高中数学椭圆离心率求法专题(供参考)

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椭圆的离心率专题训练(2)

椭圆的离心率专题训练（带详细解析）2 2（2015?河南模拟）在区间［1 , 5］和［2 , 4］分别取一个数，记为 a, b ，则方程'a 2b 24. （2015?西安校级三模）斜率为 '的直线I 与椭圆| ■ -： ' :交于不同的2a bx 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（匚D.- 3 32 2设椭圆 C:'厂,=1 （a>b> 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, P 是C盘bPR 丄F 1F 2,/ PFF 2=30。

，贝U C 的离心率为(B.C. D. ■'3 2 6•选择题（共 29小题）1. (2015? 2 2潍坊模拟）椭圆.的左右焦点分别为 F 1, F 2,若椭圆"b 2 C 上恰好有（ 6个不同的点P,使得AF 1F 2P为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是A.2. 表示焦点在 A.B. x 轴上且离心率小于 -；的椭圆的概率为（ 215 17::C ::3. （2015?湖北校级模拟）已知椭圆2 2•-1 （a> b> 0）上 —点A 关于原点的对称点为占八B, F 为其右焦点，若 AF 丄BF,设/ ABF=c ，且：_A.两点，且这两个交点在 A.二B.2 2C.5. （2015?广西模拟）上的点, A.匚3_，则该椭圆离心率 e 的D.2 26. （ 2015?绥化一模）已知椭圆. :--, F 1, F 2为其左、右焦点，P2b 21PF 2的重心为G,内心I ，且有〔二…|. |. （其中则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ A. 一B. C. _ . 一 _ . 一 D.10. （2015?怀化二模）设 F 1, 则椭圆的离心率的取值范围是（2A 分别为椭圆' =1 （a> b>0）的左、右顶点，若a 2A.,1) B-1)D. I.—11. （2015?南昌校级二模）设A i ,为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，AF A.7. 为实数），椭圆 (2015? 圆上一点且 & (2015?C 的离心率e=（ D.亜2C.长沙模拟）已知 F i (- c. 2 20）, F 2 （c, 0）为椭圆岂+工牙二］的两个焦点，P 为椭/ b 2 ■■■，则此椭圆离心率的取值范围是（朝阳二模）椭圆-二+丁 =1 （a> b> 0）的左、 a 2 b 2右焦点分别是 F 1, F 2,过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为 M 若 A.. B . 2 - 7 C. 2 （2 - 7）MF 垂直于 D.二3x 轴，则椭圆的离心率为（ 9.（2015?新余二模）椭圆C 的两个焦点分别是F 1,F 2,若C 上的点P 满足|--,2F 2为椭圆的两个焦点,）若椭圆上存在点 P 满足/F i PF 2=120°,D.e<l在椭圆上存在点 P,使得哄:.. >-，则该椭圆的离心率的取值范围是（2A (0,)B. (0, C. -I 1 D. i.- . I112 . （2015?宜宾县模拟）设椭圆 C 的两个焦点为 N,若 |MF 2|=|F 尼|，且 |MF 1|=4 , |NF*=3，则椭圆 A. ■ 5线交椭圆于P, Q 两点，若|PF 2|=|F 冋，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为 A. ； B.52 2 16 . （2015?绍兴一模）已知椭圆 C:' ‘的左、右焦点分别为 F 1, F 2,a 2b 20为坐标原点， M 为y 轴正半轴上一点，直线 MF 交C 于点A,若F 1A± MF，且|MF 2|=2|OA| ,则椭圆C 的离心率为（） A . .. ' B .C. VD.:2 317 . （2015?兰州模拟）已知椭圆 C 的中心为O,两焦点为F 1、F 2, M 是椭圆C 上一点，且满足|「.|=2|” i|=2|「|，则椭圆的离心率 e=( )A. - 7B.- C.7D.75 3 3 313. (2015? 高安市校级模拟）椭圆C: 2 2丄+―=1 2a b（a>b>0）的左焦点为F,若F 关于直线「x+y=0的对称点A 是椭圆 A.丄 B. 2 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（血-]C並~2~ TD. 二一I14. (2015? 宁城县三模）已知 F i , F 2分别为椭圆二+」=1 （a> b> 0）的左、 : 右焦点，P为椭圆上一点，且 A. — B. 2 15. (2015? PR 垂直于x 轴. D. 若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ~F郑州二模）已知椭圆 2 2■'- ■' 1 (a>b>0)的两焦点分别是 F1, a bF 2,过F 1的直F 2,过点F 1的直线与椭圆 C 交于点M r 的离心率为（）B.-—+=1 (a > b > 0)的左、右焦点，直线 l a 2 bz23. （2015?宜宾模拟）直线 y=kx 与椭圆C:2 2■' +-'.=1 (a> b> 0)交于 A B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，且树？ _i ；=0,若/ ABF€ （ 0, —]，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）2 218 . （2015?甘肃校级模拟）设 F 1, F 2分别是椭圆 —+——=1 （a> b> 0）的左右焦点，若在 2 L 2 日b2 直线x=1上存在点卩，使厶PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ <■ A. （0,二）B . （0, —!：） C. （一，1） D.（工 1）3 2 3 2 19 . （2015?青羊区校级模拟）点 F 为椭圆二+— =1 （a > b > 0）的一个焦点，若椭圆上在点A 使厶AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ A. — B.2 D. 7- 1 20. (2015? 包头一模）已知椭圆 2 2 C: • - =1 (a> b> 0)和圆 O x 2+y 2=b 2，若 C 上存在 a 2 b 2点M 过点M 引圆0的两条切线，切点分别为 E, F,使得△ MEF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（） A. [ , 1） B. [ ：, 1） C. [ —, 1） 2 2 2 21. （2015?甘肃一模）在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆 2 2 ■' + =1 (a > b> 0) 上的一点 A 2 1 2 a b为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ B.（「y 轴相交于）B, C 两点，若△ ABC 是锐角三角 A.(娠-逅,V5 1)..； 1)D (°, I 〉过焦点F 2且与椭圆交于 . . 2 圆离心率为e,则e =A. 2 -「； B . 3 -*：「A, ( B 两点，若△ ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭） _ C. 11 - 6 ■: D . 