学高中数学算法初步算法与程序框图算法的概念教师用书教案新人教A版必修

１.１算法与程序框图１.１．１算法的概念

学

习目标核心素养

１．通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法

的思想．（重点）

２．了解算法的含义和特征．（重点）

３．读懂算法并能用自然语言表述简单的算法．（难点、易错点）１．通过算法概念的理解，培养逻辑推理素养．２．借助算法的设计，养成数学建模素养.

１．算法的概念

１２世纪的算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中

的算法

通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

[提示] 不唯一．如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分．

２．算法的特征

（１）有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步骤操作之后停止．

（２）确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的．

（３）逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列．（４）普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题．

（５）不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法．

３．算法的设计目的

计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．

１．下列可以看成算法的是（）

Ａ．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题Ｂ．今天餐厅的饭真好吃

Ｃ．这道数学题难做

Ｄ．方程２x２—x＋１＝0无实数根

A[A是学习数学的一个步骤，所以是算法．]

２．下列对算法的理解不正确的是（）

Ａ．算法可以无止境地运行下去

Ｂ．算法的步骤是不可逆的

Ｃ．同一个问题可以有不同的算法

Ｄ．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果

A[A项中，由于算法具有有限性，因此不可能无止境地运行下去，不正确；B项中，算法中的步骤是按照顺序一步步进行下去的，因此是不可逆的，正确；C、D项符合算法的特征，正确．]３．下列问题中，不可以设计一个算法求解的是（）

Ａ．二分法求方程x２—３＝0的近似解

Ｂ．解方程组错误!

Ｃ．求半径为３的圆的面积

Ｄ．判断函数y＝x２在R上的单调性

D[A、B、C选项中的问题都可以设计算法解决，D选项中的问题由于x在R上取值无穷尽，所以不能设计一个算法求解．]

４．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．

第一步，出家门．

第二步，______________.

第三步，坐火车去北京．

[答案] 打车去火车站

算法的概念理解

Ａ．S＝１＋２＋３＋４

Ｂ．S＝１＋２＋３＋４＋…

Ｃ．S＝１＋错误!＋错误!＋…＋错误!

Ｄ．S＝１２＋２２＋３２＋…＋１00２

B[由算法的概念可知：求解某一类问题的算法必须是有限步的，B项不知其多少步完成，A，C，D 可在有限步内完成．

所以S值不可以用算法求解的是选项Ｂ．]

解答这类问题的方法为特征判断法

主要从以下三个方面判断：

１看是否满足可执行性；

２看是否满足确定性；

３看是否满足有限性.此外，算法的不唯一性也要考虑到.

错误!

１．下列描述不能看作算法的是（）

Ａ．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤

Ｂ．洗衣机的使用说明书

Ｃ．解方程２x２＋x—１＝0

Ｄ．利用公式S＝πr２计算半径为４的圆的面积，就是计算π×４２

C[A、B、D项都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C项只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．]

算法的阅读及应用

第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示．

第二步，比较a与b的大小，如果a

第三步，比较a与c的大小，如果a

第四步，比较b与c的大小，如果b

第五步，输出a，b，c.

以上算法要解决的问题是________，如果输入的三个数分别是6,２8,１４，则输出三数的顺序为________．

思路点拨：可尝试先赋a，b，c的值为6,２8,１４，用具体数值去执行算法步骤，从而得到启示．输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出２8,１４,6

[法一：特殊值法：

第一步，输入a＝6，b＝２8，c＝１４．

第二步，因为a

第三步，因为a>c，不做变化．

第四步，因为b

第五步，输出２8,１４,6．

通过上述过程可知，此算法解决的问题是：对任意输入的三个数a，b，c，按从大到小的顺序输出．法二：一般方法：

第一步是给a，b，c赋值．

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，所以a>b>c.

第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．]

算法作用的理解方法

一个算法的作用往往并不显而易见，这时我们可以结合具体数值去执行一下并从中得出规律.

错误!

２．给出下面一个算法：

第一步，给出三个数x，y，z.

第二步，计算M＝x＋y＋z.

第三步，计算N＝错误!M.

第四步，输出M，N.

则上述算法是（）

Ａ．求和Ｂ．求余数

Ｃ．求平均数Ｄ．先求和再求平均数

D[由算法过程可知，M为给出三个数之和，N为这三个数的平均数．]

算法的设计

假设家中生火烧水泡茶有以下几个步骤：

Ａ．生火；Ｂ．将凉水倒入锅中；Ｃ．找茶叶；Ｄ．洗茶壶、茶碗；e.用开水冲茶．１．你能说出在家中泡茶的步骤吗？

[提示] b→a→c→d→e

２．从上述例子分析，你能说出设计算法步骤的要求吗？

[提示] （１）算法必须要解决一类问题．

（２）要保证算法步骤合理有效．

（３）要使算法步骤尽量简洁实用．

【例３】已知函数y＝错误!试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．

思路点拨：

[解] 算法如下：

第一步，输入x的值．

第二步，当x≤—１时，计算y＝—x２—１；否则执行第三步．

第三步，计算y＝x３.

第四步，输出y.

１．（变条件）该例条件若改为“已知函数y＝错误!”试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．[解] 算法如下：

第一步，输入x的值．

第二步，若x>0，则y＝—x＋１，然后执行第四步；否则执行第三步．

第三步，若x＝0，则y＝0，然后执行第四步，否则y＝x＋１．

第四步；输出y的值．

２．（变结论）已知函数y＝错误!，下面是输入x的值，求对应的函数值的一个算法，请填空：第一步，输入x.

第二步，若x>—１，输出________；否则执行第三步．

第三步，输出________．

当输入x的值为１时，输出的结果为________．

[答案] x３—x２—１１

分段函数求值问题的算法设计

分段函数求值的算法要运用分类讨论思想进行设计必须先判断x的范围，对算法中可能遇到的情况一定要考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤.

１．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．

２．算法设计的要求

（１）写出的算法必须能够解决一类问题（如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等），并且能够重复使用．

（２）要使算法尽量简单，步骤尽量少．

（３）要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．

１．判断下列结论的正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）求解一类问题的算法是唯一的．（）

（２）算法必须在有限步骤操作之后解决问题．（）

（３）算法执行后一定产生确定的结果．（）

[答案] （１）×（２）√（３）√

２．下列叙述中，

１植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；

２按顺序进行下列运算：１＋１＝２,２＋１＝３,３＋１＝４，…99＋１＝１00；

３从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；

４３x>x＋１；

５求所有能被３整除的正数，即３,6,9,１２，….

能称为算法的个数为（）

Ａ．２Ｂ．３

Ｃ．４Ｄ．５

B[由算法的含义与特征知：１２３都是算法；４中，３x>x＋１不是明确的步骤，不满足确定性；５中步骤是无穷的，与有限性矛盾．]

３．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分．求他的总分和平均分的一个算法为：

第一步，取A＝89，B＝96，C＝99．

第二步，_____________________________________________.

第三步，_____________________________________________.

第四步，输出计算的结果．

[答案] 计算总分D＝A＋B＋C

计算平均分E＝错误!

４．设计一个算法，求表面积为１6π的球的体积．

[解] 法一：第一步，取S＝１6π.

第二步，计算R＝错误!（由于S＝４πR２）．

第三步，计算V＝错误!πR３.

第四步，输出运算结果．

法二：第一步，取S＝１6π.

第二步，计算V＝错误!π错误!错误!.

第三步，输出运算结果．