必修4任意角和弧度制练习题整理(可编辑修改word版)
2016高中数学人教A版必修四第一章 3弧度制 训练案知能提升 练习题含答案
[A 、基础达标]1、－630°化为弧度为（ )A 、－错误!B 、错误!C 、－错误!D 、－错误!解析：选A 、－630°＝－630×错误!＝－错误!、2、若α＝－3,则角α的终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限解析:选C 、因为α＝－3≈－3×57、30°＝－171、9°,所以α的终边在第三象限、3、与角23π终边相同的角就是( ) A 、错误!πB 、2k π－错误!π(k ∈Z )C 、2k π－103π（k ∈Z )D 、（2k ＋1)π＋错误!π(k ∈Z ）解析：选C 、选项A 中错误!＝2π＋错误!π，与角错误!π终边相同,故A 错；2k π－错误!π,k ∈Z ，当k ＝1时,得［0，2π)之间的角为错误!π,故与错误!π有相同的终边，B 错;2k π－错误!π，k ∈Z ，当k ＝2时,得[0，2π)之间的角为错误!π，与错误!π有相同的终边,故C 对;（2k ＋1)π＋错误!π,k ∈Z ,当k ＝0时,得[0,2π）之间的角为错误!π，故D 错、4、已知扇形的周长就是3 cm ，面积就是错误! cm 2,则扇形的圆心角的弧度数就是（ )A 、1B 、1或4C 、4D 、2或4解析:选B 、设扇形的半径为r ，弧长为l ，则错误!所以错误!或错误!故|α｜＝错误!＝1或4、5、扇形圆心角为错误!，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ）A 、1∶3B 、2∶3C 、4∶3D 、4∶9解析:选B 、如图,设内切圆半径为r ,则r ＝错误!，所以S 圆＝π·错误!错误!＝错误!，S 扇＝错误!a 2·错误!＝错误!， 所以S 圆S 扇＝错误!、 6、在［－2π，2π]内，与α＝－错误!的终边相同的角为________、解析：与α＝－错误!终边相同的角的集合为P ＝错误!,令k ＝1,2,得β＝－错误!，错误!、答案:－错误!,错误!7、将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数就是________、解析：因为时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°,即分针转过的弧度数为错误!、答案：错误!8、火车站钟楼上有座大钟,这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长就是π3 m,则这座大钟分针的长度为________ m 、解析：因为分针20 min 转过的角为错误!，所以由l ＝αr ，得r ＝错误!＝错误!＝0、5(m ）,即这座大钟分针的长度为0、5 m 、答案：0、59、用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合（含边界)，并判断2 014°就是不就是这个集合的元素、解:因为150°＝错误!π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝错误!、因为2 014°＝214°＋5×360°＝错误!＋10π、又错误!π<错误!〈错误!,所以2 014°＝10790π＋10π∈S 、 10、已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径与圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大？最大面积就是多少?解:设扇形圆心角的弧度数为θ（0<θ<2π）,半径为r ，弧长为l ,面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝错误!×（40－2r ）r ＝20r －r 2 ＝－(r －10）2＋100、所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时,θ＝错误!＝错误!＝2 rad 、[B 、能力提升]1、若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）A 、错误!B 、错误!C 、 3D 、2解析:选C 、如图,设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ,所以圆弧长度为错误!R 的圆心角的弧度数α＝错误!＝错误!、2、集合错误!中的角所表示的范围(阴影部分）就是（ ）解析:选C 、当k 为偶数时，令k ＝2n ，n ∈Z ，则集合可化为错误!,表示的范围为错误!区域；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ,则集合可化为错误!，表示的范围为错误!区域,故选C 、3、若α＝3 rad ，则角α的终边在第________象限，与角α终边相同的角的集合可表示为________、解析：由1 rad ＝错误!°≈57、30°、所以3 rad ≈171、90°、所以α就是第二象限角，与角α终边相同的角的集合为｛β|β＝3＋2k π,k ∈Z }、答案：二 ｛β｜β＝3＋2k π，k ∈Z }4、半径为3 cm,圆心角为120°的扇形面积为________cm 2、解析:因为扇形面积为S ＝错误!lr ＝错误!αr 2,所以S ＝错误!·错误!·32＝3π(cm 2)、答案：3π5、如图，动点P ，Q 从点A （4,0）出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转错误!弧度,求P ,Q 第一次相遇时所用的时间及P ,Q 点各自走过的弧长、解:设P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是t ,则t ·π3＋t ·错误!＝2π、解得t ＝4， 所以P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角错误!·4＝错误!π的终边与圆交点的位置,点Q 已经运动到角－错误!的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为错误!π×4＝错误!π,点Q 走过的弧长为错误!×4＝错误!π×4＝错误!π、6、(选做题)如图所示，已知一长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角,求点A 走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积、解：木块的翻滚过程如题图所示、第一面运动时,点A 的路程为错误!,其圆心角∠ACA 1＝错误!,半径为5,弧长错误!＝错误!，所在扇形的面积为错误!π；第二面翻滚时,路程为错误!,圆心角∠A 1B 1A 2＝错误!，半径为3，弧长错误!＝错误!，所在扇形的面积为错误!;第三面翻滚时，A 点在A 2处不动；第四面翻滚时，点A 的路程为错误!,圆心角为∠A 2D 3A 3＝错误!－错误!＝错误!,半径为4，弧长错误!＝错误!,所在扇形的面积为错误!,故总路程为错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!（cm),所在扇形的总面积为错误!＋错误!＋错误!＝错误!(cm 2）、。
2016高中数学人教A版必修四第一章 3弧度制 练习题含答案
§3弧度制,)1、问题导航(1)“1弧度”指的就是“1度的角所对的弧”不？(2)“2 rad”的角终边在第几象限？(3)30°的角化为弧度就是多少？120°就是30°的几倍？其弧度数就是多少？2、例题导读P10例1、通过本例学习,学会把角度换算成弧度,并注意,不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面、试一试:教材P12习题1－3 T1您会不？P10例2、通过本例学习,学会把弧度换算成度,并注意,“度”的单位“°”不能省略、试一试:教材P12习题1－3 T2您会不？1、度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制、(2)单位圆半径为1的圆称为单位圆、(3)弧度制当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比就是常数,称这个常数为该角的弧度数、在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角、它的单位符号就是rad,读作弧度、这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制、2、弧度数与弧长公式(1)符号:一般地,任一正角的弧度数都就是一个正数;任一负角的弧度数都就是一个负数;零角的弧度数就是0、(2)公式:如图所示,l、r、α分别就是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数、弧度数公式:|α|＝lr;弧长公式:l＝|α|r;这就就是说,弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积、3、角度制与弧度制的换算(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈0、017_45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57、30°＝57°18′(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系角度数0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度数0π12π6π4π35π12π22π33π45π6角度数 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度数π 7π6 5π4 4π3 3π2 5π3 7π4 11π62π 