八年级数学上册《勾股定理的应用》教案华东师大版
华师大版数学八年级上册第14章勾股定理14.2勾股定理的运用教学设计
（三）情感态度与价值观
1.增强学生对勾股定理的兴趣，激发学生探索数学问题的热情。
2.培养学生勇于面对挑战，克服困难的精神，提高学生在解决问题过程中的自信心。
3.使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。
（3）课堂练习：15分钟，设计不同难度的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用。
（4）小组合作：10分钟，组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力。
（5）总结与拓展：5分钟，对本节课的学习内容进行总结，并提出拓展性问题，激发学生的思考。
4.教学评价：
（1）课堂问答：通过提问，了解学生对勾股定理应用方法的掌握程度，及时给予指导和鼓励。
（2）讲授新课：结合实际案例，引导学生运用勾股定理解决问题，通过分析、讲解、总结，使学生掌握勾股定理的应用方法。
（3）课堂练习：设计具有层次性的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用，提高解题能力。
（4）小组合作：组织学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活中的实际问题为背景，创设情境，引导学生运用勾股定理解决问题。
1.教学内容：对本节课的学习内容进行总结，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学过程：
a.学生分享学习心得，总结勾股定理的应用方法；
b.教师点评学生的表现，强调勾股定理在数学中的重要地位；
c.提出拓展性问题，激发学生对勾股定理的深入思考。
五、作业布下作业题：
拓展作业旨在激发学生的探究兴趣，提高学生的数学应用意识。
4.作业要求：
（1）作业需独立完成，要求书写规范，步骤清晰；
14.2《勾股定理的应用》教学设计2022-2023学年八年级数学华东师大版上册
14.2《勾股定理的应用》教学设计
一、教学目标
1.理解勾股定理的应用，掌握在实际问题中使用勾股定理求解斜边、直角边的方法；
2.能够灵活运用勾股定理求解各种形式的实际问题；
3.通过实际问题的解决，增强数学应用能力和创新精神。
二、教学重难点
1.勾股定理的应用；
2.实际问题的建模与求解。
三、教学过程
1.复习
通过继续讲解勾股定理及其相关例题的方式进行巩固。
2.引入
通过一个简单的图形题引入，让学生初步猜测勾股定理的应用。
3.探究
引导学生通过已知三角形两边长度求解第三边长度的问题，成功接触勾股定理的应用。
4.展示
通过包括生活中的实际问题，引导学生发现勾股定理在不同场景下的应用方法。
5.巩固
通过各种题型的演示、练习，让学生掌握了勾股定理的应用方法，同时训练学生的实际问题分析与求解能力。
6.拓展
鼓励学生在勾股定理的应用中进行思维拓展，探究不同形式的问题求解方法，培养学生的创新思维。
四、教学评价
1.形成性评价
通过课堂练习，小组合作讨论等方式，对学生的知识掌握、应用能力进行及时补充、确认和反馈。
2.总评价
对学生的综合能力、分析问题和解决问题的能力、创新思维等进行综合评价，将评价结果作为重要参考，提高教学方法和效果。
五、教学反思
针对学生在学习过程中的困惑和不足，及时进行补救，改进教学方法，提高教育教学质量，全面促进学生的学习与成长。
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用优秀教学案例
3.通过对勾股定理的应用，培养学生独立思考、解决问题的习惯，培养学生的团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱，树立学生的自信心。
2.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力，例如：分组讨论如何运用勾股定理测量建筑物的高度。
2.教师给予适当的指导和支持，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ助学生克服困难，例如：在学生解决问题过程中，教师提供必要的数学知识和方法。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足，例如：让学生反思自己在解决勾股定理应用问题时，哪些方法有效，哪些需要改进。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的场景为导入，例如测量房间的高度，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，例如：“如果已知直角三角形的两条直角边，如何求斜边的长度？”
3.操作情境：让学生动手操作，亲自体验勾股定理的应用，例如：用硬纸板制作直角三角形，测量其边长，验证勾股定理。
考虑到学生的年龄特点和认知水平，本节课通过设计丰富的教学活动，引导学生运用勾股定理解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、合作交流意识和创新能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握勾股定理的应用。
