二次函数基本概念讲义
二次函数ppt课件
典 例3 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形 例 菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米) 精 的函数关系式.
析 解：∵AB边长为x米.
D
C
A
B
在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数
视 频
观察都匀 绿博园音
引 乐喷泉视
入 频有时会
形成一条
条曲
线．这些
曲线能否
用函数关
系式表示？
复 1.什么是函数? 习 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 巩 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是 固 自变量，y是x的函数.
典 例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产 例 品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但 精 一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数， 析 且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一 个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
课 堂 小 结
作业设计
必做：课本41页1、2题
选做： 若函数
是二次函数，求：
（1）求a的值. （2）求函数关系式. （3）当x=-2时，y的值是多少？
共勉：
走进名家，乐享数学
一切问题都可以转化为数学问题，
一切数学问题都可以转化为代数问题，
而一切代数问题又可以转化为函数问题，
因此，一旦解决了函数问题，
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数知识点总结ppt
二次函数知识点总结ppt一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的平移二次函数的图像可以通过平移来变换位置，如上下平移、左右平移等。
6. 二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，其坐标为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2分别是二次方程ax^2+bx+c=0的根。
二、性质及相关概念1. 二次函数的坐标二次函数的坐标为(x, y)，其中x为自变量，y为因变量。
2. 二次函数的定义域二次函数的定义域为实数集R。
3. 二次函数的值域二次函数的值域取决于抛物线开口方向和顶点坐标。
4. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
5. 二次函数的判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ<0时，二次函数无实根。
6. 二次函数的性质（1）a的正负决定抛物线开口方向和抛物线的最值；（2）a的绝对值大小决定抛物线的开口程度；（3）b决定了抛物线的位置；（4）c决定了抛物线与y轴的交点。
三、二次函数的图像及相关变换1. 抛物线开口向上的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，抛物线开口向上。
2. 抛物线开口向下的二次函数二次函数y=ax^2+bx+c，当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的平移二次函数y=ax^2+bx+c的平移变换为y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为抛物线顶点坐标。
二次函数讲义
一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx ca≠）的函数，叫做二次，，是常数，0函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成mc bx axy +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k aa-=-=，．五、二次函数2y ax bx c=++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2=---；y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k2. 关于y轴对称2=-+；y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2=++；y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2y a x hk =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，y ax bx cc的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)++≠本身就是所含字母x的ax bx c a二Array次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）0 x o-1 x 0 x A B C D 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数复习讲义
二次函数复习讲义一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。
其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。
抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。
二、性质与变换1. 平移变换二次函数可通过平移变换进行移动。
设二次函数为f(x)，平移的规则如下：a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。
2. 拉伸与压缩变换二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。
设二次函数为f(x)，变换的规则如下：a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的1/m倍；b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。
3. 顶点形式与标准形式的转换二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。
顶点形式可表示为：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
标准形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，(h, k)为对称轴的交点。
三、特殊二次函数1. 平方函数平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：f(x) = x^2平方函数的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在(0, 0)处。
2. 平移后的二次函数对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行平移变换可以得到新的二次函数g(x) = a(x - h)^2 + k。
3. 开口向上与开口向下的二次函数当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
二次函数复习讲义(完美)
二次函数最全面的复习讲义学习目标1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．类型一：二次函数的概念1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6；(6)．【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C.D.【变式2】如果函数是二次函数，求m的值类型二、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．【答案】或．【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).课堂练习1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）．（2）令，得，解方程，得，．∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有解得∴抛物线解析式为．解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．又，∴∴抛抛物物解析式为．课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．A． B． C． D．2．二次函数有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2Y -27 -13 -3 3 5 3则当x＝1时，y的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：…-1 0 1 ……-2 -2 0 …则该二次函数的解析式为______________．12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为______________．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k ＞0)的图象与AC边交于点E．(1)求证：AE×AO＝BF×BO；(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式．一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a≠0)，将A、B、C三点代入解得，，c＝0．