4、弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制弧长公式 l ＝|n |πr180l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝|n |πr 2360 S ＝|α|2r 2＝12lr注意事项r 就是扇形的半径,n 就是圆心角的角度数 r 就是扇形的半径,α就是圆心角的弧度数,l 就是弧长显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多,记忆与应用也就更加方便、 注意:在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性,但如果已知角就是以“度”为单位,则应该先化成弧度后再计算、1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)1弧度指的就是1度的角、( ) (2)周角的大小就是2π、( )(3)弧长为π,半径为2的扇形的圆心角就是直角、( )解析:(1)错误、1弧度指的就是长度等于半径长的弧所对的圆心角、(2)正确、周角的大小就是2πrr＝2π、(3)正确、若弧长为π,半径为2,则|α|＝π2,故其圆心角就是直角、答案:(1)× (2)√ (3)√2、下列转化结果错误的就是( )A 、60°化成弧度就是π3B 、－103π化成度就是－600°C 、－150°化成弧度就是－7π6D 、π12化成度就是15°解析:选C 、对于A ,60°＝60×π180＝π3;对于B ,－103π＝－103×180°＝－600°;对于C ,－150°＝－150×π180＝－5π6;对于D ,π12＝112×180°＝15°、3、已知圆的半径为2,则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________、解析:|α|＝l r ＝42＝2、答案:24、若扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长l ＝________,面积S ＝________、解析:因为α＝60°＝π3,r ＝1,所以l ＝|α|·r ＝π3,S ＝12r ·l ＝12×1×π3＝π6、 答案:π3 π61、对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad ”就是指:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,不就是弧长,这个角就是固定的,与圆的半径的长度无关、(2)引入弧度制后,角的集合与实数建立一一对应关系,我们今后表示角时,多用弧度制表示、(3)表示角时π就就是无理数,它表示一个实数,同1 rad角的大小一样,πrad的角表示:长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角,在判断有理数表示角的象限,与π比较大小时,有时需要把π化为小数、2、对弧度数计算公式的说明我们常用α＝lr来求解圆中圆心角所对弧度数,一般来说,在圆中弧长就是个正数,故得出的圆心角也为正数、但在平面直角坐标系中,所求的角不一定为正角,所以常常根据需要在角α上添加正负号,故这个求弧度数的公式常常记为|α|＝lr、3、角度与弧度的区别与联系区别(1)定义不同,大小不同(2)单位不同(3)弧度制就是十进制,而角度制就是六十进制联系(1)不管以“弧度”还就是以“度”为单位的角的大小都就是一个与圆的半径大小无关的值,仅与半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化(3)表示角时,弧度制与角度制不能混用(1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度(rad)”可以省略不写,如果以度(°)为单位表示角的大小时,度(°)不能省略不写、(2)度化为弧度时,应先将分、秒化为度,再化为弧度、(3)有些角的弧度数就是π的整数倍时,如无特别要求,不必把π化成小数、(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时,除了零角以外,所得的结果都就是不同的,二者要注意不能混淆、5、角度制与弧度制换算的要点角度与弧度的互化(1)把112°30′化为弧度;(2)将－512πrad化为度、(链接教材P10例1、例2)[解](1)因为1°＝π180rad,所以112°30′＝112、5°＝112、5×π180＝58π、(2)因为1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°,所以－512π＝－512π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°、方法归纳(1)在进行角度制与弧度制的换算时,抓住关系式π rad ＝180°就是关键、由它可以得到:度数×π180＝弧度数,弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数、(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用,应熟记、 (3)在同一个角的表达式中,角度与弧度不能混合使用、1、(1)－690°化为弧度就是( )A 、－5π3B 、－7π3C 、－23π6D 、－13π6(2)①18°＝________ rad; ②67°30′＝________ rad; ③310π rad ＝________度; ④2 rad ≈________度、(保留一位小数)解析:(1)因为1°＝π180 rad ,所以－690°＝－690×π180＝－236π、(2)①18°＝π180×18 rad ＝π10rad;②67°30′＝67、5°＝67、5×π180 rad ＝38π rad;③310π rad ＝310π×⎝⎛⎭⎫180π°＝54°; ④2 rad ≈57、3°×2＝114、6°、答案:(1)C (2)①π10 ②38π ③54 ④114、6用弧度表示终边相同的角(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式,其中0≤α<2π,并判断它就是第几象限角？(2)若β∈[－4π,0],且β与(1)中α的终边相同,求β、 (链接教材P 12习题1－3T 7)[解] (1)－1 480°＝－749π＝－8π－29π＝－10π＋169π＝2×(－5)π＋169π,其中0≤169π<2π,因为169π就是第四象限角,所以－1 480°就是第四象限角、 (2)由题意知:β＝α＋2k π＝2k π＋169π(k ∈Z ),又因为β∈[－4π,0],所以令k ＝－1,－2得,β1＝－29π,β2＝－209π、本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”,其她条件不变,其结论又如何呢？解:因为－855°＝－855×π180 rad ＝－19π4＝－6π＋5π4,所以－855°与5π4的终边相同、又因为5π4就是第三象限角,所以－855°就是第三象限角、 方法归纳(1)无论用角度制还就是用弧度制来度量角,都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应、(2)用弧度制表示终边相同角α＋2k π(k ∈Z )时,注意2k π就是π的偶数倍,而不就是π的奇数倍、2、(1)与－660°角终边相同的最小正角就是________、(用弧度制表示)(2)将下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π,k ∈Z )的形式,并指出它们就是第几象限角、 ①－1 725°;②870°、解:(1)因为与角α终边相同的角为α＋k ·360°(k ∈Z ),所以与－660°角终边相同的角就是－660°＋k ·360°(k ∈Z ),其中最小正角就是60°,化为弧度为π3、故填π3、(2)①因为－1 725°＝－5×360°＋75°,所以－1 725°＝－10π＋5π12、所以－1 725°与5π12的终边相同,就是第一象限的角、②870°＝296π＝5π6＋4π,所以－870°与5π6终边相同,就是第二象限角、扇形的弧长与面积公式的应用一条弦的长度等于半径r ,求: (1)这条弦所对的劣弧长;(2)这条弦与劣弧所组成的弓形的面积、[解] (1)如图,半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ,则△OAB 为等边三角形,所以∠AOB ＝π3,则弦AB 所对的劣弧长为π3r 、(2)因为△AOB 就是边长为r 的正三角形,所以S △AOB ＝34r 2, S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2,所以S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－34r 2＝⎝⎛⎭⎫π6－34r 2、 方法归纳图形的分解与组合就是解决数学问题的基本方法之一、本例中,把弓形面积瞧成扇形面积与三角形面积的差,即可运用已有知识解决问题、3、(1)设扇形的半径长为2 cm,面积为4 cm 2,则扇形的圆心角的弧度数就是________、 (2)解答下列各题:①已知扇形的面积为1 cm 2,它的周长为4 cm,求它的圆心角;②已知一扇形的圆心角就是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积、解:(1)设扇形圆心角的弧度数为α,则扇形面积为S ＝12αr 2＝12α×22＝4,解得α＝2、故填2、(2)①设扇形的弧长为l cm ,半径为r cm ,则l ＝4－2r 、因为S 扇形＝12lr ,所以12(4－2r )r ＝1、解得r ＝1,l ＝2,所以圆心角的弧度数为|α|＝lr ＝2(rad)、②设扇形弧长为l cm ,因为72°＝72×π180＝2π5rad 、所以l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm),S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)、思想方法函数思想的运用已知一个扇形的周长为a ,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求出这个最大值、[解] 设扇形的弧长为l ,半径为r ,圆心角为α, 面积为S 、由已知,得2r ＋l ＝a ,即l ＝a －2r 、所以S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r ＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216、因为r >0,l ＝a －2r >0,所以0<r <a2、所以当r ＝a 4时,S max ＝a216、此时,l ＝a －2·a 4＝a 2,所以|α|＝lr＝2、故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取得最大值a 216、[感悟提高] 分析题目所给的有关信息,以扇形的有关知识为载体,选择函数为模型,将实际问题转化为求函数的最值问题、运用二次函数求最值,可更快地解决问题、1、－72°的弧度数就是( )A 、－π3B 、－25πC 、－5π6D 、－5π7解析:选B 、－72°＝－72×π180＝－25π、2、－2312π化为角度为________、解析:－2312π＝－2312π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－345°、答案:－345°3、在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角就是________弧度,扇形面积就是________、解析:|α|＝l r ＝128＝32 rad ,S ＝12l ·r ＝12×12×8＝48、答案:3248[A 、基础达标]1、－630°化为弧度为( ) A 、－7π2B 、7π4C 、－7π16D 、－7π4解析:选A 、－630°＝－630×π180＝－7π2、2、若α＝－3,则角α的终边在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限解析:选C 、因为α＝－3≈－3×57、30°＝－171、9°, 所以α的终边在第三象限、3、与角23π终边相同的角就是( )A 、113πB 、2k π－23π(k ∈Z )C 、2k π－103π(k ∈Z )D 、(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )解析:选C 、选项A 中11π3＝2π＋53π,与角53π终边相同,故A 错;2k π－23π,k ∈Z ,当k＝1时,得[0,2π)之间的角为43π,故与43π有相同的终边,B 错;2k π－103π,k ∈Z ,当k ＝2时,得[0,2π)之间的角为23π,与23π有相同的终边,故C 对;(2k ＋1)π＋23π,k ∈Z ,当k ＝0时,得[0,2π)之间的角为53π,故D 错、4、已知扇形的周长就是3 cm,面积就是12cm 2,则扇形的圆心角的弧度数就是( )A 、1B 、1或4C 、4D 、2或4 解析:选B 、设扇形的半径为r ,弧长为l ,则⎩⎨⎧l ＋2r ＝312l ·r ＝12所以⎩⎨⎧r ＝1l ＝1或⎩⎨⎧r ＝12l ＝2故|α|＝lr＝1或4、5、扇形圆心角为π3,半径为a ,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A 、1∶3B 、2∶3C 、4∶3D 、4∶9解析:选B 、如图,设内切圆半径为r ,则r ＝a3,所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29,S 扇＝12a 2·π3＝πa 26, 所以S 圆S 扇＝23、6、在[－2π,2π]内,与α＝－11π3的终边相同的角为________、 解析:与α＝－11π3终边相同的角的集合为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝－11π3＋2k πk ∈Z ,令k ＝1,2,得β＝－5π3,π3、答案:－5π3,π37、将时钟拨慢了15分钟,则分针转过的弧度数就是________、解析:因为时钟拨慢了15分钟,所以分针逆时针旋转了90°,即分针转过的弧度数为π2、答案:π28、火车站钟楼上有座大钟,这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长就是π3m,则这座大钟分针的长度为________ m 、解析:因为分针20 min 转过的角为2π3,所以由l ＝αr ,得r ＝lα＝π32π3＝0、5(m),即这座大钟分针的长度为0、5 m 、 答案:0、5 9、用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界),并判断2 014°就是不就是这个集合的元素、解:因为150°＝56π,所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k πk ∈Z 、 因为2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π、又56π<107π90<3π2, 所以2 014°＝10790π＋10π∈S 、10、已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径与圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大？最大面积就是多少？解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),半径为r ,弧长为l ,面积为S , 则l ＋2r ＝40,所以l ＝40－2r ,所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100、所以当半径r ＝10 cm 时,扇形的面积最大,这个最大值为100 cm 2,这时,θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad 、[B 、能力提升]1、若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A 、π3B 、2π3C 、 3D 、2解析:选C 、如图,设圆的半径为R ,则圆的内接正三角形的边长为3R ,所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝3、2、集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)就是( )解析:选C 、当k 为偶数时,令k ＝2n ,n ∈Z ,则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2n π＋π4≤α≤2n π＋π2n ∈Z ,表示的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4π2区域;当k 为奇数时,令k ＝2n ＋1,n ∈Z ,则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2n π＋5π4≤α≤2n π＋32πn ∈Z ,表示的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54π32π区域,故选C 、 3、若α＝3 rad,则角α的终边在第________象限,与角α终边相同的角的集合可表示为________、解析:由1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57、30°、所以3 rad ≈171、90°、所以α就是第二象限角,与角α终边相同的角的集合为{β|β＝3＋2k π,k ∈Z }、答案:二 {β|β＝3＋2k π,k ∈Z }4、半径为3 cm,圆心角为120°的扇形面积为________cm 2、解析:因为扇形面积为S ＝12lr ＝12αr 2,所以S ＝12·2π3·32＝3π(cm 2)、答案:3π5、如图,动点P ,Q 从点A (4,0)出发,沿圆周运动,点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度,点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度,求P ,Q 第一次相遇时所用的时间及P ,Q 点各自走过的弧长、解:设P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是t ,则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π、解得t ＝4, 所以P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是4秒,第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆交点的位置,点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置,所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π,点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π、6、(选做题)如图所示,已知一长为4 cm,宽为3 cm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四面时被一小木块挡住,使木块底面与桌面成30°角,求点A 走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积、解:木块的翻滚过程如题图所示、第一面运动时,点A 的路程为AA 1︵,其圆心角∠ACA 1＝π2,半径为5,弧长AA 1︵＝5π2,所在扇形的面积为254π;第二面翻滚时,路程为A 1A 2︵,圆心角∠A 1B 1A 2＝π2,半径为3,弧长A 1A 2︵＝3π2,所在扇形的面积为9π4;第三面翻滚时,A 点在A 2处不动;第四面翻滚时,点A 的路程为A 2A 3︵,圆心角为∠A 2D 3A 3＝π2－π6＝π3,半径为4,弧长A 2A 3︵＝4π3,所在扇形的面积为8π3, 故总路程为AA 1︵＋A 1A 2︵＋A 2A 3︵＝5π2＋3π2＋4π3＝16π3(cm),2016高中数学人教A 版必修四第一章 3弧度制 Word 练习题含答案所在扇形的总面积为25π4＋9π4＋8π3＝67π6(cm 2)、。