为了提高教学效果，教师在课前充分准备，搜集了与勾股定理相关的实际问题，设计了多样化的教学活动。同时，注重与学生的互动，引导他们积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
八年级数学上册 第十四章 勾股定理教案 华东师大版 教案
《勾股定理》教学设计一、地位与作用：这节课所用的教材是华东师大版本《义务教育课程标准实验教科书》，本课讲授的是第十四章《勾股定理》的内容。
勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面：1、勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题。
2、本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础。
3、“勾股定理”的内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关。
二、教学目标：1、理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题，能设计不同的情境验证勾股定理的正确性。
2、体验勾股定理的探索过程，通过勾股定理的应用培养方程的思想和逻辑推理能力以及解决问题的能力。
3、通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。
三、教学重点：勾股定理的证明及应用四、教学难点：学生数学语言的运用五、教学媒体的选择与使用：多媒体课件六、课前准备：学生准备好四个全等的直角三角形。
七、分课时教学过程设计：§直角三角形三边的关系【教学目标】一、知识目标1.在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
二、能力目标1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。
3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。
华东师大版八年级上册第14章14.2勾股定理的应用教学设计
本章教学设计将围绕以上三个部分展开，确保学生在掌握勾股定理知识的基础上，提高解决问题的能力，培养良好的情感态度与价值观。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理的应用前，已经掌握了勾股定理的基本概念及其证明方法。在此基础上，他们对直角三角形的相关知识有了初步的了解，具备了一定的几何图形认知能力和逻辑思维能力。然而，在实际运用勾股定理解决问题时，学生可能会遇到以下困难：
4.学生能够运用勾股定理解释生活中的现象，如房屋建筑中的直角三角形问题、物体斜抛运动中的直角三角形问题等。
（二）过程与方法
1.学生能够通过实际操作，如画图、测量等，直观地感受勾股定理的含义和应用。
2.学生能够运用数学推理方法，如代数运算、逻辑推理等，证明勾股定理的正确性。
3.学生能够运用勾股定理解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
1.将实际问题抽象为直角三角形模型的能力较弱，需要进一步引导和培养。
2.运用勾股定理进行计算时，可能会出现运算错误，需要加强巩固和练习。
3.部分学生对数学学科的兴趣和自信心有待提高，教师应关注学生的情感需求，激发学习兴趣。
针对以上学情，本章节教学设计将从以下几个方面入手：
1.设计丰富的实际问题情境，引导学生将数学知识应用于实际生活。
6.情感教育，培养价值观：
在教学过程中，关注学生的情感需求，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和勇于探究的精神。
7.课后拓展，提高应用能力：
课后布置实际应用题，让学生将勾股定理应用于生活，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入生活实例：以学生熟悉的生活场景为例，如一根直角三角形的竹竿靠在墙角，提问学生如何计算竹竿的长度。引导学生思考直角三角形边长之间的关系，为新课的学习做好铺垫。
14.2 勾股定理的应用 教学设计 2022—2023学年华东师大版数学八年级上册
14.2 勾股定理的应用教学设计一、教学目标1.理解勾股定理的概念和原理；2.能够运用勾股定理解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和应用能力。
二、教学内容1.勾股定理的定义和推导过程；2.勾股定理的应用：解决直角三角形的边长和面积问题。
三、教学重点和难点1.理解勾股定理的概念和原理；2.运用勾股定理解决实际问题。
四、教学过程第一步：导入 (5分钟)1.引入勾股定理的概念，让学生回忆和复习上节课学过的直角三角形的定义和性质。
2.提问：什么是勾股定理？它与直角三角形有什么关系？第二步：讲解 (10分钟)1.以幻灯片或黑板为媒介，讲解勾股定理的定义和推导过程。
2.指导学生观察勾股定理的图示，理解勾股定理是基于直角三角形的三条边关系而得出的几何定理。
第三步：示例演练 (15分钟)1.带领学生一起解决一些实际问题，如给定一个直角三角形的两条边长，求第三条边长；2.引导学生运用勾股定理来解答问题，注意引导学生先确认问题中是否存在直角。
