二次函数基本概念讲义

二次函数的图像和性质----基础概念

1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

限制条件：（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式：；

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。离开它用一般形式也可以。

※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）

此时抛物线的对称轴为直线x=

22

1x

x+

。

注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。这个交点是抛物线的什么点？

（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？

（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：

针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=

。当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。

（1）形状----开口大小。由决定，越大，开口越。

（2）开口方向：由决定。当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；

注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。例如与坐标轴平行（垂直）

的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？

▲（4）顶点坐标公式：（，）；

利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标

公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。例如：Y=2x2-4X+1

当X=

4

2

-

=-2时，Y= ，顶点坐标为（，）

可见，必须记住顶点横坐标公式。顶点纵坐标公式记不住也没有关系。

（5）增减性：分对称轴左右两侧描述。

当a>0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而；在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而；当a<0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而；

在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而；

▲（6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内

①若顶点横坐标在自变量的取值范围内

当a>0时，函数有最值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最值，

并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。

②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。

（7）与坐标轴的交点

①与X轴的交点

求法：解方程，其求根公式是。

个数：当Δ=b 2

-4ac 0时，抛物线与X 轴有两个不同的交点；

Δ=b 2

-4ac 0时，抛物线与X 轴没有交点； Δ=b 2-4ac 0时；抛物线与X 轴只有一个交点， 即顶点在 轴上。

②与Y 轴的交点：（ ， ）

（8）函数值的正、负性：如图1：当x ＜x 1或x ＞x 2时，y 0； 当x 1＜x ＜x 2时，y 0；当x=x 1或x=x 2时，y 0。

如图2：当x 1＜x ＜x 2时，y 0； 当x ＜x 1或x ＞x 2时，y 0； 当x=x 1或x=x 2时，y 0.

※(9)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点坐标为A （x 1，0），B （x 2，0），则二次函数图象与X 轴的交点之间的距离AB=

()22121x x x x -=

-=()212214x x x x -+

(10)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中a 、b 、c 及其代数式的符号判别：

①a 的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0；当开口向下时，a 0； ②c 的符号判别---由抛物线的与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c 0；若交点在X 轴的下方，则C 0；

③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，由a

b

2- 0知a 、b 同号；若对称轴在

Y 轴的右侧，由a

b

2-

0知a 、b 异号。 （11）缺项二次函数的特征

①抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上时抛物线关于 轴对称， =0；解析式为 。 ②抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则 =0；解析式为 。 ③抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点在原点，则b= c= ，解析式

为 。

（12）抛物线的平移和轴对称

无论b ，c 值为多少，抛物线y=ax 2+bx+c 与抛物线y=ax 2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。

①抛物线y=ax 2+bx+C 上（下）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 ；

②抛物线y=ax 2+bx+C 左（右）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 。

③物线y=ax 2+bx+c 关于X 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）

④物线y=ax 2+bx+c 关于Y 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理） 小结：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）待定系数a,b,c 的作用 （1）a---a 的符号决定 ；a 的绝对值决定 。 （2）c----c 决定抛物线与 轴交点的位置。

（3）b-----b 单独不能起什么作用。 根据a

b

2-

，a ，b 共同决定抛物线对称轴的位置； Δ=b 2

-4ac 决定 ：

4、二次函数的解析式的求法----待定常数法 三种基本情况

（1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用 式。