浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷及解析

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浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题含答案

浙江省L16联盟2024年7月新高三适应性测试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,1,2,3A =-，集合{}0,2,3,4B =，则B A 的子集个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由交集的概念得出交集中元素的个数即可求解.【详解】集合{}1,1,2,3A =-，集合{}0,2,3,4B =，则{}2,3B A ⋂=，则B A 的子集个数是224=.故选：D.2.公比为q 的等比数列{}n a 满足0n a >，43223a a a =+，则q =（）A.1-B.1C.3D.9【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的通项公式：11n n a a q -=⋅，代入43223a a a =+解关于q 的方程，即可得q 的值.【详解】由0n a >，知10,0a q >>，又43223a a a =+，则3211123a q a q a q ⋅=⋅+⋅，223q q ∴=+，解得1q =-（舍），或3q =.故选：C.3.已知na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭存在常数项，且常数项是320a ，则n =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求得二项式展开式的通项公式，化简整理，由常数项是320a ，得r ，n ．【详解】n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为21C C rr n r r n rr r n n a T x xa x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,2,,r n = ，令20n r -=，得2n r =，*N n ∈，所以它的常数项为2C rrr a ⋅，又已知常数项是320a ，所以3r =，6n =，故选：B ．4.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的左右焦点到直线l ：40x y --=的距离之差为2，则E 的焦距是（）A.B.2C. D.4【答案】C 【解析】【分析】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，2=，分04c <<和4c ≥两种情况，分析求解即可.【详解】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，2=，则()44c c +--=若04c <<，则()()()44442c c c c c +--=++-==，即c =若4c ≥，则()()()44448c c c c +--=+--=≠，不合题意；综上所述：c =E 的焦距是2c =.故选：C.5.在ABC V 中，tan A 和tan B 是方程()20,1x mx n n -+=≠的两个根，则tan C =（）A.1m n - B.1m n- C.1n m- D.1n m-【答案】A 【解析】【分析】由韦达定理，tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，结合诱导公式、两角和的正切即可求解.【详解】因为tan A 和tan B 是方程20x mx n -+=的两个根，所以由韦达定理有tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，所以()()tan tan tan tan πtan 1tan tan 11A B m mC A B A B A B n n +=--=-+=-=-=---.故选：A.6.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 中点，M 是DB 靠近B 的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+= ，则DP的最大值是（）A.1B.52C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，从而求得3330442x y z --+=，再根据向量模长公式结合01,01x y ≤≤≤≤即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，则()11330,0,0,1,0,,,0,1,,,02244D E F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1113,0,,,,12244EF MF ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，因为()0DP EF MF ⋅+= ，又(),,DP x y z =，所以3330442x y z --+=，即2x y z +=，所以22222222x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，又01,01x y ≤≤≤≤，所以22221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，所以DP故选：D.7.已知函数()323f x x x =-，则()20252023k f k =-=∑（）A.8098- B.8096- C.0D.8100【答案】A 【解析】【分析】首先得出()f x 关于()1,2-中心对称，然后即可利用这一性质求解.【详解】()()()()333231311312f x x x x x x x =-=--+=----，所以()()331132324f x f x x x x x ++-=---+-=-，即()f x 关于()1,2-中心对称，所以()()()()()()()()202520232023202520222024021k f k f f f f f f f =-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-++⋯+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑()()2024418098f =⨯+=-.故选：A.8.若正实数a ，b ，c 满足b a bc =，ln b a a c =，则（）A.a b ≥B.a c ≥C.b c≥ D.c b≥【答案】B 【解析】【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.【详解】ba bc =，lnb a ac =，则ln bc a c =，则ln 1b a =，则1e b a =.则1(e )e bb b a ==，则1(e )e=bbb a bc ==，则ec b=先比较a ，b ：作差1e b a b b -=-，设1()e (0)xf x x x =->，求导121()e 10,(0)x f x x x'=--<>，则1()e (0)x f x x x =->在(0,)+∞单调递减.(1)e 10f =->，(2)20f =-=<，故1()e (0)xf x x x =->有正负还有零.即a b -值有正负还有零，故不能比较,a b 大小.故A 错误.再比较a ，c ：作差1e e ba cb -=-，设1e ()e (0)x f x x x =->，求导112221e 1()e (e e )0x x f x x x x'=-+=-=，则1x =由于11011e e 0()0x x f x x '<<⇒>⇒-<⇒<，则()f x 在(0,1)单调递减.1111e e 0()0x x f x x'>⇒<⇒->⇒>，则()f x 在(1,)+∞单调递增.且(1)0f =，则()0f x ≥，即1ee 0ba c b-=-≥，即a c ≥.故B 正确．最后比较b，c ，由于ec b=，假设b c ==满足题意，假设b c >，即eb b >，即2e b >，即b >假设b c <，即eb b<，即2e b <，即0b <<也满足题意．则,b c 无法比较大小，故CD 错误.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均值为()2,5的多组样本点数据()11,x y ，()22,x y …()()1,,2,i i x y i n =⋅⋅⋅经最小二乘法得到的回归直线21y x =+.现删去样本点数据()2,7，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（）参考数据：回归直线 y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()(()nni ii ii i nn iii i x y nx yx x yy bxn x x x ====---==--∑∑∑∑ ， ay bx =- .A.斜率改变 B.截距不变 C.斜率不变 D.截距改变【答案】CD 【解析】【分析】依据题意得211(2)(5)2(2)n niiii i x y x ==--=-∑∑，接着先求出新数据的,x y ，再代入最小二乘法公式求得111212(2)(5)1(2)n iii n ii x y n bx -=-=--+-=-∑∑ 和，进而得解.【详解】由题意可得121(2)(5)2(2)n iii nii x y x ==--=-∑∑，且1n >，所以211(2)(5)2(2)nn iiii i x y x ==--=-∑∑，不妨将样本点数据()2,7作为第n 组数据，即2,7n n x y ==，则前1n -组数据满足()111111222111n n i i n i i x x x x n n n n -==⎛⎫==-=-= ⎪---⎝⎭∑∑，()11111125751111n n i i n i i y y y y n n n n n -==⎛⎫==-=-=- ⎪----⎝⎭∑∑，所以11111111221122(2)(5)(2)(5)(2)11(2)(2)n n n i i i i i i i i n n iii i x y x y x n n bx x ---===--==--+--+---==--∑∑∑∑∑ ()111112122(2)(5)2111(2)n n i i ii i n ii x y x n n n x --==-=--+-⨯---=-∑∑∑()()1112122(2)(5)212111(2)n i i i n ii x y n n n n x -=-=--+⨯--⨯---=-∑∑11121(2)(5)(2)n iii n ii x y x -=-=--=-∑∑27711112211(2)(5)(2)(5)2(2)(2)(2)nnii i i i n n iii i x y xy x x x ==--==------==--∑∑∑∑112227111122112(2)(2)2(2)2(2)(2)n n i i i i n n iii i x x x x x --==--==----===--∑∑∑∑，所以 225221111ay bx n n =-=--⨯=-<-- .综上，新回归直线斜率不变，截距会发生变化，故选项AB 错误，选项CD 正确.故选：CD.10.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（）A.PEF !的面积为12B.PD EF⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为13【答案】ABD 【解析】【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A ，易知1122BEF PEF S S BE BF ==⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，易知232,222PG DG PD ===≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111323P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD11.已知曲线C 上的点满足：到定点1,0与定直线y 轴的距离的差为定值m ，其中，点A ，B 分别为曲线C 上的两点，且点B 恒在点A 的右侧，则（）A.若12m =，则曲线C 的图象为一条抛物线B.若1m =，则曲线C 的方程为24y x=C.当1m >时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >D.当1m <-时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >【答案】AC 【解析】【分析】设曲线C 上的点s ，由题意求出,x y 的方程，分0x ≥、0x <化简后逐项判断可得答案.【详解】对于A ，若12m =，设曲线C 上的点s ，由题意可得12x -=，化简得2324y x x =+-，当0x ≥时，2334=-y x 为抛物线，当0x <时，234=-y x ，因为0x <，所以304-<x ，而20y ≥，显然不成立，综上，若12m =，则曲线C 的图象为一条抛物线，故A 错误；对于B ，若1m =，设曲线C 上的点s ，1x -=，化简得222y x x =+，当0x ≥时，24y x =为抛物线，当0x <时，0y =为一条射线，故B 错误；对于C ，若1m >，设曲线C 上的点s ，x m =，化简得22221y x m x m =++-，因为1m >，当0x ≥时，()21212m y m x -⎛⎫=+-⎪⎝⎭，为开口向右，顶点为1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，，当0x <时，()21212m y m x +⎛⎫=--⎪⎝⎭，为开口向左，顶点为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，，且1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭关于12x =对称,其图象大致如下，因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x >，故C 正确；对于D ，若1m <-，设曲线C 上的点s ，()221x y x m -+=，化简得22221y x m x m =++-，因为1m <-，当0x ≥时，()21212m y m x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，为开口向左，顶点为1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，当0x <时，()21212m y m x +⎛⎫=--⎪⎝⎭，为开口向右，顶点为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，且1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭关于12x =对称,其图象大致如下，因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x <，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线C 上的点s ，求出P 点的轨迹方程，数形结合求出答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：234562024i i i i i i i -+-+-+⋅⋅⋅-=______（i 为虚数单位）.【答案】0【解析】【分析】利用i 的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值.【详解】因为234i i i i i i 101-+---+==，所以()()()23456782021202220232024i i i ii i i i i i i i -+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-()()()23442342020234i i i i i i i i i i i i i i 50600=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=⨯=.故答案为：0.13.三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为2的正三角形，4PA PB +=，则三棱锥体积的最大值是______.【答案】1【解析】【分析】点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），可得侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，求出最大值即可.【详解】由题意可得，点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），设PA x =，4PB x =-，椭球的焦距为22c =，可得椭球的短轴长b ==，所以当侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，此时，最大值为11132213322==⨯⨯⨯⨯ ABC V S b .故答案为：1.14.已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______.【答案】①.0.24##625②.0.36##925【解析】【分析】设相应事件，由题意可得()()(),|,|P A P B A P B A ，根据对立事件结合条件概率公式分析求解.【详解】设“第一问做出”为事件A ，“第二问做出”为事件B ，由题意可得：()()()60.6,|0.1,|0.610P A P B A P B A ====，则()()()0.4,|0.9,|0.4P A P B A P B A ===，所以()()()|0.24P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.24；所以()()()|0.36P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.36.故答案为：0.24；0.36.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15..如图，底面1111D C B A 固定在底面α上的盛水容器口为正方形ABCD ，侧棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 相互平行.（1）证明：底面四边形1111D C B A 是平行四边形；（2）若已知四条侧棱垂直于面ABCD ，且114AA DD ==，112BB CC AB ===.现往该容器中注水，求该容器最大盛水体积V 及此时侧面11BB C C 与底面α所成角θ的余弦值（水面平行于底面α）.【答案】（1）证明见解析（2）8V =，cos 2θ=【解析】【分析】（1）只需证明平面11//ABB A 平面11CDD C ，再结合面面平行的性质即可得证；（2）取11,AA DD 的中点,E F ，说明该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，当1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，此时可以说明AEB θ∠=，结合解三角形知识以及平行六面体的体积公式即可求解.【小问1详解】因为11//AA DD ，1AA ⊄平面11CDD C ，1DD ⊂平面11CDD C ，所以1//AA 平面11CDD C ，同理//AB CD ，AB ⊄平面11CDD C ，CD ⊂平面11CDD C ，所以//AB 平面11CDD C ，而1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11//ABB A 平面11CDD C ，又平面11ABB A 平面11A B α=，平面11CDD C 平面11C D α=，所以1111//A B C D ，同理1111//A D B C ，所以底面四边形1111D C B A 是平行四边形；【小问2详解】取11,AA DD 的中点,E F ，因为1111//,A E BB A E BB =，所以四边形11A EBB 是平行四边形，所以11//EB A B ，而EB ⊄平面1111D C B A ，11A B ⊂平面1111D C B A ，所以//EB 平面1111D C B A ，同理1111//,A E D F A E D F =，所以四边形11A EFD 是平行四边形，所以11//EF A D ，而EF ⊄平面1111D C B A ，11A D ⊂平面1111D C B A ，所以//EF 平面1111D C B A ，又EB EF E = ，,EB EF ⊂平面EBCF ，所以平面//EBCF 平面α，所以该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，由题意2,AE AB AE AB ==⊥，所以BE =，因为1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11ADD A 是平行四边形，而,E F 分别是11,AA DD 的中点，所以2EF AD ==，当1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，而1BB BC ⊥，11//BC B C ，所以111BB B C ⊥，所以11A B B ∠的补角就是侧面11BB C C 与底面α所成角θ，因为1111//,//BB AA A B EB ，所以AEB θ∠=，cos2AE EB θ===，注意到()0,πθ∈，所以π4θ=，此时11112A B EB B C BC ====，平行六面体的高为1sin 22BB θ=⨯=平行六面体的底面积为1111A B B C ⋅=，所以平行六面体的体积为8V ==.16.现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为12，若抛中的是正面，则收益80%的手中金额；否则亏损50%的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币100次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为100元，记x 为抛硬币次数，y 为经历x 次抛硬币后手中的金额.（1）若2x =，求y 的分布列；（2）如图，横坐标表示x ，纵坐标表示y ，在图中描出所有可能取值对应的(),x y ，并求出当0x =、1、2、3时盈利的概率；（3）综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.【答案】（1）分布列见解析（2）图象见解析，()00P x ==，()112P x ==，()124P x ==，()132P x ==（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件知y 的可能取值为25,90,324，再求出相应的概率，即可求出结果；（2）通过取一些特殊值，即可得到部分图象，再根据条件，即可求出0x =、1、2、3时盈利的概率；（3）根据题设条件，即可写出结果.【小问1详解】易知y 的可能取值为25,90,324，111(25)224P y ==⨯=，12111(90)C 222P y ==⨯⨯=，111(324)224P y ==⨯=，所以y 的分布列为y2590324P141214【小问2详解】当0x =时，100y =，当1x =时，50y =或180y =，当2x =时，y 的可能取值为25,90,324，L ，所以图象如下图易知()00P x ==，()112P x ==，()1112224P x ==⨯=，()1311111113C 2222222P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=.【小问3详解】x 越大，最终手中金额大于初始金额的概率会越小，则最终亏损的可能性越大，最后亏损的组数多于盈利的组数，即甲同学实验现象（答案不唯一）.17.已知a 为实数，*n ∈N ，设函数()ln nf x x a x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()e,n ∞+【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果，转化为函数的最小值小于0，并且结合函数零点存在性定理说明存在2个零点.【小问1详解】()1n n a nx af x nxx x--'=-=，0x >，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得1na x n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()0f x '<，得10na x n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以函数的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上可知，0a ≤时，()f x 的增区间是()0,∞+；0a >时，()f x 的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由（1）可知，若()f x 有两个零点，则0a >，且当1na x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，111ln 0nn n n a a a f a n n n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得e a n >，且0x →时，()f x →+∞，·当x →+∞，()f x →+∞，所以10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有1个零点，1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也有1个零点，所以若()f x 有两个零点，则e a n >.18.已知点()4,4A ，B ，C ，D 均在抛物线W ：()220x py p =>上，A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，AD 关于直线AC 对称，点D 在直线AC 的上方，直线AD 交y 轴于点E ，直线AB 斜率小于2.（1）求ABE 面积的最大值；（2）记四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，若122S S =，求sin BAD ∠.【答案】（1）16（2）1213【解析】【分析】（1）设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，令0x =可得,E F 的坐标，由韦达定理可表示出12x x -，从而可求得ABE 面积2S 的表达式，结合基本不等式即可求解；（2）设ABCD 的面积为S ，由题意23S S =，由韦达定理以及同理思想可得()()222341,41y k y k =-=+，由公式3212S AC y y =-可知S 也可以用k 表示，进而可以得出关于k 的方程，解出k ，结合二倍角公式、平方关系即可求解.【小问1详解】由题意2424p =⨯，解得2p =，所以抛物线W ：24x y =，因为A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，AD 关于直线AC 对称，所以,AD AB 斜率互为相反数，不妨设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，设AB 与y 轴交于点F ，而直线AD 交y 轴于点E ，所以()()0,44,0,44E k F k +-，联立():44AB y k x =-+与抛物线W ：24x y =，化简并整理得2416160x kx k -+-=，()22Δ166********k k k k =-+=->⇒≠，设1,1,2,2，则12124,1616x x k x x k +==-，设ABE 面积为2S ，则21211822S EF x x k =⋅⋅-=⋅()22416216216162k k k k k k +-⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当1k =，所以ABE 面积的最大值为16；【小问2详解】由（1）可知12241616x x x k ==-，解得244x k =-，设点D 的坐标为()33,x y ，同理可得()34444x k k =--=--，所以()()222341,41y k y k =-=+，设ABCD 的面积为S ，而四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，由题意12222S S S S S -==，所以23S S =，而()()()2232118414164,0222S AC y y k k k k ⎡⎤=-=⨯⨯+--=<<⎣⎦，而()2162S k k =-，所以()643162k k k =⨯-，即232k k =，解得23k =，由题意//AC x 轴，且BAC DAC ∠=∠，设π,0,2BAC DAC θθ⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝⎭，所以2tan 3k θ==，所以22222422sin cos 2tan 1233sin sin 213sin cos tan 1132193BAD θθθθθθθ⨯∠======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19.已知正整数m ，设1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 是4m 个非负实数，22110m miii i S a b====>∑∑.若对于任意1,2,,2i m =⋅⋅⋅，取211m a a +=，222m a a +=，211m b b +=，都有21i i i i a a b b ++≥+，则称这4m 个数构成(),S m —孪生数组.（1）写出8个不全相等的数，使得这8个数构成()8,2—孪生数组；（2）求最小的S ，使得1a ，2a ，…，6a ，1b ，2b ，…，6b 构成(),3S —孪生数组；（3）若4≥m ，且1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 构成()16,m —孪生数组，求()1,2,,2i a i m =⋅⋅⋅的最大值.参考公式：（i ）()()21231223313x x x x x x x x x ++≥++，当且仅当123x x x ==时取等；（ii ）当正偶数4n ≥时，设()*2n k k =∈N，有()()122311321242n k k x xx x x x x x x x x x -++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+；当正奇数4n >时，设()*21n k k =+∈N ，有()122311321n k x x x x x x x x x +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+()242k x x x ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）2，2，2，2，0，4，0，4（答案不唯一）（2）12（3）4【解析】【分析】（1）根据(),S m —孪生数组的含义写出即可；（2）由题知3m =，进而可以求出S ，再结合参考公式（i ）即可证明；（3）由题知3S =，结合（2）可得21222111()mmi i i i i i S bb a a -+===+≤∑∑.再利用参考公式（ii ）放缩，进而求解最大值.【小问1详解】根据(),S m —孪生数组的含义可知:2,2,2,2,0,4,0,4构成()8,2—孪生数组，当然其答案不唯一;【小问2详解】若3m =，由题知:131224233534;;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+464551566261;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+所以()()()()12345613163515ii S b b bb b b a a a a a b a ===+++++≤++∑.由参考公式（i ），有()()2135********a a a a a a a a a S ++≥++≥，记T 是数列{}n a 中奇数项的和，即135T a a a =++，不妨设2S T ≤，则有2234S T S ≥≥，因为0S >，解得12S ≥，当且仅当()21,2,,6i a i == 时取等.故最小的S 为12.【小问3详解】类比前问，得:212212111()mmi i i i i i S bb a a --+===+≤∑∑.由参考公式（ii ），有若m 为正偶数，21211mi i i aa-+=∑()()15233721m m a a a a a a --≤++++++ .由基本不等式，得()()2152337214m m T a a a a a a --++++++≤ .当且仅当15233721m m a a a a a a --+++=+++ 时等号成立.所以2212121416mi i i T S S a a -+=≤≤≤∑，因为0S >，解得16S ≥;同理，当m 为正奇数，解得16S ≥，由122122,,,,,,,m m a a a b b b 构成()16,m -孪生数组，所以等号需要全部成立.对于参考公式（ii ），左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0.若4n =，则等号直接成立.不妨设120x x ≠，则451,,0n x x x -= ，当n 为正奇数时，0n x =；当n 为正偶数时，若6n ≥，则30n x x =，不妨使0n x =，则此时仅123,,0x x x ≠，其余项均为0.故()()1532644,4,7,8,20,5,6,20j i a a a a a a a j m b i m +==+====== .所以()341,2,,24i a i m a a =≤== ()1,2,,2i a i m = 的最大值为4【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是将2211m mi i i i S a b ====∑∑表示出来，再利用参考答公式（i ）进行放缩；第三问需要用到第（2）问结论，要注意对m 时是正奇数和正偶数讨论.。

