平面的方程
与平面平行的平面方程
与平面平行的平面方程在三维空间中，平面是一个常见的几何体。
平面可以用多种方式来描述，其中一种方式就是用方程来表示。
平面方程可以用来求解平面上的点、直线与平面的交点、平面的法向量等。
在本文中，我们将讨论与平面平行的平面方程。
平面的一般方程在三维空间中，平面可以用一般方程来表示。
平面的一般方程为： Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是平面的法向量，D是平面的距离。
如果知道平面上一点的坐标以及平面的法向量，就可以用一般方程来表示平面。
与平面平行的平面方程如果已知一个平面的方程，如何求与该平面平行的另一个平面的方程呢？我们可以利用平面的法向量来求解。
如果两个平面平行，它们的法向量必须相同或相反。
因此，我们可以用以下公式来求解与平面平行的另一个平面的方程：Ax + By + Cz + D1 = 0Ax + By + Cz + D2 = 0其中D1和D2是两个平面的距离，它们可以任意取值。
由于两个平面平行，它们的法向量相同或相反。
因此，我们可以选择一个平面的法向量作为另一个平面的法向量，然后代入上述公式，解出D2即可。
举个例子，假设我们已知一个平面的方程为3x - 2y + 4z - 5 =0，求与该平面平行的另一个平面的方程。
首先，我们可以计算出该平面的法向量为(3,-2,4)。
然后，我们可以选择一个任意点，如(0,0,0)，代入该平面的方程，求出该点到平面的距离为5/√29。
最后，我们代入上述公式，得到另一个平面的方程为3x - 2y + 4z + 5/√29 = 0。
总结与平面平行的平面方程可以用平面的法向量来求解。
如果已知一个平面的方程，可以选择其法向量作为另一个平面的法向量，然后代入公式求解。
通过求解与平面平行的平面方程，我们可以更好地理解平面的性质和应用。
3.1平面方程
即
y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
(3)
O
M1 M3
M2
M
y
平面的三点式方程.
x
例1: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的 平面的方程.
解:
根据平面的截距式方程(4), 可设平面方程为:
x y z 1 2 3 c
又平面过点M(3, 1, 2)，则有
3 2 4 1 2 3 c
即:
12x +8y + 19z +24 = 0
(三) 平面的点法式方程
z n
1. 法向量:
O
y
x
若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为 平面 的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有方位向量 a , b
z
2. 向量式参数方程:
对于平面上任一点 M (x , y , z),
M 0 M, a , b
M0
b
M
r0
共面
M0M u a v b
O
r
a
y
x
又因为
M 0 M r r0 ，则上式可写为
3 B C = 0
C = 3B
所求平面方程为 By 3Bz = 0
即:
y 3z = 0
平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k)
平面及其方程
3 = =1 3
2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别: D = 0时, 平面过坐标轴.