新人教A版高中数学必修四 任意角和弧度制同步练习(含答案解析)
任意角和弧度制班级 姓名 学号 得分一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )(A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z} 3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( )(A) α+β=π （B) α-β=2π (C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=r l =55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π。
高一数学 必修四课时训练：1.1 任意角和弧度制 1.1.2 Word版含答案
1.1.2 弧度制1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．23.扇形的面积 S ＝________一、选择题 1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 13．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于() A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R ， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
高中数学必修四同步练习题库：任意角和弧度制(简答题：容易1,较易8,一般26,较难29,困难30)
任意角和弧度制（简答题：容易1，较易8，一般26，较难29，困难30）1、把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.2、如果角的终边经过点，试写出角的集合，并求集合中最大的负角和绝对值最小的角.3、已知扇形的中心角为，扇形所在圆的半径为，若扇形的面积值与周长值的差为，求的最小值及对应的值.4、扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3 cm2，求圆心角的大小．5、（本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为．（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围．6、一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.7、一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.8、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积．9、写出如图所示阴影部分的角α的范围．10、如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长．11、已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）.12、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：（I）弧的长；（II）扇形所含弓形的面积 (即阴影面积)．13、一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．14、在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．15、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.（1）若，，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.16、已知一个扇形的半径为，圆心角为，求这个扇形的面积。
2019-2020高中数学(人教A版)必修四限时训练：1.1.2弧度制 Word版含解析
姓名，年级：时间：第一章 1.1 1。
1.2【基础练习】1．将1 920°转化为弧度数为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】D【解析】1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋错误!＝错误!。
故选D．2．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数为( ）A．1 B．4C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】设扇形的弧长为l,半径为r，则2r＋l＝12，S扇形＝错误!lr＝8,解得r＝4，l＝4或者r＝2，l＝8.∴扇形的圆心角的弧度数是错误!＝1或错误!＝4。
故选C．3．半径为3 cm的圆中，错误!的圆心角所对的弧长为（)A．错误! cm B．错误! cmC．错误! cm D．错误! cm【答案】A【解析】由题意可得圆心角α＝错误!，半径r＝3，∴弧长l＝αr＝错误!×3＝错误!。
故选A．4．下列转化结果错误的是( )A．67°30′化成弧度是错误! rad B．－错误!π化成度是－600°C．－150°化成弧度是错误! rad D．错误!化成度是15°【答案】C【解析】1°＝错误!，对于A，67°30′＝67°30′×错误!＝错误!，A正确;对于B，－错误!π＝－错误!π×错误!°＝－600°，B正确；对于C,－150°＝－错误!×150°＝－错误!π≠错误!π，C错误；对于D，错误!＝错误!×错误!°＝15°，D正确．故选C．5．已知两角和为1弧度且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是________．【答案】错误!＋错误!，错误!－错误!【解析】设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝π180rad，所以有错误!解得错误!即所求两角的弧度数分别为错误!＋错误!，错误!－错误!.6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________。
(精校版训练)人教新课标A版高中数学必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制同步测试(含答案可打印)
人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.下列角为第二象限角的是（）A. B. C. D.2.化成弧度是（）A. B. C. D.3.与—457°角的终边相同的角的集合是（）A. B.C. D.4.把-495°表示成k×360°+θ(k∈Z)的形式，则θ可以是（）A. -135°B. 45°C. -225°D. 135°5.下列各角中与330°角的终边相同的是()A. 510°B. 150°C. －150°D. －390°6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A. B. 2 C. D.7.时间经过2h，时针转过的角是（）A. B. C. 2π D.8.下列命题正确的是（）A. 第一象限的角一定不是负角B. 小于90°的角一定是锐角C. 钝角一定是第二象限的角D. 终边相同的角一定相等9.化为弧度制为（）A. B. C. D.10.若角α是第二象限的角，则是（）A. 第一象限或第二象限的角B. 第一象限或第三象限的角C. 第二象限或第四象限的角D. 第一象限或第四象限的角11.手表时针走过2小时，时针转过的角度为（）A. 60°B. ﹣60°C. 30°D. ﹣30°12.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. sin 2C.D. 2sin 113.在半径不等的两个圆内，1rad的圆心角（）A. 所对的弧长相等B. 所对的弦长相等C. 所对的弧长等于各自的半径D. 所对的弧长为R14.若角α与角β终边相同，则一定有（）A. α+β=180°B. α+β=0°C. α﹣β=k•360°，k∈ZD. α+β=k•360°，k∈Z15.与60°相等的弧度数是（）A. 60πB. 6πC. πD.二、填空题（共5题；共5分）16.50°化为弧度制为________17.将1440°化为弧度，结果是________18.与﹣2015°终边相同的最小正角是________19.855°角的终边在第________ 象限．20.若α是第三象限角，则是第________ 象限角．三、解答题（共5题；共25分）21.把112°30′化成弧度．22.把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1）﹣135°（2）．23.写出与370°23′终边相同角的集合S，并把S中在﹣720°～360°间的角写出来．24.有小于180°的正角，这个角的9倍角的终边与这个角的终边重合，求这个角的度数．25.你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】终边相同的角【解析】【分析】,的终边是第二象限角。
