平面的方程

平面的点法式方程 其中法向量 n {A, B,C}, 已知点 M0 (x0, y0, z0 ).
平面上的点都满足此方程，不在平面上的 点都不满足此方程，此方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
例1. 已知两点P1(u2uu,ur1, 2)和P2(6, 3, 4),求通
过点P1且与直线P1P2垂直的平面的方程.
有z 0,即xoy面.
与z轴垂直
z
z
o
o
y
y
x
x
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
z
z
o
o
y
y
x
x
(1)过原点的平面方程是 A x + B y + C z = 0
(2)平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别： D = 0时, 平面过坐标轴。
例2. 求通过点P1(1, 1, 5)和P2(2,3, 1)且垂直
zOx坐标平面的平面的方程.
例3. 已知不共线的三点M1(x1, y1, z1),M 2(x2, y2 , z2 ),M3(x3, y3, z3 ),求通过这三点的平面
的方程.
即 r i
x x1, y y1, z z1 x2 x1
则平面π的 x a y z
z R
方程为
a b 0 0.
a 0 c
o P
Qy
源自文库
有 bcx acy abz abc
x
当abc 0时,有 x y z 1 —平面的截距式方程 a bc
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
例4. 求通过点M(6, 0,1)且在x轴, y轴, z轴上
的截距之比为a : b : c 3: 2 :( 1)的平面
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
z
o y
x
D 0, 平面通过 x轴；
(2)
A
0,
D
0,
平面平行于 x轴；
z
o y
x
平面垂直于 yOz 坐标面。
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
z
z
o
o
y
y
x
x
(3) A B 0,
D 0, D 0,
平面平行于xoy 坐标面；
x3 x1
r j y2 y1 y3 y1
r k z2 z1 0, z3 z1
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
平面的三 点式方程.
平面的截距式方程
作为三点式的特例，若已知平面π与x, y, z轴
的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点，
面的法向量（法矢）．
o
y
x
法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
分析:平面的方程 1)一个点:uPu1(uu2r , 1, 2) 2)法向量:P1P2
1.2平面的点位式方程
在空间, 确定一个平面的几何条件是多 种 量a多r和样br的,则.通若过给点定P空0且间与一向点量P0a与r ,br不平共行线的的平向面
也唯一确定.与平面 平行的任意一对不共 线的向量ar 与br 称为平面的一对方位向量.
的方程.
1.3平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
不妨设 A 0，则
A x
D A
取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 7 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程. 解 设平面为 Ax By Cz D 0,
第二章 平面与直线
平面与直线是空间中最简单的曲面 与曲线，这一章我们将向量法和坐标法 结合使用，一方面导出平面与空间直线 在直角坐标系下的方程；另一方面研究 点、直线、平面之间的相互位置关系与 有关的度量关系。
§1 平面的方程
1.1平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直于
M0
M
一平面，这向量就叫做该平
于z轴的平面的方程.
小结
§1平面的方程
1.平面的点法式方程 2.平面的点位式方程 3.平面的三点式方程 4.平面的截距式方程 5.平面的一般式方程 6.平面一般式方程的几种特殊情况
练习
P70 4，2(2)(4)
作业
P70 2(1)(3) ， 5
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程. 解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
(3)平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; (即z = k) 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k) 特别： D = 0时, 平面就是坐标面。
例5. 求通过两点P1(2, 1, 2)和P2(3, 2,1)且平行
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
定理2.1.1 空间中任一平面的方程都可表 示成一个关于变数x, y, z的一次方程;反过 来,每一个关于变数x, y, z的一次方程都表 示一个平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例 8 求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