初中数学辅助线的添加方法【压轴题必备】
中考数学压轴题——辅助线典型用法
中考压轴题（典型辅助线用法）一、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线，得到一对全等直角三角形。
（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一。
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°。
二、四边形中常见辅助线的添加（特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）1.和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形。
（2）利用两组对边平行构造平行四边形。
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形。
2.与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。
3.和菱形有关的辅助线的作法（连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题）（1）作菱形的高。
（2）连结菱形的对角线。
4.与正方形有关辅助线的作法正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。
5. 与梯形有关的辅助线的作法（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形。
（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形。
初中数学三角形中14种辅助线添加方法
初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。
下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。
2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。
3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。
4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。
5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。
6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。
7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。
8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。
9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。
10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。
11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。
12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。
13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。
14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)--中考数学压轴题专项训练
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。
我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全
人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这就是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
初中数学常见辅助线的添加方法
初中数学常见辅助线的添加方法在初中数学中，辅助线常被用来帮助解题，简化计算过程，提高解题思路的清晰度。
下面是一些常见的辅助线添加方法：1.均分法：在一条线段上取任意几点，通过连接这些点，将线段分成相等的几段。
这种方法常用于等分线段、等分角和相似三角形的证明。
2.垂线法：通过在其中一点上引垂线，将原问题转化为几个几何图形的关系，从而求解。
常见的应用包括求两直线的夹角、判断直线的平行性和垂直性等。
3.平行线法：通过在题目已给直线上引一条与之平行的线，通过相应角的等量关系，直接求得所求的角度。
这种方法常用于证明两线平行、比较两条直线角度大小等问题。
4.相似三角形法：通过在三角形中添加一条平行于边的辅助线，从而构成一形似的三角形，以解决问题。
这种方法常用于求解三角形的边长、角度和面积。
5.三角形中位线法：在三角形的一边上取一点作为中点，连接该点与另外两个顶点，得到两条中位线。
这种方法常用于证明三角形的重心等于重心的证明。
6.等腰三角形法：通过在题目中已给的等腰三角形上引一条高，来处理问题。
这种方法常用于相似三角形的证明和等腰三角形的性质证明。
7.矩形法：通过在题目中给出的矩形中添加一条线段，构成一个直角三角形或相似三角形，以解决问题。
这种方法常用于矩形的中点连接问题和直角三角形的性质证明。
8.圆的性质法：通过在题目中给出的圆中添加一条直线，以引出线段和角的关系，解决问题。
这种方法常用于圆与直线的相交性质证明和切线与弦的关系。
9.对称法：通过在题目中给出的图形中添加一条对称轴，找出对称关系，简化计算过程。
这种方法常用于图形的旋转、拆分和等比例放大缩小等。
10.长方形法：通过在题目中给出的长方形中添加一条线段，构成一个直角三角形或相似三角形，通过相似三角形性质求解问题。
这种方法常用于长方形的对角线、中点和三角形的关系证明。
这些辅助线添加方法可以帮助学生把复杂问题简化为易于解决的小问题，提高解题的效率和准确性。
初中数学辅助线的添加方法,帮你轻松拿下压轴题!
今天，数姐为大家整理了初中数学辅助线的添加方法，赶快来看看~~一、添辅助线有二种情况1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
初中数学辅助线的添加方法
初中数学辅助线的添加方法添加辅助线是数学解题中的一个重要方法，它有助于我们更好地理解问题，分析问题，解决问题。
辅助线可以将复杂的问题化简为简单的几何关系，从而使题目的解决过程更加清晰明了。
下面，我将详细介绍初中数学中常见的几种辅助线的添加方法。
一、加分割线1.正方形的割线：在正方形的任一对相对边上，添加一条相等的线段。
通过这条线段，我们可以将正方形分割为两个直角三角形，从而可以更好地利用直角三角形的性质解题。
2.长方形的割线：在长方形的相邻两个顶点上，添加一条线段。
通过这条线段，我们可以将长方形分割为两个等腰三角形，从而可以更好地利用等腰三角形的性质解题。
3.平行四边形的割线：在平行四边形的相邻两个顶点上，添加一条线段。
通过这条线段，我们可以将平行四边形分割为两个三角形，从而可以更好地运用几何关系解题。
二、连接中点在图形的两条边上，通过它们的中点，用直线将这两条边连接起来。
通过连接中点，我们可以更好地利用平行线的性质解题，同时也有助于我们观察和发现其他几何关系。
三、作垂线1.作垂线求中点：在一个线段的两个端点上作垂线，再将垂线的交点与线段的两个端点相连，连接后的线段即为线段的中点。
通过作垂线求中点，我们可以更好地利用垂直线段的性质解题，同时也有助于我们观察和发现其他几何关系。
2.作垂线求直角：在一个直线上作垂线，使直线与垂线互相垂直。
通过作垂线求直角，我们可以更好地利用垂直线的性质解题。
四、加角辅助线1.加角度平分线：在一个角的两边上，分别取两个点，再将这两个点与角的顶点相连，并使相连线段的夹角相等。
通过加角度平分线，我们可以更好地利用角度平分线的性质解题，同时也有助于我们观察和发现其他几何关系。
2.加圆心角辅助线：在圆的弧上选取两个点，再将这两个点与圆心相连，并使相连线段的夹角相等。
通过加圆心角辅助线，我们可以更好地利用圆心角的性质解题。
五、作垂直平分线在一个线段上作一条垂直平分线，将线段平分为两个相等的部分。
初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!