最新新人教A版高中数学必修四 任意角和弧度制同步练习(含答案解析)
任意角和弧度制班级姓名学号得分一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角地是 ( )(A) 90°-α(B) 90°+α(C)360°-α(D)180°+α2.终边与坐标轴重合地角α地集合是( )(A){α|α=k·360°，k∈Z}(B){α|α=k·180°+90°，k∈Z}(C){α|α=k·180°，k∈Z}(D){α|α=k·90°，k∈Z}3.若角α、β地终边关于y轴对称，则α、β地关系一定是（其中k∈Z） ( )(A) α+β=π（B) α-β=(C)2α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π4.若一圆弧长等于其所在圆地内接正三角形地边长，则其圆心角地弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3(D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过地弧度数是 ( )(A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π*6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°地角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ，其中正确地命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴地角α地集合为 ，终边在一、三象限地角平分线上地角β地集合是 .8. -23πrad化为角度应为 .129.圆地半径变为原来地3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角地倍.*10.若角α是第三象限角，则α角地终边2在，2α角地终边在 .三.解答题11.试写出所有终边在直线x=上地角地集合，并指-y3出上述集合中介于-1800和1800之间地角.12.已知0°<θ<360°，且θ角地7倍角地终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形地周长为20 cm，当它地半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形地面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来地位置，求θ.§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800， k ∈Z }， {x |x =k ·1800+450，k ∈Z } ; 8.-345°; 9. 31;10.第二或第四象限， 第一或第二象限或终边在y 轴地正半轴上三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000， k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ，∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形地面积最大为25 cm 2，此时，α=r l =55220⨯-=2(rad)14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π，14分钟后回到原位，∴14θ=2k π，θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π。
最新人教A版高中数学必修四1-1-2《弧度制》含答案.doc
1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项．答案：C2．2 100°化成弧度是( )A.35π3 B ．10πC.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________．解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z.∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z. 又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.。
数学必修4达标训练：1.1任意角、弧度 含解析 精品
更上一层楼基础·巩固1.我国于2005年10月12日从酒泉载人航天发射场发射升空的“神舟”六号飞船遨游太空115小时又32分，在预定轨道上环绕地球运行了77圈，巡天325余万公里后，在内蒙古安全着陆.我国载人航天第二次载人飞行获得圆满成功！“神舟”六号飞船绕地球转的角度为( )A.154πB.277 200°C.77πD.13 860°思路解析：绕地球一周转过的角度为360°或2π.由于飞船环绕地球运行了77圈，则转过的角度为2π×77=154π或360°×77=27 720°.答案：A2.下列命题中,真命题是( )A.1弧度是1度圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位思路解析:本题利用的是弧度制下的度量单位1弧度的概念,则可根据1弧度的概念对照各选项进行判断即可.答案：D3.与-462°角终边相同的角可以表示为( )A.k·360°+462°，k ∈ZB.k·360°+102°，k ∈ZC.k·360°+258°，k ∈ZD.k·360°-258°，k ∈Z思路解析：解此题只要在462°、102°、258°、-258°这四个角中找出与-462°角终边相同的角即可.通过运算不难得出258°角的终边与-462°角的终边相同，所以与258°角终边相同的角也与-462°角的终边相同.答案：C4.4弧度的角所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路解析：利用角度制与弧度的换算关系化为角度制,再进行判断.答案：C5.扇形的周长是16，圆心角是2 rad ，则扇形的面积是( )A.16πB.32πC.16D.32思路解析：解题时可设扇形的半径为r,则由题意得r+r+2r=16，即r=4，扇形的弧长为l=2r=2×4=8，扇形的面积是S 扇=21l·r=21×８×４=16． 答案:C6.设A=｛θ|θ为正锐角｝，B=｛θ|θ为小于90°的角｝，C=｛θ|θ为第一象限角｝，D=｛θ|θ为小于90°的正角｝，则( )A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D思路解析：A=｛θ|0°＜θ＜90°｝，B=｛θ|θ＜90°｝，C=｛θ|k·360°＜θ＜k·360°+90°，k ∈Z ｝，D=｛θ|0°＜θ＜90°｝，显然A=D.答案：D7.在-720°到720°之间与-1 000°角终边相同的角是_______________________.思路解析：与角-1 000°终边相同的角的集合是S=｛α|α=-1 000°+k·360°，k ∈Z ｝，S 中适合-720°≤α＜720°的元素是-1 000°+1×360°=-640°，-1 000°+2×360°=-280°，-1 000°+3×360°=80°，-1 000°+4×360°=440°.答案：-640°，-280°，80°，440°8.与-1 050°角终边相同的最小正角是______________________.思路解析：由于最小正角的范围在0°到360°之间，则找与-1 050°角终边相同的最小正角只需除以360°取余数即可，即即-1 050°=30°-3×360°.答案：30°9.一圆弧长度等于其内接正三角形边长,则其所对圆心角的弧度数为____________________. 思路解析：本题利用圆心角公式.半径为R 的圆内接正三角形边长为R 3,故弧长为R 3的弧所对的圆心角的弧度数为33=RR . 答案：310.若角α的终边与6π的终边关于直线y=x 对称,且α∈(-4π,4π),求角α的取值集合. 思路分析：本题利用终边相同的角的表示方法,解题时先在［0,2π)内找出与6π的终边关于直线y=x 对称的角,再利用终边相同的角表示出来,最后根据范围求解即可.解：在［0,2π)内找出与6π的终边关于直线y=x 对称的角为3π, 则与6π的终边关于直线y=x 对称的角的集合为{β|β=2kπ+3π,k ∈Z }. 又由于α∈(-4π,4π),则有-4π＜2kπ+3π＜4π,解得-613＜k ＜611. 又k ∈Z ,∴k=-2,-1,0,1.∴α=-311π,-35π,3π,37π. 综合·应用11.若角α的终边与45π的终边关于x 轴对称,且-4π＜α＜-2π,那么α等于( ) A.-2π-43π B.-2π-4π C.-2π-45π D.-2π-411π 思路解析：先在［-2π,0)范围内找出与45π终边相同的角,然后再根据所给范围进行判断排除. 答案：A12.若角α和β的终边关于y 轴对称，则必有( ) A.α+β=2π B.α+β=(2k+1)π,k ∈ZC.α+β=2kπ,k ∈ZD.α+β=2kπ+2π,k ∈Z 思路解析：α与π-α的终边关于y 轴对称，则角β只要与π-α终边相同，它就与α关于y 轴对称.由于α与π-α的终边关于y 轴对称，则有β=2kπ+π-α,k ∈Z ，即α+β=(2k+1)π,k ∈Z . 答案：B13.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_______________________.思路解析：应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角，其中有正角、负角等无穷多个角，要求出这些角需先求出负角中绝对值最小的角.由表盘可知，绝对值最小的负角为-(4+1211)·30°=-147.5°，则所求的角为k·360°-147.5°(k ∈Z ). 答案：k·360°-147.5°(k ∈Z )14.