浙江省L16联盟2023-2024学年高三下学期开学适应性测试数学试题含答案

浙江省L16联盟2024年高三返校适应性测试数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.【详解】设圆弧所对的圆心角为α，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得24α⨯=，所以2α=.故选：B.2.直线l 过抛物线2:4C x y =-的焦点，且在x 轴与y 轴上的截距相同，则l 的方程是（）A.1y x --=B.=1y x -+C.1y =x -D.1y x =+【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得抛物线C 的焦点为(0,1)F -，设直线方程为0x y m ++=，代入直线方程求得m 的值，即可求解.【详解】由抛物线2:4C x y =-的焦点为(0,1)F -，又由直线l 在x 轴与y 轴的截距相同，可得直线方程为0x y m ++=，将点(0,1)F -代入0x y m ++=，可得1m =，所以直线l 的长为=1y x --.故选：A.3.如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（）A.24B.36C.48D.96【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用分步计数原理和组合知识即可求出结果.【详解】由题有21124222C C C A 622248=⨯⨯⨯=，故选：C.4.随机变量X 服从正态分布()21,X N σ .若(13)0.2P X ≤<=，则(1|1)P X X<>=（）A.14B.38C.58D.34【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用对称性得到(1)0.3P X <-=，(1)0.8P X >=，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】因为(13)0.2P X ≤<=，所以(1)(3)10.20.3P X P X <-=>=-=，又(1)0.50.30.8P X >=+=，所以(1)0.33(1|1)(1)0.88P X P X X P X <-<>===>，故选：B.5.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】依题意，1,1a b >>，对于甲：e e baa b =，即e e a ba b=，设()()()()2e 1e 1,0x xx f x x f x x x -'=>=>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故e e a ba b a b=⇔=.对于乙：b a a b =，两边取以e 为底的对数得ln ln ,ln ln b a a b b a a b ==，由于1,1a b >>，所以ln 0,ln 0a b >>，则ln ln a ba b=，设()()()2ln 1ln 1,x xg x x g x x x-'=>=，所以()g x 在区间()1,e 上()()0,g x g x '>单调递增，在区间()e,+∞上()()0,g x g x '<单调递减，所以由ln ln a ba b=，即()()g a g b =，若(],1,e a b ∈或[),e,a b ∈+∞，则a b =，若,a b 不在()g x 的同一单调区间，则a b ¹，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A6.已知复数i z a b =+，其中,a b ∈R 且1a b +=，则1i z ++的最小值是（）A.B.2C.2 D.2【答案】D 【解析】【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离.【详解】复数i z a b =+，其中,a b ∈R 且1a b +=，复数z 在复平面内对应的点(),Z a b ，在直线1x y +=上，1i z ++的几何意义是点(),Z a b 到点()1,1C --的距离，其最小值为点()1,1C --到直线1x y +=的距离，最小值为2d ==.故选：D7.高为3，长宽为的长方体1111ABCD A B C D -中，以11,,A C C 为球心的球123,,O O O 两两相切，过B 点作球3O 的切线PB 交球3O 于点,P P 在长方体外部，则点P 的轨迹长度是（） A.45π5B. C.32π2D.3π【答案】C 【解析】【分析】设出球123,,O O O 的半径分别为123,,R R R ，得到方程，求出32R =，从而得到点P 的轨迹为以M 为的圆，位于长方体外部的圆弧部分，求出答案.【详解】设球123,,O O O 的半径分别为123,,R R R ，则124R R +==，135R R +==，233R R +=，解得32R =，过B 点作球3O 的切线PB 交球3O 于点P ，则点P 的轨迹为球3O 的小圆，其中圆心为M ，则M 在线段BC 上，如图所示，BP ⊥CP，2,CP BC ==2BP==，BCP 为等腰直角三角形，故12PM BC ==由于P 在长方体外部，故点P 的轨迹为以M 的圆，位于长方体外部的圆弧部分，其中位于长方体外部的部分占到整个圆的34，故轨迹长度为332π42⨯=.故选：C8.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*,()m n m n ∈>N 均有22m n m n m n a a a a +-+=+.记{}n a 的前n 项和为n S ，则7S =（）A.28B.140C.256D.784【答案】B 【解析】【分析】令1n =，得到11(())2m m m m a a a a +---=-，令1m m m b a a +=-，求得12m m b b --=，得出{}m b 为等差数列，求得1223m m a a m a +=--+，利用累加法求得22(2)(1)m a m m a -+-=，再令3,2m n ==，得到513222a a a a +=+，求得24a =，得出2m a m =，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足11a =，且22m n m n m n a a a a +-+=+，令1n =，可得1112222m m m m a a a a a +-+=++=，即11(())2m m m m a a a a +---=-，再令1m m m b a a +=-，可得12m m b b --=，即数列{}m b 是公差为2的等差数列，又由12121b a a a =--=，可得223m b m a =-+，即1223m m a a m a +=--+，又由22211321()()((2)()1)m m m a a a a a a a a m m a -=+-+-++--=+- 即22(2)(1)m a m m a -+-=，所以3212a a =+及5294a a =+，令3,2m n ==，可得513222a a a a +=+，代入可得222942121(2)a a a ++=++，解得24a =，所以22(2)(1)4m m a m m -⨯-=+=，即数列{}n a 的通项公式为2n a n =，所以222222271234567140S =++++++=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明数列{}m b 是公差为2的等差数列，再结合累加法并求出24a =，从而得到2n a n =，最后计算7S 即可.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知集合{}{}210,A x x B =∈+==∅R∣，则（）A.A =∅ B.A B= C.A B∈ D.A B⊆【答案】ACD 【解析】【分析】根据条件得到A =∅，从而得到选项A 正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B ，C 和D 逐一分析判断，即可得出结果.【详解】易知方程210x +=无解，所以A =∅，所以选项A 正确，因为{}B =∅，所以选项B 错误，因为集合B 是以∅为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C 正确，又空集是任何集合的子集，所以选项D 正确，故选：ACD.10.设()0,πθ∈，向量()sin ,cos a θθ=，向量()sin2,cos2b θθ= ，则（）A.,a b必不互为平行向量B.,a b必不互为垂直向量C.存在θ，使a b=D.对任意()(),a b a bθ+⊥-【答案】AD 【解析】【分析】根据平行向量、垂直向量、相等向量的坐标表示以及向量的数量积运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若,a b互相平行，则sin cos 2cos sin 2θθθθ=，即()22sin 2cos 12sin cos θθθθ-=，又()0,πθ∈，sin 0θ≠，则222cos 12cos θθ-=，即10-=，显然不成立，故,a b必不互为平行向量，A 正确；对B ：若π2θ=，则()1,0a = ，()0,1b =- ，此时0a b ⋅= ，a 与b 垂直，故B 错误；对C ：若a b =，则sin sin 2θθ=，且cos cos 2θθ=，即sin 2sin cos θθθ=，且2cos 2cos 1θθ=-，又()0,πθ∈，sin 0θ≠，则1cos 2θ=，且2cos 2cos 1θθ=-，显然无法同时成立，即,a b不可能相等，故C 错误；对D：1,1a b ==== ，则()()a b a b +⋅- 220a b =-= ，故对任意()(),a b a b θ+⊥- ，D 正确.故选：AD.11.已知函数()2ln f x x =，曲线():C y f x =.过不在C 上的点(),(0)P a b a >恰能作两条C 的切线，切点分别为()()()()()112212,,,x f x x f x xx <，则（）A.e a >B.()2e 1a b =+C.1x a <D.()2f x b>【答案】BCD 【解析】【分析】求导函数，结合题意利用导数的几何意义转化为()22ln ln 2ln a xg x x x b x=+--有两点问题，求导，分类讨论研究函数单调性，根据函数性质求出()2e 1a b =+，从而判断AB ，分类作出函数图象，结合函数图象分析数形结合判断CD.【详解】因为()2ln f x x =，所以()2ln xf x x='，所以经过()()(),1,2i i x f x i =的切线方程为()22ln ln ii i ix y x x x x =-+，由切线过点(),P a b 知()22ln ln ii i ix b a x x x =-+()1,2i =，令()22ln ln 2ln a xg x x x b x =+--，则()g x 恰有两个零点12,x x ，且()()()22ln 1x x a g x x'--=，当e a =时，()0g x '≥，则()g x 在()0,∞+单调递增，不可能有两个零点；当e a ≠时，则若e a >，当0e x <<或x a >时()0g x '>，当e x a <<时()0g x '<，则()g x 在()0,e 和(),a ∞+上单调递增，在()e,a 上单调递减，若0e a <<，当0x a <<或e x >时()0g x '>，当e a x <<时()0g x '<，则()g x 在()0,a 和()e,∞+上单调递增，在(),e a 上单调递减，故()e 0g =或()0g a =时，函数()g x 才可能有两个零点，又()2ln 0g a a b =-≠，故()e 0g =，此时显然有两条切线，所以()2e 10e a g b =--=，即()2e 1a b =+，当12b =时，3e e 4a =<，故选项A 错误，B 正确；由上述分析，{}12e ,x x ∈，当e a >时，1e x a =<，()g x 在()0,e 和(),a ∞+上单调递增，在()e,a上单调递减，示意图如图：显然1x a <，且()222222222ln ln 2ln 2ln 10a x a f x b x b x x x x ⎛⎫-=-=-=-> ⎪⎝⎭，所以()2f x b >，当0e a <<时，2e x a =>，()g x 在()0,a 和()e,∞+上单调递增，在(),e a 上单调递减，示意图如图：显然1x a <，()()22e ln e=1f x f ==，由()2e 1a b =+得21eab =-，所以22e111e ea b =-<-=，即()2f x b >，综上，1x a <，()2f x b >，故选项C 和D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义与数形结合研究函数的零点问题，解题关键是采用数形结合的思想分析研究零点的范围.本题中根据曲线有两个切线结合拐点性质得到()2e 1a b =+，然后数形结合分析即可求解，若利用单纯的代数运算求解判断比较困难．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln e 1xf x x ax =+-是奇函数，则=a __________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，变形后得到21a =，求出答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()2ln e 1xf x x ax =+-为奇函数，故()()f x f x -=-，即()()()22ln e 1ln e 1x x x a x x ax --+--=-++对x ∀∈R 恒成立，化简得e 1e 1ln 2,ln 2,lne 2,21e 11e x x x x xax ax ax x ax -++=∴==∴=++，故21a =，解得12a =.故答案为：1213.已知数列{}n a 满足14a =，且其前n 项和为公比为2的等比数列.则{}n a 的前n 项积是__________.（用含n 的式子表示）.【答案】2222n n ++【解析】【分析】根据条件得到数列{}n a 的前n 项和为12n n S +=，进而得出n a ，即可求出结果.【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，又114S a ==，由题知1111422n n n n S S q --+==⨯=①，当2n ≥时，12nn S -=②，由①-②得到11222(2)n n nn n n a S S n +-=-=-=≥，所以4,12,2,N n n n a n n *=⎧=⎨≥∈⎩，设数列{}n a 的前n 项积为n T ，当1n =时，14n T a ==，当2n ≥时，2223223212422222n n n n n n T a a a ++++++==⨯⨯⨯⨯== ，显然1n =时适合上式，所以2222n n n T ++=，故答案为：2222n n ++.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与平行于x 轴的动直线交于,A B 两点，点A 在点B 左侧，双曲线C的左焦点为F ，且当AF AB ⊥时，AF AB =.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长BF 至点P 使AF FP =，连接AP 交x 轴于点Q ，则FQ FP的值是__________.【答案】①.1+##1②.1-##1-【解析】【分析】根据条件，设0(,)A c y -，代入双曲线方程得4202b y a =，再根据条件即可得22b c a=，从而求出结果；利用PQF PAB ，得到FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，则有2AB x =，AF =，BF =.【详解】当AF AB ⊥时，设0(,)A c y -，则有220221y c a b -=，解得4202b y a =，又AF AB =，所以22b c a=，又222b c a =-，所以222c a ac -=，两边同除2a ，得到2210e e --=，解得1e =+1e =-，因为PQF PAB ，有FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，则(,)B x y -，2AB x =，AF =，BF =所以22FQ a aFPc c==，又1ca=+，所以1a c ==，21+；21-.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用PQF PAB ，得到FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，(,)B x y -，求出,,AB AF BF ，化简并结合双曲线定义，即可求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设函数()()e 1ln 0x f x x a ax x=--≠.（1）e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 至多只有一个零点.【答案】（1）0y =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当e a =时，()1e 1ln x f x x x x -=--，得到()122(1)e 11x x f x x x x--'=-+，进而可求出()01f '=，(1)0f =，再根据导数的几何意义，即可求出结果；（2）将()f x 的零点个数转化成ln 1()e xx x h x +=与1y a =交点个数，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到ln 1()exx x h x +=在区间(0,)+∞上单调递减，即可证明结果.