明: 一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。
Fl r r ＝eˆ x 2yz 2zyeˆ y 2zx 2xzeˆ x 2xy 2yx0 Fe r Ar xAz y Ay z y Ax z Az x zAy x Ax y 01.5.2 δ函数定义： 性质：( r )0 ( x ) dx 1 ( r 0 ) ( r 0 )a）偶函数： ( r ) ( r ) b）取样性： f ( x ) ( x a ) dx f ( a ) 1.5.2 δ函数例:( rr ')1421 r r '的证明证明：R 令 r r ' , R|rr ' |, 2 |r1 r ' |21 R 1 R 1 1 R RRR2R3 R1 R R1R3R3R33 R (3)1RR3 3RR 4 3R 0R3R51.5.2 δ函数将241 r r '在空间区域V上求积分，得到， V241 r r'dV V(41 r ) dV r'r2-r’r1-r’ r1r’r2 S14S(r1 r') dS14S( r r ') r r ' 3 dS 14S R R3 n R 2sindd当r’在积分区内部，则R与n的 方向相同，则积分为4pi 当r’在积分区外部，当角度都 一样时， 某个面元R与n的方向相同， 而另一个面元R与n的方向相 反，因此总积分为零。
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
u0
2
4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢 量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS
S
A ndS
设 A ( 和 为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类
Helmholtz定理、叉乘、Clifford代数及其它
(A × B) × C ̸= A × (B × C)
(4.1)
这 使 得 叉 乘 并 不 能 构 成 严 格 意 义 上 的 代 数。 代 数 不 一 定 要 有 对 易 性 （commutative），但一定要有结合律（associative）和分配律（distributive） 。
当我们试图将叉乘运算拓展到高维空间时，我们又遇到了问题。 因 为A × B是垂直于A与B构成的平面的一个赝矢量，在3维空间，正好有一 确定方向，但在空间维度n > 3时，方向便不再确定。同样，我们可以还可 以从叉乘的定义中看出这一点。
相信通过第一次习题课，大家已经对矢量分析有了一定的了解。 但我 想要说的是，在此基础上另外的一些很有意思的东西。
∗email:11110190007@,MetaGroup Fudan
1
1 矢量COMMENT
2
1 矢量comment
1. 矢量的基本定义为：既有大小、又有方向的量。但还有一点非常重要， 矢量需满足交换律（commutative） 例如，绕轴的有限转动，就不满足交换律，因而不是矢量。 而无限转 动却是矢量（见《经典力学》）。
=
µ0I 4πr3
d⃗σ × ⃗r
=
µ0m⃗ × ⃗r 4πr3
5
(2.18) (2.19)
(2.20) (2.21) (2.22)
(2.23) (2.24) (2.25)
2.3
W
=
∇∇
1 r
←W→
=
∇∇
1 r
当⃗r ̸= 0时，
1
⃗r
∇∇ r
=
−∇ r3
∇⃗r
1
= − r3 − ⃗r∇ r3
亥姆霍兹定理
一个矢量场的旋度。
F 0
F A
A
称为矢量场
F
的矢量位。
二、拉普拉斯运算
1、标量拉普拉斯运算
u 2u
在直角坐标系中的表示
2u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
在圆柱坐标系中的表示
2u
1
u
1
§1.5 亥姆霍兹定理
一、两个零恒等式 1、零恒等式Ⅰ
定理：标量场的梯度的旋度为零。
u 0
逆定理：若矢量场是一个无旋场，则该矢量场可表示为一
个标量场的梯 度。
A 0
A u
u 称为矢量场 A的标量位。
2、零恒等式Ⅱ
定理：矢量场的旋度的散度为零。 A 0
逆定理：若一个矢量场是无散场，则该矢量场可表示为另
2u
2
2 Az z 2
在球坐标系中的表示
2 2
u r
1
r 2 sin
s in
u
1
r 2 sin 2
u
2
2、矢量拉普拉斯运算
2 A ( A) ( A)
在角坐标系下：
2 A
ex2 Ax
ey2 Ay
ez2 Az
三、亥姆霍兹定理
表述一：
在空间有限区域 内的矢量场 A(r) ，由其散度、旋度
和边界条件唯一确定。
表述二：
在曲面 S 所围空间 内有定义的有界、连续矢量函数，
1.5亥姆霍兹定理
唯一
4
2、证
F A
：
可表示为一个无旋场 F 1 （有散场）和一个有旋场 F 2
（无散场 ）之和：
设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，
即
（1） 对无旋场 F 1 0
处处为零，
FF 1 F 2
（1-5-6）
已知
电荷密度 矢量 F的通量源密度 在电磁场中 电流密度 J 矢量 的旋度源密度 F
