离心率的五种求法

离心率的五种求法

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<e ，抛物线的离心率1=e ． 一、

直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a

=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1b

y x 22

2

>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的

两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）

A. 10

B. 5

C.

310 D. 2

5

分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-

、C )1

b b

,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a

c

e ==

，从而选A 。

二、变用公式)c e a ==双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e

例2. 已知双曲线22

2

21(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43

y x =，则双曲线的离心率为（ ）

A. 35

B. 34

C. 4

5

D.

2

3 分析：本题已知b a

=

3

4

，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。 解：因为双曲线的一条渐近线方程为4

3y x =

，所以 43

b a =，则

5

3

c e a =

==，从而选A 。 1.设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离

心率等于( C )

A.3

B.2

C.5

D.6

解：由题双曲线()22

2200x y a b a b

－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方

程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即

2

2

4b a =2

21145b e a

∴=+=+=. 2.过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为,B C ．若12

AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．10 答案：C

【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，

22,,(,)a ab a ab

B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪

++--⎝⎭

，22222222(,),,a b a b ab

ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭

，

22

2,4AB BC a b =∴=因此 ，即2

24b a =，2

21145b e a

∴=+=+= 3.过椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，

若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )

A ．

22 B ．33 C ．12

D ．13

【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有2

32,b a a =即2223

b a =

从而可得2223113b e a ∴=-=-=

B

三、构造a 、c 的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例3.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且

BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）

A ．

32 B ．22 C ．13 D ．12

【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则1

2,2,2

OA OF a c e =∴=∴=

1.设1F 和2F 为双曲线22

221x y a b

-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三

角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．

32 B ．2 C ．5

2

D ．3 【解析】由3tan

6

23c b π

=

=有2222

344()c b c a ==-,则2c e a

==,故选B. 2.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）

A 3 B

26 C 3

6

D 33

解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则

2221b c MF MF +==，又c F F 221=，

在21MF F ∆中， 由余弦定理，得2

12

2

12221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=

∠,

即(

)(

)

(

)

2

22

22222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，

∵2

2

2

a c

b -=，∴2122

22-=--a c a ，∴2223c a =，∴2

32

=e ，∴26=e ，故选B