已知直径为10 cm 的滑轮上有一条长为6 cm 的弦，P 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度转动，则经过5 s 后，点P 转过的弧长是_______________________.思路解析：本题考查弧长公式的应用.解题时,先利用圆中半径、弦、弦心距间的关系求出OC 的长度,再由已知求出点P 经过5 s 所转过的弧度数,最后代入弧长公式即可求值.答案：100 cm15.角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角α的集合为___________________．思路解析：终边相同的角的大小相差360°的整数倍．与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β=α+k·360°,k ∈Z }.∵它的7倍角的终边与其终边相同,∴7α=α+k·360°,解得α=k·60°,k ∈Z ．∴满足α的集合为{-120°,-60°,0°,60°,120°}．答案：{-120°,-60°,0°,60°,120°}16.一只时钟,自零点开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?思路分析：这是一道实际生活中的问题,时钟从1点再走一部分角度后时针与分针相重合,因此解此题应分两部分来解决.此外,由于分针是按逆时针方向转,则其转过角为负角.解：当时针与分针在零点后第一次重合时,暂不考虑分针先走的一周.可设分针走了x 弧度(此时不考虑方向,x ＞0), 那么时针走了6π+12x 弧度,则有x=6π+12x . 解得x=112π,则分针转过的总弧度数为112π+2π=1124π. 又分针旋转方向为逆时针方向,故分针所转过的角为-1124π. 回顾·展望17.(2005全国高考Ⅲ)已知α是第三象限的角，则2α所在的象限是( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限思路解析：本题是给出一种角的范围，确定与其有关的角的范围，要从象限角的概念入手.只需将2α表示出来即可，注意最好用0°到360°角来表示. 方法一:因为α是第三象限的角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z .又k·180°+90°＜2α＜k·180°+135°,k ∈Z , 当k=2n(n ∈Z )时有n·360°+90°＜2α＜n·360°+135°,n ∈Z ， 则此时2α为第二象限的角； 当k=2n+1(n ∈Z )时有n·360°+270°＜2α＜n·360°+315°,n ∈Z ， 此时2α为第四象限的角. 方法二:如下图，2α所在的区域是图中的阴影部分，在第二或第四象限.答案：D。
高中数学 必修4 (王后雄电子版)
第1章节 三角函数1．1 任意角和弧度制【例题1】下列命题正确的是（ ）A. 终边相同的角一定相等B. 第一象限角都是锐角C. 锐角都是第一象限角D.小于90°的角都是锐角【例题2】给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。
其中正确的命题有（ ）。
A.1个B.2个C. 3个D.4个【例题3】如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆商，且∠＝45°。
点P 从点A 处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。
已知点P 在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A ，求θ，并判断其所在的象限【例题4】设E ＝{小于90°的角}，F ＝{锐角}。
G ＝{第一象限的角}，M ＝{小于90°但不小于0°的角}，则有（ ）。
A ．B ．C ．（ ）D ． 【例题5】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）360°~720°的角。
【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是（ ）A ．{}00360457,k k Z αα=⋅+∈B ．{}0036097,k k Z αα=⋅+∈C ．{}00360263,k k Z αα=⋅+∈D ．{}00360263,k k Z αα=⋅-∈ 【例题7】下列各命题中，假命题是（ ）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C. 根据弧度的定义，180°一定等于π的弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关。
【例题8】若两角的和是1弧度，此两角的差是1°，试求这两个角的大小。
高中试卷-专题5.1 任意角与弧度制(含答案)
专题5.1 任意角与弧度制一、角的相关概念1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：4.相反角如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.二、象限角1.若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．3.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．(3)n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn所在象限的判断方法4.已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．三、终边相同的角1.设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝□01α＋k ·360°，k ∈Z }．2.对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k ∈Z ，即k 为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．四、角的单位制1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.2.长度等于半径长的圆弧所对的□03圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3.弧度数的计算4.角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．五、角度与弧度的换算1.角度制与弧度制的换算2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度π6π4π3π22π33π45π6π六、扇形的弧长及面积公式1.设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝n πr180＝αr ，扇形的面积：S ＝n πr 2360＝12lr ＝12α·r 2.一、单选题1．与525-o 角的终边相同的角可表示为（ ）A ．525360k k Z -×Îo o（）B ．185360k k Z +×Îo o（）C ．195360k k Z +×Îo o （）D ．195360k k Z -+×Îo o （）【来源】河南省南阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】C【解析】解：525=1952360--´o o o ，所以525-o 角的终边与195o 角的终边相同，所以与525-o 角的终边相同的角可表示为195360k k Z +×Îo o（）.故选：C 2．下列与角23p的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．()43k k Z pp -ÎC ．()223k k Z pp +ÎD ．()()2213k k Z pp ++Î【来源】吉林省松原市重点高中2021-2022学年高一3月联考数学试卷【答案】C 【解析】对于选项C ：与角23p的终边相同的角为()223k k Z p p +Î，C 满足.对于选项B ：当()2k n n Z =Î时， ()442,33k n k Z n Z p pp p -=-ÎÎ成立；当()21k n n Z =+Î时，()()44212,333k n n k Z n Z p p pp p p -=+-=-ÎÎ不成立.对于选项D ：()()2521233k k k Z p p p p ++=+Î不成立.故选: C 3．在0°到360o 范围内，与405o 终边相同的角为（ ）A ．45-o B ．45o C ．135o D ．225o【答案】B【解析】：因为40536045=+o o o ，所以在0°到360o 范围内与405o 终边相同的角为45o ；故选：B 4．角76p所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】广西桂林市奎光学校2021-2022学年高一下学期热身考试数学试题【答案】C 7362p pp <<Q ，\角76p 位于第三象限.故选：C.5．已知角2022a =o ，则角a 的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为20222225360a ==+´o o o ，而222o 是第三象限角，故角a 的终边落在第三象限.故选：C.6．下列说法正确的是（ ）A ．终边相同的角相等B ．相等的角终边相同C ．小于90°的角是锐角D ．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A 不正确；相等的角终边一定相同；所以B 正确；小于90°的角是锐角可以是负角，C 错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D 错误．故选：B.7．135-o 的角化为弧度制的结果为（ ）A ．32p -B ．