场域边界条件 （矢量
场域边界条件
F
唯一地确定）
7
2016/1/7
1、证矢量场由其散度和旋度唯一确定： 它们具有相同的散度和旋度。
设在无限空间中存在两个矢量函数 F、 G ，
g 0
2016/1/7
F G
令 F Gg （1-5-2） 则 F (G g ) G g
（3）综合（1）与（2），则
（1-5-8）
FF 1 F 2 A
证毕
2016/1/7 6
应用：静电场是无旋场，可以表示为标量 场的梯度，这个标量场就是电位；用标量 场的电位间接表示矢量的电场，在数学处 理上将带来许多便利。
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
４
（1-5-3）
2
对 （1-5-2） 两边取旋度
F G
F (G g ) G g
g 0
g
根据矢量恒等式
则令
0
（1-5-4）
2016/1/7
是在无限空间中取值的任意标量函数。
[亥姆霍兹定理的证明.doc](可编辑修改word版)
](https://img.taocdn.com/s3/m/4c1c6605fd0a79563d1e729b.png)
例16 求V3解由上节例中可知因此根据（1.41c）式式中代人，在r#r'，即及式0处V）J_ = A_ A^o R R3 V但由上式不能确定V2j在r-/点，即7?=0点的值，为此，计算▽■募V V 5以上应用了髙斯定理将体积分转换为面积分。
如果以上体积分中不包含/点，则在体积分体积中R^O,体积分的被积函数为零，积分也为零；如果以上体积分中包含r1点，可将积分体积设为中心在点，以a为半径的球，则在该球面上半径R=a为常数，X的方向与球面的法线方向相同，因此也就是—忐去=0对于三维＜函数8(R)^S(r-r')^S(x~x' )S(y~y' )5(z—/)，有S⑻=0 穴关0卜dv C比较可知-忐去4⑻即去=—inS(R)(1.4-12)去)dV =fl▽■▽I:-7▽ 2^dV=_V亥姆霣兹定理：若矢量场f•在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为F(r) =- ▽0(r) +V X A(r) 式中V 证根据5函数的性质F(r) = JJ - r)dW(1.6-3)(1-6-4)(1- 6-5)(1.6-6) 将= 代人上式，V考虑到微分运算与积分运算的变量不同，由上式可得v^v\AV ， V利用矢量恒等式,VXVX4=W-A-V !A,上式可写为 F(r> 二—▽▽ ■i^dW) + V X V X j^d^) V V即F(r) =—▽*+▽ x A 0(r) = V •仲)=v X i^VT dr > V(1.6-3)式得证。
将(1.6-8)和(1.6-9)式中的徽分与积分运算交换次序，分别得 中⑺：O=認▽ xV =—W X vVFC^ x v ，T^VT dv ，二 a厦,V V r X F<〆) 式中(1.6-7〉(1.6-8)(1.6-9〉V- M s(1.6-10)(1.6-11)打〆).v (t , \-|)dy ，A(r) = ▽ X<1.6-10)和(1.6-11)式的体积分是无限空间区域，封闭面积分是包围无限大空间区域的无限大的曲面。
1.6亥姆霍兹定理
（通量源密度）
（旋涡源密度）
由于矢量场的分布由源决定，因此当矢量场的散度和旋度已知时， 矢量场也就唯一地确定了，故将矢量场的散度和旋度称为矢量场的基 本方程。
基本方程的积分形式
已知
s c
F d S ( F )dV dV
( A) 0
Fc A
任一无散场(Fc)可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度 场一定是无散场。
（6）任一矢量场F可表示为一个无旋场Fd和一个无散场Fc之和，即
F Fd Fc A
对上式分别求散度和旋度：
F (Fd Fc ) Fd
F Fd Fc φ A
问：①哪个函数可以由一个标量函数的梯度表示？哪个函数可以由一个 矢量函数的旋度表示？②求这些矢量的源分布。
【解】： ①因为 A 0所以 A 为无旋场，可由一个标量场的梯度表示。
因为 B 0 所以 B 为无源场，可由一个矢量场的旋度表示。 ② A 的旋涡源为零，只有通量源。且
A
第一章 矢量分析
1.6 亥姆霍兹定理
主要内容
亥姆霍兹定理（唯一性定理）
学习目的
了解亥姆霍兹定理的意义
定理：
若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在 有限空间区域V中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一地确定。
边界条件指包围体积V的闭合曲面S上矢量场的切向分量和法线分量。
1 1 A Az (rAr ) 2r sin r r r z
B 的通量源为零，只有旋涡源。且
J B (2x 6 y)ez
helmhotz定理
helmhotz定理Helmholtz定理：揭示能量守恒和磁场行为的基本规律引言：能量守恒是自然界的一项基本定律，而磁场是电磁学中的重要概念。
19世纪德国物理学家赫尔姆霍兹（Hermann von Helmholtz）通过深入研究能量守恒和磁场行为，提出了著名的Helmholtz定理，该定理为我们理解能量守恒以及磁场的运动行为提供了重要的指导。