第四步：合作探究 (20分钟)1.将学生分为小组，每个小组选出一位代表上台进行常见问题的讲解和解答，其他小组成员可提问和补充。
2.每个小组选择一个勾股定理相关问题进行探究，并将自己的思路和解题过程写在纸上。
第五步：展示和分享 (10分钟)1.每个小组派出一名代表，上台展示他们的问题和解题过程，并找到其他小组与之进行比较和交流。
2.教师适时给予指导和肯定，鼓励学生多主动提出问题和思考解题思路。
第六步：归纳总结 (5分钟)1.教师与学生共同总结勾股定理的应用，并指导学生归纳和记忆相关的问题和解题技巧。
2.教师强调勾股定理的重要性和实用性，激发学生对数学知识的兴趣和进一步探索的欲望。
第七步：作业布置 (5分钟)1.布置相关练习题，要求学生巩固和运用勾股定理的知识；2.鼓励学生自主探索更多直角三角形的问题，拓展应用场景。
五、教学反思通过本节课的教学设计和实施，学生能够全面了解勾股定理的概念和原理，运用勾股定理解决实际问题的能力也得到了增强。
2024秋八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用教案(新版)华东师大版
由于a² + b² = c²，代入第一个等式，得到：
(a+b)² = c² + 2ab
由于a+b>c，所以(a+b)²>c²，进而得到2ab>0，即a² + b² = c²。
几何法证明：通过构造正方形和四个相似的直角三角形，利用面积关系进行证明。
4. 实践题：测量学校旗杆与地面之间的距离（假设旗杆垂直于地面），已知旗杆顶部距离你的位置的水平距离为10米，你眼睛的位置距离地面的高度为1.5米，求旗杆的高度。
- 分析勾股定理在物理学、工程学等领域中的应用实例，如桥梁建设、导航定位等。
- 尝试使用不同的数学方法证明勾股定理，如代数法、几何法、向量法等。
- 研究勾股定理的推广形式，例如在非直角三角形中的类似定理。
- 设计一个关于勾股定理的实际问题，并运用所学的数学知识解决该问题。
- 调查勾股定理在现代社会中的新应用，如计算机图形学、机器人路径规划等。
拓展与延伸
1. 拓展阅读材料：
- 《数学故事：勾股定理的奥秘》
- 《生活中的勾股定理：从建筑设计到宇宙探索》
- 《勾股定理的证明方法与数学思维》
2. 课后自主学习和探究：
- 研究勾股定理在不同文化背景下的发现和应用，例如古埃及、古希腊等。
- 探索勾股定理在立体几何中的应用，如斜边长为定值的直角三角形空间体的体积问题。
答案：钢管顶部距离地面的高度为8米。
3. 探究题：证明勾股定理（使用代数法、几何法任选其一）。
答案：代数法证明：设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，根据勾股定理有a² + b² = c²。通过画图，将直角三角形分别拆分成两个相似的小直角三角形，利用相似三角形的性质，可以得到以下等式：
新华师大版八年级上册初中数学 14-2 勾股定理的应用 教案
第十四章勾股定理14.2 勾股定理的应用【知识与技能】(1)能用勾股定理解决实际问题.(2)能利用勾股定理和其逆定理综合解决相关问题.【过程与方法】(1)在解决实际问题的过程中培养学生建立数学模型的意识和能力.(2)在解决问题中体会转化思想的意义.【情感态度与价值观】(1)通过对勾股定理的逆定理的探究,体会从特殊到一般的研究方法,培养良好的学习习惯.(2)在自主探究运用逆定理解决实际问题中感受数学价值,增强学好数学的信心.运用勾股定理和其逆定理解决实际问题.把实际问题转化为数学问题的思维过程.多媒体课件.思考下面的问题:1.直角三角形的性质有哪些?2.勾股定理的内容是什么?勾股定理的逆定理如何运用?3.两点之间的最短路线是什么?如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A 在AC 上运动，量的滑竿下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑竿顶端A 下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB 中利用勾股定理求出AC 的长，然后再在直角三角形ECD 中利用勾股定理求出CE 的长，即可求出AE 的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时，必须分清斜边、直角边，然后在使用；若没有明确告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解。
（2）勾股定理将“形”转化为“数”，而这对于实际问题的解决起着积极的作用。
（3）勾股定理的应用：1.已知直角三角形任意两边，求第三边；2.已知直角三角形的一边，求另两边的关系；3.用于说明平方关系；4.作长为n 的线段。
【正式作业】教材118P 习题1.14 6。
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福建省泉州市泉港三川中学八年级数学上册《14.2 勾股定理的应
用》教案华东师大版
一、单元设计总体分析
(一)教材所处的地位---教材分析：华东师大版《数学》七年级下册第14章第2节是学习勾股定理及其逆定理的应用。
因此教学中可以结合实际情况让学生了解勾股定理及其逆定理在现实生活以及数学中的各种应用，体会勾股定理的文化价值.