法向量 n1 = {A1, B1, C1}
θ
n1
Π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
法向量 n2 = {A2, B2, C2}
θ
Π2 Π1
平面Π 1 与Π 2 的夹角θ 应是 ( n1 , n 2 ) 和( − n1 , n 2 ) = π − ( n1 , n 2 ) 两者中的锐角 ,
M1 n
M3 M2
= − 3 4 − 6 = 14i + 9j − k − 2 3 −1 所以, 所求平面的方程为: 14(x − 2) + 9(y + 3) − (z − 4) = 0
即: 14x + 9y − z − 15 = 0
二、平面的一般方程 1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A ≠ 0, 则方程可以化为 −D A x −( ) + B( y −0) +C ( z −0) = 0 A 它表示过定点 M 0 ( − D , 0 , 0 ) , 且法向量为 A n = {A, B, C}的平面. 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)
《平面方程》课件
点积和叉积的性 质：点积和叉积 都是线性的，即 满足分配律和结 合律
点积和叉积的应 用：点积可以用 来计算两个向量 之间的夹角，叉 积可以用来判断 两个向量是否垂 直或平行
05
平面方程的分类
平行平面和垂直平面
平行平面：两个平面平行，没有 公共点
平行平面和垂直平面的关系：平 行平面和垂直平面是平面方程分 类中的两种基本类型
平面方程
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
平面方程的定义 平面方程的应用 平面方程的分类
平面方程的求解方法 平面方程的特性
01
平面方程的定义
平面方程的基本概念
平面方程：描述平面上所有点的方程 平面方程的形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c、d为常数 平面方程的性质：满足方程的点在平面上，不满足方程的点不在平面上 平面方程的应用：解决几何问题，如求交点、求距离等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
垂直平面：两个平面垂直，有公 共点
平行平面和垂直平面的应用：在 几何学、工程学等领域有广泛应 用
相交平面和重合平面
相交平面：两个 平面相交于一个 平面完全重合， 称为重合平面
平行平面：两个 平面平行，没有 公共点，称为平 行平面
垂直平面：两个 平面垂直，只有 一个公共点，称 为垂直平面
利用向量法求解
利用参数方程求解
利用矩阵法求解
截距式求解
截距式方程：ax+by+c=0 单击添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可 酌情增减文字添加文本
求解步骤： a. 确定a、b、c的值 b. 解方程组： ax+by+c=0 a. 确定a、b、c的值 b. 解方程组：ax+by+c=0
平面方程的基本形式
平面方程的基本形式一、为什么需要平面方程？在几何学中，平面是一个重要的概念。
它是一个无限大的二维平面，由无数个无限小的点组成。
研究平面的性质和特点，对于解决几何问题和应用数学都具有重要意义。
而平面方程则是描述平面的数学工具，具体来说，它是用来表示平面上所有点的方程。
二、平面方程的基本形式平面方程的基本形式通常是通过平面上的点和平面的法向量来确定的。
一般来说，有两种常见的基本形式，分别是点法向式和一般式。
2.1 点法向式点法向式是平面方程的一种常见形式，它通过平面上的一点和平面的法向量来表示平面方程。
点法向式的一般形式如下：Ax + By + Cz = D其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是平面方程中的常数。
2.2 一般式一般式是另一种常见的平面方程形式，它通过平面上的点和平面的法向量的法向量分量来表示。
一般式的形式如下：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是平面的法向量的分量，而D则是平面方程中的常数。
三、如何确定平面方程确定平面方程的关键在于确定平面上的一点和平面的法向量。
一般来说，确定平面上的一点是比较容易的，可以通过给定的条件或者已知的点来确定。
而确定平面的法向量则需要一些特定的方法。
3.1 平面上的两个向量确定法向量平面上的两个向量可以确定平面的法向量。
具体来说，如果已知平面上的两个向量u和v，那么它们的叉乘u x v即为该平面的法向量。
3.2 通过法线方向确定法向量如果已知平面上的一点和平面的法线方向，那么可以通过求解法线方向的单位向量来确定平面的法向量。
求解法线方向的单位向量，可以通过将法线方向向量除以其模长得到。
四、平面方程的性质和应用平面方程的基本形式具有一些重要的性质和应用：4.1 平面方程与直线的关系平面方程可以用来判断一条直线是否与平面相交，以及求解它们的交点。
如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么它们没有交点；如果一条直线的方向向量与平面的法向量平行，则它们要么没有交点，要么有无数个交点；如果一条直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行，则它们有且只有一个交点。
平面和直线方程
0
n
p
理解为:yx
n
x0 y0
,
z
z0 p
.
4. 任一条直线均可表示为对称式方程.
例8 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0, 2x y 3z 4 0. 解
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 (4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
Lo
y
空间直线的一般(式)方程 x
注：表示同一直线的一般方程不唯一.
2. 直线的对称式和参数式
方向向量的定义： 一条已如知果一直非线零L向，量向s量平行s 于称
为直线 L 的方向向量．
设定点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) L,
例15.