本文将从能量守恒和磁场行为两个方面来探讨Helmholtz定理的内容和应用。
能量守恒：能量是物质存在的一种形式，守恒定律是自然界中最基本的定律之一。
Helmholtz定理在能量守恒方面提供了深入的认识。
根据Helmholtz定理，一个封闭系统的总能量是守恒的，即在系统中，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量的和保持不变。
这一定理在能量转换和利用中具有广泛的应用，如能量收集、储存和转换等方面。
磁场行为：磁场是由带电粒子的运动产生的，它对周围的物质和其他带电粒子产生一定的影响。
Helmholtz定理在磁场行为方面提供了重要的指导。
根据Helmholtz定理，磁场可以通过矢量势来描述，而矢量势满足拉普拉斯方程。
这一定理为我们研究磁场的分布和变化提供了数学工具，进一步帮助我们理解磁场行为的规律。
应用与实践：Helmholtz定理不仅仅是理论上的成果，它在实际应用中也有着广泛的价值。
以能量守恒为例，能源转换和利用是现代社会的重要课题。
通过应用Helmholtz定理，我们可以更好地理解能源转换过程中的能量转化规律，为实现能源的高效利用提供指导。
而在磁场行为方面，Helmholtz定理可应用于电磁设备的设计和优化。
例如，通过研究磁场的分布和变化规律，我们可以设计出更加稳定和高效的电磁感应装置，提高其工作效率和性能。
结论：Helmholtz定理作为能量守恒和磁场行为的基本规律，为我们深入理解能量守恒定律和磁场行为提供了重要的指导。
在能源转换和利用、电磁设备设计等方面，Helmholtz定理的应用也显示出了巨大的潜力和价值。
亥姆霍兹定理
curl A A
ˆ ˆ ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A x y z (x x A y z x y z Az Ay Ax Az Ay Ax ˆ ˆ ˆ x z Ax Ay Az y z y z x x y
A矢量的模：
2 2 A Ax Ay Az2
A矢量的单位矢量：
Ay Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A x y z A A A A ˆ cos a y ˆ cos z ˆ cos x
两个矢量的对应分量相加或相减：
ˆ( Ax Bx ) y ˆ ( Ay By ) z ˆ( Az Bz ) A B x
轾 轾 骣 骣 骣 y 抖骣 x鼢 z 抖骣 y鼢 x 珑 珑 犏 犏 ˆ ˆ + y + z 鼢 鼢 珑 珑 3鼢 3 3鼢 3 珑 珑 犏 犏 桫 桫 桫 桫 z桫 r3 抖 z r x r 抖 x r y r 臌 臌
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
因
z 3 yz 3 5 y r r y 3 yz 3 5 z r r
(或旋涡量), 记为
A dl
l
二、旋度
1. 环量密度
D S® 0
A ×dl ò lim
l
DS
把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 意义：环量的面密度 注意：该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
2. 旋度
矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大 时, 该面元矢量的方向 [ A dl ]max ˆ lim l Curl A n S 0 S
第1章-新
数量场在l方向的方向导数为
在点M处沿l方向的方向导数
l
M
1 2 2 2 2 1 1 3 3 3 4 3
第一章 矢 量 分 析
1.2.2 标量场的梯度
标量场φ(x, y, z)在l方向上的方向导数为
cos cos cos l x y z
1 1 1 ' r 2 r r r r
q 1 1 E 2 r 4 r 4 r q q 4r
3
r
q 4r
2
r
第一章 矢 量 分 析
1.3 矢量场的通量和散度
z c x 1 解之即得矢量方程 2 2 x y c2
c1和c2是积分常数。
第一章 矢 量 分 析
1.2 标量场的方向导数和梯度
1.2.1
图 1-2 方向导数的定义
第一章 矢 量 分 析 设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方 向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=ρ，如图1-2所示。 若当M趋于M0时(即ρ趋于零时)，
第一章 矢 量 分 析 标量场φ(x, y, z)的等值面方程为
( x, y, z ) const.
矢量线方程:
dx d y d z Ax Ay Az
图 1-1 矢量场的矢量线
第一章 矢 量 分 析 例1-1 求数量场φ =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：点 M 的坐标是 x0=1, y0=0, z0=1 ，则该点的数量场值为 φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为