9-6 ■:22.（ 2015?杭州一模）F i 、F 2为椭圆C:A. (0,匸]B . (0, '] C . [ : '] D. [ 1)2 3 2 3 3焦点，若椭圆上存在点 P 满足 =”？〒［=2c 2,则此椭圆离心率的取值范围是（C . ［ —，1） D.［二，二］2 225. （2015?张掖模拟）已知 F 1（- c, 0） ,F 2 （c, 0）是椭圆寻己=1 （a > b> 0）的左右a 2b 2两个焦点，P 为椭圆上的一点，且r r \T - ' •，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ：.； -p| B.- - C.丄.匚：D 匚卓：26. （2015?永州一模）已知两定点 A （- 1, 0）和B （1, 0）,动点P （ x, y ）在直线l : y=x+2 上移动，椭圆C 以A B 为焦点且经过点 P,则椭圆C 的离心率的最大值为（）A ——B. — C.D.5 2 V10 V5+1椭圆于另一个点 B,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若0v k v ，则椭圆的离心率3的取值范围是（）A （0,） B. （ , 1） C. （0, ：） D. （：, 1）3 3 3 32 2 2 2 229. (2015?江西校级二模)已知圆 O ： (x- 2) +y=16 和圆 Q: x+y =r (O v r v 2),动2 228. （2015?鹰潭一模）已知椭圆 G ： ' • - =1 （a>b>0）与圆G ： x 2+y 2=b 2，若在椭圆 Ga 2b 2过P 作圆的切线PA PB,切点为A, B 使得/ BPA^，则椭圆G 的离心率的取值范围是（） A 1斗B.■.肯C.E24. (2015?南宁三模)已知 F i (- c, 0),的两个A 「，B. ( 0,27. （2015?山东校级模拟）过椭圆=1 （a > b> 0）的左顶点 A 且斜率为k 的直线交上存在点P, F 2 (c, 0)为椭圆 =1 (a > b> 0)圆M与圆0、圆Q都相切，动圆圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e i、e2 (e i> e2),贝U e i+2e2的最小值是( )A "L： B.匕 C.匚 D.匕4 2 8参考答案与试题解析.选择题（共29小题）2 21.（2015?潍坊模拟）椭圆•’的左右焦点分别为 F i, F2,若椭圆F b2C上恰好有6个不同的点P，使得AF 1F2P为等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）A：、「 B. ■- !' C ： !' D L. 1. I . ■考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：分等腰三角形AF 1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F 1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰AF 1F2P;②当AF 1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，•「F i F^=F i P,•••点P在以F i为圆心，半径为焦距 2c的圆上因此，当以F i为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰AF1F2P,在厶F 1F2P1 中，F1F2+PF >PF2,即卩 2c+2c >2a- 2c,由此得知3c>a.所以离心率e>丄.3当e=2时，AF 1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故丄2 2同理，当F i P为等腰三角形的底边时，在e>丄且时也存在2个满足条件的等腰3 2△F 1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△ F 1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e€（2, 2）U（2，1）3 2 2圆离心率e 的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题.2 22. （2015?河南模拟）在区间［1 , 5］和［2 , 4］分别取一个数，记为 a, b ，则方程■'2 1 2丄a b 考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：表示焦点在x 轴上且离心率小于 …;的椭圆时，（a, b ）点对应的平面图形的面积大小 2和区间［1 , 5］和［2 , 4］分别各取一个数（a, b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解.解答：解：T 丄+》一二］表示焦点在x 轴上且离心率小于••• a > b >0, a v 2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示: 2 2则方程'■ ■-1表示焦点在x 轴上且离心率小于八 54 - 32 - 1 - k4 -3 -2 / “ --2-4 - -5 *点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.表示焦点在 A.丄B.2x 轴上且离心率小于-；的椭圆的概率为（ 2"C.「D -32 「的椭圆的概率为迪导（1旳三|士上.:二 ::,P= S 矩形故选B.点B, F 为其右焦点，若 AF 丄BF,设/ ABF=z ，且 •— 丄.二,则该椭圆离心率 e 的取值范围为（） A.「「_ 一 B 匚.：C 二二:D- ■：考点：椭圆的简单性质. 专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以:AB=NF 再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ，由离心率公式论. 2 2已知椭圆（ a> b> 0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接 AF ，AN, AF ，BF 所以：四边形 AFNE 为长方形. 根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a / ABF=x ，则：/ ANF a. 所以：2a=2ccos a +2csin a点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型.解答:e=〉=由：一故选：A厂 2 Z4.（2015?西安校级三模）斜率为丄的直线I与椭圆■' , ■ -： I :交于不同的2 a z b2两点，且这两个交点在 x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A 丄 B. C.」D.2 23 3考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.专题：计算题.分析：两边乘2a2b2,求得关于的先根据题意表示出两个焦点的父点坐标，代入椭圆方a 程，方程求得e.解答：解：两个交点横坐标是-c, c所以两个交点分别为（-C,-c）（ C,迟c）2 22 2代入椭圆C+C=12r9i 2 a 2b2 2两边乘2a b2 2 2、 ^22则 c (2b +a ) =2a b、2 2 2•b =a - c2 z 2 2、A 2 2 c ( 3a - 2c ) =2a A4 - 2a c2 22aA4 - 5a c +2。