初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!1.垂线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条垂线AD，垂足D位于BC边上。
通过垂线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。
2.中线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。
通过中线可以将三角形分成三个等边三角形，进而使用等边三角形的性质解决问题。
3.角平分线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条角平分线AD，使得∠CAD=∠BAD。
通过角平分线可以将一个角平分成两个相等的角，从而使用相等角的性质解决问题。
4.内切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其内切圆，该圆与三角形的三条边都相切。
通过内切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。
5.外切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其外切圆，该圆与三角形的三条边都相切。
通过外切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。
6.高线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条高线AH，垂足H位于BC边上。
通过高线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。
7.中位线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中位线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。
通过中位线可以将三角形分成三个面积相等的三角形，进而使用面积相等的性质解决问题。
8.三角形的对称性：对于任意三角形ABC，可以观察到三个顶点关于其中一条边的对称性，根据这种对称性可以找到一些相等的角或边，从而简化问题的解决。
9.倒错：对于任意三角形ABC，可以考虑将这个三角形倒转或翻转，从而改变三角形的位置和形态，进而简化问题的解决。
10.几何图形的组合：对于给定的三角形ABC，可以考虑将它与其他几何图形进行组合，例如，与一个正方形、矩形或平行四边形组合，从而改变问题的形式，解决新问题。
初中数学辅助线添加技巧：旋转
初中数学辅助线添加技巧：旋转方法总结1．旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转．下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋转180°，构造中心对称； 遇90°，旋90°，造垂直； 遇60°，旋60°，造等边； 遇等腰，旋等腰．综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转．2．图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角．下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一．如图1，若AOB COD ∠=∠，必有AOC BOD ∠=∠，反之亦然． 如图2，若A D ∠=∠，必有B C ∠=∠．图2图1OABCDDCB AO倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角度的关系的过程．典例精析例1．（1）如图1，边长为1的正方形ABCD ，绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中我们阴影部分的面积是（ ）A．1-BC．1 D ．12（2）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°后，B 点的坐标为 ．图2图1D'C'BA解：（1）A ；（2）（4，0）．点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体现．首先要确定旋转中心是点D 而不是坐标原点O ，此处易出现错误，然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD 绕点D 旋转90°后B'的位置，这类题型常见于正方形网格中的旋转作图．例2．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、DC 上的点，且∠EAF =45°，求证：EF =BE ＋DF ．FED CBA证明：延长CB 到点G ，使得BG =DF ，连接AG ．GF ED CBA∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,D ABG AB AD ∠=∠=︒=． ∴ADF ABG △≌△． ∴,AF AG DAF BAG =∠=∠． ∵45EAF ∠=︒， ∴45DAF BAE ∠+∠=︒．∴45DAG BAE ∠+∠=︒，即45EAG ∠=︒． ∵AE AE =， ∴AFE AGE △≌△．∴EF EG EB BG BE DF ==+=+．点拨：旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中，从而可充分利用已知条件，找到有效的解题方法．这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用．本题是旋转一个经典模型（半角模型），其中结论较多．例3．如图，以ABC △的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EC 交AB 于点H ，连接BG 交CE 于点M ，求证：BG ⊥CE ．MH GFEDCBA证明：∵四边ABDE 、ACFG 是正方形， ∴,,90AE AB AC AG EAB GAC ==∠=∠=︒． ∴EAB BAC GAC BAC ∠+∠=∠+∠． ∴EAC GAB ∠=∠． ∴EAC GAB =△△． ∴AEC ABG ∠=∠．∵90,AEC AHE AHE BHM ∠+∠=︒∠=∠， ∴90ABG BHM ∠+∠=︒． ∴90EMB ∠=︒． ∴BG CE ⊥．点拨：本题旋转的基本模型，充分体现了利用旋转全等解题，本题是以ABC △为基本，以其两边分别向外构造正方形，构成旋转全等（其中用到了8字倒角），和其类似的还可以构造正三角形以及正五边形．例4．如图，在等腰ABC △中，,AB AC ABC α=∠=，在四边形BDEC 中，DB =DE ，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM 、DM ．M EDCB A（1）在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； （2）求证：AM DM ⊥；（3）当α= 时，AM DM =． 解：（1）M FEDCB A（2）在（1）中连接AD 、AF ．M FEDCB A由（1）中的中心对称可知，DEM FCM △≌△， ∴,,DE FC BD DM FM DEM FCM ===∠=∠， ∵2BDE α∠=，∴ABD ABC CBD ∠=∠+∠360BDE DEM BCE α=+︒-∠-∠-∠360DEM BCE α=︒--∠-∠．∵360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠． ∵AB AC =， ∴ABD ACF =△△． ∴AD AF =． ∵DM FM =， ∴AM DM ⊥． （3）45α=︒．∵,,AB AC AD AF BAC DAF ==∠=∠， ∴ADF ABC α∠=∠=．若AM DM =，则ADM △为等腰直角三角形，即45ADM ∠=︒， ∴45α=︒点拨：本题中第（1）问已经作出了中心对称图形，所以利用中心对称证全等的思路很清晰．本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角．初中几何常用的倒角是平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等．例5．已知:在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD = ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.D CBAA B CDABCD图1 图2 图3（1）（2）（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD.当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE＋AC=a＋b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a＋b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a＋b．例6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB＋AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC＋∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．