平面的点法式方程
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时, 平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
分析:利用三点式
xa a
y b
z 0 0
a 0 c 按第一行展开得 ( x a)bc y (a)c zab 0
即
bcx acy abz abc
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
n
M1 M3 M2
n M 1M 2 M 1M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
(P327 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
1 cos . 12 ( 1) 2 2 2 22 12 12 2
1 2 (1) 1 2 1
1 因此 arccos . 2 3
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例5. 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
M 0M n
z
M
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n
M0
故
M 0M n 0
o x
①
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
2
即
n1 n2 cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1B2 C1C2
2 A1
2 B1
2 C1
A2 B2 C2
2
2
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
约去C , 得 即
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
2x y z 0
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例6. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 P 1P 0n PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M 1M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A B C 0, 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
1
2
n1
n2
2 1
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n1
例4. 求两平面 x y 2 z 6 0和2 x y z 5 0 的 夹角. 解: 应用公式有
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时, 平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
分析:利用三点式
xa a
y b
z 0 0
a 0 c 按第一行展开得 ( x a)bc y (a)c zab 0
即
bcx acy abz abc
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
n
M1 M3 M2
n M 1M 2 M 1M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
(P327 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
1 cos . 12 ( 1) 2 2 2 22 12 12 2
1 2 (1) 1 2 1
1 因此 arccos . 2 3
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例5. 一平面通过两点 M 1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C ) , 求该平面的方程.
任取点 M ( x, y, z ) , 则有
M 0M n
z
M
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n
M0
故
M 0M n 0
o x
①
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
2
即
n1 n2 cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1B2 C1C2
2 A1
2 B1
2 C1
A2 B2 C2
2
2
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
约去C , 得 即
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
2x y z 0
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例6. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 P 1P 0n PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M 1M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A B C 0, 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
1
2
n1
n2
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n1
例4. 求两平面 x y 2 z 6 0和2 x y z 5 0 的 夹角. 解: 应用公式有