35p -C ．34p -D ．34p 【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】C【解析】π3135π rad 1418035-´-==-o．故选：C.8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67p ，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）A ．288pB ．144pC ．487p D ．以上都不对【来源】陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】由题意得，大扇形的面积为11612002020277S p p=´´´=，小扇形的面积为21619288277S p p=´´´=，所以扇面的面积为12120019214477S S p pp -=-=.故选：B9．把375-°表示成2πk q +，k Z Î的形式，则q 的值可以是（ ）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【来源】河南省安阳市滑县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】∵37515360-=-°-°°，∴π3752πrad 12æö-°=--ç÷èø故选：B10．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中¼ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（ ）A ．2pB ．23pC ．3pD ．3p-【来源】海南省琼海市嘉积中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=-，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r éù-+=ëû，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB pÐ=，因此221222233MBB AOB S S S p p=-=´´=V 弓形扇形.故选：B11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4p米，肩宽约为8p米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】江苏省南通市如东县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】解：由题得：弓所在的弧长为：54488l pppp =++=；所以其所对的圆心角58524p p a ==；\两手之间的距离2sin1.25 1.7684d R p=»．故选：B ．12．“a 是第四象限角”是“2a是第二或第四象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【来源】河南省新乡市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】当a 是第四象限角时，3222,2k k k Z pp a p p +<<+Î，则3,42k k k Z p ap p p +<<+Î，即2a 是第二或第四象限角.当324a p =为第二象限角，但32pa =不是第四象限角，故“a 是第四象限角”是“2a 是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A13．在Rt POB V 中，90PBO Ð=°，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB V 的面积，且AOB a Ð=弧度，则（ ）A ．tan a a =B ．tan 2a a =C ．sin 2cos a a =D ．2sin cos a a=【来源】上海市川沙中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题【答案】B【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r a .直角三角形POB 中，tan PB r a =，△POB 的面积为21tan 2r a ××.由题意得22112tan 22r r a a ´=××，所以tan 2a a =.故选：B14．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R ，则一个“花瓣”的面积为（ ）A ．2π12R -B ．2π22R -C ．2π14R -D ．()2π1R-【来源】辽宁省沈阳市第八十三中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】因为弓形的圆弧所在圆的半径为R ，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为2p，所以弓形的面积221142S R R p =´-，所以一个“花瓣”的面积为2π22R -，故选：B.15．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）A ．(1p-B ．(2pC ．4pD ．3p æççè【来源】上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高一下学期第一次质量检测数学试题【答案】B【解析】由图可知，圆O 的半径为2r =，正方形ABCD 的边长为2a =，以正方形的边为弦所对的圆心角为3p，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，设第i 次滚动时，点A 的路程为i m ，则163m AB pp=´=，2m =，363m AD pp=´=，40m =，因此，点A 所走过的路程为()(123432m m m m p +++=+.故选：B.16．用半径为2，弧长为2p 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ）A B C D ．4p【来源】第8章 立体几何初步（典型30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A 版2019必修第二册）【答案】B【解析】令圆锥底面半径为r ，则22p p =r ，因此1r =\圆锥的高为：h ==\圆锥的体积2113p =´´=V 故选：B17．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(3p -B ．1)p -C ．1)pD ．2)p【来源】陕西省西安市临潼区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,a b ，则a b = ，又2a b p +=，解得(3a p =故选:A 18．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3p，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为A ．3pB ．3pC ．92D ．112-【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题【答案】D【解析】在圆心角为3p ，弦长等于2米的弧田中，半径为2是，矢=12(弦×矢+矢²)=((211122222éù´+=-⎢⎥ëû，故选D.19．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）A ．3pB ．3p-C ．6pD ．6p-【来源】江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高一（重点班）上学期期末数学试题【答案】C【解析】：分针转一周为60分钟，转过的角度为2p将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为12.126p p ´= 故选C ．20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为23p ，弧长为2p 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A B ．C D 【来源】河南省杞县高中2021-2022学年高一下学期6月月考数学试卷【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则223l p p =，解得3l =，又22p p =r ，解得1r =，所以圆锥的高为h ==所以圆锥的体积为213V r h p ==.故选：A .二、填空题21圆锥的体积为______【来源】河北省沧衡八校联盟2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】2π3【解析】设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由212=，得l =因为2πr =1r =，所以该圆锥的体积为212ππ133´´=.故答案为：2π322．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积21(2弦矢矢)=´´+，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为23p ，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）【答案】92+【解析】设弧田的圆心为O ，弦为AB ，C 为AB 中点，连OC 交弧为D ，则OC AB ^，所以矢长为CD ，在Rt AOC △中，6AO =，3AOC p Ð=，所以13,2OC OA AC ===，所以3,2CD OD OC AB AC =-===所以弧田的面积为()()2211933222AB CD CD ×+=+=+.