ABCDMN AB CD M NN M 图3图2图1D CBA解：（1）=证明：∵AC 平分∠MAN ，∠MAN =120°， ∴∠CAB =∠CAD =60°， ∵∠ABC =∠ADC =90°， ∴∠ACB =∠ACD =30°， ∴12AB AD AC ==， ∴AB ＋AD =A C ． （2）成立．证法一：如图，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F ，ABCD M N F E∵AC 平分∠MAN ， ∴CE =CF ，∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ADC ＋∠CDE =180°， ∴∠CDE =∠ABC ， ∵∠CED =∠CFB =90°， ∴△CED ≌△CFB ， ∴ED =FB ，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE ，由（1）知AF ＋AE =AC ， ∴AB ＋AD =AC ，证法二：如图，在AN 上截取AG =AC ，连接CG ，AB CD M NG∵∠CAB =60°，AG =AC ，∴∠AGC =60°，CG =AC =AG ， ∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ABC ＋∠CBG =180°， ∴∠CBG =∠ADC ， ∴△CBG ≌△CDA ， ∴BG =AD ，∴AB ＋AD =AB ＋BG =AG =AC ；（3）①证明：由（2）知，ED =BF ，AE =AF ，ABC D M N FE在Rt △AFC 中，cos AFCAF AC∠=， 即cos2AFACα=， ∴cos2AF AC α=，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE =2AF 2cos 2AC α=．把α=60°，代入得AB AD +=． ②2cos2α点拨：在第（2）小题中，由题意可知，60BCD ∠=︒，有60°角就可把有关图形旋转60°，所以我们作,CE AM CF AN ⊥⊥的实质，就是将CBF △以顶点C 为旋转中心顺时针旋转了60°，从而构造了全等三角形，使此题有了解题思路．例7．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2)．（1）探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明； （2）当α＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．AB CDE 1F 1O FE 图2图1O DC BA解：（1）AE 1=BF 1．证明：∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA =OD ，∵OF =2OA ，OE =2OD ， ∴OE =OF ，∵将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1 ∴OE 1=OF 1，∵∠F 1OB =∠E 1OA ，OA =OB ， ∴△E 1AO ≌△F 1BO ， ∴AE 1=BF 1；（2）证明：取OE 1中点G ，连接AG ，ABCDE 1F 1O G∵∠AOD =90°，α=30°， ∴∠E 1OA =90°－α=60°， ∵OE 1=2OA ， ∴OA =OG ，∴∠E 1OA =∠AGO =∠OAG =60°，∴AG =GE 1，∴∠GAE 1=∠GE 1A =30°， ∴∠E 1AO =90°，∴△AOE 1为直角三角形．例8．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点．D'C'MFE DCBA（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD')与AB 交于一点E ，MC 即MC')同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ,于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQ D'C'M FE DCBA∵∠C =∠B =60°∴12CP BQ AB ==，CP +BQ =AB 又∵ADPQ 是矩形，AD =PQ ，故BC =2AD ， 由已知，点M 是BC 的中点， BM =CM =AD =AB =CD ，即△MDC 中，CM =CD ，∠C =60°，故△MDC 是等边三角形． （2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形，△MAB ，△MAD 和△MC'D'是等边三角形，∠BMA =∠BME +∠AME =60°，∠EMF =∠AMF +∠AME =60°， ∴∠BME =∠AMF ）．在△BME 与△AMF 中，BM =AM , ∠EBM =∠FAM =60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )．∴BE =AF , ME =MF ,AE +AF =AE +BE =AB ，∵∠EMF =∠DMC =60°，故△EMF 是等边三角形，EF =MF ． ∵MF 的最小值为点M 到ADEFAEF 的周长=AE +AF +EF =AB +EF ， △AEF的周长的最小值为2． 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上的任意一点，探究：22BD CD +与2AD 的关系，并证明你的结论．CBA2．如图，P 是等边△ABC 内一点，若AP =3，PB =4，PC =5，求APB ∠的度数．PCBA3．如图1，在ABCD □中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．（1）求证：AD AE =；（2）如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：DF EF -=；（3）请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．图1EDCBA图2PF ABCDE图3ABCDE4．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE =30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．图3图2图1CE ADBCE AD BEDCBA5．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．6．在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △ADE 中，AD =DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，探索BM 、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．DCG PAB EF图2DAB EF CPG图1图2图1AEBMD CMEDB CA7．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，EF =BE ，∠BEF =90°，按图1旋转，使点F 在BC 上，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探索EG 、CG 的关系，并说明理由；（2）将图1中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°得图2，连接DF ，取DF 的中点G ．问（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意度数（旋转角在0到90°之间）得图3，连接DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．图3BF DC GEABFDCGE AG F图2图1E DBCA中考前瞻将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111A B C D ，如图1所示． （1）当45α=︒时，如图2，若线段OA 与边11A D 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立①EOP FOP △≌△，②1PA PA =，试选择一个证明；（2）当090α︒<<︒时，第（1）小题的结论1PA PA =还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）在旋转过程，记正方形1111A B C D 与AB 边交于P 、Q 两点，探究POQ ∠的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系；如果不变，请直接写出POQ 的度数．PQ PD 1AA 1BB 1CC 1DD 1C 1B 1A 1F E F图2图1EDBCA。
初中数学辅助线添加技巧
初中数学辅助线添加技巧
中考数学辅助线的添加原理与技巧
几何问题是困扰学生的一大难题，尤其是需要添加辅助线的几何问题．科学、准确地引导学生添加每一条辅助线，能帮助学生揭开辅助线的神秘面纱，攻克几何难题．
1．把握基本图形是科学添加辅助线的前提
（1）把握基本图形的特征.