【小问1详解】当e a =时，()1e 1ln x f x x x x -=--，则()122(1)e 11x x f x x x x--'=-+，所以()01f '=，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为00(1)y x -=⨯-，即0y =.【小问2详解】由()0f x =，得到e 1ln 0xx ax x--=，整理得到n 1l 1e xx x a +=，令ln 1()e x x x h x +=，则2(ln 1)e e ln ln (1)ln ()(e e (ln 1e))x x x x xx x x x x x x h x x +--'==+=-，当(0,1)x ∈时，(1)ln 0x x -<，当(1,)x ∈+∞时，(1)ln 0x x -<，所以()0h x '≤在区间(0,)+∞上恒成立，当且仅当1x =时取等号，故ln 1()e x x x h x +=在区间(0,)+∞上单调递减，则1y a =与ln 1()exx x h x +=最多有一个交点，即()f x 至多只有一个零点16.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形.已知点,,,B C E F 四点共面，且,AD AB AD AC ⊥⊥.（1）证明：（i ）平面//ABC 平面DEF ；（ii ）多面体ABCDEF 是三棱台；（2）若1,2,AB AC AD DE DF BC ======，求平面BCEF 与平面DEF 所成角的余弦值.【答案】16.（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析17.33【解析】【分析】（1）（i ）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行；（ii ）由面面平行得到线线平行，即//BC EF ，作出辅助线，证明出直线,,EB FC DA 相交于点H ，故多面体ABCDEF 是三棱台；（2）由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，求出两平面的夹角余弦值.【小问1详解】（i ）四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形，,AD AB AD AC ⊥⊥，故//AB DE ，//AC DF ，因为AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//AB 平面DEF ，同理可得//AC 平面DEF ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，AB AC A ⋂=，所以平面//ABC 平面DEF ；（ii ）由（i ）知，平面//ABC 平面DEF ，又,,,B C E F 四点共面，平面ABC ⋂平面BCEF BC =，平面DEF ⋂平面BCEF EF =，故//BC EF ，由于四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形，且,AD AB AD AC ⊥⊥，故BE 与DE 不垂直且夹角为锐角，CF 与DF 不垂直且夹角为锐角，所以,BE CF 为相交直线，延长两直线相交于点H ，所以H ∈直线BE ，H ∈直线CF ，又BE ⊂平面ABED ，CF ⊂平面ACFD ，故H ∈平面ABED ，H ∈平面ACFD ，又平面ABED ⋂平面ACFD AD =，故H AD ∈，故直线,,EB FC DA 相交于点H ，故多面体ABCDEF 是三棱台；【小问2详解】因为1,AB AC BC ===，故222AB AC BC +=，则AB ⊥AC ，故DE ⊥DF ，又,AD AB AD AC ⊥⊥，故,AD DE AD DF ⊥⊥，以D 为坐标原点，,,DE DF DA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1,2AD DE DF ===，故()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,0,1D E F B ，设平面BCEF 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()(),,1,0,10,,1,2,120m BE x y z x z m BF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅--=-+-=⎪⎩ ，令1x =，则1z =，1y =，故()1,1,1m = ，平面DEF 的法向量为()0,0,1n =，设平面BCEF 与平面DEF 所成角大小为θ，则3cos cos ,3m n m n m n θ⋅===⋅.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin sin A B C =.（1）当角C 最大时，求其最大值并判断ABC 的形状；（2）若ABC 的中线3CD =ABC 面积的最大值.【答案】（1）π3，等边三角形（23【解析】【分析】（1）根据条件，由正弦定理得到2ab c =，再利用余弦定理及重要不等式可得1cos 2C ≥，即可求出结果；（2）根据条件，利用向量的中线公式得到22122cos b a ab C =++，再结合余弦定理得到22212c b a +=+，进而可得到4ab ≤，π3C =，即可求出结果.【小问1详解】由2sin sin sin A B C =得到2ab c =，又由余弦定理得222221211cos 222222a b c a b ab C bc bc bc +-+==-≥-=，当且仅当a b =取等号，又(0,π)C ∈，且cos y x =在区间(0,π)上单调递减，所以π3C ≤，即角C 最大值为π3，又a b =，所以ABC 为等边三角形.【小问2详解】因为1()2CD CA CB =+ ，得到22222422cos CD CA CA CB CB b a ab C =+⋅+=++ ，又3CD =，所以22122cos b a ab C =++①，又由余弦定理得2222cos c b a ab C =+-②，由①+②得到222122()c b a +=+，又2ab c =，所以22122()4ab b a ab +=+≥，得到4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，此时，π2,3c C ==，由（1）知π3C ≤，所以11πsin 4sin 223ABC S ab C =４�ABC 面积的最大值为18.已知曲线C 由()2240x x y +=≤和221(0)84x y x +=>组成，点()2,0A -，点()2,0B ，点,P Q 在C上.（1）求PA PB +的取值范围（当P 与A 重合时，0PA =）；（2）若OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.【答案】（1）4,⎡⎣（2）2,⎡⎣【解析】【分析】（1）注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，分点P 是否在y 轴的右侧两种情况讨论即可得解；（2）当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1:,:0OP y kx OQ y x k k==-≠，求出OP ，同理求出OQ ，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含y 轴）和一点在y 轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.【小问1详解】注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，当点P 在y 轴的右侧时，由椭圆的定义可得PA PB +=；当点P 不在y 轴的右侧时，设π,0,4PBA αα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则π4sin 4cos 4PA PB ααα⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，因为π0,4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ,442α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π4,4PA PB α⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，综上所述，4,PA PB ⎡+∈⎣；【小问2详解】记OPQ △的面积为S ，当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1:,:0OP y kx OQ y x k k==-≠，联立22184x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则有22821P x k =+，故()()222222281121P P Pk OP x y k x k +=+=+=+，同理可得()2222218181221k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，故()()()22222221614212k OP OQS kk +==++，令21,1t k t =+>，则21k t =-，则()()222216161611211119224t S t t t t t ===-+⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，由1t >，得101t<<，所以221664,8911924S t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，所以8,3S ⎡∈⎢⎣；当两点都在半圆上时，2OP OQ ==，则22OP OQ S ==；当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含y 轴），由对称性，可设点P 在半椭圆上，则2OQ =，故()222222814442121k OP OQS k k +===+++，由0k ≠，可得2211k +>，所以()22444,821S k =+∈+，所以(2,S ∈；当一点在y 轴上一点在半椭圆上时，由对称性，可设点Q 是曲线与y 轴的交点，则点P 为椭圆的右顶点，则2,OQ OP ==2OP OQ S ==，综上所述，OPQ △面积的取值范围为2,⎡⎣.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.一般地，n 元有序实数对()12,,,n a a a 称为n 维向量.对于两个n 维向量()()1212,,,,,,,n n a a a a b b b b ==，定义：两点间距离d =利用n 维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离n d ，与哪个标准点的距离n d 最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值()1a ､管理能力分值()2a ､计算机能力分值()3a ､沟通能力分值()4a （分值{}*,1,2,3,4i a i ∈∈N 代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：岗位业务能力分值()1a 管理能力分值()2a 计算机能力分值()3a 沟通能力分值()4a 合计分值会计（1）215412业务员（2）523515后勤（3）235313管理员（4）454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量()1234,,,a a a a β=的四个坐标.（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方2n d 均小于20的应聘者才能被招录.（i ）小刚测试报告上的四种能力分值为()04,3,2,5β=，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业1234､､､的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；（ii ）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1234､､､的推荐率()p 分别为222221234141397,,,43434343n n d p d d d d ⎛⎫= ⎪+++⎝⎭，试求小明的各项能力分值.【答案】（1）16（2）（i ）小刚最适合业务员岗位；（ii ）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5【解析】【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；（2）（i ）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii ）先根据条件得到2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈的相关方程组，利用2222123480d d d d ++<+，2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈，得到2123222414,13,9,7d d d d ====，再根据题设列出方程，利用22222222(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(3)5a b c d a b c d ⎡⎤-+-+-+---+-+-+-=⎣⎦，得出2,13,34,5b d b d b d ==⎧⎪==⎨⎪==⎩，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.【小问1详解】将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12131517，，，，又40.753i np ==⨯=，所以这组数据的第三四分位数为1517162+=.【小问2详解】（i ）由图表知，会计岗位的样本点为()12,1,5,4β=，则222221(24)(13)(52)(45)18d =-+-+-+-=，业务员岗位的样本点为()25,2,3,5β=，则222222(54)(23)(32)(55)3d =-+-+-+-=，后勤岗位的样本点为()32,3,5,3β=，则222223(24)(33)(52)(35)17d =-+-+-+-=，管理员岗位的样本点为()44,5,4,4β=，则222224(44)(53)(42)(45)9d =-+-+-+-=，所以2431d d d d <<<，故小刚最适合业务员岗位.（ii ）四种职业1234､､､的推荐率()p 分别为141397,,,43434343，且222221234n n d p d d d d =+++，所以212222123422222212342322221234242222123414431343943743d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎧=⎪+++⎪⎪=⎪+++⎪⎨⎪=⎪+++⎪⎪=⎪+++⎩，得到222221123422222212342222231234222224123414()4313()439()437()43d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪⎪=+++⎩，又2({1,2,3,4})n d n ∈均小于20，所以2222123480d d d d ++<+，且2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈，故可得到2123222414,13,9,7d d d d ====，设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为a b c d ,,,，且,,,N a b c d *∈，1,,,5a b c d ≤≤，依题有222221(2)(1)(5)(4)14a b c d d -+-+-+-==①，222222(5)(2)(3)(5)13a b c d d -+-+-+-==②，222223(2)(3)(5)(3)9a b c d d -+-+-+-==③，222224(4)(5)(4)(4)7a b c d d -+-+-+-==④，由①-③得，22222222(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(3)a b c d a b c d ⎡⎤-+-+-+---+-+-+-⎣⎦1495=-=，整理得：23b d -=，故有2,13,34,5b d b d b d ==⎧⎪==⎨⎪==⎩三组正整数解，对于第一组解，代入④式有22(4)9(4)97a c -++-+=，不成立；对于第二组解，代入①式有22(2)(5)4a c -+-=，解得45a c =⎧⎨=⎩或23a c =⎧⎨=⎩，代入②④式均不成立；对于第三组解，代入②式有22(5)(3)9a c -+-=，解得23a c =⎧⎨=⎩，代入①②③④均成立，故2435a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩；故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5.【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii ）问的解决关键在于，根据题设定义列出2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈的相关方程组，分析得2123222414,13,9,7d d d d ====，进而选择合适的式子得到23b d -=，从而分析得解.。

