带电粒子在磁场中的边界问题

第3课时 (小专题)带电粒子在匀强磁场中运动的临界及多解问题

基本技能练

1. (多选)如图1所示，虚线MN 将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb 为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP 与弧Pb 的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是

( )

图1

A ．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1

B ．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1

C ．粒子通过aP 、Pb 两段弧的时间之比为2∶1

D ．弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比为2∶1

解析 粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个磁场的磁感应强度方向相反，根据题中信息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，选项A 错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，选项B 正确；已知粒子通过aP 、Pb 两段弧的速度大小不变，而路程之比为2∶1，可求出运动时间之比为2∶1，选项C 正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期T ＝2πm

Bq

也不等，粒子通过弧aP 与弧Pb 的运动时间之比并不

等于弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比，选项D 错误。 答案 BC

2. (多选)如图2所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间后有大量粒子从边界OC 射出磁场。已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T

2

(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间

可能为

( )

图2

A.T 3

B.T 4

C.T 6

D.T

8

解析 粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由于所有

粒子的速度大小相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动的时间就越短，由于粒子在磁场中运动的最长时间为T

2

，沿

SA 方向射出的粒子在磁场中运动时间最长，如图所示，作

出粒子运动轨迹图，由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对应的弦垂直边界OC 时，粒子在磁场中运动时间最短，由于SD ⊥OC ，则SD ＝1

2

ES ，即弦SD 等

于半径O ′D 、O ′S ，相应∠DO ′S ＝60°，即最短时间为t ＝60°360°T ＝T

6。

答案 ABC

3. (多选)在xOy 平面上以O 为圆心，半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面。一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图3所示。不计重力的影响，则下列关系一定成立的是

( )

图3

A ．若r ＜2mv

qB ，则0°＜θ＜90°

B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πm

qB

C ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv

qB D ．若r ＝2mv qB

，则r ＝πm

qB

解析 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，

圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径

R ＝mv qB 。当r ≥2mv

qB

时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r ＜2mv

qB

时，粒子在到达P

点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ＞90°，所以过x 轴时0°＜θ＜90°，A 对，B 错；同理，若t ＝πm qB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t ＝πm

qB

，C 错，D 对。

答案 AD

▲(多选)如图所示，MN 、PQ 之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域水平方向足够长，

MN 、PQ 间距为L ，现用电子枪将电子从O 点垂直边界MN 射入磁场区域，调整电子枪中的

加速电压可使电子从磁场边界不同位置射出。a 、b 、c 为磁场边界上的三点，下列分析正确的是

( )

A ．从a 、b 、c 三点射出的电子速率关系为v a ＜v b ＜v c

B ．从a 、b 、c 三点射出的电子速率关系为v a ＜v c ＜v b

C ．若从边界MN 射出的电子出射点与O 点的距离为s ，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s ＜2L

D ．若从边界PQ 射出的电子出射点与O 点的距离为s ，则无论怎样调整加速电压，必有

L ＜s ＜2L

解析 画出轨迹圆可知，从a 、b 、c 三点射出的电子的半径关系为R a ＜R b ＜R c ，由R ＝mv

Bq

，知v a ＜v b ＜v c ，A 对，B 错；电子垂直于边界MN 射入磁场，能从边界MN 射出，其轨迹的最大圆与边界PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s ＜2L ，C 对；若电子从边界PQ 射出，其轨迹的最小圆也与边界PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有L ＜s ＜2L ，D 错。 答案 AC

能力提高练

4.如图4所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m 、带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行。

图4

(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？ (2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？ 解析

甲

(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝

3r 3

又qv 1B ＝m v 21

R 1