1
第一章 矢 量 分 析 而
亥姆亥兹定理
亥姆亥兹定理
亥姆霍兹定理是物理力学中的一个重要定理，它被广泛应用于液体力学、电磁学、热力学等领域。
该定理是由德国科学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）在19世纪提出的。
亥姆霍兹定理分为两个部分，即“法向分量”与“切向分量”。
1.法向分量：在数学上，亥姆霍兹定理的“法向分量”又称为散度定理。
该定理描述了一个有限多面体表面积分等于该多面体内部的体积分的散度。
换言之，对于一个向量场V，其在有限多面体Ω的表面的通量等于V在Ω内的散度的体积积分。
2.切向分量：亥姆霍兹定理的另一部分是切向分量，也称作旋度定理。
该定理描述了一个矢量场在一个闭合曲面的切向通量与该矢量场在该曲面所围成的区域上的环向积分的关系。
也就是说，切向分量可以将矢量场的旋度与环向积分相联系。
以上信息仅供参考，可以查阅相关的物理书籍或者咨询专业人士，以获取更全面更准确的信息。
汉姆赫兹定理
汉姆赫兹定理是一项基本的数学定理，它在物理学和电磁学等领域中具有重要的应用。
汉姆赫兹定理指出，一个矢量场（包括电场、磁场等）可以分解为两个部分：一个无旋部分和一个无散部分。
具体来说，汉姆赫兹定理可以表述为以下两个定理：
无旋定理：若一个矢量场的旋度为零，即该场的旋度矢量在整个空间内处处为零，则该矢量场可以表示为一个梯度场的旋度。
无散定理：若一个矢量场的散度为零，即该场的散度在整个空间内处处为零，则该矢量场可以表示为一个矢量势函数的梯度。
无旋定理说明了矢量场的旋度为零时，可以通过一个标量场的梯度来表示。
这表明在无旋矢量场中，旋转的效应缺失，其运动状态可以由一个势函数完全描述。
无散定理说明了矢量场的散度为零时，可以通过一个矢量势函数的梯度来表示。
这表明在无散矢量场中，物质的流入流出效应缺失，其运动状态可以由一个势函数的梯度完全描述。
汉姆赫兹定理为解决物理学和电磁学中的方程问题提供了一个重要的数学工具，使得我们可以通过势函数的概念来简化和分析复杂的矢量场问题。
它在电磁场的分析、流体力学、热传导等领域都有广泛的应用。
helmhotz定理
helmhotz定理
Helmholtz定理，也称为Helmholtz分解定理，是流体力学和电磁学中的一个重要定理，它可以将一个向量场分解为无旋场和散度为零的场的和，这两个场分别被称为旋度场和标量场。
该定理的应用非常广泛，例如在电场中，它可以帮助我们分离出电荷产生的散度场和变化产生的旋度场；在气体动力学中，可以将流动分解为旋转和不旋转的成分，从而更好地理解气体流体的运动规律。
该定理的证明过程比较复杂，但简单来说，它是基于格林公式和斯托克斯定理推导出来的。
实际应用中，我们常常使用Helmholtz分解来简化问题的求解过程，通过分解向量场，我们可以更好地理解和研究流体和电场的分布和运动规律。
除此之外，Helmholtz定理还具有很多研究价值和应用前景。
例如，在三维计算机图形学中，使用Helmholtz分解来分离物体表面随机变化的周期成分可以提高计算机图像的精度和品质。
在声学中，我们可以使用Helmholtz分解来计算声波的传播和反射等问题。
总之，Helmholtz定理是流体力学和电磁学中的一个重要定理，它可以将一个向量场分解为两个无旋场和散度为零的场的和。
通过应用
Helmholtz分解，我们可以更好地理解和研究流体和电场的分布和运动规律，同时，它还具有许多其他领域的研究价值和应用前景。
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
c
F (r ) dl F (r ) dS 0
S
结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩 涡源)。 u 0
无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场， 即 F u 例如：静电场 E 0 E
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
6
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
其中
Fl (r ) F (r ) Fl (r ) 0
Fs (r ) 0 Fs (r ) F (r ) J
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
同理，若设 A 格林第一恒等式为
n
2
V ( )dV S n dS
2
2
－ ）dS V ( － )dV （ S n n
——格林第二恒等式
1.6亥母霍兹定理(12)-好
现在我们必需考虑如下问题： （1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？ （2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？ （3）如何唯一的确定一个矢量场？ 1 矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则 该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠 加，其中