浙江教育绿色评价联盟适应性试卷数学试题

B. [8, 0]
C. (0,8]
D. (, 8]
8. 已知函数 f x ax b sin x 5 a,b R ，则对于实数 t ，有（）
A.
f
(et )
f
(
1 et
)
10
B.
f
(et )
f
(
1 et
)
5
C. f (lg t) f (lg 1) 5 t
D. f (lg t) f (lg 1) 10 t
AN
=
AP
,点 Q 满足
QM
=
QN
=
2 ,若
AQ
< 2 ，则
PQ
的取值范围是
.
三、解答题（共 5 道大题，共计 74 分）
18. （本题 14 分）
已知函数 f (x) = 3 sin x + sin( π - x) . 2
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若 f (a)= 8 ，且 0 < α < π ，求 cos α 的值.
22.（本题 15 分）
已知函数 f ( x) ln x ax 4a2 (a 0).
（1）求函数 f ( x) 的单调区间；
（2）记函数 f ( x) 的最大值为 M (a) ，若 M (a1) M (a2 ) ，且 a1 a2 ，
求证： a1 a2
2. 2
2.椭圆 x2 y2 1 的离心率为( ) 3
A. 2 3
B. 2 3
C. 2 3
D.
3
3. 复数 Z 5 ( i 为虚数单位)则 Z ( ) 4 3i
A. 4 3 i 55
B. 4 3 i 55

2019-2020学年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷

则的取值范围是（）
A．
B．
D．
C．
【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件
！作出可行域如图所示的阴影
部分．则的取值范围是斜率 k 的取值范围，且 kPC≤k 或 k≤kPA．
功
解得 A（0，1），解得 C（，﹣ ）
而 kPA= =﹣2，kPC=
=．
∴k 或 k≤﹣2，
成到马
故选：A．
（1）求角 C 的大小；
祝（2）若
，求△ABC 的面积．
19．（15 分）如图，在四棱锥 A﹣BCDE 中，AC⊥平面 BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，
BC=CD=2，DE=BE=1，AC= ，M 为 AE 的中点．
（1）求证：BD⊥平面 AEC；
（2）求直线 MB 与平面 AEC 所成角的正弦值．
交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，若
为
．
到，则双曲线的离线率
17．（3 分）已知函数 f（x）=
马，若方程 f（x）=a 有四个不同的
考解 x1，x2，x3，x4，且 x1＜x2＜x3＜x4，则
的取值范围是
．
高三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）
您 18．（14 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 c2=a2+b2+ab．
A．若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β B．若 l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则 l⊥α
）
马 C．若 α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则 m⊥β D．若 m∥n，m⊂α，则 n∥α
5．（3 分）如图 1 对应函数 f（x），则在下列给出的四个函数中，图 2 对应的函
考

浙江省教育绿色评价联盟2024年数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析

浙江省教育绿色评价联盟2024年数学高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．②③④2．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B 的范围是（）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭3．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<4．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A ．26B ．4C ．3D ．225．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅的取值范围为（） A ．[]0,8B ．[]0,9C ．[]1,8D ．[]1,96．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（） A ．10B ．11C ．12D ．137．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足2MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（） A ．[]0,2B ．0,22⎡⎣C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎣8．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（） A 3B ．217C 21D 5710．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（）A ．45B ．105C ．150D ．21011．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+12．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（） A ．13B ．23C ．1D ．43二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案

2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1．（1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+；（3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ．甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<．（1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=；（3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−．三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项．第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+，故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==，又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−．注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′．（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=，故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面，由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥，故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ，记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===，由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2，仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且，因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=．（2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠．（3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+．法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+．注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+．因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。

【2020年高考必备】浙江教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷及解析

浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分），，则（）＜x≤3}分）已知集合．（3P={x∈R|﹣21}3＜x＜P∪Q={x∈R|﹣2}A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3 B．}3x≤Q={x∈R|﹣2＜≤P∩Q={x∈R|﹣1x≤3} D．P∪C．），其中分）已知复数i是虚数单位，则|z|=2．（3（．CD．2A．B．1“B”是中，“A＞条件．3．（3分）在△ABC”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥αC．若α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m?α，则n∥α5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函）数只能是（D．y=﹣f（||x|）x|）y=f|fBx．Ay=f（||）．y=|（x）C．（﹣则6的取值范围是（）x3．（分）已知实数，y满足约束条件．．AB．C．D7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120 B．150 C．240 D．3002﹣4x+1，且设1≤x＜x＜x＜…＜x≤48．（3分）现已知函数f（x）=x，若有|f n312（x）﹣f（x）|+|f（x）﹣f（x）|+…+|f（x）﹣f（x）|≤M，则M的最小n3121n2﹣值为（）A．3B．4C．5D．69．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）．．A ．BD．C10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC?α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）或D．．．或 B ．AC分）分，满分21小题，每小题二、填空题（共73，则sinα=已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，（11．3分）．tanα=的分布列为：分）若随机变量（3ξ12．01ξ2﹣1yxP，则x+y=若，D（ξ）=．13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为．14．（3分）已知等比数列{a}，等差数列{b}，T是数列{b}的前n项和．若nnnn a?a=4a，且b=a，则a=，T=．137737117若的展开式中常数项为60，则实数a的值是15．（3分）．上任意一点P作平行于x．（3分）过双曲线轴的直线，16两点，若B交双曲线的两条渐近线于A，，则双曲线的离线率为．=，若方程f（）x）=a有四个不同的17．（3分）已知函数f（x则的取值范围是＜x＜x＜x，．x，解xx，x，，且x42211334分）三、解答题（共5小题，满分74222+abb=a．+已知CB，的对边分别为a，b，c．cA在△．18（14分）ABC中，内角，（1）求角C的大小；）若，求△ABC（2的面积．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，AC=，M为AE的中点．，BC=CD=2DE=BE=1，（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．分）已知函数．（1520．）的单调区间；（x1）当a=1时，求f（（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．分）已知椭圆15．21．（在C上，求椭圆，0）C，且点的标的一个焦点为（（1）若椭圆C1准方程；OAO（y），Bx，y），为坐标原点，且xC（2）已知椭圆上有两个动点A（，2121．ABb表示）|的最小值（用a，OB⊥，求线段|．=2}分）已知正项数列22．（15{a满足a，且1n；a1）求证：＜＜a1（nn1+．）记，求证：2（2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分），，则（3} ）∈R|﹣2＜x≤分）已知集合1．（3P={xA．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3} B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3} D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}解：由≤【解答】0，得或，解得﹣1≤x＜3，故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．故选：D．分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）2．（3．D．12B．C A．=，解：∵【解答】=|．∴|z故选：B．“”的（是B”）条件．中，（3．3分）在△ABC“A＞A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解：∵在三角形中，＞0，【解答】22，∴sin＞sin22，cosB=1﹣2sin﹣2sin，∵cosA=1∴cosA＜cosB，则A＞B，“”B”是的充要条件，即，“A＞C故选：）β为两个不同的平面，则（分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，4．（3α⊥?α，则l⊥n，m?α，nmm．若⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥，lAαα，则n∥．若m∥n，m?mα∩β=l，m?α，m⊥l，则⊥βDC．若为两个不同的平面，知：α，β解：由l，m，n为三条不重合的直线，【解答】正确；β，故Am⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥A在中，若m⊥α，错误；，故Bα相交、平行或l?αnn，m?α，?α，则l与l在B中，若l⊥m，⊥错误；Cm?β，故β?α，m⊥l，则m与相交、平行或C在中，若α∩β=l，m 错误．?α，故D?α，则n∥α或nm在D中，若m∥n，．故选：A对应的函），则在下列给出的四个函数中，图2分）如图1对应函数f（x35．（）数只能是（D．y=﹣f（||x|）x|）y=f|fBx．Ay=f（||）．y=|（x）C．（﹣【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f （x）的图象相同，故当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），得出A，D不正确．故选：C则的取值范围是（满足约束条件）6．（3分）已知实数x，y．CB．A ．．D满足约束条件作出可行域如图所示的阴影x，y【解答】解：由实数部分．则的取值范围是斜率k的取值范围，且k≤k或k≤k．PAPC，1）A（0，解得）C，﹣（解得=．=﹣==2，k而k PCPA k或k∴≤﹣2，故选：A．7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120 B．150 C．240 D．300【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5本不同的书分成3组，的三组，有=10、3种分组方法；若分成1、1的三组，有=15、2种分组方法；若分成1、2种分组方法；+10=25则有153=6种情况，②，将分好的三组全排列，对应三人，有A3则有25×6=150种不同的分法；故选：B．2﹣4x+1，且设1≤x＜x＜x＜…＜x≤4，若有8．（3分）现已知函数f（x）=x|f n123（x）﹣f（x）|+|f（x）﹣f（x）|+…+|f（x）﹣f（x）|≤M，则M的最小nn12123﹣值为（）A．3B．4C．5D．62﹣4x+1的对称轴为x=2解：函数f（x）=x，【解答】∵1≤x＜x＜x＜…＜x≤4，n123∴f（1）=﹣2，f（2）=﹣3，f（4）=1，∴|f（x）﹣f（x）|+|f（x）﹣f（x）|+…+|f（x）﹣f（x）|≤|f（1）﹣f n13n221﹣（2）|+|f（4）﹣f（2）|=1+4=5，∴M≥5，故选：C9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）．．．CDA ．B【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴||=1|||=|=．?=144+，130=﹣2512，则?由+5+16913，，513?=12+由﹣，?169则144++2=25×．=则+==﹣﹣B故选：所成的α，当平面ABC与平面和平面α，BC?α10．（3分）已知正四面体ABCD）α所成的锐二面角的余弦值为（二面角为60°，则平面BCD与平面或．．A或． B ．CD，BCDAO⊥底面2，过A作【解答】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为的平面﹣D为二面角A﹣BC并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO连接DO 角，，，OE=AE=在Rt△AOE中，可得．sin∴，则cos，AED=α所成的锐二面角为θ，∠设平面BCD与平面α异侧时，如图，αABC在当平面BCD与平面；sinαsin60°=60°）=cosαcos60°+﹣则cosθ=cos（α同侧时，如图，ABC在αBCD当平面与平面）60°﹣cos（α+]αcosθ=cos则[180°﹣（+60°）=．]cosαcos60°﹣sinαsin60°=）﹣（=[=﹣．∴平面BCD所成的锐二面角的余弦值为与平面α．A故选：分）21小题，每小题3分，满分二、填空题（共7，3分）已知角α，的终边与单位圆的交点坐标为则sinα=．11（．tanα=﹣的终边与单位圆的交点坐标为α，【解答】解：，则x=，﹣角y=，=1|r=|OP，tanα==，∴﹣sinα==．，﹣故答案为：的分布列为：3（分）若随机变量ξ12．2ξ01﹣1yxPy=x若=）．，则+ξD，（解：∵【解答】，，的分布列，知：∴由随机变量ξ，，y=，y=x∴+x=2222×﹣=（ξ））2×+（（﹣﹣）1）×=．+（0﹣）D×+（1﹣．故答案为：，，表面积13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为．44+ 为【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：，．EA==2∴棱锥的体积V==．棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，2+4×=4∴棱锥的表面积+S=24．．；故答案为：4+414．（3分）已知等比数列{a}，等差数列{b}，T是数列{b}的前n项和．若nnnn a?a=4a，且b=a，则a=4，T=52．137737117【解答】解：因为{a}为等比数列，且a?a═4a，711n3由等比数列的性质可得a?a=a?a=4a，所以解得a═4，7773117因为{b}为等差数列，且b═a═4，77n××）××（b+b=13项求和公式得：所以由等差数列的前nT═13131312b=13b=13×4=5277故答案为a=4，T=52．137若的展开式中常数项为60，则实数a的值是3分）±2．（15．的【解答：展开式的通】解项=．．，得r=4，可得（舍），由由6﹣=0==60的展开式中常数项为，解得∴a=±．2．2故答案为：±上任意一点P分）（16．3作平行于过双曲线x轴的直线，，则双曲线的离线率为两点，若BA交双曲线的两条渐近线于，．±【解答】x的渐近线方程为解：双曲线y=，﹣=1），（设双曲线上的Pmn，则．①，联立，解得x=，（）取A，n．）（﹣，同理可得Bn，，0=）（，0），﹣=m（﹣﹣m，=﹣由?，=）﹣（﹣﹣m）可得（﹣m22﹣m，②n=化为﹣，=由①②可得．=e==则=．故答案为：有四个不同的=af（xx3分）已知函数f（））=，若方程17．（，[＜xx，则的取值范围是且，解x，xx，x，x＜x＜44331221．]的图象如右，=f【解答】解：作函数（x）；＜2x≤；x﹣+由图可知，xx=2，x=1141243；≤故2x1，++=x=x＜443（在（x+由y=递增．]，，12]递减，4 =取得最小值，且为，x故2=4时，函数值为．，当x当x=1=2时，函数值为44，][．即有取值范围是，[故答案为：]．三、解答题（共5小题，满分74分）222+ab=a．+，b，c．已知cbC在△18．（14分）ABC中，内角A，B，的对边分别为a（1）求角C的大小；）若，求△ABC（2的面积．cosC=）由余弦定理可知：解：（=1﹣，【解答】C=；π，则＜由0C＜C=sinA=，由为锐角，（2）由，则A=cosA=∴，=，cosAsinC=）×（﹣×+CsinB=sin（A+）=sinAcosC+=，a==由正弦定理可知：=，则=，×的面积则△ABCS=×absinC=2××的面积为ABC．∴△19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，AC=，M为AE的中点．BC=CD=2，DE=BE=1，（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结EC，BD，交于点O，∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，∵AC⊥平面BCDE，BD?平面BCDE，∴BD⊥AC，∵EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC．解：（2）∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，AC=，M为AE的中点．BC=CD=2，DE=BE=1，∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，CO=，EO=∴BO=，，，A（00（），∴E0，，﹣），，（，M（0，，0，，B0），），﹣），0（1，，﹣，0=，平面=（）AEC的法向量设直线MB与平面AEC所成角为θ，．sinθ===．所成角的正弦值为MB与平面AEC∴直线．分）已知函数．（1520）的单调区间；f（x（1）当a=1时，求时，恒有1]∈[﹣1，上的最小值为﹣1，1]g（a），求证：当xx（2）记f（）在[．3，|+|x﹣（1）f（x）1=x【解答】解：23，+1＞1的导数为f′（x）=x≥当x1时，f（x）=x0+x﹣）递增；f（x可得23，=x（x）1（fx）﹣=x1+﹣x的导数为f′＜当x1时，．x＜1＜；由1f′（x）＜0，解得﹣1，可得（由f′x）＞0x＜﹣；）（﹣∞，﹣1，+∞），1（综上可得，fx）的增区间为（；1减区间为（﹣1，）递增，，）递减，在（，﹣）在（时，＜＜）证明：当（20a1fx[1aa1]3+1﹣aa）；=a）可得f（x）的最小值为g（a=f（f（x）的最大值为f（﹣1）或f（1），33﹣3＜=2a0﹣﹣aa﹣1+a1由f（﹣）﹣g（a恒成立；）﹣=a﹣﹣33﹣1＜0﹣aa﹣1+af又（1）﹣g（a恒成立；）﹣﹣=﹣a=﹣当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]递减，﹣1=a，+a﹣a）=f（1）=可得f（x）的最小值为g（+=a，（﹣1）最大值为f+﹣≤a则a恒成立．+时，恒有．，1]综上可得当x∈[﹣1．15分）已知椭圆21．（的标C，且点在C上，求椭圆（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0）准方程；OAB（为坐标原点，且，Ox，y），（2）已知椭圆C上有两个动点A（xy），2211．b 表示）的最小值（用AB|a，⊥OB，求线段|，1，0），解：【解答】（1）由题意可知：椭圆的左焦点F（﹣10），右焦点F（21，++=4=2a||+||PFPF=2a=，则则21222，b则a=2，=3=a﹣c；∴椭圆C的标准方程为（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2222222，bθ）则椭圆的极坐标方程为ρ（b=acosθ+asin+），，ρB），ρA设（θ，（θ21则22222=+++|OB|ρ=ρ|AB|OA=||21+=，22222222]+asin）θ）+（bcossin（=[bθcosθθ+a）（+，+=（2）≥+．|的最小值为∴|AB．，且15分）已知正项数列{a}满足a=2（22．1n；a1（）求证：1＜a＜nn1+．（2）记，求证：，成立，）∵a=2＞11【解答】证明：（1成立，成立，即2a＞1假设a＞1成立，则有1kk﹣，＞1即a1k+，==＞0=﹣aa1nn﹣，a∴a＞1nn+．a∴1＜a＜nn1+=（2）==，﹣（）﹣a）?=（a1nn+，∵＜=，（）＞2（2（）+a2（﹣a）﹣3）∴原式＜1nn+＜，]））﹣（=3[（（[＜3…b+b++b++）﹣（+））﹣（（）+…∴b n132）﹣（）（[]=3）（＜3，3﹣）2=3（﹣=6．∴。