（二)单元教学目标：
1.能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理.
2.会应用勾股定理及其逆定理解简单的实际问题.
（三）单元教学重难点：勾股定理及其逆定理的应用.
（四）单元教学策略：利用实物模型及多媒体将实际问题转化为应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题.
二、课时教学设计
（一）教学目标
1．知识目标
(1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
(2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
2．过程性目标
(1)让学生亲自经历卷折圆柱.
(2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.
(3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.
(二)教学重点、难点
教学重点：勾股定理的应用.
教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
原因分析：
1.例1中学生因为其空间想像能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆柱模型解决难题.
2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维.
教学突破点：突出重点的教学策略：
通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，（三）、教学过程
教学过程设计意图
复
习部
分
复习练习，引出课题
例1、在Rt△ABC中，两条直角边分别为3，
4，求斜边c的值？
答案：c=5.
例2、在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边
为13，求另一直角边的长是多少？
答案：另一直角边的长是12.
通过简单计算题的练习，帮助学
生回顾勾股定理，加深定理的记忆理
解，为新课作好准备
小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理：
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则 c2= a2+b2 .
加深定理的记忆理解，突出定理的作用.
新
课
讲
解
勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此
在现实生活和数学中有着广泛的应用．
例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为
20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只
蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试
求出爬行的最短路程．
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬
行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出
A、B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的
距离，与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距
离是什么？根据是什么？（学生回答）
D
C
B
A
根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路
程就是侧面展开图矩形ASBCD对角线AC之长．我们
可以利用勾股定理计算出AC的长。
D
C
B
A
解如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一
半＝１０cm，根据勾股定理得（提问：勾
股定理）
∴ AC＝2
2BC
AB+＝2
210
4+
＝29
2≈１０．７７（cm）（勾股定
理）．
答：最短路程约为１０．７７cm．
例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，
通过动手作模型，培养学生的动
手、动脑能力，解决“学生空间想像
能力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”
的难题，从而突破难点.
由学生回答“AC之间的最短距离及
根据”，有利于帮助学生找准新旧知
识的连接点，唤起与形成新知识相关
的旧知识，从而使学生的原认知结构
对新知识的学习具有某种“召唤力”
再次提问，突出勾股定理的作用，加
深记忆.
宽 1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工
厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
图14.2.3
分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，
只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于
CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8
米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：OC＝1米(大门宽度一半)，
OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得
ＣＤ＝2
2OD
OC-＝2
28.0
1-＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５
（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过
厂门．
利用多媒体设备演示卡车通过厂
门正中间时的过程（在几何画板上画
出厂门的形状，用移动的矩形表示卡
车，矩形的高低可调），让学生通过
观察，找到需要计算的线段CH、CD及
CD 所在的直角三角形OCD，将实际问
题转化为应用勾股定理解直角三角形
的数学问题.
小
结
本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问
题.在实际当中，长度计算是一个基本问题，而长
度计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形，
利用勾股定理已知两边求第三边，我们要掌握好这
一有力工具.
课堂练
习
练习
1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米
长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距
离．
（第１题）
2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使
其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两
倍，问斜边扩大到原来的多少倍?
（四）.作业：
同步导学：第40－41页，
勾股定理的应用基础训练（1）
本单元分两课时，第二课时讲解例3、例4，例4中同时用到勾股定理及逆定理，重点培
养学生的演绎推理能力，具体设计略.
（五）、错题的估计和采集：
（1）错例
从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，
求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．
解1：∵电杆垂直于地面.
∴根据勾股定理：AB2 =72 ＋5 2 =74
得AB =74
答：钢缆固定点A到电杆底部B的距离是74米.
解2：∵电杆垂直于地面.
∴根据勾股定理：AB=72 ―5 2 =24
答：钢缆固定点A到电杆底部B的距离是24米.
（2）原因分析：
第一种错误是将直角边与斜边的位置搞错，或是记错了公式，应该按平方差计算，却按平方和计算; 第二种错误将公式中要计算项的平方遗漏，这两种错误都是常见的.
（3）策略分析
为防止以上错误的出现，除了讲清楚定理，还应该强调：
1.定理中基本公式中的项都是平方项；
2.计算直角边时需要将基本公式移项变形，按平方差计算.
3.最后求边长时，需要进行开平方运算.。