求直线
x x
y y
z z
1 1
0 0
在平面
x
yz0
上的投影直线方程.
解：
例16 已知平面 1：x y z 0 , 2：x y z 1 0, 求通过1与 2的交线且过点（2，3， 4）的平面方程 .
解：
内容小结
1.平面基本方
一程般: 式 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
d P2P2 (s1 s2 )
s1 s2
P2
L2
n
P1P2
另法: 做一法向量
n s1 s2
P1
s1
s2
L1
过直线L1
做平面,
则法向量为
n s1 s2
故平面∥ 直线L2 ，点P2 到平面 的距离就是 d .
平面的方程
平面平行于z 平面平行于 轴 平面通过z 平面通过 轴 平面平行于x 平面平行于 轴 平面通过x 平面通过 轴 平面平行于y轴 平面平行于 轴 平面通过y 平面通过 轴
平面平行于 yOz 平面 即为 yOz 平面 平面平行于 xOz 平面 即为 xOz 平面 平面平行于 xOy平面 平面 即为xOy平面 即为 平面
(
)
平面的坐标式方程，简称法式方程为 平面的坐标式方程，简称法式方程为 法式方程 x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0
平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1 ①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1； 因为p是原点 是原点O 的距离， ②因为 是原点 到平面 π 的距离，所以常数 − p ≤ 0
3. 平面的点位式方程
r ur r r 平面的点位式方程为 r − r0 , a, b
(
பைடு நூலகம்
)
或
x − x0 X1 X2
y − y0 Y1 Y2
z − z0 Z1 = 0 Z2
4. 平面的三点式方程 .
例1 已知不共线三点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z3 )，求通过三 的方程。 点 M1 , M 2 , M 3 的平面 π 的方程。 其向量式参数方程
2 2 2
=0
在取定符号后叫做法式化因子 λ 在取定符号后叫做法式化因子
λ 选取的符号通常与常数项 D 相反的符号
例3 已知两点 M 1 (1, −2,3) , M 2 ( 3, 0, −1) ，求线段 M 1M 2 的 垂直平分面 π 的方程
1.6平面及其方程
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 讨论： 1.填写下表: 平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法线向量 n=(0, B, C) n=(A, 0, C) n=(A, B, 0) n=(0, 0, C) n=(A, 0, 0) n=(0, B, 0) 法线向量垂直于 平面平行于 x轴 x轴 y轴 y轴 z轴 z轴 x轴和y轴 xOy平面 y轴和z轴 yOz平面 x轴和z轴 zOx平面
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的 方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0.
平面的点法式方程 过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平 面的方程.
解 我们可以用 M 1M 2 M 1M 3 作为平面的法线向量 n. 解
2.平面Ax+By+Cz=0有什么特点？ 提示： D=0, 平面过原点.
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C). 例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 可设此平面的方程为 By+Cz=0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C=0. 将C=-3B其代入所设方程, 得 By-3Bz=0. 于是所求的平面方程为 y-3z=0. 提示：平面通过 x 轴 , 表明 A=0( 它的法线向量垂直于 x 轴 ) 且 D=0(它通过原点).