2025届浙江教育绿色评价联盟高考数学全真模拟密押卷含解析

2025届浙江教育绿色评价联盟高考数学全真模拟密押卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A ．16B ．12C ．8D ．62．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A ．26B ．4C ．3D ．225．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（） A ．60-B ．12-C ．12D ．606．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．643B ．64C ．323D ．328．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种10．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(,3)(3,)e +∞ B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞11．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51-B ．512- C ．51+D ．512+ 12．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省教育绿色评价联盟2018届高考适应性数学试卷(答案+解析)

浙江省教育绿色评价联盟2018届高考适应性数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（）A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3} B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3} D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）A．2 B．1 C．D．3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能是（）A．y=f（|x|）B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．C．D．7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120 B．150 C．240 D．3008．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，若有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）A．B．C．D．10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．或D．或二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=，tanα=．12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：若，则x+y=，D（ξ）=．13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为．14．（3分）已知等比数列{a n}，等差数列{b n}，T n是数列{b n}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=，T13=．15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是．16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．17．（3分）已知函数，若方程f（x）=a有四个解x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的面积．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．21．（15分）已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1=2，且．（1）求证：1＜a n+1＜a n；（2）记，求证：．【参考答案】一、选择题1．D【解析】由≤0，得或，解得﹣1≤x＜3，故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．故选：D．2．B【解析】∵=，∴|z|=．故选：B．3．C【解析】∵在三角形中，＞0，∴sin2＞sin2，∵cos A=1﹣2sin2，cos B=1﹣2sin2，∴cos A＜cos B，则A＞B，即，“A＞B”是“”的充要条件，故选：C4．A【解析】由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：A．5．C【解析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f（x）的图象相同，故当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），得出A，D不正确．故选：C6．A【解析】由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示的阴影部分．则的取值范围是斜率k的取值范围，且k PC≤k或k≤k P A．解得A（0，1），解得C（，﹣）而k P A==﹣2，k PC==．∴k或k≤﹣2，故选：A．7．B【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书分成3组，若分成1、1、3的三组，有=10种分组方法；若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法；则有15+10=25种分组方法；②将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，则有25×6=150种不同的分法；故选：B．8．C【解析】函数f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2，∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，∴f（1）=﹣2，f（2）=﹣3，f（4）=1，∴|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤|f（1）﹣f（2）|+|f（4）﹣f（2）|=1+4=5，∴M≥5，故选：C9．B【解析】∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴||=||=||=1．由⇒5+13=﹣12，则25+169+130=144，⇒，由⇒12+13=﹣5，则144+169+2×=25⇒，则==﹣+=﹣．故选：B10．A【解析】如图，设正四面体ABCD的棱长为2，过A作AO⊥底面BCD，连接DO并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AOE中，可得OE=，AE=，∴cos，则sin．设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ，∠AED=α，当平面BCD与平面ABC在α异侧时，如图，则cosθ=cos（α﹣60°）=cosαcos60°+sinαsin60°=；当平面BCD与平面ABC在α同侧时，如图，则cosθ=cos[180°﹣（α+60°）]=﹣cos（α+60°）=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣（）=．∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为．故选：A．二、填空题11．﹣【解析】角α的终边与单位圆的交点坐标为，则x=﹣，y=，r=|OP|=1，∴sinα==，tanα==﹣，故答案为：，﹣．12．【解析】∵，∴由随机变量ξ的分布列，知：，∴x+y=，x=，y=，D（ξ）=（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=．故答案为：，．13．4+4【解析】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：，EA==2．∴棱锥的体积V==．棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，∴棱锥的表面积S=22+4×=4+4．故答案为：；4+4．14．452【解析】因为{a n}为等比数列，且a3•a11═4a7，由等比数列的性质可得a3•a11=a7•a7=4a7，所以解得a7═4，因为{b n}为等差数列，且b7═a7═4，所以由等差数列的前n项求和公式得：T13═13×（b1+b13）×=13××2b7=13b7=13×4=52 故答案为a7=4，T13=52．15．±2【解析】的展开式的通项=．由，可得（舍），由6﹣=0，得r=4．∴的展开式中常数项为==60，解得a=±2．故答案为：±2．16．【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x，设双曲线上的P（m，n），则﹣=1．①联立，解得x=，取A（，n），同理可得B（﹣，n）．=（﹣m，0），=（﹣﹣m，0），由•=﹣，可得（﹣m）（﹣﹣m）=﹣，化为m2﹣n2=﹣，②由①②可得=，则e====．故答案为：．17．[2，3]【解析】作函数的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；则=2x3+=+x4，其在1＜x4≤递减，＜x4≤2上递增，故2≤+x4≤3；故答案为：[2，3]．三、解答题18．解：（1）由余弦定理可知：cos C==﹣，由0＜C＜π，则C=；（2）由sin A=，由C=，则A为锐角，∴cos A==，sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×（﹣）+×=，由正弦定理可知：=，则a===，则△ABC的面积S=×ab sin C=×2××=，∴△ABC的面积为．19．证明：（1）连结EC，BD，交于点O，∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，∵AC⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，∴BD⊥AC，∵EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC．解：（2）∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∴BO=，EO=，CO=，∴E（0，﹣，0），A（0，，），M（0，，），B（，0，0），=（，﹣，﹣），平面AEC的法向量=（1，0，0），设直线MB与平面AEC所成角为θ，sinθ===．∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为．20．解：（1）f（x）=x3+|x﹣1|，当x≥1时，f（x）=x3+x﹣1的导数为f′（x）=x2+1＞0，可得f（x）递增；当x＜1时，f（x）=x3+1﹣x的导数为f′（x）=x2﹣1，由f′（x）＞0，可得x＜﹣1；由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1．综上可得，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1）；减区间为（﹣1，1）；（2）证明：当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a）递减，在（a，1]递增，可得f（x）的最小值为g（a）=f（a）=a3+1﹣a；f（x）的最大值为f（﹣1）或f（1），由f（﹣1）﹣g（a）﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3＜0恒成立；又f（1）﹣g（a）﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1＜0恒成立；当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]递减，可得f（x）的最小值为g（a）=f（1）=+a﹣1=a﹣，最大值为f（﹣1）=a+，则a+≤a﹣+恒成立．综上可得当x∈[﹣1，1]时，恒有．21．解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则|PF1|+|PF2|=2a，则+=+=4=2a，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），则|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+=+，=[（b2cos2θ+a2sin2θ）+（b2sin2θ+a2cos2θ）]（+）=（2++）≥，∴|AB|的最小值为．22．证明：（1）∵a1=2＞1，成立，假设a k＞1成立，则有2a k﹣1＞1成立，即成立，即a k+1＞1，a n﹣a n﹣1===＞0，∴a n＞a n+1，∴1＜a n+1＜a n．（2）====（a n﹣a n+1）•﹣（），∵=＜，＞2（），∴原式＜2（a n﹣a n+1）﹣3（）+2（）＜=3[（）﹣（）]，∴b 1+b2+b3+…+b n＜3[（）﹣（）+（）﹣（）+…+（）﹣（）=3[]＜3（）=3（2﹣）=6﹣3，∴．。