故答案为：92.23．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当12S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1)【解析】设,AOB q Ð=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r，12S S =Q，即2212r r r -=，所以2212r r ==，所以1r r =20,r cm =，所以11)r cm =，故答案为：1).24．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.【答案】(40p+【解析】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ^，由条件可知QT =，60PQ = 所以sin QPO Ð=，所以3QPO pÐ=，23QPT p Ð=，所以月牙泉的周长(260403l p p p =´+´=+.故答案为：(40p +25．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1π3121sin 2323´´´-´´´=26．若扇形的周长为定值l ，则当该扇形的圆心角()02a a p <<=______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.【来源】江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一强化班上学期期末数学试题【答案】 2 2116l 【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为ra 故2r r la +=扇形的面积22111(2)222S r r l r lr r a ==-=-由二次函数的性质，当4l r =时，面积取得最大值为2116l 此时12r l a =，2a =故答案为：2，2116l。
人教A版高中数学必修4练习手册：1-1-2弧度制 Word版含答案
1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项．答案：C2．2 100°化成弧度是( )A.35π3B ．10π C.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3.答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________．解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π.答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z .∴当k ＝0时，θ4＝2π5；当k ＝1时，θ4＝9π10；当k ＝2时，θ4＝7π5；当k ＝3时，θ4＝19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.。
(完整版)任意角和弧度制练习题有答案
任意角和弧度制练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④—1600°”这四个角中,属于第二象限的角是（）A.①B.①②C.①②③ D。
①②③④5、终边在第二象限的角的集合可以表示为: （）A．｛α∣90°〈α<180°｝B．{α∣90°＋k·180°<α〈180°＋k·180°，k∈Z｝C．{α∣－270°＋k·180°〈α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D。
｛α∣－270°＋k·360°〈α<－180°＋k·360°，k∈Z}6。
终边落在X轴上的角的集合是（ )Α。
｛α｜α=k·360°,K∈Z ｝ B.｛α|α=(2k+1)·180°,K∈Z }C。
{ α|α=k·180°,K∈Z ｝ D.{ α|α=k·180°+90°，K∈Z ｝7。
必修4 任意角和弧度制 练习题整理
1、下列六个命题：其中正确的命题有 .①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角2、练习：角度与弧度互化：0°= .；30° ；45° ； ； ；120° ；135° ；150°3π2π；，－π 、π 、－210° 、75° ， ， 54π4331003300900 ，405° ， -280° ， 1680° ， ， ， 23π-π411-5π67π780° ，-1560° ，67.5° ， ， ， π310-12π47π3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成的形式）0360()k k Z α⨯+∈－150° 、1040° 、－940° . 0300 －1050°011250660-01485-4、下列各对角中终边相同的角是( )A.（k∈z ） B.－和π C.－和 D. πππk 222+-和3π32297π911π9122320ππ和5、用弧度制表示下列角的集合。
(1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与的终边关于x 轴对称的角；6π(4)终边在直线y=x 上。
(5) 终边落在一、三象限角平分线上6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)．7、若α 是第二象限的角，则所在的象限是( )2αA ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第二、三象限8、若角α是第三象限角，则角的终边在.2α9、若α是第四象限角，则π－α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) (3) 终边所在的位置2α3α11、将分针拔快15分钟，则分针转过的弧度数是 .12、在半径为12 cm 的扇形中, 其弧长为5 cm, 中心角为. 求的大小..πθθ13、一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为 .：14、已知一扇形在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度.15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 .16、已知一扇形的圆心角是，所在圆半径是，若=600，=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。
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1、下列六个命题：其中正确的命题有.
①时间经过3 小时，时针转过的角是90°②小于
90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若是锐角，则的终边在第一象限
⑤若的终边在第二象限，则是钝角⑥若的终边在第四象限，则是负角
2、练习：角度与弧度互化：
0°=.；30°；45°；；；120°；135°；150
3 2
°；
5
，－4
π、
3
π、－210°、75°，3300，9000
4 3 10
-2
3
，405°，-280°，1680°，-11
4
，，
7
5 6
780°，-1560°，67.5°，-10，
3 12 ，7
4
3、在 0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成k ⨯ 3600+(k ∈Z ) 的形式）－150°、1040°、－940°. 3000 11250-6600－1050°-14850
4、下列各对角中终边相同的角是( )
A. （k∈z）
B.－和22 π
C.－7和11
D.
20122
和-+2k和
2 2
3 3 9 9 3 9
5、用弧度制表示下列角的集合。
(1)x 轴上的角；(2)第四象限角；(3)与的终边关于x 轴对称的角；
6
(4)终边在直线y=x 上。
(5) 终边落在一、三象限角平分线上
6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)．
7、若是第二象限的角，则所在的象限是( )
2
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第二、三象限
8、若角α是第三象限角，则角的终边在.
2
9、若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10、已知：α是第三象限角，求(1)2α(2)
2(3) 终边所在的位置
3
11、将分针拔快15 分钟，则分针转过的弧度数是.
12、在半径为12 cm 的扇形中, 其弧长为5cm, 中心角为. 求的大小..
13、一钟表的分针长10 cm，经过35 分钟，分针的端点所转过的长为.：
14、已知一扇形在圆的半径为10cm，扇形的周长是45cm，那么这个扇形的圆心角为弧度.
15、已知弧度数为2 的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是.
16、已知一扇形的圆心角是，所在圆半径是R ，若=600，R =10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。
17、如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是.
3
18、计算：
(1)sin30°＋cos45°；(2)cos30°·tan30°－tan45°；(3)sin260°＋cos260°
2
(4) sin45°＋sin60°·cos45°. (5)2cos30°－tan45°－
（1－tan60°）2
2
5
=，cos 6 13
4
=，sin
3
=，sin-
4
2
=，
3
19、计算sin -。