初中几何问题是由有限的几种基本图形演绎而来．学生只有熟悉了基本图形组成的线条及其条件和结论的特征，把握了基本图形的总体轮廓，就能在解决几何问题时联想到科学合理的辅助线．一个定理、概念就有一个基本图形．在概念和定理的教学中教师不必过于追究文字的描述，而应突出其基本图形的特征，把定理的条件和结论直观地表述在图形中，使之成为一个整体，成为基本图形的符号标志，通过观察图形，培养学生的视觉美感．教师还可以给基本图形取一个直观的名字，便于学生记忆，如双垂图（如图1）、角平分线图（如图2）、垂直平分线图（如图3）等等，也有利于学生把握基本图形的特征．。
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形:全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。
全等三角形中辅助线的添法(三大模型)(压轴题专项)(解析版)
全等三角形中辅助线的添法(三大模型)【模型一：倍长中线模型】1.(23-24八年级上·江苏·期末)如图，在△ABC 中．AD 是BC 边上的中线，交BC 于点D．(1)如下图，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ．求证：△ACD ≌△EBD．(2)如下图，若∠BAC =90°，试探究AD 与BC 有何数量关系，并说明理由．(3)如下图，若CE 是边AB 上的中线，且CE 交AD 于点O ．请你猜想线段AO 与OD 之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】(1)利用SAS 可得△ACD ≌△EBD ；(2)延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，先根据△ACD ≌△EBD 证得∠C =∠CBE ，AC =BE ，进而得到AC ∥EB ，AD =12AE ；再证得△ABC ≌△BAE SAS 利用全等三角形全等的性质即可；(3)延长OE 到点M ，使EM =OE ，连接AM ．延长OD 到点N ，使DN =OD ，连接BM ，BN ，BO ，证得△MOB ≌△NBO ASA 可得MB =NO ，进而得到AO =2OD ，本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【解题过程】(1)证明：在△ACD 和△EBD 中，DA =DE∠ADC =∠EDBDC =DB∴△ACD ≌△EBD SAS ；(2)解：AD =12BC ，理由如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，如图由(1)得△ACD ≌△EBD ，∴∠C =∠CBE ，AC =BE∴AC ∥EB ，AD =12AE ∴∠BAC +∠ABE =180°，∵∠BAC =90°，∴∠ABE =90°，∴∠BAC =∠ABE在△ABC 和△BAE 中AC =BE∠BAC =∠ABEAB =AB∴△ABC ≌△BAE SAS ∴BC =AE ，∴AD =12BC ；(3)AO =2OD ，理由如下：延长OE 到点M ，使EM =OE ，连接AM ．延长OD 到点N ，使DN =OD ，连接BM ，BN ，BO ，如图，由(1)得△AOE ≌△BME ，△ODC ≌△NDB ，∴∠AOE =∠BME ，∠OCD =∠NBD ，AO =BM ，∴AO ∥BM ，OC ∥NB ，∴∠MBO =∠BON ，∠MOB =∠NBO在△MOB 和△NBO 中，∠MBO =∠BONOB =OB ∠MOB =∠NBO，∴△MOB ≌△NBO ASA ∴MB =NO ，∴AO =2OD ．2.(23-24八年级上·广西北海·期末)八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB =9，AC =5，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小红的方法思考作答：(1)由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是；A.SSS B.SAS C.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是；A.5<AD<9B.5≤AD≤9C.2<AD<7D.2≤AD≤7(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC．【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．(1)根据三角形全等的判定定理去选择即可；(2)根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；(3)由“SAS”可证△EFD≌△CMD，可得EF=DM，∠EFD=∠M，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证∠M=∠BAD=∠CAM，可得AD平分∠BAC．【解题过程】(1)解：延长AD到点E，使DE=AD，∵BD=CD，在△ADC和△EDB中，CD=BD∠ADC=∠BDEAD=DE，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：B．(2)解：∵△ADC≌△EDB，∴AC=EB，∵AB=9，AC=5，AB-BE<AE<AB+BE，∴4<2AD<14，∴2<AD<7，故选：C；(3)证明：如图，延长AD至M，使DM=DF，连接CM，∵DE=DC，∠EDF=∠CDM，DF=DM，∴△EFD≌△CMD(SAS)，∴EF=DM，∠EFD=∠M，∴EF∥CM，∵EF∥AB，∴CM∥AB，∴∠BAD=∠M，∵EF=AC，∴EF=DM=AC，∴∠CAM=∠M，∴∠BAD=∠CAM，∴AD平分∠BAC．3.(23-24八年级上·安徽安庆·期末)(1)如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围；(2)如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【思路点拨】(1)由已知得出AB-BE<AE<AB+BE，即6-4<AE<6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；(2)延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论；(3)延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF=FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB= CG，即可得到结论．【解题过程】解：(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD SAS，∴BE=AC=4，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴6-4<AE<6+4，，∴2<AE<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5；(2)BE+CF>EF，理由如下：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示．同(1)得：△BMD≌△CFD SAS，∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM，∴BE+CF>EF；(3)AF +CF =AB ，理由如下：如图③，延长AE ，DF 交于点G ，∵AB ∥CD ，∴∠BAG =∠G ，在△ABE 和△GCE 中，CE =BE ，∠BAG =∠G ，∠AEB =∠GEC，∴△ABE ≌△GEC AAS ，∴CG =AB ，∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG =∠GAF ，∴∠FAG =∠G ，∴AF =GF ，∵FG +CF =CG ，∴AF +CF =AB ．4.(23-24八年级上·江苏南通·期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB =6,AC =4，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得△ADC ≌△EDB ，得到BE =AC ，在△ABE 中求得2AD 的取值范围，从而求得AD 的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，AB =AE ,AC =AF ,∠BAE +∠CAF =180°，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在△ABC 中，D ,E 是BC 的三等分点．求证：AB +AC >AD +AE ．