直线的点法式方程与一般式方程练习课(课堂PPT)

合集下载

3. 直线的一般式方程PPT完美课件

A1A2+B1B2=0
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
*
理论迁移 3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例1 已知直线经过点A（6，-4），
斜率为 4 ，求直线的点斜式和一般式方
程.
3
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
*
知识探究（二）：一般式方程的变式探究
思考1:设A，B不同时为0，那么集合
M={(x，y)| Ax+By+C=0 }的几何意义如何？
思考2:如何由直线的一般式方程 Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐标轴上的截距？
*
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
思考3:当A，B，C分别为何值时，直
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和迁移，联系相关的文学名著展开分析，提出自己的认识和看法，说出自己阅读文学名著的感受和体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲突中，充分深刻显示人物复杂内心世界，突出了对人物性格的刻画，使其有血有肉，栩栩如生。
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
*
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0
和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，
求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和 l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
3. 直线的一般式方程PPT完美课件

直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT教学课件

直线的点法向式Байду номын сангаас程和直线的一般式方程
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l n ,
写出直线 l 的方程. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(x, y) ，由直线垂直于非零向量 n ，故 PQ n 。根据 PQ n 的充要条件知 PQ n 0 ，即： a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ⑤；反之，若 (x1, y1) 为方程⑤的任意一解，即 a(x1 x0 ) b( y1 y0 ) 0 ，记 (x1, y1) 为坐标的点为 Q1 ，可知 PQ1 n ，即 Q1 在直线 l 上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线 l 的方程，直线 l 是方程⑤的直线。我们把方程 ⑤叫做直线l 的点法向式方程。
3:扩张特点：组织商业公司，以印度和北美作为扩张重点
4:扩张简况(17世纪初开始) 印度：在西、东海岸建立殖民地北美：沿大西洋沿岸建立殖民地
英国对印度的侵略
英法在北美殖民地
争夺殖民地的斗争
• 英荷：三次英荷战争，英国夺得新尼德兰，荷兰丧失海上强国地位
• 英法：在欧、亚、美争霸，通过七年战争，英国夺得印度和北美大片土地
（2）求过点 B(3, 4) 且垂直于直线 l2 : 3x 7 y 6 0 的直线方程。例 3 能否把直线方程 2x 3y 5 0化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察 x、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？变式：直线 ax by c 0 的方向向量可以表示为？

直线的两点式和一般式方程课件-2023学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

−1
−1
=
2−1 2−1
适用条件：
直线l的斜率存在，且不为0
（即直线不与坐标轴垂直）
---直线l在x轴上的截距
的一般式方程．
方法一：设P（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，
则P在直线l上的充要条件是 AP 与 Ԧ ＝（3，－4）垂直．
又因为 AP ＝（x－3，y－2），所以3×（x－3）＋（－4）×（y－2）＝0，
整理可得一般式方程为3x－4y－1＝0．
方法二：因为 Ԧ =（3，－4）是直线的一个法向量，
5
即＝ − −
3
5
−1
−3−1
＝
−(−2)
3−(−2)
，因此直线l的截距为−
，
3
5
．
新知应用
例2
已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，求直线l的方程．
解答：根据已知可得直线l通过点（a，0），（0，b），而且a≠0，b≠0，
因此直线的两点式方程为

这一方程可以整理为 +
学习目标
• 1、掌握直线的两点式方程和截距式方程。
• 2、了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程
与二元一次方程的关系。
• 3、能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化。
• 4、会选择适当的方程形式求直线方程。
基础自测
1.思考辨析 (正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点就可以用两点式写出直线的方程. ( × )
注意到 1 2 ＝（x2－x1，y2－y1）是直线l2的一个方向向量．
设P（x，y）为平面直角坐标系中一点，则1 ＝（x－x1，y－y1），

直线的两点式方程与一般式方程PTT课件

章节：第二章直线与圆的方程
标题：2.2.2直线的两点式
方程
1课时
环节1：教学目标分解
教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的
几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
3.会根据不同的直线位置特征，求直线的方程.
素养目标
数学抽象
（1） 3x 3 y 8 3 6 0 （2） x 2 （3） 4 x y 7 0
（4） 2 x y 6 0 （5） y 2 ；
距，此时直线在轴上的截距是.