2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，∵a＝1＞0，∴x＝-1时，．3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】∵点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴点A与点B关于对称轴x＝2对称，又∵A(0，3)，∴AB＝4，y B＝y A＝3，∴点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴移动的距离．6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．∴x＝1时，y＝-27．二、填空题7.【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．8.【答案】；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可．9.【答案】(1)x＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.10.【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，∴对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11.【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解．设二次函数解析式为(a≠0)由表知解得∴二次函数解析式为．12.【答案】【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵顶点是(1，2)，∴设(a≠0)．又∵过点(2，3)，∴，∴a＝1．∴，即．(2)设二次函数解析式为(a≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得解得故所求的函数解析式为．(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴y＝-(x-1)(x-3)，即．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴C点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为，则有，解得，∴所求抛物线的解析式为．15.【答案与解析】(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图象上，且在第一象限，所以AE×AO＝k，BF×BO＝k，从而AE×AO＝BF×BO．(2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k＝8，所以反比例函数的解析式为．∵OB＝6，∴当x＝6时，点F的坐标为．设过点O、E、F三点的二次函数表达式为(a≠0)，将点0(0，0)，E(2，4)，三点的坐标代入表达式得：解得∴经过O、E、F 三点的抛物线的解析式为：．要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)() 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．二次函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【解析】将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，∴【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则______．【答案】2.【变式2】不计算比较大小：函数的图象右侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a______b．答案】＞.2．已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意，，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=.3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得．∴所求抛物线为．4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x____时，随x的增大而减小；当x____时，函数y有最____值，其最____值是____．【答案与解析】函数与的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.课堂练习一、选择题1. 关于函数y=的图象,则下列判断中正确的是()A. 若a、b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等；B. 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数y,有两个x和它对应；D. 对任意实数x,都有y＞0.2. 下列函数中，开口向上的是（）A. B. C. D.3. 把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为()．A．B．C．D．4. 下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（）A. B. C. D.5. 在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（）．A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离s (m)与开始刹车时的速度v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为( )．A. 10m/sB. 15m/sC. 20m/sD. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向______，对称轴为______，顶点坐标是________，当x＞0时，y随x的增大而________．8. 若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．9. 已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积为________．10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．11. 函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12. 若对于任意实数x，二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是____________．三、解答题13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．（1）求m的值；（2）画出函数的图象．14. 已知抛物线经过A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．一、选择题1．【答案】A.2．【答案】D；【解析】开口方向由二次项系数a决定，a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下.3．【答案】A；【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为．4．【答案】B；【解析】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，所以答案为B.5. 【答案】C；【解析】y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．6. 【答案】B；【解析】当s＝2.25时，，v＝15．二、填空题7．【答案】下；y轴；(0，0)；减小；8．【答案】；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9．【答案】1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10．【答案】【解析】答案不唯一.11．【答案】，，．【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y＝3x2，y＝x2，．12．【答案】a＞-1；【解析】二次函数的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0.三、解答题13. 【解析】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，∴，∴，∴m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14. 【解析】解：（1）∵抛物线经过A（-2，-8），∴-8=4a，∴a=-2，抛物线的解析式为：.（2）当x=-1时，y=-2=-2≠-4，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即，得，∴此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标是（，-6）和（，-6）.15. 【解析】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．（2）抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)．（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．（4）设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0)．由,，得∴A(，-2)，B(，-2)．∴AB=|-(-)|=2，高=|-2|=2．∴．类型二、二次函数y=a（x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，所得抛物线解析式为．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵抛物线开口反向，∴．