椭圆离心率求法大全

2．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交C于A、B两点，若AB⊥AF2，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则C的离心率为（）
A．
B．
C．Biblioteka D．解答：解：有定义易知|AB|= 设|AF1|=x
则|AF2|=2a﹣x|BF1|= ﹣x|BF2|=2a﹣（ ﹣x）= +x
∵AB⊥AF2∴|AF1|2+|AF2|2=4c2|AF2|2+|AB|2=|BF2|2
解：设BF2=t，AF2=2t，有AF1=2 ﹣2t，BF1=2 ﹣t，
∵∠F1AB=90°，
∴（2 ﹣t）2=（3t）2+（2 ﹣2t）2，∴t= ，
∴AF1= ，AF2= ，∴4c2=（）2+（）2，
∴c= ，∴e= = ．
4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，若椭圆上存在一点C，使，则椭圆的离心率是（）
∴ ，
∵点C在椭圆上，∴ ，
化为4c2=a2+b2，∵b2=a2﹣c2，∴4c2=2a2﹣c2，化为，
∴e= ．
椭圆离心率求法
1．椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），过点E（，0）的直线与椭圆交于A，B两点，且 =2 ，则此椭圆的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
解答：
解：由 =2 ，可得：AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|，
∴ = ，整理得：a2=3c2，即e2= = ，故离心率e= ．故选：C．
A．
B．
C．
D．
解答：
解：由题意设椭圆的标准方程为．