gradu = ∇u =
∂u ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ x+ y+ z ∂x ∂y ∂z ˆ y ∂ ∂y Fy ˆ z ∂ ∂z Fz
x ˆ r r ∂ rotF = ∇ × F = ∂x F x
r r ∂ F x ∂ F y ∂ Fz divF = ∇ ⋅ F = + + ∂x ∂y ∂z ∇为微分算子
∇ ⋅ F = ? =0 ∇ × F = ? =0
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
三种特殊形式的场
• 平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平 面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行 平面场。 • 轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上， 场 F 的分布都相同，即 F=f(r,φ)，则称这个场为轴对称场。 • 球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。
ˆ ey ∂ ∂y Fy
ˆ ez ∂ ∂z Fz
ψ =
∫∫ F ⋅ ds = ∫∫∫ ∇ ⋅ FdV
s V
∫ F ⋅ dl = ∫∫ rotF ⋅ ds
1.6矢量场的HELMHOLTZ定理
从而有
V (C A)dv C V ( A)dv
根据散度定理，上式左边等于
S (C A) ds S (A ds) C C SA ds
于是得
C V ( A)dv C SA ds
由于上式中常矢C是任意的，故式必成立。
1 .5 方向导数与梯度, 格林定理
1 .5 .1 方向导数与梯度 ;
y
zˆ
z
u
xˆ
u x
yˆ
u y
zˆ
u z
则
u u lˆ | u | cos(u,lˆ) l
u | u | l max
这就是说, ▽u的模就是▽u在给定点的最大方向导数, 而其 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即▽ u的变化率最大的 方向。 因此, 我们定义标量场▽u(x, y, z)在点P(x, y, z)处的梯度 (gradient)为
V Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量 散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。
例1 .1 球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
［解］
Sr ds
r x y z 3 x y z
rds rdv 3 dv 3 4 r3 4r3
A B ABcos aAB
AB B A
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
因而得
A B AxBx Ay By Az Bz
A A Ax2 Ay2 Az2 A2
矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋关系,
gradu u xˆ u yˆ u zˆ u x y z
亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理
ˆx e a x ax
ˆy e y ay
ˆz e z az
16
旋度的公式
rot A A
l
A dl ( A) d S
S
17
A dl A lim
s 0
s
S
A dl ( A) d S s s
23
哈米顿(Hamilton)算子
(7) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (8) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (9)(uv) uv vu (10) (u A) u A u A, ( A为矢性函数) (11) (u A) u A u A (12)( A B) A ( B) ( A ) B B ( A) ( B ) A
24
哈米顿(Hamilton)算子
(13) ( A B) B ( A) A ( B) (14) ( A B ) ( B ) A ( A ) B B ( A) A( B ) (15) (u ) 2u u (16) (u ) 0 (17) ( A) 0 (18) ( A) ( A) A
§1.5矢量的环量、旋度
用哈密顿算符表示：
ˆx e ˆy e ˆz ) ( a x e ˆx a y e ˆy az e ˆz ) rota a ( e x y z a y a x a x a z a z a y ˆx ( ˆy ( ˆz ( )e )e )e y z z x x y
20
哈米顿(Hamilton)算子