故所得抛物线解析式为．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.3．已知与的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当时，写出自变量x的取值范围．【答案与解析】(1)∵，的图象交于A、B两点，∴且解得且∴二次函数的解析式为，直线方程为．(2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，．4．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-．所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；（2）∵抛物线y=-（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴S△AOB =×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点，∴-m=-（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.课堂巩固一、选择题1．抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(-2，3)C．(2，3)D．(-2，-3)2．函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（）A．y=(x－1)2+2 B．y=(x－1)2+C．y=(x－1)2－3D．y=(x+2)2－13．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A．y=(x+3)2－2B．y=(x－3)2+2C．y=(x－3)2－2 D．y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（）A． B．C．D．5．由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）二、填空题7. 抛物线y=-（•x+•3）2•-•5•的开口向_______，•对称轴是________，•顶点坐标是_______．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；当________时，函数y有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15．已知抛物线的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x为何值时，y随x增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.4.【答案】B【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C；【解析】A中的符号不吻合，B中抛物线开口不正确．D中直线与y轴交点不正确.二、填空题7.【答案】下；直线x=-3 ；（-3，-5）；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x≥－1.9.【答案】向下，y轴；10.【答案】；【解析】设过点（1，－14）得，所以.11.【答案】；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】1；【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线的顶点为（-1，-2）∴设其解析式为，又图象经过点（1，10），∴，∴，∴解析式为．14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．∴，，．（2）函数与的图象如图所示．（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；当时，函数有最大值，最大值是．（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．15.【答案与解析】（1）由题意知A(2，1)，令，则，所以．由得，所以，因此抛物线的解析式为．（2）当时，y随x增大而减小．类型三：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.2．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_______．类型二、二次函数的最值3．求二次函数的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc的最大值．【答案与解析】（1）∵的图象过点P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=-2b-4．（2）．∴当时，bc有最大值．最大值为2．课堂巩固一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A．B．C．D．2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A．B．C．D．3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（）．A．0，5B．0，1 C．-4，5D．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（）．A．b=2，c=2B．b=2，c=0C．b= -2，c= -1 D．b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7．二次函数的最小值是________．8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__ __.三、解答题13．（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系．14．如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15．已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x 的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以．【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；2.【答案】D；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以．3.【答案】D；【解析】因为，所以，，．4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】∵，∴函数有最小值．当时，．8.【答案】4【解析】由对称轴，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11.【答案】①④，②③④；12.【答案】(-2，5)或(4，5)；【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）．（2）略．（3）∵，∴当时，y随x增大而减小，又，∴．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．∴该二次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即．15.【答案与解析】(1)∵，b＝-3，∴，把x＝-3代入解析式得，．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x ＝-3时，．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解方程没有实数解类型一、函数与方程4．已知抛物线与x 轴没有交点．①求c 的取值范围； ②试确定直线经过的象限，并说明理由．【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( )A．B．C．D．【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【答案与解析】(1)∵每件商品利润为(x-30)元．∴销售m件商品利润为m(x-30)元，又∵m＝162-3x，∴每天利润y＝(162-3x)(x-30)．即y＝-3x2+252x-4860．(2)∵y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，又∵a＝-3＜0，∴当x＝42时，＝432(元)．。
人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义
人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义合作探究探究点1 二次函数的概念情景激疑我们知道形如b k b kx y ,(+=是常数,k ≠0)的式子是一次函数，那么什么样的函数是二次函数呢?判断二次函数又需要消足哪些条件?知识讲解一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的次项系数、一次项系数和常数项，如73,23,32222+-=+=+-=x y x x y x x y 等都是二次函数。
（1）c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)叫做二次函数的-般式任何一个二次函数的解析式都可以化为c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的形式.(2)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中，a 必須不等于O,因为若a=0的话，此式子则变为c bx y +=的形式，就不是二次函数了.(3)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中,若y=0.则二次函数可以转化为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 典例剖析例1 下列哪些函数是二次函数?解析 判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简 整理，再分三个步骤来判断:(1)看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数:(2)当它的等号两边都号林式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二安式，那就可能是二次函数，否则就不是:(3)看它的二次项系数是否为0,如果不为0，那就是二次函教.只要按上述三步来分析。