浙江省2020届高三上学期10月教育绿色评价联盟适应性考试数学试题Word版含解析

2019-2020学年浙江省教育绿色评价联盟高三（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题）1.已知，，0，1，，9，3，，则A可以是A. B. C. D.2.复数i为虚数单位在复平面上对应的点不可能位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在等比数列中，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.5.设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则A. 若，，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则6.如图为某几何体的三视图，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体的体积是A.B.C.D.7.已知函数的部分图象如图所示，则的表达式可能是A. B. C. D.8.随机变量的分布列如表所示，若，则随机变量的方差等于123P a bA. B. C. D.9.已知函数，则A. 仅有有限个实数m，使得有零点B. 不存在实数m，使得有零点C. 对任意的实数m，有零点D. 对任意实数m，零点个数为有限个10.已知数列，满足：，，，则A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（本大题共7小题）11.______；______．12.“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，已知大正方形面积为9，小正方形面积为4，则每个直角三角形的面积是______；每个直角三角形的周长是______．13.若的展开式中所有项的系数之和为256，则___ ；含项的系数是___ 用数字作答．14.已知，，且，则xy的最大值为______，的最小值为______．15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有______种．16.倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，且与双曲线的左、右支分别交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过右焦点，则此双曲线的离心率为______．17.已知平面向量，，且，若平面向量满足，则的最大值______．三、解答题（本大题共5小题）18.设a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知，，且．求角A的大小；当A为锐角时，求函数的取值范围．19.如图，在四棱锥中，，，．证明：；求PC与平面PAB所成角的正弦值．20.设正数数列的前n项和为，已知．求数列的通项公式；若数列满足，求数列的前n项和．21.已知椭圆C：上任意一点到椭圆左、右顶点的斜率之积为．求椭圆C的离心率；若直线与椭圆C相交于A、B两点，若的面积为，求椭圆C的方程．22.已知函数．求在点处的切线方程；若，证明：在上恒成立；若方程有两个实数根，，且，证明：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，0，1，，9，3，，．故选：A．推导出，由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：i为虚数单位，此复数的实部为，虚部为，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选：D．复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为、的形式，分析实部和虚部的大小关系．本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：在等比数列中，若，即，，，即，则，即成立，若等比数列1，，4，，16，满足，但不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A4.【答案】D【解析】解：根据实数x，y满足约束条件作出可行域，如图所示阴影部分．作出直线l：，将直线l向上平移至过点时，取得最小值：5．则的取值范围是．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：在A中，若，，，，则l与相交、平行或，故A错误；在B中，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；在C中，若，，，则，故C错误；在D中，若，，，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．在A中，l与相交、平行或；在B中，由线面垂直的判定定理得；在C中，；在D中，l与m相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由三视图可得：该几何是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积，高，故棱锥的体积，故选：A．由已知可得：该几何是一个以侧视图为底面的四棱锥，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：根据题意，由的图象：为偶函数，并且当时，，据此分析选项：对于A，，，即函数为奇函数，不符合题意；对于B，，，即函数为偶函数，当时，，符合题意；对于C，，，即函数为奇函数，不符合题意；对于D，，，即函数为偶函数，但时，，不符合题意；故选：B．根据题意，由的图象分析可得为偶函数，并且当时，，据此分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断分析，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由分布列可知：，，解得，，故D．故选：C．首先分析题目已知的分布列，利用期望求出a，b，再根据方差公式直接求得方差即可．此题主要考查离散型随机变量的期望与方差的求法，对于分布列的理解与应用，是基本知识的考查．9.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，当时，，，恒成立，即是函数的零点，故对任意的实数m，有零点，故选：C．根据题意，由函数的解析式可得时，，，恒成立，即是函数的零点，据此分析可得答案．本题考查函数零点的定义，涉及三角函数的性质，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：列，满足：，，，所以，则．由于，所以，所以，所以．故选：A．首先利用数列的通项公式的应用和关系式的放缩求出，进一步利用平方法求出．本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，放缩法的应用，关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.【答案】7 0【解析】解：，．故答案为：7，0．进行对数和分数指数幂的运算即可．考查对数和分数指数幂的运算．12.【答案】【解析】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，由于大正方形面积为9，小正方形面积为4，可得小正方形的边长为：，大正方形的边长为，联立，解得，负值舍去，可得，可得每个直角三角形的面积，每个直角三角形的周长是．故答案为：，．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，由题意可知：中间小正方形的边长为：，大正方形的边长为，联立解得a，b的值，即可求解．本题考查勾股定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，属于基础题．13.【答案】4；108【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．令，可得的展开式中所有项的系数之和，再根据系数和为256，求得n；根据，展开求得含项的系数．【解答】解：令，可得的展开式中所有项的系数之和为，则．，含项的系数是，故答案为4；108．14.【答案】【解析】解：，，，由，可得：，则，当且仅当时，取得等号，即xy的最大值为，，当且仅当时取等号，故的最小值为，故答案为：，直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果．本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】600【解析】解：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，甲、丙同去，则乙不去，有种选法；甲、丙同不去，乙去，有种选法；甲、乙、丙都不去，有种选法，共有种不同的选派方案．故答案为：600．题目对于元素有限制，注意先安排有限制条件的元素，甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，甲、丙同去，则乙不去；甲、丙同不去，乙去；甲、乙、丙都不去，根据分类计数原理得到结果．应用分类加法计数原理，首先确定分类标准，其次满足完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即做到不重不漏．16.【答案】【解析】解：如图为的垂直平分线，可得，且，可得，，由双曲线的定义可得，，即有，即有，，，由，可得，可得，即，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，然后求双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】【解析】解：由，得，，两式相加得，又，所以，即，当且仅当与反向时等号成立，而，当且仅当时等号成立，，当且仅当与反向，时等号成立，则的最大值为．故答案为：．首先对两式，平方相加，然后利用三角不等式得，基本不等式得，从而求出的最大值．本题考查了平面向量的模，基本不等式、三角不等式的应用，是中档题．18.【答案】解：，，由正弦定理得：，且，，或；当A为锐角时，，则，，，，，，，所求函数的取值范围．【解析】根据即可得出，根据正弦定理即可得出，从而求出，这样即可求出A的大小；据条件可得出，从而得出，并可得出，可求出的范围，进而求出的范围，从而求出原函数的取值范围．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，正弦定理，以及不等式的性质，两角和的正弦公式，以及三角函数的诱导公式．19.【答案】解：Ⅰ证明：因为，，所以≌，所以．取BD的中点E，连接AE，PE，所以，．所以面PAE．又面PAE，所以．Ⅱ解：在中，根据余弦定理，得：，所以．又因为，所以，，所以，即．设点C到平面PAB的距离为h，PC与平面PAB所成角为，因为，即，所以，所以，所以PC与平面PAB所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出≌，取BD的中点E，连接AE，PE，推导出，从而面由此能证明．Ⅱ由余弦定理，求出推导出设点C到平面PAB的距离为h，PC与平面PAB所成角为，由，求出，由此能求出PC与平面PAB所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：Ⅰ当时，，解得．根据已知条件转换为，当时，得，即，由于正数数列，所以．即常数故数列是首项为1，公差为2的等差数列．．Ⅱ．令前n项和为．所以，得．所以，整理得．【解析】直接利用数列的递推关系式的应用，求出数列的通项公式．利用的结论，进一步利用分组法的应用和裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法和裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：由题意，左右顶点的坐标分别为、，，即，又点P在椭圆上，，即，则，又，，所以椭圆的离心率；设，，由得：，，，又点O到直线的距离的面积为，，，则椭圆C的方程为．【解析】写出左右顶点的坐标，计算出斜率之积，再结合椭圆的方程及a，b，c之间的关系即可得到离心率e的值；联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求出，再求出原点到直线的距离，根据面积即可求出椭圆方程．本题考查椭圆中三角形面积问题，属于中档题．22.【答案】解：函数，由，由，，所以切线方程为，当时，，所以．故只需证，构造，，又在上单调递增，且，知在上单调递增，故因此，得证．由知在点处的切线方程为．构造，，．当时，；当时，0'/>；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根又，由在R上单调递减，所以．另一方面，在点处的切线方程为．构造．，．当时，；当时，0'/>；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根．又，由在R上单调递增，所以．，，，所以，得证．【解析】由，，可得利用点斜式可得切线方程．根据，当时，，所以故“在上恒成立”等价于“在上恒成立”，构造函数，只需证明最小值大于等于0即可．由知在处的切线方程，令，求得导数和单调性，可得，解方程得其根，运用函数的单调性，所以，；另一方面，在点处的切线方程为，构造，同理可得，解方程得其根，运用函数的单调性，所以根据不等式的基本性质即可得出结论．本题考查了导数的综合运用：求切线的斜率切线方程，求函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

浙江教育绿色评价联盟适应性试卷

（Ⅰ）求
f

3

的值；
（Ⅱ）求 f (x) 的单调区间.
19.（本小题满分 15 分）
如图，圆的直径 AC 2 ， B 为圆周上不与点 A ， C 重合的点， PA 垂直于圆所在的平面， PCA 45 ．（Ⅰ）求证： PB ⊥ BC ；（Ⅱ）若 BC 3 ，求二面角 B PC A 的余弦值．
D． CU M (CU N ) CU M N
y
5．已知函数 f (x) 图象如图所示，则该图象所对应的函数是
1
A． f (x) = ex
B． f (x) = x 2
O
x
C． f (x) = ex2 D． f (x) = ex2
第 5 题图
x y 0，
6．已知实数 x ， y 满足不等式组 2x y 6，则点 x, y 构成平面区域的面积是
其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高
球的表面积公式
S = 4πR2
球的体积公式
V = 4 πR3 3
其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求．
1．复数 z1 2 i ， z2 1 2i ， i 为虚数单位，则 z1 z2
▲ ； D( )
1
▲.
若 a2 c2 b2 2bc cos A 2c 0 ， c cos A b(1 cos C) ，
且 C 2 ，则 c ▲ ；△ ABC 的面积 S ▲ . 3
1
1
1
15.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ▲ .

浙江省绿色联盟2020届高三适应性考试数学试题 Word版含解析

浙江省绿色联盟2020届高三适应性考试数学试题一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分。

1.复数z1=2-i，z2=1+2i，i为虚数单位，则z1·=（）A. 4-5iB. 3iC. 4-3iD. -5i【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：.故答案为：D【分析】利用复数的运算性质即可得出结果。

2.已知x，y为实数，则“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：由，当时，成立，当时，也成立。

故答案为：C【分析】根据题意对x、y分情况讨论即可得出结论成立。

3.已知a为第二象限角，且3sina+cosa=0，则sina=（）A. B. C. - D. -【答案】A【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【解答】解：，已知a为第二象限角，sina<0∴.故答案为：A【分析】利用同角三角函数的基本关系式再结合角a的象限即可求出结果。

4.设U为全集，对于集合M，N，下列集合之间关系不正确的是（）A. M∩N MUNB. (C U M)U(C U N)=C U(M∩N)C. (C U M) ∩(C U N)=C U(MUN)D. (C U M) ∩(C U N)=C U(M∩N)【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：根据集合的运算性质，可得到(C U M)U(C U N)=C U(M∩N)，(C U M) ∩(C U N)=C U(MUN)。

故答案为：D【分析】结合集合的交、并、补运算性质逐一判断即可得出结论。

5.已知函数f(x)图象如图所示，则该图象所对应的函数是（）A. f(x)=e-xB. f(x)=e-2C. f(x)=e x2D. f(x)=e-x2【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】解：由图像可得出这个函数为偶函数，故排除A选项，再由特殊值法可得出f(0)=1,排除B选项，再由图像的增减性在为减函数在为增函数，进而可判断出满足条件为f(x)=e-x2。

2020年浙江省教育绿色评价联盟高考数学适应性试卷(6月份) (解析版)