方程

+

= 1由直线在两条坐标轴上的截距与确定

我们把方程

+ = 1叫做直线的截距式方程，简称截距式.
课堂例题
例4 已知△ 的三个顶点(−5，0)，(3， − 3)，(0，2)，
求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方
－＝(－)
斜截式
= +
两点式
截距式
一般式
− ��
−
=
−
−

+ =

+ + =
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式
方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件
y 1 x 2

；
3 1 0 2
因为 A 0,5 ， B 5,0 ，
y 5 x 0

所以直线 AB 的两点式方程：

直线方程的一般式共18页PPT资料

l (1) 在x轴上的截距为-3；
(2) l的斜率为1.
解:(1)将y=0代入原方程,得xm22m2m63
所以
2m6 3 m2 2m3
解得 m5或m3(舍去)
3
l 故当
m
5 3
时,
在x轴上的截距为-3
l (2)直线的方程可化为 ym 2m 22 2m m 1 3x2m 2 2m m 61
所以 km 2m 2 2 2m m 1 31,解m 得 3 4或 m（ 1 舍）
3x-4y+12=0或3x+4y-12=0
思考题:
已知直线 l1 , l 2 的方程分别为: A 1xB 1yC 10
A 2xB 2yC 20
如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?
小结：
1、直线的一般式方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为零)的两方面含义: (1)平面直角坐标系中的每一条直线都是关于x,y的二元一次方程; (2)每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 2、直线的一般式方程与其他几种方程的互化,解题时灵活加以运用.
l 故当m 4 时, 的斜率为1.
注意:解答本题时3验算是必不可少的,即Ax+By+C=0 表示直线的条件是:
A,B不同时为零
例3 已知直线的斜率为 1 ,且和两坐标轴围成面积为3的三
ll 角形,求直线的方程 6
课堂练习：
1.直线ax+by+c=0，当ab<0,bc<0时，此直线不通过的象限是( D)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
2.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是( D )

02教学课件_2.2.3 直线的一般式方程(共34张PPT)

(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方
程,利用待定系数法求解.
3
解:(方法 1)由题设 l 的方程可化为 y=- x+3,
4
3
∴l 的斜率为-4.
3
(1)∵直线 l'与 l 平行,∴l'的斜率为- .
4
3
又∵直线 l'过(-1,3),由点斜式知方程为 y-3=- (x+1),即 3x+4y-9=0.
化为截距式为
2
;
.
1
解析:方程化为 3y=-2x-1,则 y=-3x-3;
x
y
-
-
方程化为 2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即 1 + 1=1.
2
2
1
答案:y=-3x-3;
x
y
-
-
1 + 1=1
2
3
3
3.两条直线的位置关系
3.判断下列两组直线是否平行或垂直:
(1)x+2y-7=0; 2x+4y-7=0.
求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂
直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
(1)求实数 m 的范围；
(2)若该直线的斜率 k＝1，求实数 m 的值．

2019年322、3 直线的两点式方程、直线的一般式方程(共65张PPT语文

已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－ 3和4，则m＝________，n＝________.
[答案] 4 －3
[解析] 解法1：将方程mx＋ny＋12＝0化为截距式得－x1m2＋－y1n2＝1，
因此有－－mn1122＝＝－4 3
，解之得m＝4，n＝－3.
解法2：由截距意义知，直线经过A(－3,0)和B(0,4)两点，
[点评] (2)中求直线方程时，可以从不同角度入手解决．
法一：所求直线过点A(－1,2)，可设方程为y－2＝k(x ＋1)，整理为一般式用垂直条件求k.
法二：已知直线的斜率k1＝－，故所求直线的斜率k ＝2，直接用点斜式写出方程.
[例6] 据下列所给条件求直线方程． (1)△ABC的顶点A(－1,3)，B(2,4)，C(3，－2)，求BC 边上的中线所在直线的方程． (2)▱ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．
(2)解法 1：已知直线 l：3x＋4y－20＝0 的斜率 k＝－34. （Ⅰ）过 A(2,2)与 l 平行的直线方程为
y－2＝－34(x－2)．即 3x＋4y－14＝0. （Ⅱ）过 A 与 l 垂直的直线的斜率 k1＝－1k＝43
方程为 y－2＝43(x－2)．即 4x－3y－2＝0 为所求．
直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距分别为 ________．
[例4] 如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求：
(1)直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少行李？
[解析] (1)B(2,4)，C(3，－2)的中点D(52，1)， ∴BC边上的中线AD所在直线斜率k＝－3－ 1－152 ＝－47，∴直线AD的方程为：y－3＝－47(x＋1)，即4x＋7y－17＝0. (2)平行四边形ABCD两对角线AC与BD交点M为AC的中点，∴M(2，－12)，直线BM的方程为x＝2，即直线BD的方程为x－2＝0.

