4.第四节 一次函数的实际应用

y＝15
(3分)
答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元；(4分)
(2)学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 1 .
3
请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
(2)设购买A奖品a个，则购买B奖品(30－a)个，共需w元， 根据题意，得w＝30a＋15(30－a)＝15a＋450.(6分) ∵15＞0，∴当a取最小值时，w有最小值． ∵a≥ 1 (30－a)，解得a≥7.5.∵a为正整数，
3
∴当a＝8时，w取得最小值，此时30－8＝22. 答：当购买A奖品8个，B奖品22个时最省钱．(9分)
重难点精讲优练
一次函数的实际应用
例1 某学校附近超市销售甲、乙两种牛奶，已知甲种牛奶每盒售价比乙种牛奶 少4元，购买4盒甲种牛奶和5盒乙种牛奶共花费56元． (1)该超市甲、乙两种牛奶每盒售价各是多少元；
2. (2020河南19题9分)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动， 活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)，且y1＝k1x＋b；按照 方案二所需费用为y2(元)，且y2＝k2x.其函数图象如图所示． (1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
牛奶150盒、乙种牛奶50盒获利最大．
(5)某班根据需求打算购买甲种牛奶和乙种牛奶共60盒，且甲种牛奶数量不得超
过乙种牛奶数量的
4 3
.新学期开学后，该商场开始促销，甲种牛奶打九折，乙种
牛奶打七折，请问该班应如何购买所需费用最少．
(5)设购买甲种牛奶n盒，则购买乙种牛奶(60－n)盒，购进所需费用z元．
(3)当x≤40时，选择方案一， 当x＞40时，y1＝18x，y2＝16x＋160， 当y1＜y2时，18x＜16x＋160，解得x＜80，选择方案一； 当y1＝y2时，18x＝16x＋160，解得x＝80，选择方案一和方案二均可； 当y1＞y2时，18x＞16x＋160，解得x＞80，选择方案二． 80÷8＝10(人)． 答：当部门的个数小于10个时选择方案一，等于10个时两种方式均可，大 于10个时选择方案二．
请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
(2)设购买A种魔方m个，则购买B种魔方(100－m)个，其
中m≤50，设总费用为w元，
则按活动一购买魔方的总费用为
w1＝0.8×20m＋0.4×15(100－m)＝10m＋600；(5分) 按活动二购买魔方的总费用为 w2＝20m＋15(100－2m)＝－10m＋1500.(6分)
3．方案选取：根据题目满足的关系式列出不等式，若为两种方案的选取，将两种 方案的函数关系式组成不等式，求解对应的x的取值范围；若为三种方案的选取， 可画出函数图象，求出交点坐标，利用图象性质解答． 4．利润最大或费用最少：常利用一次函数的增减性，即先确定k的正负，再确定x 的取值范围，取x的两端点的值比较大小即可．
2
2
值，w＝300.
第三种：当a> 1 时，a－ 1 >0，w随m的增大而增大，
2
2
∴当m＝150时，w取最大值．
即商店购进甲种牛奶150盒，乙种牛奶50盒才能获得最大利润． 答时，：无当0论<购a<进12甲时、，乙购牛进奶甲多牛少奶盒12，0盒利，润乙恒种定牛为奶30800元盒，获当得a最> 大12 ，，当购a进＝甲12种
例2 为复工复产做好防疫准备，某公司员工小唯去药店购买口罩和免洗洗 手液．结账时，一顾客买5包口罩和一瓶洗手液共花费112元；小唯买了8包 口罩和2瓶洗手液共花费184元． (1)求一包口罩和一瓶洗手液的价格；
解：(1)设一包口罩m元，一瓶洗手液n元，
根据题意得
5m＋n＝112 ，解得 8m+2n＝184
②说明y1中k表示的实际意义； ②k的实际意义为打9折之后每包口罩的价格为18元； ③在同一坐标系内画出y1、y2与x的关系式的图象；
画这两种函数 图象如解图;
例2题图
例2题解图
④若两函数图象的交点为A，请说明点A所表示的实际意义； ④交点A表示，当购买口罩80包时，两种购买方案的费用相同；
(3)已知每个部门都需要准备8包口罩，采购部根据部门的个数如何选择优惠方案？
第2题图
∵y1＝k1x＋b的图象过点(0，30)和点(10，180)，
30=b ∴
,解得 k1=15
(3分)
180=10k1+b
b=30
k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．(4分)
b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元；(5分)
(2)求打折前的每次健身费用和k2的值； (2)打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25(元)． k2＝25×0.8＝20；(7分)
4. (2019河南20题9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购 买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元． (1)求A，B两种奖品的单价；
(1)设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，
根据题意，得 3x＋2y＝120 ,解得 x＝30
5x＋4y＝210
根据题意得，n≤
4 3
(60－n)，解得n≤
240 7
＝34 2，
7
z＝4×0.9n＋8×0.7×(60－n)＝－2n＋336，
∵－2<0，∴z随着n的增大而减小，∴当n＝34时，z最小，
z最小＝－2×34＋336＝268(元)，此时60－34＝26(盒)
答：购进甲种牛奶34盒，乙种牛奶26盒所需费用最少．
提分要点
一次函数的实际应用一般涉及：①求一次函数解析式；②选择最优方案；③方案 选取；④利润最大或费用最少． 1．求函数解析式：①文字型及表格型的应用题，一般都是根据题干中给出的数据 及关系式来求一次函数解析式；②图象型的应用题，一般都是找图象上的两个点 的坐标，根据待定系数法求一次函数解析式． 2．选择最优方案：根据题目条件确定自变量的取值范围，由一次函数的增减性确 定最优方案．
第1题图
当w1＝w2时，即10m＋600＝1500－10m，解得m＝45； 当w1<w2时，即10m＋600<1500－10m，解得m<45； 当w1>w2时，即10m＋600>1500－10m，解得m>45. ∵m≤50， ∴当购买A种魔方45个，B种魔方55个时，两种优惠活动所需费用相同； 当购买A种魔方低于45个时，活动一更实惠； 当购买A种魔方高于45个而不超过50个时，活动二更实惠．(10分)