求解椭圆离心率的常见方法

ʏ河南省郑州市第二高级中学韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇经典题突破方法高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届希望杯高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑徐利杰)52解题篇经典题突破方法高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

椭圆离心率求法大全

椭圆离心率求法大全
椭圆离心率又叫做偏心率，是衡量椭圆的对称性的重要特征值，表示椭圆的离心程度，离心率值越大椭圆形状越扁，可以表示为0≤E≤1，其中较接近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。

下面是求椭圆离心率的公式及求法：
（1）根据椭圆的标准方程：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
，其中a为长轴，b为短轴，可以求出椭圆的离心率E，公式为：
（2）也可以根据椭圆的几何定义求出离心率：
椭圆的离心率按照以下公式求出：
其中，e表示椭圆的外径c与内径b的绝对值的差值，e=|c-b|。

（3）根据椭圆的离心率及长短轴的比值，可以得出椭圆的长轴a和短轴b的关系：
a=b/E
（4）可以根据椭圆的中心坐标和其上任意点坐标进行求椭圆离心率计算：
（i）得到椭圆的中心坐标（h,k），任意点坐标为（x,y），并设椭圆的离心率为E。

（ii）根据点（h,k）和点（x,y）求椭圆的半长轴长：
a = $\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$
（iii）半短轴长可以求得：
（iv）根据半长轴长a及半短轴长b求离心率：
根据以上公式及求法，可以计算出椭圆的离心率。

注意，离心率在[0,1]之间，较接
近圆形的图形偏心率接近0，而较远离圆形图形的离心率则更接近1。

椭圆离心率求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26D.332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)

1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形，求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2

离心率专题1

2、构造 a 、 c 的齐次式，解出 e 根据题设条件，借助 a 、 b 、 c 之间的关系，构造 a 、 c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 e 的一元方程，从而解得离心率 e 。
x2 y2 1 （ a 0, b 0 ）的两焦点，以 a2 b2 线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1 F2 ，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲
c 2c 2c 2c a 2a PF1 PF2 2 2 c 2c
1 2 1
2 1
4、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆
x2 y2 1 （ a 0, b 0 ）的右焦点为 F1 ，右准线为 l1 ，若过 F1 a2 b2
.
且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离，则椭圆的离心率是
变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为 F1 1,0 、 F2 3,0 ，则其离心率为__________
解：由 F1 1,0 、F2 3,0 知 2c 3 1 ， ∴c 1，又∵椭圆过原点， ∴ a c 1 ，a c 3 ， ∴ a 2 ， c 1 ，所以离心率 e
解：如图所示， AB 是过 F1 且垂直于 x 轴的弦，∵ AD l1 于 D ，∴ AD 为 F1 到准线 l1 的
1 AB 1 2 距离，根据椭圆的第二定义， e AD AD 2 AF1
离心率的几种求法
张立勤椭圆的离心率 0 e 1 ，双曲线的离心率 e 1 ，抛物线的离心率 e接求出 a 、 c ，求解 e 已知圆锥曲线的标准方程或 a 、 c 易求时，可利用率心率公式 e 例 1：已知双曲线
c 来解决。 a
双曲线的离心率为___________

(完整版)专题：椭圆的离心率解法大全,推荐文档

专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e322，椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时，32124=⇒=-m m ；当焦点在y 轴上时，316214=⇒=-m mm ，综上316=m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为236，设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21。

二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在∆Rt ABC 中，ο90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ()36-=e2，如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) [解析]=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a cba b 221)(215-3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-4,椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变式（1）：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变式（2）椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2 e=55变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点)”相似题：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。

高考数学一轮复习专题10.6椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习(含解析)

第六讲椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线求离心率的三种方法（1）直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．（2）构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．注意：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍，否则将产生增根．考向一椭圆的离心率【例1】（1）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为。