§3.1 平面的方程
§3.1 平面的方程一、平面的点位式方程1. 在空间给定了一点M0(x0, y0, z0)与两个不共线矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2,Z2 }, 那么通过点M0且与矢量, 平行的平面π就被唯一确定，矢量, 叫做平面的方位矢量. 这个概念与中学几何中的“两条相交直线确定一个平面”是一致的.2. 如图3-1, 在空间取标架{O;,,}，则平面的矢量式参数方程为＝+u+v,坐标式参数方程为(其中u, v为参数).3. 平面π的方程还可表示为 (,,)＝0和＝0.它们和2中的方程一起都叫做平面的点位式方程.4. 由不共线三点M i (x i, y i, z i)(i＝1,2,3)确定的平面π的三点式方程为＝＋u(－)＋v().(－,－,)＝0，＝0, 或＝0.5. 平面的截距式方程为＋＋＝1，其中a, b, c（abc≠0）分别叫做平面在三坐标轴上的截距.二、平面的一般方程空间平面的基本定理：空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x, y, z的一次方程；反过来，每一个关于变数x, y, z的一次方程都表示一个平面. 方程Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C不全为0)叫做平面的一般方程.证明：因为空间任意平面都可以由它上面的一个点M0(x0, y0, z0)与两个方位矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }确定，因而方程可以写为＝0.此方程展开就可写成：Ax+By+Cz+D=0，其中A=，B=，C=. 因为,不共线，所以A，B，C不全为零，这表明空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x, y, z的一次方程；反过来，在方程Ax+By+Cz+D=0中，因为A，B，C不全为零，不妨设A≠0，则有A2（x+）+Aby +AC z=0，即＝0.显然，它是由一点M0(, 0, 0)与两个方位矢量＝{B, －A, 0}，＝{C, 0, －A }确定的平面.三、平面的点法式方程1. 如果在空间给定一点M0和一个非零矢量，那么通过点M0且与矢量垂直的平面唯一地被确定. 把与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或简称平面的法矢. 这个概念与中学几何中的“过一点与已知直线垂直的平面是唯一确定的”一致.2. 如图3-2, 在空间直角坐标系{O;,,}下，设点M0的径矢＝，平面π上任意一点M的径矢为＝，且M0 (x0, y0, z0), M(x,y,z)，则⋅(－)＝0 或A(x－x0)+B(y－y0)+C(z －z0)＝0都叫做平面的点法式方程.3. 如图3-3, 如果平面上点M0特殊地取自原点O向平面π所引垂线的垂足P, 而π的法矢量取单位法矢量，当平面不过原点时，的正向取为与相同；当平面过原点时，的正向在垂直于平面的两个方向中任取一个，设||＝p，则⋅－p＝0叫做平面的矢量式法式方程.如果设＝{x, y, z}，＝{cosα, cosβ, cosγ}, 则x cosα+ y cosβ + z cosγ－p＝0叫做平面的坐标式法式方程或简称法式方程.4. 把平面的一般方程Ax+By+Cz+D＝0化为法式方程的方法如下：以法式化因子λ＝（在取定符号后）乘以方程Ax+By+Cz+D＝0可得法式方程：.其中λ的选取，当D≠0时，使λD＝－p<0，即λ与D异号；当D＝0时，λ的符号可以任意选取（正的或负的，一般选与A同号，若还有A＝0，则选与B同号等等）.例1. 求通过M1(1, －1, －5) 和M2(2, 3, －1) 且垂直于xOz坐标面的平面π的方程.解：取定点为M1(1,－1,－5)，方位矢量为＝{0,1,0}和＝{1, 4, 4}，故有＝0,即 4x―z―9＝0.例2. 已知两点A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，求分别过AB的中点、两个三等分点且与AB垂直的平面方程.解：取＝{a1－b1,a2－b2,a3－b3}为所求平面的法矢量, AB的中点是M ,两个三等分点是M1, M2,设P (x, y, z)为平面上任意点，则过M, M1, M2分别与AB垂直的平面的点法式方程为＝0或＝0,＝0或＝0,＝0或＝0.化成坐标式方程分别为(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.例3. 已知三角形顶点为A (0, －7, 0), B (2, －1, 1), C (2, 2, 2), 求平行于△ABC所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：△ABC所在的平面方程为＝0 或 3x－2y＋6z－14＝0.