【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．(1)延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM =AC ，在△ABM 中，根据AB -BM <AM <AB +BM ，即可；(2)延长AD 到M ，使得DM =AD ，连接BM ，由(1)的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM =2AD ，由AM =EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系；(3)，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【解题过程】(1)解：如图1所示，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD∠BDM=∠CDA DM=AD，∴△MDB≌△ADC(SAS)，∴BM=AC=4，在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM，∴6-4<AM<6+4，即2<AM<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5．(2)EF=2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由(1)知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC，∠M=∠MAC∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠MBA+∠M+∠BAM=180°，即∠MBA+∠BAC=180°，又∵∠BAE+∠CAF=180°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAF=∠MBA，又∵AB=EA，∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=EF，∴EF=2AD．(3)证明：如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH,BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH=CH∠BHA=∠CHQ AH=OH，∴△ABH≌△QCH(SAS),同理可得:△ADH≌△QEH,∴AB=CQ,AD=EQ，此时,延长AE交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK，∴AC+CQ>AK+QK，∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，∴AK+QK>AE+QE，∴AC +CQ >AK +QK >AE +QE ，∵AB =CQ ,AD =EQ ，∴AB +AC >AD +AE ．5.(23-24七年级下·广东佛山·期中)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC 中，AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD请根据小明的方法思考：(1)求得AD 的取值范围是；【问题解决】请利用上述方法(倍长中线)解决下列三个问题如图，已知∠BAC +∠CDE =180°，AB =AC ，DC =DE ，P 为BE 的中点．(2)如图1，若A ，C ，D 共线，求证：AP 平分∠BAC ；(3)如图2，若A ，C ，D 不共线，求证：AP ⊥DP ；(4)如图3，若点C 在BE 上，记锐角∠BAC =x ，且AB =AC =CD =DE ，则∠PDC 的度数是(用含x 的代数式表示)．【思路点拨】(1)根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；(2)延长DP 交AB 延长线于点F ，证△APF ≌△APD 即可；(3)延长DP 至点F ，使得PF =PD ，连接BF 、AF 、AD ，证△APF ≌△APD 即可；(4)过点C 作CM ⊥BC 交AP 于点M ，由(3)可得∠APD =90°，证△ACM ≌△DCP ，用含x 的代数式表示出∠PDC 即可．【解题过程】(1)∵AD 为BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，BD =CD∠ADC =∠EDBAD =ED∴△ADC ≌△EDB SAS ，∴BE =AC =6，∵AB =8，∴8-6<AE <8+6，即2<AE <14，∵DE =AD ，∴AD =12AE ，∴1<AD <7，故答案为：1<AD <7(2)如下图，DP 交AB 延长线于点F∠BAC +∠CDE =180°，∴AF ∥DE (同旁内角互补，两直线平行)，∴∠PFB =∠PDE ，∠PBF =∠PED ，∵P 为BE 的中点∴BP =PE ，∴△BPF ≌△EPD AAS ，∴BF =DE =DC ，PD =PF ，又∵AB =AC ，∴AB +BF =AC +DC ，即AF =AD ，在△APF 和△APD 中PF =PDAP =APAF =AD∴△APF ≌△APD (SSS )，∴∠P AF =∠P AD (全等三角形的对应角相等)，即AP 平分∠BAC(3)延长DP 至点F ，使得PF =PD ，连接BF 、AF 、AD由(1)同理易知△DPE ≌△FBP (SAS )，∴BF =DE =CD ，∠E =∠FBP ，∵∠BAC +∠CDE =180°，且∠BAC +∠CAD +∠ADC +∠CDE +∠E =360°，∠CAD +∠C +∠ADC =180°，∴∠ABF =∠ACD ，AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (SAS )，∴AF =AD ，∴△APF ≌△APD (SSS )，∴∠APD =∠APF =180°÷2=90°，∴AP ⊥DP(4)过点C 作CM ⊥BC 交AP 于点M ，由(3)可得∠APD =90°，∠BAC =x ，∠BAC+∠CDE =180°，AB =AC =CD =DE ，∴∠ACB =180°-x 2=90°-x 2，∴∠DCE =90°-∠CDE 2=90°-180°-x 2=x 2，∴∠ACB和∠DCE 互余，∠ACD =∠MCP =∠APD =90°，∴∠ACM =∠DCP =x 2，∠CAM =∠CDP ∴△ACM ≌△DCP (ASA )，∴MC =PC ，∴∠BP A =45°，又∵∠ACB =90°-x 2，∴∠PDC =∠P AC =∠ACB -∠APB =45°-x 2，故答案为：45°-x 2【模型二：旋转模型(截长补短)】6.(23-24八年级上·湖北武汉·期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠B =∠E =90°，∠CAD =12∠BAE ，AB =AE ，且CD =3，AE =4，则五边形ABCDE 的面积为()A.6 B.8 C.10 D.12【思路点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AEF ，首先证明点D ，E ，F 三点共线，证明△ACD ≌△AFD (SAS )，得到CD =DF =3，S △ACD =S △AFD ，再将所求面积转化为2S △AFD 进行计算即可．【解题过程】解：如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AEF ，∵AB =AE ，∠B =∠E =90°，则AF =AC ，∠B =∠AED =∠AEF =90°，∴∠DEF =180°，即点D ，E ，F 三点共线，∵∠CAD =12∠BAE ，∠BAC +∠DAE =∠DAE +∠EAF =∠CAD ，即∠FAD =∠CAD ，在△ACD 和△AFD 中，AC =AF∠CAD =∠FAD AD =AD，∴△ACD ≌△AFD (SAS )∴CD =DF ，S △ACD =S △AFD∵CD =3，∴DF =3，五边形ABCDE 的面积为：S 四边形ACDE +S △ABC =S 四边形ACDE +S △AEF=S △ACD +S △AFD =2S △AFD ，=2×12×DF ×AE ，=2×12×3×4=12．故选：D ．7.(23-24八年级上·上海·期中)如图所示，已知AC 平分∠BAD ，∠B +∠D =180°，CE ⊥AB 于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．【思路点拨】在AB 上截取EF ，使EF =BE ，联结CF ．证明△BCE ≌△ECF (SAS )，得到∠B =∠BFC ，又证明△AFC ≌△ADC ，得到AF =AD ，最后结论可证了．【解题过程】证明：在AB 上截取EF ，使EF =BE ，联结CF ．