（2）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．（3）若将（1）中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．【答案】（1）33 （2）6－22 （3）⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 【解析】解法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33．解法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．（2）在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°，∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中，有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°，∴m ＋nsin 75°＋sin 45°＝2c sin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22．（3）由题意，知c >b ，∴c 2>b 2．又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2．∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22．故C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1．【举一反三】1. 设F 1，F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF △ 是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为___________；【答案】34【解析】如图，设直线32ax =交x 轴于D 点，因为21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则有122F F F P =，因为1230PF F ∠=︒，所以260PF D ∠=︒，230DPF ∠=︒，所以22121122DF F P F F ==，即31222a c c c -=⨯=，即322a c =，即34c a =，所以椭圆E 的离心率34c e a ==2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为___________．【答案】5【解析】设F (c ，0)，则222c a b =- 由题意，易得直线A 1B 2，B 1F 的方程分别为1x y a b +=-，1x yc b+=- 将上述两个方程联立，求解可得点T 的坐标为T 2()(,)ac b a c a c a c+--，则M ()(,)2()ac b a c a c a c +-- 又点M 在椭圆上，所以2222()1()4()c a c a c a c ++=--，整理得221030c ac a +-= 两边同时除以2a ，可得21030e e +-=，解得5e =或5e =-(舍去)3.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为。

高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法

高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。

对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。

求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。

先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。

例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。

方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。

根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。

例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。

方法三：利用函数的思想分析解答。

根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。

例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。

需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。

高中数学离心率的求法题型总结

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

高二文科数学离心率的五种求法(精)

离心率的五种求法椭圆的离心率0<e<1，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。

ax2例1：已知双曲线2-y2=1（a>0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为a（） 3233 B. C. D. 2322223ac-132解：抛物线y=-6x的准线是x=，即双曲线的右准线x===，则2c2-3c-2=0，解得2cc2A.c=2，a=，e=c2，故选D =a3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(3,0)，则其离心率为（）3211 B. C. D. 4324解：由F1(1,0)、F2(3,0)知 2c=3-1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，c1所以离心率e==.故选C. a2A.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 36 B. C. D 2 222c3=，因此选C a2解：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2+2=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为=(2,-5)的光线，ab经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A 112BCD 32325(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，则2解：由题意知，入射光线为y-1=-⎧a2c⎪=3c=1a=e==解得，，则，故选A ⎨ca3⎪-5c+5=0⎩二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） +1 D. +1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为-，由焦半径公式2PF1=-exp-a， A. 4+2 B. 3-1 C.2c⎛c⎫c⎛⎫⎛c⎫即c=-⨯ -⎪-a，得⎪-2 ⎪-2=0，解得 a⎝2⎭⎝a⎭⎝a⎭ce==1+（1-3舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线2-2=1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线ab的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2B.C. 2D. 2 3解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得aba2+b2=c， 422242又c=a+b, ∴4ab=3c,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得3e-16e+16=0， 2() c2a2+b2b2422=1+>2e=4，∴e=2，故选A 得e=4或e=，又0<a<b ，∴e=2=，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，则双曲线的离心率为（）∠F1MF2=1200，A B 6 C D 323解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，在∆F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2= MF1+MF2-F1F22MF1⋅MF2222,b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2即-=，∴， =-22222b+c22c+b()()-a213222∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e==-3a=2ce=22222c-a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

离心率的求法(解析版)

第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。

椭圆离心率求法经典全面

例1：已知双曲线1222=-y a x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A. 23B. 23C. 26 D. 332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（） A.43 B. 32 C. 21 D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：若是双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e按照题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而取得关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的求法+课件——2024届高三数学二轮专题复习

2
A． B．
3
6
3
11
C．
12
D．
33
6
2
跟踪训练 4
已知 A，B 是椭圆 E：
2
+
2
2
= 1( > > 0)的左、右顶点，M 是
4
E 上不同于 A，B 的任意一点，若直线 AM，BM 的斜率之积为− ，则 E 的离心
9
率为(
A．
2
3
)
B．
3
3
2
C． D．
3
5
3
五、离心率的范围
例5
a b
O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三
3＋1
角形，则双曲线的离心率为________.
思维切入连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解.
c
点评涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值.
a
跟踪训练 2
（2023 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷 II）
为-3 的直线 l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（
A．(1, 10) B．(1, 5) C．( 10, +∞) D．( 5, +∞)
）
谢谢
2
AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是_____.
思维切入
通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2＝c2－a2，得到a
和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.
点评
求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心