直线方程的两点式和一般式课件

(2)直线方程任一形式都可化为一般式，而直线方程的一般式在一定条件下才能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式．
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下：一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错误解答．
三是在解答的③ 处的结论一定不能漏掉，否则解题步骤不完整，造成没必要的失分． (2)解决该类问题应注意以下两点：一是利用坐标法解决生活问题时，首先要建立适当的坐标系，再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否则给后面的运算化简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；

直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一

5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与坐标轴垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截

D.5

+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得

y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在

上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面

2018-2019学年人教B版必修二2.2.2 第二课时直线的两点式和一般式方程课件(21张)

x y ＋＝1 a b
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
直线 l 不与坐标轴平行或重合，且不过原点任何情况
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线能用两点式方程表示 ( ×)
(2)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 (3)所有直线都有一般式 (√ ) ( √ )
同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 y－2 x－2 ＝，即 x＋2y－6＝0. 1－2 4－2 ∴三边 AB，AC，BC 所在的直线方程分别为 x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
5 2 ＋＝1， ②可化为 ab＝± 9，解a b 无解， ab＝9， 15 5 2 a＝－ 2 ，＋＝1，解得a b 得 6 ab＝－9， b＝ 5
a＝3，或 b＝－3.
∴l 的方程为 4x－25y＋30＝0 或 x－y－3＝0.
法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为 y－2＝k(x－5)， 2 x＝0 时，y＝2－5k，y＝0 时，x＝5－ . k 根据题意得
2 2－5k＝－5－，解方程得 k
2 k＝或 1. 5
2 2 当 k＝时，直线方程为 y－2＝ (x－5)，即 2x－5y＝0； 5 5 当 k＝1 时，直线方程为 y－2＝1×(x－5)，即 x－y－3＝0.

新教材高中数学第一章第3课时直线方程的一般式点法式课件北师大版选择性必修第一册ppt

即 2x+y-3=0.

(4)由截距式,得直线方程为 + =1,
-3 -1
即x+3y+3=0.
(5)y-2=0.

反思感悟 1.当 A≠0 时,方程可化为 x+ y+ =0,只需求 , 的值;若 B≠0,方程可

化为x+y+=0,只需确定 , 的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线
为
.
答案 3x-y=0
解析由直线的点法式方程,得-3(x-1)+(y-3)=0,化简得直线l的方程为3x-y=0.
6.若直线(2a2-4a)x+(a2-4)y+5a2=0的倾斜角是
2
答案 3
π
4 ,则实数a=
.
π
解析因为直线(2a -4a)x+(a -4)y+5a =0 的倾斜角是4,所以该直线的斜率为
A.m≠0
3
B.m≠2
C.m≠1
3
D.m≠1,m≠-2,m≠0
答案 C
解析因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,
所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得 m≠1.
)

4.直线方程 + =1 的一般式为
3 4
答案 4x+3y-12=0
.
5.如果直线l过点P(1,3),且直线l的法向量为a=(-3,1),则直线l的方程
典例在平面直角坐标系xOy中,设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+62m=0.

直线的一般式方程ppt课件

2
m 2
率为，由两条直线互相垂直得− ⋅
5
4 5
= −1，解得m = 10，故选D.
方法二：由两条直线互相垂直得m ⋅ 2 + 4 × −5 = 0，解得m = 10.故选D.
课中探究
（2）已知直线l：ax − 2y − a + 4 = 0.
①求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
解：证明：直线l的方程可化为 x − 1 a = 2 y − 2 ，
1
2
+ = 1，解得a = − ，所以直线的方程为
x + 2y + 1 = 0；
当直线过原点时，设所求直线的方程为y = kx，则−5k = 2，解得k =
2
5
以直线的方程为y = − x，即2x + 5y = 0.
综上，所求直线的方程为2x + 5y = 0或x + 2y + 1 = 0.
2
− ，所
② l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0 .
（2）与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为Ax + By + m = 0 m ≠ C ；
与直线Ax + By + C = 0垂直的直线方程可设为Bx − Ay + m = 0.
课中探究
拓展
已知直线l：Ax + By + C = 0．
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化.
课前预习

直线方程的两点式和一般式PPT课件

奠定基础。
学习目标
掌握直线方程的两点式和一般式的推导过程。
能够运用直线方程的两点式和一般式解决实际问题。
理解直线方程的两点式和一般式的几何意义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点的坐标，可以通过两点式方程求出直线的斜率和截距，再通过转换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题转化为数学模型，利用两点式与一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已知的两点坐标来计算直线的斜率和截距，进而通过转换得到一般式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中，一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。