∵CE ⊥AB∴∠BEC =∠FEC =90°在△BCE 和△ECF{BE =EF∠BEC =∠FECCE =CE∴△BCE ≌△ECF (SAS )∴∠B =∠BFC∵∠B +∠D =180°又∵∠BFC +∠AFC =180°∴∠D =∠AFC∵AC 平分∠BAD∴∠FAC =∠DAC在△AFC 和△ADC 中{∠AFC =∠D∠FAC =∠DACAC =AC∴△AFC≌△ADC(AAS)∴AF=AD∵AB=AF+BE+EF∴AB=AD+2BE8.(23-24八年级上·山东临沂·期中)【基本模型】(1)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】(2)如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．(1)结论：EF=BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，然后求出∠EAF =∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF ，从而得解；(2)结论：EF=BE-DF，证明方法同法(1)．【解题过程】解：(1)结论：EF=BE+DF．理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，则：∠F AB=∠DAF,∠ABF =∠D=90°，AF=AF ，BF =DF，∴∠ABF +∠ABC=180°，即：F ,B,E三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠BAF +∠BAE=45°，∴∠EAF =∠EAF=45°，在△AEF 和△AEF 中，AF =AF∠EAF =∠EAF AE =AE，∴△AEF ≌△EAF (SAS )，∴EF =EF ，又EF =BE +BF ，∴EF =BE +DF ．(2)结论：EF =BE -DF ．理由：如图2，将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到△ABF ，则：BF =DF ,AF =AF ，同法(1)可得：△AEF ≌△AEF (SAS )，∴EF =EF ，又EF =BE -BF =BE -DF ，∴EF =BE -DF ．9.(23-24八年级上·湖北武汉·周测)(1)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ；(2)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ．(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【思路点拨】(1)延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ．先证明△ABM ≌△ADF ，得到AF =AM ，∠2=∠3，再证明△AME ≌△AFE ，得到EF =ME ，进行线段代换，问题得证；(2)在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．先证明△ABG ≌△ADF ，得到AG =AF ，再证明△AEG ≌△AEF ，得到EG =EF ，进行线段代换即可证明EF =BE -FD ．【解题过程】解：(1)证明：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ．∵∠ABC +∠D =180°，∠1+∠ABC =180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 与△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF (SAS )．∴AF =AM ，∠2=∠3．∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=12∠BAD =∠EAF ．∴∠3+∠4=∠EAF ，即∠MAE =∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM =AF∠MAE =∠EAF AE =AE，∴△AME ≌△AFE (SAS )．∴EF =ME ，即EF =BE +BM ，∴EF =BE +DF ；(2)结论EF =BE +FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．证明：如图，在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )，∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ，∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ，∴∠GAE =∠EAF ．在△AGE 与△AFE 中，AG =AF∠GAE =∠EAF AE =AE，∴△AEG ≌△AEF ，∴EG =EF ，∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ．10.(23-24八年级上·贵州黔东南·期末)【初步探索】(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，∠BAD =120°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中BE 、EF、FD 之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明：△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，(1)中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系．并证明你的结论．【思路点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．(1)根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF，据此得出结论；(2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF；(3)在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ADG≌△ABE，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【解题过程】解：(1)BE+FD=EF．理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ADC=90°，∴∠ADG=180°-∠ADC=90°，又∵∠B=90°，∴∠B=∠ADG，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG BE=DG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，即∠GAF=60°，∴∠GAF=∠EAF；在△AEF与△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=GF，∵GF=DG+DF，∴EF=BE+DF，故答案为：BE+FD=EF；(2)(1)中的结论仍成立，理由如下：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，∴∠GAF=∠EAF=60°，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；(3)∠EAF=180°-12∠DAB．证明：如图3，延长DC到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG BE=DG，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DG+FD，∴EF=GF，在△AEF与△AGF中，AE=AG EF=GF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-12∠DAB．【模型三：“K子”型(一线三垂直)】11.(23-24八年级上·广东江门·阶段练习)已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？