即可作出正确判断.答案 ①③④是二次函数.⑤不一定是二次函数，只有当a ≠0时，才是二次函数②不是整式，故不是二次函数，易错警示二次涵数关系式的等号两边都是整式.答案 (1)设一次购买x 只.才能以最低价购买，则有0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.答:一次至少买50只，才能以最低价购买。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数说课ppt课件ppt课件ppt课件
详细描述
二次函数在日常生活中有着广泛的应用，如最优化问题、经济模型、物理学中的抛物线 运动等。通过这些实际应用场景，学生可以更好地理解二次函数的实际意义和重要性。
物理中的二次函数
总结词
运动轨迹、能量变化
VS
详细描述
在物理学中，二次函数经常用于描述物体 的运动轨迹，如抛物线运动。此外，在能 量守恒问题中，二次函数也经常出现，用 于描述能量随时间的变化关系。通过与物 理学的结合，学生可以更深入地理解二次 函数的物理意义。
因式分解法
要点一
总结词
通过因式分解将二次函数转化为两个一次函数的乘积，便 于分析函数的零点、单调性和值域。
要点二
详细描述
因式分解法是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 两个一次函数的乘积，如 $f(x) = (ax + b)(cx + d)$。通 过因式分解，可以方便地找到函数的零点（即 $f(x) = 0$ 的解），分析函数的单调性（根据导数符号判断）和值域 （根据函数图像和定义域判断）。
数学竞赛中的二次函数
总结词
难度高、技巧性强
详细描述
在数学竞赛中，二次函数经常作为压轴题目 出现，难度较高，技巧性强。通过解决这类 问题，学生可以提高自己的数学思维能力和 解决问题的能力，为未来的学习和竞赛打下 坚实的基础。
CHAPTER 04
二次函数的解题策略
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分 析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时 ，抛物线开口向下。系数$b$和$c$决定了抛物线的位置和顶点。通过研究二次 函数的图像，我们可以更好地理解其性质和特点。
二次函数辅导讲义（学生版）
⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。
3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。
平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。
⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。
二次函数复习专题讲义全
二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。
2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。
3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。
4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
6.对称轴：为x=-b/2a。
7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。
8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。
9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。
10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。
其中，顶点式和交点式可以相互转换。
注意，a≠0，而b和c可以为零。
1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。
当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。
3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。
当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。
4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。
二次函数讲义
二次函数1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
二次函数的次函数的概念的教学讲义
一【课堂导入】在初二阶段，我们已经学习了正比例函数和一次函数，现在来看看下面几个例子： 1． 圆的半径是R ，写出它的周长C 与R 的关系式；答：．2． 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，写出矩形面积S （）与矩形一边长L （m ）之间的关系式；答：． 3． 写出圆的面积S 与半径R 之间的关系式．答：．分析：1．2．3．三个关系式中S 与R 、L 之间是否存在函数关系？ S 是否是R 、L 的一次函数？由于2．3．两个关系式中S 不是L 、R 的一次函数，那么S 是L 、R 的什么函数呢？这样的函数你能不能猜想一下它叫什么函数呢？ 答：二次函数．二【知识精讲】1．知识回顾：（1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．（3）一次函数：形如，其中、为常数，且．2C R π=2m 2(30)30S L L L L =-=-2S R π=特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数．2．二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么y 叫做x 的二次函数.它的定义域为一切实数．3．二次函数应注意的问题：（1）a 、b 、c 三个系数中，必须保证0a ≠，否则就不是二次函数了；而b 、c 两数可以为0，如特殊形式：2222,,,y ax y ax c y ax bx y x ==+=+=等．（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x 的取值范围是任意实数．三【典例精析】【例1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a 、b 、c 。
(1)213y x =-； (2)(5)y x x =-；（3）21321y x x =++；（4）213122y x x =++； (5)23(2)3y x x x =-+；(6)(2)(2)y x x =+-；（7）256y x x =++(8)421y x x =++。
二次函数讲义
二次函数学案二次函数（一）【知识点1】二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数。
练习：1、下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a ，b ，c ？（1）y=2-3x 2； （2）y=x (x-4)； （3）y=12x 2-3x-1； （4）y=4x （1-x ）+4x 2；2、已知圆的面积是Scm 2，圆的半径是Rcm ，则圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式：3、已知一个矩形的周长是60m ，一边长是x m ，写出这个矩形的面积S （m 2）与这个矩形的一边长x 之间的函数关系式。
5、若22()m my m m x-=+是二次函数，求m 的值。
【知识点2】y=ax 2的图像和性质：用描点法画建立坐标系画出下列二次函数的图象然后研究其性质：6、已知点A（3，a）在抛物线y=x2上，（1）求a的值。
（2）点B（3，-a ）在抛物线y=x2上吗？7、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。
二次函数（二 ）【知识点】y=ax 2+c 的图像和性质：用描点法画下列二次函数的图象然后研究其性质：【讨论】y=ax 2+c 的图像和x 轴的交点情况：1、抛物线232-=x y 的图象可由抛物线23x y =的图象向 平移 个单位得到，对称轴是 ；它的顶点坐标是 ，当x= 时，函数有最 值为 2、若抛物线y=ax 2+c 的顶点在y 轴上，且过点（1，3）和（－2，6），求此抛物线的解析式。
4、函数11-=x y 与21x y -=在同一直角坐标系中的图象大致为（ ）x x6、已知二次函数y ＝（m 2－1）1m 2m 2x－－+m －2，则m ＝ 。
7.．下列判断中正确的是( )．①a 、b 、c 均为实常数的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数 ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，三个实常数a 、b 、c 之积不为0 ③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a 、b 、c 三个实常数中必须a ≠0 ④函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ＝0，则此函数必为一次函数 A ．①、②、③、④ B ．②、③ C ．③、④D ．③8.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线y= —X 2+1上，则线段PQ 的长是9.（2009年北京市中考）23. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；1、抛物线2)2(3-=x y 的图象可由抛物线23x y =向 平移 个单位得到， 它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x= 时，函数有最 值，是 。