2020年高考数学适应性试卷（6月份）一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，2]2．双曲线﹣＝1的渐近线方程式为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．5C．4D．24．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．在同一直角坐标系中，函数y＝a x+b，y＝log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知，则“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．随机变量X，Y的分布列如表，其中n∈N+，则（）X n n+1n+2PY n n+2n+4PA．D（X）＝D（Y）B．D（X）＜D（Y）C．D（X）＞D（Y）D．无法判断D（X）与D（Y）的大小关系8．三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BC⊥BD，记AD与BC所成角为α，AB与平面BCD所成角为β，锐二面角A﹣BD﹣C的大小为γ，则（）A．γ＞α＞βB．α＞γ＞βC．α＞β＞γD．γ＞β＞α9．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞110．对于数列{a n}：a1＝a，a n+1＝，有以下结论：①若a＜0，则a n＜1；②若0＜a＜1，则a n+1＜a n；③对a∈R，均有0≤a n+1≤2；④对于任意正整数n，均有（a﹣1）（a n﹣1）≥0．则（）A．仅①②正确B．仅②③正确C．仅①③④正确D．①②③④均正确二、填空题（共7小题）.11．已知复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝，|z|＝．12．已知圆O：x2+y2＝1，l为过点（0，2）的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为；若l与圆O相交于A、B两点，则当△OAB的面积最大时AB的弦长为．13．已知（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），则展开式中二项式系数最大的项是第项；若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C＝b+c，则A＝；若a＝，且△ABC只有唯一解，则b的范围为．15．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的内切圆的半径r的范围为．16．设a，b∈R，不等式|x2+ax+b|≤1对所有的x∈[m，n]成立，则n﹣m的最大值是．17．已知平面向量，，满足，，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，0＜θ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的单调递增区间；19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被经过BD1的动平面α所截，α分别与棱CC1，AA1交于点M，N，得到截面BMD1N，已知AB＝BC＝1，DD1＝．（Ⅰ）求证：MN⊥BD；（Ⅱ）若直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值为，求AN的长．20．已知正项数列{a n}满足a1＝9，．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）若数列的前n项和为S n，求证：．21．如图，已知经过F（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，记直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）若k1+k2＝﹣4，求l的斜率；（Ⅱ）求的最小值．22．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝lnx+1．（Ⅰ）求证：f（x）＝g（x）有两个不同的实数解；（Ⅱ）若g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，求整数m的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，2]【分析】根据全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，易知∁U A＝{x|x≥2}，再根据交集定义即可求解．解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，∴∁U A＝[2，+∞），∴（∁U A）∩B＝[2，+∞）．故选：A．2．双曲线﹣＝1的渐近线方程式为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【分析】由双曲线﹣＝1，直接可得双曲线的渐近线方程．解：由双曲线﹣＝1，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．3．某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．5C．4D．2【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示：此几何体为斜棱柱，V＝S•h＝1×2×2＝4．故选：C．4．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．2【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解最值即可．解：画出可行域，，解得A（1，0），由z＝x+y，即y＝﹣x+z，则z表示y＝﹣x+z在y轴截距，结合图象可知在点（1，0）处，在y轴上的截距取得最小值，此时目标函数取得最小值，x＝1，y＝0代入z＝x+y，可得：目标函数的最小值1．故选：C．5．在同一直角坐标系中，函数y＝a x+b，y＝log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】从选项着手，结合指数函数和对数函数的图象与性质分析，找出选项中函数图象的矛盾之处，即可作出选择．解：对于B，两函数单调性不一致，错误；对于C，函数y＝a x+b中b＜0，而函数y＝log a（x+b）中b＞0，互相矛盾，错误；对于D，函数y＝a x+b中b＞0，函数y＝log a（x+b）中b＜0，互相矛盾，错误．故选：A．6．已知，则“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】令f（x）＝x﹣tan x，x∈（﹣，），利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．解：令f（x）＝x﹣tan x，x∈（﹣，），则f′（x）＝1﹣≤0，∴函数f（x）在x∈（﹣，）上单调递减，∵，α﹣β＞1．∴f（α）＜f（β），∴α﹣tanα＜β﹣tanβ，∴tanα﹣tanβ＞α﹣β＞1；反之也成立．故“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的充分必要条件，故选：C．7．随机变量X，Y的分布列如表，其中n∈N+，则（）X n n+1n+2PY n n+2n+4PA．D（X）＝D（Y）B．D（X）＜D（Y）C．D（X）＞D（Y）D．无法判断D（X）与D（Y）的大小关系【分析】根据方差的概念，观察并对比随机变量X与Y的分布集中程度即可得解．解：由方差的概念，易知随机变量X的分布比随机变量Y的分布集中，所以D（X）＜D（Y）．故选：B．8．三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BC⊥BD，记AD与BC所成角为α，AB与平面BCD所成角为β，锐二面角A﹣BD﹣C的大小为γ，则（）A．γ＞α＞βB．α＞γ＞βC．α＞β＞γD．γ＞β＞α【分析】画出图形，判断直线与直线所成角以及直线与平面所成角，二面角的大小关系，推出结果．解：如图，因为AB＝AD，故AB与面BCD所成角即AD与面BCD所成角，由线面角小于或等于线线角知：AD与面BCD所成角小于AD与BC所成角，即β＜α；由线面角小于或等于二面角知：AB与面BCD所成角小于锐二面角A﹣BD﹣C，即β＜γ，因为BC⊥BD，故锐二面角A﹣BD﹣C即BC与面ABD所成线面角（作AO⊥BD于O．作BE⊥BD于B，作AE∥BD，连接EO，∠EBC就是BC与面ABD 所成线面角），故BC与面ABD所成线面角小于BC与AD所成角，即γ＜α，故α＞γ＞β．故选：B．9．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞1【分析】分别求出f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于原点O和y轴对称的解析式，通过构造函数，求得函数的导数，根据函数的单调性判断答案即可．解：由关于原点对称的点的特点，可将x换为﹣x，y换为﹣y，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于原点O对称的解析式g（x）＝x2﹣2x﹣a（x≥0），令h（x）＝e x﹣x2+2x+a（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2x+2，h''（x）＝e x﹣2，由x＞ln2可得h′（x）递增；0＜x＜ln2时，h′（x）递减，所以h'（x）≥h′（ln2）＝4﹣2ln2＞0，因此，h（x）是单调递增的，且h（x）＝e x﹣x2+2x+a≥h（0）＝1+a，故当a＜﹣1，h（x）有唯一零点，当a≥﹣1时，h（x）不存在零点，故A正确；B不正确；由关于y轴对称的点的特点，可将x换为﹣x，y不变，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于y轴对称的解析式m（x）＝﹣x2+2x+a（x≥0），令n（x）＝e x+x2﹣2x﹣a（x＞0），n′（x）＝e x+2x﹣2，n″（x）＝e x+2，所以n″（x）＞0，n′（x）递增，n′（x）≥n′（0）＝﹣1，因此，n（x）不单调，当a＜0时，n（x）有零点，当a＝1时，n（x）存在两对零点，故C，D都不正确．故选：A．10．对于数列{a n}：a1＝a，a n+1＝，有以下结论：①若a＜0，则a n＜1；②若0＜a＜1，则a n+1＜a n；③对a∈R，均有0≤a n+1≤2；④对于任意正整数n，均有（a﹣1）（a n﹣1）≥0．则（）A．仅①②正确B．仅②③正确C．仅①③④正确D．①②③④均正确【分析】若a＝0时，a n＝0，若a≠0时，利用递推关系式，结合二次函数的性质，求解判断③，利用数学归纳法证明判断①；若0＜a＜1时，易知a n＞0，利用放缩法判断②；当a＝1时，a n＝1；当a＞1时，利用放缩法判断④．解：若a＝0时，a n＝0，若a≠0时，＝＝，表达式的分母的最小值为，所以的最大值为：2，∴a n≤2，故③正确；若a＜0时，a n＜1，证明：若a＜0时，易知a n＞0，当n＝1时，a1＜0，假设n＝k时，0＜a k＜1，（k≥1），则n＝k+1时，，这就是说对于任意的n，a＜0时，a n＜1，所以①正确；若0＜a＜1时，易知a n＞0，当n＝1时，0＜a1＜1，假设n＝k时，0＜a k＜1，（k≥1），则n＝k+1时，，所以0＜a n＜1，因此，即a n+1＜a n，故②正确；当a＝1时，a n＝1；当a＞1时，，综上可得（a﹣1）（a n﹣1）≥0．故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝﹣1，|z|＝1．【分析】根据纯虚数的要求求出a，进而求出|z|．解：复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则1+a＝0且a≠0，故a＝﹣1，所以：z＝﹣i；故|z|＝1．故答案为：﹣1，1．12．已知圆O：x2+y2＝1，l为过点（0，2）的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为或；若l与圆O相交于A、B两点，则当△OAB的面积最大时AB的弦长为．【分析】由题意设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列式求k，则直线的倾斜角可求；当△OAB为等腰直角三角形时面积最大，由勾股定理求弦长．解：由题意，若直线l与圆相切，则l的斜率肯定存在，设l：y＝kx+2，则，解得，∴直线l的倾斜角为或；直线l交圆于A，B两点，可知△OAB为等腰三角形，其面积S＝|OA|•|OB|sin∠AOB＝∠AOB，可知当sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°时△AOB面积最大，即当△OAB为等腰直角三角形时面积最大，∴|AB|＝2×．故答案为：或；．13．已知（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），则展开式中二项式系数最大的项是第1011项；若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．【分析】根据二项式系数的性质填第一个空；分别令x＝﹣1以及x＝1求解第二个空即可．解：因为（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），展开共有2021项；由二项式系数的性质得，最大，所以填第1011项；令x＝1得，（1+a）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，令x＝﹣1得，（﹣1+a）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020，而＝（a0+a1+a2+…+a2020）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020）＝（1+a）2020（﹣1+a）2020＝[（1+a）（﹣1+a）]2020＝（a2﹣1）2020＝1，解得（负值和0舍）．故答案为：1011，．14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C＝b+c，则A＝；若a＝，且△ABC只有唯一解，则b的范围为．【分析】由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可得，由正弦定理得b＝2sin B，而△ABC只有唯一解时，，利用正弦函数的性质可求．解：因为，所以，则，所以sin A sin C＝cos A sin C+sin C，因为C为三角形内角，sin C≠0，所以，则，所以；由正弦定理得，，所以b＝2sin B，而△ABC只有唯一解时，，所以．故答案为：；．15．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的内切圆的半径r的范围为．【分析】设出AB坐标，表示出三角形的面积，利用椭圆的性质，转化求解即可．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，即4ar＝|y1﹣y2|2c，即8r＝2|y1﹣y2|，所以，设AB的方程为：x＝my﹣1，代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣11＝0，所以y1+y2＝y1y2＝，所以|y1﹣y2|＝＝＝＝，函数是减函数，m＝0时，表达式取得最大值3，最小值大于0，∴|y1﹣y2|∈（0，3]，所以．故答案为：．16．设a，b∈R，不等式|x2+ax+b|≤1对所有的x∈[m，n]成立，则n﹣m的最大值是．【分析】法1：令f（x）＝x2+ax+b，x∈[m，n]，则f（x）∈[﹣1，1]，通过f（m）＝m2+am+b ≤1①f（n）＝n2+an+b≤1②③，推出．即可；法2：通过，令，则f（m）＝f（n），即f（x）为平口单峰函数，极值点为，然后求解即可．解：法1：令f（x）＝x2+ax+b，x∈[m，n]，则f（x）∈[﹣1，1]，于是f（m）＝m2+am+b≤1①，f（n）＝n2+an+b≤1②，③由①+②﹣2×③，得，故．此时．法2：因为，令，则f（m）＝f（n），即f（x）为平口单峰函数，极值点为，故|x2+ax+b|的最大值的最小值为，所以．故答案为：．17．已知平面向量，，满足，，则的取值范围为[﹣12，4]．【分析】法1：利用已知条件，结合向量的数量积的运算法则，画出图形转化求解即可．法2：设，，，设x＝2cosφ+1，y＝2sinφ，化简，通过令，转化求解即可．解：法1：由，∴可得，，∴，＝3+||||cos，故，，如图，可得．法2：设，，，则由得，x2+y2﹣2x＝3即（x﹣1）2+y2＝4，可知，可设x＝2cosφ+1，y＝2sinφ，而＝2x cosθ﹣2x+2y sinθ＝2（2cosφ+1）cosθ﹣2（2cosφ+1）+4sinθsinφ＝，令，所以，．故．故答案为：[﹣12，4]．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，0＜θ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的单调递增区间；【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）先利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出函数的增区间．解：（1）由图知A＝1，周期T＝2（﹣）π，故ω＝2，将点代入解析式得：，因0＜θ＜π，故，所以，．（2）＝＝．令，解得：，k∈Z，所以函数的单增区间：，k∈Z．19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被经过BD1的动平面α所截，α分别与棱CC1，AA1交于点M，N，得到截面BMD1N，已知AB＝BC＝1，DD1＝．（Ⅰ）求证：MN⊥BD；（Ⅱ）若直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值为，求AN的长．【分析】（Ⅰ）以D为原点，分别以DA，DC，DD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，通过计算证明，推出MN⊥BD．（Ⅱ）求出平面BMD1N的法向量，利用向量法求出直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值求出参数，再求解AN．解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），．依题意，，设，则，所以，而，所以，所以MN⊥BD．（Ⅱ）因为，，，设平面BMD1N的法向量为，则，令z＝1，则，设直线AB与截面BMD1N所成角为θ，所以，解得，所以．20．已知正项数列{a n}满足a1＝9，．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）若数列的前n项和为S n，求证：．【分析】（Ⅰ）直接利用关系式的变换的应用和等差数列的定义的应用求出结果．（Ⅱ）直接利用裂项相消法在数列求和中的应用及放缩法的应用求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）由，得，即，由于，所以，即（常数）所以，数列为等差数列；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，因为，所以＝，所以，．21．如图，已知经过F（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，记直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）若k1+k2＝﹣4，求l的斜率；（Ⅱ）求的最小值．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：x＝my+1，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可．（Ⅱ）利用弦长公式结合距离公式，推出，然后利用换元法，利用函数的单调性求解最值即可．解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，设直线l的斜率为k，则，同理，，所以，所以k＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝4（m2+1），而＝＝，所以，令，则，所以＝，当且仅当m＝0时取到最小值．22．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝lnx+1．（Ⅰ）求证：f（x）＝g（x）有两个不同的实数解；（Ⅱ）若g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，求整数m的最大值．【分析】（Ⅰ）由f（x）＝g（x）得x﹣lnx﹣2＝0，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，证明结论即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+x＞m（x﹣1）在x＞1时恒成立，即在x＞1时恒成立，设，根据函数的单调性求出m的最大值即可．解：（Ⅰ）证明：由f（x）＝g（x）得x﹣lnx﹣2＝0，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）的最小值为h（1）＝﹣1＜0，而当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，故f（x）＝g（x）有两个不同的实数解．（Ⅱ）g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，即xlnx+x＞m（x﹣1）在x＞1时恒成立，所以在x＞1时恒成立，设，则，由（Ⅰ）m'（x）＝0有唯一零点x0＞1，即x0﹣lnx0﹣2＝0，又h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，所以x0∈（3，4），且当x∈（1，x0）时，m'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m'（x）＜0，所以，由题意，得m＜x0，且x0∈（3，4），因此整数m的最大值为3．。