设M(x, y, z)为所求平面上的任意一点，依题意有,3x－2y＋6z－14＝±14,故所求的平面方程有两个：3x－2y＋6z＝0 和3x－2y＋6z－28＝0.例4. 求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴Ox, Oy与Oz上的截距之比为a:b:c＝－1:3:2的平面.解：依题意可设所求平面为,6x－2y－3z＋6k＝0,以法式化因子λ＝±乘以上式两端从而±＝6, k＝±7故所求的平面方程有两个6x－2y－3z ± 42＝0.例5. 平面＝1分别与三个坐标轴交于A, B, C, 求△ABC的面积.解：依题意有A (a, 0, 0), B(0, b, 0), C (0, 0, c), 则＝{－a, b, 0}, ＝{－a, 0, c},所以S△ABC＝||＝|{bc, ac, －ab}|＝.例6. 设从坐标原点到平面++=1的距离为p，求证++=.证明：将++－1=0化为法线式＋＋－＝0，依题意有＝p，整理即得++=.作业题：1. 如果两个一次方程 (a－3) x+(b+1) y+(c－2) z+8＝0和 (b+2)x+(c－9) y+(a－3) z－16＝0表示同一平面，试确定a, b, c的值.2. 已知A(a1, a2, a3)及B(b1, b2, b3)，分别求过A、B且与AB垂直的平面的方程.3. 原点O在所求平面上的正射影是P (a, b, c)，求平面方程.4. 已知一平面过点M0.(x0, y0, z0)，且在x轴、y轴上的截距分别是a、b, 求其方程.。
平面方程与平面直线方程
， 2 相互平行或者重合的条件为：
1 2
B B
1 2
C C
1 2
1
， 2 相互垂直的条件为：
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 =0
3、 点到平面的距离 点 P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，到平面 Ax+By+CZ+D=0 的距离：
x x0 y y0 z z0 m n p =t
0
则： x=mt+ x y=nt+
y
0
Z=pt+ z
0
--------------------------参数方程
5、 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时， 直线和它在平面上的投影直线 的夹角φ（ 0 ）称为直线与平面的夹角
n M 0 M =0
n
M0
M
x
n M 0 M =0
n
= {A, B, C};
M 0 M = {(x- x 0 ), (y- y0 ), (z- z 0 )}
A(x- x 0 ) +B(y- y0 ) +C (z- z 0 ) =0 ---------------------------点法式
（2）平面方程一般式
Ax+By+CZ+D=0 该方程系数就是该平面的法线向量， n = {A,B,C}
特殊三元一次方程图形： ① D=0, 表示一个通过远点的平面 ② A=0,表示为一个法线向量垂直与 x 轴的平面 ③ A=B=0，表示同时垂直与 x 和 y 轴的平面
（3）平面的截距式
c b a
x
x y z 1 a b c
两平面平行方程关系
两平面平行方程关系平面是我们生活中经常接触到的几何图形，平面的基本性质之一就是平行性。
两个平面如果不相交且在同一平面内，那么它们就是平行的。
本文将从平面方程的角度探讨两平面平行的方程关系。
一、平面方程平面方程是描述平面的数学式子，通常写成一般式和点法式。
一般式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量，D是平面的截距。
点法式为(x - x0)A + (y - y0)B + (z - z0)C = 0，其中(x0, y0, z0)是平面上的一个点，A、B、C是平面的法向量。
二、两平面平行的条件两个平面平行的条件是它们的法向量平行。
设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，则两个平面平行的条件为n1 || n2，即n1与n2平行。
三、平行平面的方程关系两个平面平行的情况下，它们的法向量平行，可以表示为n1 = k*n2，其中k是一个实数。
我们可以将平面P1的一般式写成Ax + By + Cz + D1 = 0，平面P2的一般式写成Ax + By + Cz + D2 = 0，将它们的法向量代入一般式中得到：A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中A1 = k*A2，B1 = k*B2，C1 = k*C2，D1 ≠ k*D2。
两个平面的方程可以表示为一个线性方程组，我们可以通过高斯消元法求解得到它们的方程关系。
四、实例分析我们来看一个具体的例子。