第四讲二次函数(讲义).doc
第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、 二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、 一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以 对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。
［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很， 求这个二次函数的表达式。
例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。
二、 二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。
二次函数专题全解教学讲义
二次函数专题全解教学讲义第一讲：二次函数基础知识讲解知识网络二次函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→二次函数的应用程的关系二次函数与一元二次方二次函数的平移图象及性质解析式的求法两点式顶点式一般式分类解析式数含义二次函数一般式中的系定义（或判定）考点解读考点1：二次函数的概念:y=ax 2＋bx+c(a ≠０，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数.判断二次函数的三要素，缺一不可:①函数关系式是整数；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项的系数不为0.考点2.抛物线y=ax 2＋bx+c 中系数a 、b 、c 的作用(1)a 的作用：a 的符号决定抛物线的开口方向．a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下．a 的绝对值决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线开口越小．(2)b 与a 共同决定对称轴的位置：若a 、b 同号，则对称轴位于y 轴左侧；若a 、b 异号，则对称轴位于y 轴右侧；若b=0，则对称轴是y 轴．（可简单记忆为“左同右异”，一定要自己推导一篇，不但要把对称轴的横坐标和0作比较，还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1，-1做比较）(3)c 的作用：c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置．若c>0，则抛物线交y 轴于正半轴；若c<0，则抛物线交y 轴于负半轴；若c=0，则抛物线过原点．c 的值就是抛物线与y 轴交点的纵坐标．（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数（5）a+b+c ，a-b+c 是分别横坐标为1，-1是y 的取值. 考点3 二次函数的解析式1.二次函数的解析式的三种设法：（1）一般式：y=ax2＋bx+c (a≠０，a、b、c为常数);（2）顶点式： y=a(x-h) 2＋k(a≠０，a、h、k为常数);（3）两点式：y=a(x-x1）（x-x2）(a≠０，a、x1、x2为常数)．2.二次函数解析式的求法（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y=ax2＋bx+c;（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴，则可采用顶点式；（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：y=a(x-x1）（x-x2），其中与x轴的交点坐标为（x1，０），（x2，０）．考点4 二次函数的图象和性质考点5 二次函数图象的画法y=ax2＋bx+c的步骤：①把二次函数y=ax2＋bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2＋k(a≠0)的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．考点6 二次函数图象的平移:“上加下减，左加右减”（1）将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移｜c｜个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是(0，c).形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．（2）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) 2的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．（3）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h)2＋k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．考点7 二次函数与一元二次方程的关系（1）一元二次方程ax2＋bx+c＝0就是二次函数y=ax2＋bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0没有实数根．考点8 二次函数的应用函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大(小)值．课后测验一、填空题1、已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则m=______________.2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________3、函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.4、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.5、抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.6、抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.7已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.8、已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.9、把抛物线y=2(x+1)2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.10、如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________11、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1<x2),则对于下列结论:(1) 当x= -2时,y=1;(2) 当x> x2时,y>0;(3)方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;(4) x1<-1,x2>-1;(5) x2 -x1=,其中正确的结论有：_ __ _(只需填写序号)12、已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0), x1<0<x2,与y轴交于点C, 且满足OC(OB-OA)=2OA·OB,则该二次函数的解析式为______ _ ___二.选择题13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是( )(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为( )(A) 3个(B) 2个(C) 1个(D) 0个15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( )(A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C) b=3,c=3 (D) b=-9,c=2116.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为（）(A) a+c (B) a-c (C) -c (D) c17.当a,b为实数，二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有( )(A) a<b (B) a=b (C) a>b (D) a≥b18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有( )(A) y1<y2<y3(B) y1>y2>y3(C) y3>y1>y2(D) y1>y3>y219如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有( ) (A) a=2或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-120抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0)，且满足4a+2b+c>0.以下结论(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三解答题：21．已知函数的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数的图像和性质----基础概念
1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。
限制条件：（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。