(直接写出，不必证明)【思路点拨】(1)利用条件证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；(2)根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；【解题过程】(1)证明：如图2，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CBA ∠ABD=∠CAB AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE-AD，(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系：DE =BD +CE ，DE =BD -CE ，DE =CE -BD．如图1时，DE =BD +CE ，如图2时，DE =BD -CE ，如图3时，DE =CE -BD ，(证明同理)12.(23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习)(1)如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ,D ,A ,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．请写出DE ,BD ,CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【思路点拨】(1)利用已知得出∠CAE =∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE =BD +CE ；(2)根据∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，根据AAS 证出△ADB ≌△CEA ，从而得出AE =BD ，AD =CE ，即可证出DE =BD +CE ；【解题过程】(1)DE =BD +CE ．理由如下：∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠AEC =90°又∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA =90°AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD =AE ，AD =CE ，∵DE =AD +AE ，(2)DE =BD +CE ，理由如下：∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA AB =AC，∴△ADB ≌△CEA (AAS )，∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ．13.(23-24八年级上·山西大同·阶段练习)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1．已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小明对图2进行了探究，若∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ．BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．他发现线段DE 、BD 、CE 之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE 、BD 、CE 之间的数量关系，(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG (正方形的4条边都相等，4个角都是直角)，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，若BH =3，CH =7，求AI 的长．【思路点拨】(1)根据BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∠BAC =90°，可得∠CAE =∠ABD ，利用AAS 可证明△ADB ≌△CEA ，根据DE =AE +AD 即可得到DE =BD +CE ；(2)同(1)利用AAS 可证明△ADB ≌△CEA ，根据DE =AE -AD 即可得到DE =BD -CE ；(3)过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ，可构造两组一线三直角全等模型，即：△ABH ≌△EAM ，△AHC ≌△GNA ，从而可以得到EM =GN ，MN =4，再根据△EMI ≌△CNI 可得MI =NI =2，即可确定AI 的长度；【解题过程】(1)证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA AAS∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；(2)∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA AAS∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE-AD=BD-CE；(3)如图，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，∴∠EMI=∠GNI=90°∵∠BAH+∠EAM=90°，∠BAH+∠ABH=90°，∴∠EAM=∠ABH在△ABH和△EAM中，∠AHB=∠EMA ∠ABH=∠EAM AB=AE，∴△ABH≌△EAM(AAS)∴BH=AM=3，AH=EM，同理可得：△AHC≌△GNA∴CH=AN=7，AH=GN，即：EM=GN，MN=AN-AM=7-3=4，在△EMI和△CNI中，∠EMI=∠CNI∠EIM=∠CINEM=CN，∴△EMI≌△CNI(AAS)，∴MI=NI=12MN=2，∴AI=AM+MI=3+2=5．14.(23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；(2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；(3)如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2= 10．求出S1的值．【思路点拨】(1)由△ABC≌△DAE即可求解；(2)作DM⊥AF,EN⊥AF，利用“K字模型”的结论可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN，故可推出DM =EN，再证△DMG≌△ENG即可；(3)作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，利用“K字模型”的结论可得△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP，进一步可证△AMQ≌△FNQ，即可求解．【解题过程】(1)解：∵△ABC≌△DAE∴AC=DE故答案为：DE；(2)证明：作DM⊥AF,EN⊥AF由“K字模型”可得：△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN∴AF=DM,AF=EN∴DM=EN∵∠DMG=∠ENG=90°,∠DGM=∠BGN∴△DMG≌△ENG∴GM=GN即：点G是DE的中点(3)解：作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，如图：21∵四边形ABCD 和四边形DEGF 均为正方形∴∠ADC =∠EDF =90°,AD =CD ,DE =DF由“K 字模型”可得：△ADM ≌△DCP ,△DFN ≌△EDP∴S △ADM =S △DCP ,S △DFN =S △EDPAM =DP ,FN =DP∵∠AMQ =∠FNQ =90°,∠AQM =∠FQN∴△AMQ ≌△FNQ∴S △AMQ =S △FNQ∴S △ADQ +S △FNQ +S △DFN =S △ADQ +S △AMQ +S △DFN =S △ADM +S △DFN =S △DCP +S △EDP即：S 1=S 2∵S 1+S 2=10∴S 1=515.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板(在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =CB ；△DEF 中，∠DEF =90°，∠EDF =30°)，并提出了相应的问题．【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM ⊥DF ，垂足为点M ，过点C 作CN ⊥DF ，垂足为点N ，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；∵∠ABC =90°，∴∠ABM +∠CBN =90°，∵AM ⊥DF ，CN ⊥DF ，∴∠AMB =90°，∠CNB =90°，∴∠ABM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠CBN ，∵∠BAM=∠CBN∠AMB=∠CNB=90°AB=BC，；②AM=2，CN=7，则MN=；【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE= 5，BE=1，连接CE，则△ACE的面积为．