解：(1)设甲种牛奶每盒x元，乙种牛奶每盒y元．
由题意得 x=y-4
x=4
，解得
，
4x＋5y＝56
y＝8
答：该超市甲种牛奶每盒售价4元，乙种牛奶每盒售价8元;
(2)某班准备一次性购进两种牛奶共50盒，且甲种牛奶数量不超过乙种牛奶的2 倍，请你设计出最省钱的购买方案；
(2)设购进甲种牛奶a盒，则购进乙种牛奶(50－a)盒，共需P元， 根据题意得P＝4a＋8(50－a)＝400－4a， ∵－4＜0，∴当a取最大值时，P最小， ∵a≤2(50－a)，∴a≤ 100 ，
m＝20 ， n ＝12
答：一包口罩20元，一瓶洗手液12元;
(2)由于全公司都需要防疫物品，小唯所在的采购部决定进行团购口罩，药店
老板给出口罩的两种优惠方案：
方案一：每包口罩打九折；
方案二：购买口罩40包以内(包含40包)按原价，超出40包的部分打八折．
设采购部需要团购口罩x包，所需总费用为y元．
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用 更少？说明理由．
(3)选择方案一所需费用最少．理由：∵k1＝15，b＝30， ∴y1＝15x＋30. ∵k2＝20，∴y2＝20x. 当y1＝y2时，即15x＋30＝20x. 解得x＝6. ∴结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身8次，选择方案一所需费 用更少．(9分)
(4)实际进货时，经销商对甲种牛奶的进价下降a(0<a<1)元，且限定超市最多购
进150盒甲种牛奶，若保持两种牛奶的售价不变，甲种牛奶每盒进价为3元，乙 种牛奶每盒进价为6.5元，甲种牛奶的数量不少于乙种牛奶数量的 3 ，共购进
2
200盒，设计出使这200盒牛奶销售总利润最大的进货方案；
(4)根据题意得w＝(4－3＋a)m＋(200－m)×(8－6.5)，
依题意得
x＋3y＝26 ， 解得 3x＋2y＝29
x＝5 .(3分) y＝7
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；(4分)
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型
节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
(2)设购进A型节能灯m只，则购进B型节能灯(50－m)只，总费用为w元． 依题意得w＝5m＋7(50－m)＝－2m＋350，(6分) ∵－2＜0， ∴当m取最大值时，w有最小值， 又∵m≤3(50－m)，∴m≤37.5， ∵m为正整数， ∴当m＝37时，w最小＝－2×37＋350＝276(元)， 此时50－37＝13(只)． 答：最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯，13只B型节能灯．(9分)
解：(1)设A、B两种魔方的单价分别为x元、y元．
根据题意得 百度文库x+6y=130 ，解得 x=20 ，(3分)
3x=4y
y=15
答：A种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元；(4分)
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过
50个)．
某商店有两种优惠活动，如下图所示．
类型二 方案设计型问题(10年4考)
3. (2016河南20题9分)学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节 能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元． (1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
解：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元．
1 河南6年真题 2 重难点精讲优练 3 中考试题中的数学文化
河南6年真题
类型一 方案选取问题(10年3考)
1. (2017河南21题10分)学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方．已知购买2
个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方 与购买 4个B种魔方所需
款数相同．
(1)求这两种魔方的单价；
3
又∵a为正整数，∴当a＝33时，P取最小值， 此时50－33＝17， 答：当购买甲种牛奶33盒，乙种牛奶17盒时最省钱;
(3)若甲种牛奶每盒进价为3元，乙种牛奶每盒进价为6.5元，根据学生们的需求，
该超市决定购进甲、乙两种牛奶共200盒，且甲种牛奶的数量不少于乙种牛奶数 量的 3 ，请你帮助该超市设计一种进货方案，使超市获利最大，并求出最大利
即w＝(a－ 1 )m＋300，
∵m≥
3
2
(200－m)，
2
∴m≥120.
∴120≤m≤150.
第一种：当0<a< 1 时，a－ 1 <0，w随m的增大而减小，
2
2
∴当m＝120时，w取最大值．
即超市购进甲种牛奶120盒，乙种牛奶80盒才能获得最大利润．
第二种：当a＝ 1 时，a－ 1 ＝0，无论如何购进甲乙两种牛奶，利润为定
①请分别写出两种方案所需总费用y1＝kx、y2与x的关系式；
①由题意得第一种方案的关系式为y1＝20×0.9x＝18x，
第二种方案分两种情况：当0≤x≤40时，y2＝20x，
当x＞40时，y2＝40×20＋(x－40)×20×0.8＝16x＋160，
∴ y2＝
20x（0≤x≤40) 16x＋160（x>40）
5
润；
(3)设该超市购进甲种牛奶m盒，则购进乙种牛奶(200－m)盒， 根据题意得m≥ 3 (200－m)，
5
解得m≥75，设该超市获利为w元，则w＝(4－3)m＋(8－6.5)(200－m)＝300－0.5m，
∵－0.5<0，∴w随着m的增大而减小，∴当m＝75时，w最大，
w最大＝300－0.5×75＝262.5(元)，此时200－75＝125. 答：该超市购进甲种牛奶75盒，乙种牛奶125盒时获利最大，为262.5元;
练习1 (2020深圳)端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽， 肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． (1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？