是一个矢量性微分算子，因此它在计算时 具有矢量性和微分性双重性质 作用在一个数性或矢性函数上时， 其方式仅有三种：u， A， A
2012电磁场与电磁波06_矢量与场论5-亥姆霍兹定理和矢量场分类
South China University of Technology
❖ 下面通过例题说明算子的运算规则。 【例】证明 (uv)u vv u ❖ 证明：应用乘积函数的微分运算规则
(u v) (u cv) (u vc)
➢ 运算规则1：运算中，先把有下标c的量看成常 数，待运算结束后，再去除下标c。
则矢量场Fr 称为域内V的无旋有散场。
r
由
F 0
u 0
r Fu
2u
其中，u为
r F
的标量位函数，ρ是
r F
的标量源函数（散度
源或通量源）
根据ρ的分布，由泊松方程求出u， 继而求出 。Fr
泊松方程
School of Electronics and Information Engineering
矢径的性质
a ˆR R a ˆR 1 a ˆR s1 in R
r
R
aˆR
R R
r
11RR
R R2
R3
gR rR12
(R2R)3 R
South China University of Technology
R ra ˆRs1 in Ra ˆR 1 R0
r
r
r
[f(R )R ] f(R )Rf(R ) R
❖ 应用矢量恒等式： (ku)ku（k为常数）
❖有
(uv)u vv u
❖ 可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正 确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明 了算子与坐标无关。
School of Electronics and Information Engineering
【例】证明
rr r rr r • ( A B ) B • ( A ) A • ( B )
赫姆霍兹定理
F(r) (r) A(r)
4、三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为Z 轴)的一族平行 平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f (x,y)，则称这个场为平行 平面场。
2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族子午面上，
场F的分布都相同，即 F= f(r,)，则称这个场为轴对称场。
3.球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F= f(r)，则称这个场为球面对称场角(x, y , z)
x=x0
ex
O
z=z0
ez ey
P0
y=y0
y
x
=0 r=r0
x
z
0
er
P0
e
O e
0
=0
y
z
圆柱(r, , z)
球(r, , )
z = z 0 已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标
•(a)
•o
•y
• • e• •sin ex
•
•P′ •
•e •cos ey
•cos ex
•x
•sin ey
•(b)
（矢量F 唯一地确定）
在电磁场中
电荷密度
电流密度 J
场域边界条件
例：判断矢量场的性质
F ? =0 F ? =0
F ? 0 F ? =0
F ? =0 F ? 0
（2） 分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量F(r) ，可 以分解为无旋的Fi(r) 和无散或管形的 Fs(r) 两个部分，即
F(r) = Fi(r) + Fs(r)
设矢量场F(r)的旋度和散度分别为
F (r) c(r) 和 F (r) b(r)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A B nˆABsin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
故
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ(Az Bx AxBx ) zˆ(AxBy Ay Bx )
将曲面S各面元上的A·ds相加, 它表示A穿过整个曲面S的通量, 也称为A在曲面S上的面积分:
s A ds s A nˆds
如果S是一个封闭面, 则
SA ds
表示A穿过封闭面的通量。 若Ψ＞0, 表示有净通量流出, 这说明S 内必定有矢量场的源; 若Ψ＜0, 表示有净通量流入, 说明S内有洞 (负的源)。 通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电 荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷, 则Ψe为负, 有电通量流入。
矢量三重积为
A (B C) B(AC) C(A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .3 通量与散度, 散度穿过一个曲面的通量是一个 很有用的概念。 在矢量分析中, 将曲面的一个面元用矢量ds来表 示, 其方向取为面元的法线方向, 其大小为ds, 即