2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。
（1）一般式：；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。
注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。
离开它用一般形式也可以。
※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）
此时抛物线的对称轴为直线x=
22
1x
x+。
注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。
这个交点是抛物线的什么点？
（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？
（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。
实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。
▲三种二次函数的解析式的联系：
针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=。
当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。
不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。
（1）形状----开口大小。
由决定，越大，开口越。
（2）开口方向：由决定。
当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；
注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。
例如与坐标轴平行（垂直）
的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？
▲（4）顶点坐标公式：（，）；
利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标
公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。
例如：Y=2x2-4X+1
当X=
4
2
-
=-2时，Y= ，顶点坐标为（，）
可见，必须记住顶点横坐标公式。
顶点纵坐标公式记不住也没有关系。
（5）增减性：分对称轴左右两侧描述。
当a>0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而；在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而；当a<0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而；
在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而；
▲（6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内
①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最值，
并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。
②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
（7）与坐标轴的交点
①与X轴的交点
求法：解方程，其求根公式是。
个数：当Δ=b 2
-4ac 0时，抛物线与X 轴有两个不同的交点；
Δ=b 2
-4ac 0时，抛物线与X 轴没有交点； Δ=b 2-4ac 0时；抛物线与X 轴只有一个交点， 即顶点在 轴上。
②与Y 轴的交点：（ ， ）
（8）函数值的正、负性：如图1：当x ＜x 1或x ＞x 2时，y 0； 当x 1＜x ＜x 2时，y 0；当x=x 1或x=x 2时，y 0。
如图2：当x 1＜x ＜x 2时，y 0； 当x ＜x 1或x ＞x 2时，y 0； 当x=x 1或x=x 2时，y 0.
※(9)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点坐标为A （x 1，0），B （x 2，0），则二次函数图象与X 轴的交点之间的距离AB=
()22121x x x x -=
-=()212214x x x x -+
(10)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中a 、b 、c 及其代数式的符号判别：
①a 的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0；当开口向下时，a 0； ②c 的符号判别---由抛物线的与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c 0；若交点在X 轴的下方，则C 0；
③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，由a
b
2- 0知a 、b 同号；若对称轴在
Y 轴的右侧，由a
b
2-
0知a 、b 异号。
（11）缺项二次函数的特征
①抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上时抛物线关于 轴对称， =0；解析式为 。
②抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则 =0；解析式为 。
③抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点在原点，则b= c= ，解析式
为 。
（12）抛物线的平移和轴对称
无论b ，c 值为多少，抛物线y=ax 2+bx+c 与抛物线y=ax 2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。
①抛物线y=ax 2+bx+C 上（下）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 ；
②抛物线y=ax 2+bx+C 左（右）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 。
③物线y=ax 2+bx+c 关于X 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）
④物线y=ax 2+bx+c 关于Y 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理） 小结：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）待定系数a,b,c 的作用 （1）a---a 的符号决定 ；a 的绝对值决定 。
（2）c----c 决定抛物线与 轴交点的位置。
（3）b-----b 单独不能起什么作用。
根据a
b
2-
，a ，b 共同决定抛物线对称轴的位置； Δ=b 2
-4ac 决定 ：
4、二次函数的解析式的求法----待定常数法 三种基本情况
（1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用 式。
（2）已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；
（3）已知抛物线与X轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。
注意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。
实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。
5.二次函数图象的画法
画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一般步骤
（1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标；
（2）利用抛物线的性列表；
（3）先画对称轴，再对称描点连线。
实际上，我们解题时只需画抛物线的草图。
画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？
开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。
6.二次函数与一元二次方程的关系
（1）从形式来看，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y= 时，得一元二次方程ax2+bx+c=0。
从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特殊状态；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与X轴的交点情况正好由一元二次方程ax2+bx+c=0的决定；
（3）一般地，一元二次方程ax2+bx+c=K（a≠0）的根可以看成是直线y= 与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点坐标。
也就是说解方程组与解方程ax2+bx+c=K （a≠0）是等价的。
7．次函数的应用
二次函数的应用主要是最值问题和求某一点的坐标问题，而求二次函数的解析式是最基本的问题。
利用二次函数求最值的一般步骤：（1）引入自变量和因变量
（2）根据实际问题的数量关系列中间变量的代数式，建立函数关系式，根据中间变量的代数式的取值范围，列不等式（组），求出自变量的取值范围
（3）利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标，判断顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。
①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最值，并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。
②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。