设平面P1的法向量为(1, -2, 1)，平面P2的法向量为(2, -4, 2)，它们的一般式为：x - 2y + z + D1 = 02x - 4y + 2z + D2 = 0将它们的法向量代入一般式中得到：x - 2y + z + D1 = 02x - 4y + 2z + D2 = 0其中2*(x - 2y + z + D1) - (2x - 4y + 2z + D2) = 0，化简得到3D1 - D2 = 0。
三点求平面方程公式
三点求平面方程公式
平面方程是数学几何中的重要概念，它描述了三维空间中的一个平面的几何特征。
平面方程由三点确定，可以使用这三点的坐标来推导出平面的方程公式。
给定三个不共线的点A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，C(x₃, y₃, z₃)，我们可以通过以下步骤求解平面的方程公式。
首先，我们可以使用向量的减法来得到两个位移向量AB和AC。
这两个向量定义了平面内的两个方向。
我们可以通过计算叉积AB × AC得到一个垂直于平面的法向量N。
然后，我们可以使用平面上的一点A和法向量N来构建平面的方程。
平面上的每个点P(x, y, z)都满足以下关系式：N · AP = 0，其中N是法向量，AP是从点A 到点P的位移向量。
将A(x₁, y₁, z₁)和N(i, j, k)代入上述关系式，我们可以得到平面的方程公式：(x - x₁)i + (y - y₁)j + (z - z₁)k = 0。
这就是通过给定的三个点A、B和C，求解平面方程的公式。
使用这个公式，我们可以通过检查一个点是否满足平面方程来确定它是否在该平面上。
需要注意的是，在应用这个公式时，要确保所选取的三个点不共线，这样才能得到一个唯一的平面。
总结起来，给定三个不共线的点A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，C(x₃, y₃,
z₃)，可以使用上述步骤求解平面的方程公式。
该公式为：(x - x₁)i + (y - y₁)j + (z - z₁)k = 0。
这个公式描述了平面的几何特征，并可以用来验证一个点是否在该平面上。
空间平面方程的五种形式
空间平面方程的五种形式
平面方程是描述平面几何形式的一种方法，有五种形式：一元二
次方程、标准形式、黄金分割法、分数解法和参数形式。
它们都有自
己的特点和作用，被广泛应用于几何计算和图形分析中。
首先，一元二次方程是表达平面几何关系的常见形式。
它经常将
平面中所有点用一元二次表达式包括，如平行四边形、圆形和椭圆等，便于编写程序和计算立体物体的表面积等。
其次，标准形式是测量学上应用广泛，它将平面建模为一个单一
的线性方程式，其形式为Ax+By+Cz=D，易于使用计算机程序来进行实
时计算。
接下来，黄金分割法旨在计算平面中的点，也可以用来测量物体
的质量，并能在实践中准确测量出X，Y两坐标。
四，分数解法是求解平面方程的一种常用方法，可以利用分数表
示平面区域的多种形式，主要是通过斜率和截距来确定一条直线。
最后，参数形式是测量物体的重要部分，它将平面上的所有点用x，y参数表示，可以得出物体在x，y两个轴上的位置，为测量物体的几何特征奠定基础。
总之，平面方程的五种形式各有特点，它们描述了平面几何形式
之间的关系，在几何计算和图形分析中有着重要的作用，为研究物体
几何特征提供了可靠的数据支持。
平面的三种方程
平面的三种方程
1.点法式方程：点法式方程是指以平面上一点和法向量描述平面的方程，它的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0。
其中，A、B、C为平面的法向量坐标，D为平面截距。
2. 斜截式方程：斜截式方程是指以平面上一点和平面斜率描述平面的方程，它的一般形式为y = mx + b。
其中，m为平面的斜率，b为平面与y轴的截距。
3. 一般式方程：一般式方程是指以平面法向量和点坐标描述平面的方程，它的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0。
其中，A、B、C 为平面的法向量坐标，D为平面与坐标系原点的距离。
这三种方程形式各有优缺点，可以根据具体情况选择使用。
同时，它们也是研究解析几何和三维空间中的重要工具。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
不妨设 A 0，则
A x
D A
面的法向量（法矢）．
o
y
x
法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
z
o y
x
D 0, 平面通过 x轴；
(2)
A
0,
D
0,
平面平行于 x轴；
z
o y
x
平面垂直于 yOz 坐标面。
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
z
z
o
o
y
y
x
x
(3) A B 0,
D 0, D 0,
平面平行于xoy 坐标面；
例2. 求通过点P1(1, 1, 5)和P2(2,3, 1)且垂直
zOx坐标平面的平面的方程.