它符合交换律: 并有
A B ABcos aAB
AB B A
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
因而得
A B AxBx Ay By Az Bz
A A Ax2 Ay2 Az2 A2
矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋关系,
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
1 .2 三重积 ; 矢量的三连乘也有两种。 标量三重积为
A (B C) B (C A) C ( A B)
S
V
V
3
1.4 环量与旋度, 斯托克斯定理
1 .4 .1 环量
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或 旋涡量), 记为
l A dl
图 1 -5 矢量场的环量
1 .4 .2 旋度的定义和运算
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包 围的面积ΔS趋近于零, 取极限
l A dl]max
S 0
S
可见, 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最
大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
nˆ 该面元矢量的方向 。 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若
某区域中各点rot A=0, 称A为无旋场或保守场。
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
( xˆAx
yˆAy
zˆAz )
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
( A) A A
1 .3.3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
哈密顿( (德尔) 子:
W .R .Hamilton )
(
del
nabla (那勃拉)”)表示下述矢量形式的微分算
xˆ yˆ zˆ x y z
它兼有矢量和微分运算双重作用, 因而与普通矢量有所不同:
A A ; A A ;
A的散度可表示为算子与矢量A的标量积, 即
divA A
lim l A dl
S 0 S
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面 元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此 在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入 如下定义, 称为旋度(curl或rotation):
rot
[ A nˆ lim
一、 矢量分析与场论基础
主要内容：
矢量的基本概念、代数运算矢 量分析基础场论基础（梯度、矢量 场的散度和旋度）
矢量场的Helmholtz定理
第二讲
标量场
矢量场
直角坐标系
z
直角(x, y , z)
z=z0
x=x0
ez e P0
y y=y0
y
O
x
1 .1 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。 标量 积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它们夹角 αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
V Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量 散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。
例1 .1 球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
［解］
Sr ds
r x y z 3 x y z
rds rdv 3 dv 3 4 r3 4r3
1.3.2 散度, 哈密顿算子 ;
定义如下极限为矢量A在某点的散度(divergence), 记为divA:
divA lim SA ds x V
式中ΔV为封闭面S所包围的体积。 此式表明, 矢量A的散度 是标量, 它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。 它 反映A在该点的通量源强度。 显然, 在无源区中, A在各点的散度 为零。 这个区域中的矢量场称为无散场或管形场。
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
nˆ 定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 的方 nˆ 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元