【思路点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．(1)①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；②由①中△ABM≌△BCN(AAS)，利用两个三角形全等的性质，得到AM=BN=2，BM=CN=7，即可得到MN=MB+BN=CN+AM=9；(2)根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP，利用两个三角形全等的性质，得到AE=BP，BE=CP，由图中BE=BP+PE，即可得到三者的数量关系；(3)延长FE，过点C作CP⊥FE于P，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，从而PC=BE=1，PB=AE=5，则可求得PE，延长AE，过点C作CF⊥AE于F，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=4，代入面积公式得S△ACE，即可得到答案．【解题过程】解：(1)①∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，AB=BC，∴△ABM≌△BCN(AAS)；故答案为：△ABM≌△BCN(AAS)②由①知△ABM≌△BCN(AAS)，∴AM=BN,BM=CN，∵AM=2，CN=7，∴MN=MB+BN=CN+AM=9；故答案为：9；(2)结论：PE=PC-AE．理由如下：∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵CP⊥BE，∴∠CPB=90°，∴∠BCP+∠CBP=90°∴∠ABE=∠BCP，2223∵∠AEB =90°，∴∠AEB =∠CPB =90°，∵AB =BC ，∴△ABE ≌△BCP ，∴AE =BP ，BE =CP∵BE =BP +PE ，∴PE =BE -BP =PC -AE ；(3)延长FE ，过点C 作CP ⊥FE 于P ，如图所示：∵∠ABE +∠EBC =90°，∠ABE +∠BAE =90°，∴∠EBC =∠BAE ，∵∠AEB =∠CPB =90°，AB =BC ，∴△ABE ≌△BCP ，∴PC =BE =1，PB =AE =5，∴PE =PB -BE =5-1=4，延长AE ，过点C 作CF ⊥AE 于F ，如图所示：∵AF ⊥PE ，CP ⊥PE ，∴AF ∥CP ，∵AF ⊥PE ，CF ⊥AF ，∴PE ∥CF ，由平行线间的平行线段相等可得CF =PE =4，S △ACE =12×AE ×CF =12×5×4=10．故答案为：10．。
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线
1
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G， = ，MN= 3，求⊙O的半径；
4
（3）在（2）的条件下，当∠BAC=36°时，求线段CE的长
【详解】
(3) 作∠ABC的平分线BF交AC于F,连接AD
∵∠BNC=36°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBP=36°
∴∠BFC=72°即∠BAF=∠ABF、
∠BFC=∠ACB
∴BC=BF=AF
∵∠CBF=∠BAC,∠C=∠C
∴△CBF∽△CAB
∴BC²=CF·AC
设BC=x则AF=x
∴CF=2-x
∴x²=2（2-x）解得：x=± 5 − 1
∴BC= 5 − 1
∴AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵AB=AC
1
∴CD=BD= BC
【分析】①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；
②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；
③证明△ABD为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计
算求出最大值，进而进行判断
试炼场：
从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；
3
1
（2）连接OM，先求出MG= ，得出OG= OM，最后用勾股定理求解，即可得
2
2
出结论；
（3）作∠ABC的平分线交AC于F，判断出△BCF∽△ACB，得出比例式求成
BC= 5 − 1，连接AD，再求出CD=
例式求解，即可得出结论
5−1
，再判断出△DEC∽△ADC，得出比
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
初中数学等腰三角形添加辅助线方法与常见陷阱
初中数学等腰三角形添加辅助线方法与常见陷阱方法一：做三线合一中的一线三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。
第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。
第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。
又因为三角形全等，得出FD=CD。
所以，得出ED=BC的一半，即为定值。
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。
例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。
例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。
方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。
其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。
因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。
延长CE 至F，使EF=CE，连接BF。
倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。
初中数学常见陷阱陷阱1：在较复杂的运算中，因不注意运算顺序或者不合理使用运算律，致使运算出现错误。
常见陷阱是在实数的运算中符号层层相扣。
陷阱2：要求随机或者在某个范围内代入求值时，注意所代值必须要使式子有意义，常见陷阱是候选值里有一个会使分母为零。
陷阱3：注意分式运算中的通分不要与分式方程计算中的去分母混淆。
陷阱4：非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个式子都为0；常见非负数有：绝对值，非负数的算术平方根，完全平方式。
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初中数学辅助线的添加方法【压轴题必备】
一、添辅助线有二种情况
1、按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：
（1）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
（2）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形：
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形：
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
（7）相似三角形：
相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可
添加平行线得平行线型相似三角形。
若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
（8）特殊角直角三角形：
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
（9）半圆上的圆周角：
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二、基本图形的辅助线的画法
1、三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2、平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3、梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。