例3. 已知不共线的三点M1(x1, y1, z1),M 2(x2, y2 , z2 ),M3(x3, y3, z3 ),求通过这三点的平面
的方程.
即 r i
x x1, y y1, z z1 x2 x1
第二章 平面与直线
平面与直线是空间中最简单的曲面 与曲线，这一章我们将向量法和坐标法 结合使用，一方面导出平面与空间直线 在直角坐标系下的方程；另一方面研究 点、直线、平面之间的相互位置关系与 有关的度量关系。
§1 平面的方程
1.1平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直于
M0
M
一平面，这向量就叫做该平
于z轴的平面的方程.
小结
§1平面的方程
1.平面的点法式方程 2.平面的点位式方程 3.平面的三点式方程 4.平面的截距式方程 5.平面的一般式方程 6.平面一般式方程的几种特殊情况
练习
P70 4，2(2)(4)
作业
P70 2(1)(3) ， 5
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和 3x 2 y 12z 5 0的平面方程. 解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
分析:平面的方程 1)一个点:uPu1(uu2r , 1, 2) 2)法向量:P1P2
1.2平面的点位式方程
在空间, 确定一个平面的几何条件是多 种 量a多r和样br的,则.通若过给点定P空0且间与一向点量P0a与r ,br不平共行线的的平向面
也唯一确定.与平面 平行的任意一对不共 线的向量ar 与br 称为平面的一对方位向量.
(3)平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; (即z = k) 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k) 特别： D = 0时, 平面就是坐标面。
例5. 求通过两点P1(2, 1, 2)和P2(3, 2,1)且平行
x3 x1
r j y2 y1 y3 y1
r k z2 z1 0, z3 z1
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
平面的三 点式方程.
平面的截距式方程
作为三点式的特例，若已知平面π与x, y, z轴
的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点，
平面的点法式方程 其中法向量 n {A, B,C}, 已知点 M0 (x0, y0, z0 ).
平面上的点都满足此方程，不在平面上的 点都不满足此方程，此方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
例1. 已知两点P1(u2uu,ur1, 2)和P2(6, 3, 4),求通
过点P1且与直线P1P2垂直的平面的方程.
取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 7 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程. 解 设平面为 Ax By Cz D 0,
有z 0,即xoy面.
与z轴垂直
z
z
o
o
y
y
x
x
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
z
z
o
o
y
y
x
x
(1)过原点的平面方程是 A x + B y + C z = 0
(2)平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别： D = 0时, 平面过坐标轴。
由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
பைடு நூலகம்
n{4,1,2},
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例 8 求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐
则平面π的 x a y z
z R
方程为
a b 0 0.
a 0 c
o P
Qy
有 bcx acy abz abc
x
当abc 0时,有 x y z 1 —平面的截距式方程 a bc
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
例4. 求通过点M(6, 0,1)且在x轴, y轴, z轴上
的截距之比为a : b : c 3: 2 :( 1)的平面
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
定理2.1.1 空间中任一平面的方程都可表 示成一个关于变数x, y, z的一次方程;反过 来,每一个关于变数x, y, z的一次方程都表 示一个平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程