浙江省部分学校联考2024届高三高考适应性测试数学试题含答案

浙江省2024年普通高考适应性测试数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC 中，5AB =，6BC =，7CA =，则ABC 的面积为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理求出cos B 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin B 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.【详解】由余弦定理可得2222536491cos 22565AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，则B 为锐角，故26sin 5B ===，因此，ABC 的面积为11sin 56225ABC S AB BC C =⋅=⨯⨯⨯=△.故选：A.2.已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，对于下列四个命题：①,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒；②//,//n m n m αα⊂⇒；③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒；④//,//m n m n αα⊂⇒．其中正确命题的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A 【解析】【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求,m n 相交，若没有，则,αβ可能相交，故①错误；对于②：因为线面平行的判定定理要求m α⊄，若没有，则可能m α⊂，故②错误；对于③：根据线、面位置关系可知：m //n ，或,m n 异面，故③错误；对于④：根据线、面位置关系可知：m //n ，或,m n 异面，故④错误；故选：A.3.下列说法正确的是（）A .若随机变量112,4B η⎛⎫⎪⎝⎭，则()3D η=B.若随机变量()22,N ξσ，且()40.8P ξ<=，则()240.4P ξ<<=C.一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19D.若()19P A B ⋂=，()23P A =，()13P B =，则事件A 与事件B 相互独立【答案】C 【解析】【分析】对A ，根据二项分布的方差公式求解即可；对B ，根据正态分布的对称性求解即可；对C ，根据百分位数的定义判断即可；对D ，根据对立事件的概率公式，结合事件A 与事件B 相互独立事件满足()()()P AB P A P B =判断即可．【详解】对A ，()()139112444D np p η=-=⨯⨯=，故A 错误；对B ，若随机变量()22,N ξσ，且()40.8P ξ<=，则()()()24420.80.50.3P P P ξξξ<<=<-<=-=，故B 错误；对C ，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即1820192+=，故C 正确；对D ，()23P A =，()13P B =，故()()()19P A B P A P B ⋂=≠，故事件A 与事件B 不相互独立，故D 错误；故选：C ．4.设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是（）A.a 的方向a λ的方向相反 B.a a λ-≥ C.a 与2a λ方向相同D.a aλλ≥ 【答案】C 【解析】【分析】根据数乘向量运算的定义判断各选项.【详解】对于A ，当0λ>时，a与a λ方向相同，因此A 不正确；对于B ，||1λ<时，a a λ-<，因此B 不正确；对于C ，因为20λ>，所以a 与2a λ同向，C 正确；对于D ，||a λ 是实数，||a λ是向量，不可能相等．故选：C ．5.已知1sin cos 5αα+=，0απ≤≤4πα-的值为A.15B.75C.15±D.75±【答案】B 【解析】【详解】1sin cos ,0,5αααπ+=≤≤ 则sin 0,cos 0,αα><()2124sin cos 2sin cos 2525αααα+=⇒=-，故7sin cos45πααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭选B6.在某班进行的演讲比赛中，共有6位选手参加，其中2位女生，4位男生，如果2位女生不能连续出场，且女生不能排在第一个和最后，则出场顺序的排法种数为（）A.120B.144C.480D.90【答案】B 【解析】【分析】先排4位男生，再在他们形成的间隔(除两端)插入两个女生即可得解.【详解】计算出场顺序的排法种数需要两步：第一步，排4位男生有44A 种，第二步，在4位男生形成的中间间隔中插入2位女生有23A 种，由分步乘法计算原理得4243246144A A =⋅=，所以出场顺序的排法种数为144.故选：B7.已知过原点且斜率为43的直线l 交双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于M ，N 两点，点F 是双曲线的一个焦点，若0MF NF ⋅=，则双曲线的离心率为（）A. B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】通过对称性以及数量积与垂直的关系可得MFF ' 是直角三角形，OM c =，由题意可设出34,55M c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得关于,a c 的齐次式，进而可得结果.【详解】设坐标原点为O ，双曲线的另一个焦点为F '，连接MF '，NF '，由对称性知OF OF '=，=OM ON ，所以四边形MFNF '是平行四边形，又0MF NF ⋅=，所以四边形MFNF '是矩形，故MFF ' 是直角三角形，1||2OM FF c '==.不妨设点M 在第一象限，直线l 的倾斜角为θ，则4tan 3θ=，4sin 5θ=，3cos 5θ=，则点(cos ,sin )M c c θθ，即34,55M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又点M 在双曲线上，所以222291612525c c a b-=，即42950250e e -+=，即()()225950e e --=，又1e >，所以2 5e =，e =，故选：A.【点睛】本题是求解双曲线离心率的问题，解决本题的关键是由已知条件建立关于a ，c 的等式，解题时，应善于从题目给出的条件中挖掘几何元素间的关系，然后将这种关系用含a ，c 的等式表示，即可求得离心率.8.已知数列{}n a 满足11a =，且121nn n a a a +=+，N*n ∈，则（）A.5011 ,1211a ⎛⎫∈⎪⎝⎭ B.5011,1110a ⎛⎫∈⎪⎝⎭C.5011,109a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.5011,98a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出212a =，判断出数列{}n a 递减，且01n a <≤，再对121n n n a a a +=+两边取倒数，然后平方整理得2221112n n n a a a +⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用单调性进行放缩，可得出当3n ≥时，221112214n n a a +⎛⎫⎛⎫<-+ ⎪ ⎪<⎝⎭⎝⎭，结合不等式的性质即可得解.【详解】∵121nn n a a a +=+，11a =，∴212a =，0n a ≠，则1211n n n a a a +=+，∵20n a >，∴101n na a +<<，即数列{}n a 递减，则01n a <≤，∵121nn n a a a +=+，∴两边取倒数得111n n na a a +=+，即2221112n n n a a a +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2221112n n n a a a +⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵数列{}n a 递减，∴当2n =时，212224na <=++，即2232111224a a ⎛⎫⎛⎫<-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3n ≥时，222122224n a a <<+=++，即2243111224a a ⎛⎫⎛⎫<-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2254111224a a ⎛⎫⎛⎫<-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，L ，221112214n n a a +⎛⎫⎛⎫<-+ ⎪ ⎪<⎝⎭⎝⎭，∴根据不等式的性质可得225021112482484a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯<-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭<⎝，即2501100112121a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，∴50111110a <<.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.π3ϕ=-B.()f x 的单调减区间为5π2π11π2π,,183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎣⎦Z C.()f x 图象的一条对称轴方程为29π18x =D.点11π,09⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心【答案】ABC 【解析】【分析】由题可知3π3,2T A ==，解得3ω=，又5π,318⎛⎫⎪⎝⎭在()()3sin 3f x x ϕ=+的图象上，结合π2ϕ<得π3ϕ=-，得()33π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可判断A ；根据三角函数的性质可判断B 、C 、D.【详解】由题可知π5π3,218183πT A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以223ππT ω==，解得3ω=，所以()()3sin 3f x x ϕ=+，又5π,318⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图象上，所以5π33sin 6ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以5π2π,62πk k ϕ+=+∈Z ，所以π2π,3k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()33π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；令ππ3π2π32π,232k x k k +≤-≤+∈Z ，解得5π2π11π2π,183183k k x k +≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调减区间为5π2π11π2π,,183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，故B 正确；令ππ3π,32x k k -=+∈Z ，解得5ππ,183k x k =+∈Z ，当4k =时，29π18x =，故C 正确；令3π,π3x k k -=∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令π1π,9391πk k +=∈Z ，则103k =∉Z ，故D 错误.故选：ABC.10.四边形ABCD 内接于圆O ，5AB CD ==，3AD =，60BCD ∠= ，下列结论正确的有（）A.四边形ABCD 为梯形B.四边形ABCD 的面积为4C.圆O 的直径为7D.ABD △的三边长度可以构成一个等差数列.【答案】ABD 【解析】【分析】直接利用余弦定理，三角形的面积公式，圆的内接四边形性质，和等差数列的证明对选项逐一判断即可.【详解】5,3,60AB CD AD BCD ===∠= 120BAD ∴∠=+连接,AC BD ，由AB CD =可得BDA CAD ∠=∠，又因为ABD ACD ∠=∠，所以()BAD CDA AAS ≅ 120BAD CDA ∴∠=∠=︒180BCD CDA ∴∠+∠=︒//BC DA∴显然AB 不平行CD 即四边形ABCD 为梯形，故A 正确；在ABD △中，222212cos12032532BD AB AD AB AD 2⎛⎫=+-⋅︒=5+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭=49在BCD △中由余弦定理可得2222cos BD CB CD CB CD BCD=+-⋅∠2227525cos 60CB CB ∴=+-⨯⨯︒解得8CB =或3CB =-（舍去）11sin120532224BAD S AB AD ∴=⋅︒=⨯⨯⨯=11sin 60582224BCD S CB CD ∴=⋅︒=⨯⨯⨯=444ABCD BCD BAD S S S ∴=+=+=故B 正确在BAD 中由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22253253cos12049BD ∴=+-⨯⨯︒=7BD ∴=∴圆的直径不可能是7，故C 错误；在ABD △中，3AD =，5AB =，7BD =，满足2AD BD AB+=ABD ∴ 的三边长度可以构成一个等差数列，故D 正确.故选：ABD11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则下列说法正确的是（）A.点1D 到直线1AC的距离为2B.点1D 到平面1A BD的距离为3C.若点(,,)P x y z 在直线1AC 上，则1x y z ==-D.若点(,,)P x y z 在平面1A BD 内，则1x y z -+=【答案】AB 【解析】【分析】由题意对于A ，可由等面积法验算；对于B ，由11D A nd n⋅=即可验算；对于C ，由()1,,1A P x y z =- 与()11,1,1A C =- 共线即可验证；对于D ，由()110n A P x y z ⋅=++-=即可验证.【详解】由题意()()()()()110,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0A C D B D ，所以()()()11111,0,1,0,1,0,1,1,1D C D A A C =-=-=-，若点(,,)P x y z 在直线1AC 上，则()1,,1A P x y z =-，由()1,,1A P x y z =- 与()11,1,1A C =-共线可得1x y z ==-，故C 正确；又1110D C D A ⋅=，所以111D C D A ⊥，而1111D C D A ==，1A C =，不妨设点1D 到直线1AC 的距离为h ，由等面积法有11122h ⨯=，解得3h =，故A 错误；()()111,0,1,0,1,1A B A D =-=- ，不妨设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则00x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，解得1x y ==，即取平面1A BD 的法向量为()1,1,1n =，若点(,,)P x y z 在平面1A BD 内，则()1,,1A P x y z =-，所以()110n A P x y z ⋅=++-=，即1x y z ++=，故C 错误；又()110,1,0D A =-，所以点1D 到平面1A BD的距离为1133D A n d n ⋅==，故B 正确.故选：AB.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-．故答案为：1-.13.已知函数()21ln ,04,0x x f x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪--+≤⎩，()g x x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围是__________.【答案】(⎤⎦【解析】【分析】由题意首先得(]2,4a ∈，212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，进一步有231x x =，由此即可顺利得解.【详解】由题意设()()h x f x x =+，则函数()()()F x f x g x =-的零点即为方程()h x a =的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数()h x 的图象以及直线y a =如图所示：若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，（不妨设为123x x x <<），则方程()h x a =的根有三个根123,,x x x ，且12301x x x ≤<<<，所以(]2,4a ∈，且212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，因为1ln y x x x =++在()1,∞+单调递增，所以321x x =，即231x x =，所以1231x x x x ⋅⋅=，令224a x ==-+，0x ≤，解得x =，令244a x ==-+，0x ≤，解得0x =，所以(1231x x x x ⎤⋅⋅=∈⎦.故答案为：(⎤⎦.【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到231x x =，由此即可顺利得解.14.如图，边长为1的正三角形ABC 的边AC 落在直线l 上，AC 中点与定点O 重合，顶点B 与定点P 重合.将正三角形ABC 沿直线l 顺时针滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在l 上，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当ABC 滚动到111A B C △时，顶点B 运动轨迹的长度为___________；在滚动过程中，OB OP ⋅的取值范围为___________.【答案】①.43π②.0,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】根据题意可知，点B 的轨迹为两个圆心角都为23π的圆弧和一个点，即可求出点B 的轨迹长度，分别求出点B 在滚动的过程中纵坐标的范围，求出点32P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】根据题意可知，点B 的轨迹为两个圆心角都为23π的圆弧和一个点，且圆弧的半径为1，所以顶点B 运动轨迹的长度为242133ππ⨯⨯=，P ⎛ ⎝⎭，30,2OP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设(),B x y ，则(),OB x y = 所以32OB OP y ⋅=，滚动的过程中B 的纵坐标y 满足01y ≤≤，所以330,22OB OP y ⎡⋅=∈⎢⎣⎦ ，故答案为：43π；0,2⎡⎢⎣⎦.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()ln f x x x ax b =++在(1,(1))f 处的切线为2210x y --=．（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间和最小值．【答案】（1）012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）()f x 的单调减区间为10,,()f x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，min 11()2=-f x e.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算'(1)f ，(1)f 可求出a ，b 的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；进而可求得函数的最小值.【详解】（1）()ln ,()ln 1f x x x ax b f x x a '=++∴=++ 又∵函数()f x 在(1,(1))f 处的切线为12210,(1)2x y f --==，(1)111(1)2f a f a b =+=⎧⎪∴⎨=+'=⎪⎩，解得：012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）可得：()1ln f x x '=+，当10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0,()f x f x '≤单调递减；当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，()f x ∴的单调减区间为10,,()f x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，min 111()2f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程确定参数的值，应用导数研究函数的单调性和最值，属于简单题目.16.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC BC =，点D 是AB 的中点.求证：（1）1AC 平面1CDB ；（2）平面1CDB ⊥平面11ABB A .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）作辅助线连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，利用三角形中位线证明1DE AC ∥，根据线面平行的判定定理证明结论；（2）证明1BB CD ⊥，再证明CD AB ⊥，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.【小问1详解】证明：连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，因为点D 是AB 的中点，所以1DE AC ∥，因为DE ⊂平面11,CDB AC ⊄平面1CDB ，所以1AC 平面1CDB .;【小问2详解】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面,ABC CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，又AC BC =，点D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.因为11,,BB AB B BB AB ⋂=⊂平面11BB A A ，所以CD ⊥平面11ABB A ，又CD ⊂平面1CDB ，所以平面1CDB ⊥平面11ABB A .17.考查黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系．调查了1633株黄烟，得到如表中数据，请根据数据作统计分析：培养液处理未处理合计青花病30224254无青花病2413551379合计5415791633附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k ≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.83【答案】有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的．【解析】【详解】【试题分析】先依据题设中的22列联表中的数据，运用公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K ()216333013552242468.0332541379541579⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，再与参考数据表中的数据进行比对与分析进行推断：解：根据公式，则有()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()216333013552242468.0332541379541579⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．∵68.03310.828>，∴说明有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的．18.已知函数()ln 3.f x ax x =--（1）当1a =时，求函数()f x 在点()1,2-处的切线方程；（2）若函数()f x 在4e ,e x -⎡⎤∈⎣⎦上的图象与直线(01)y t t =＃总有两个不同交点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）=2y -；（2）25ee a <<【解析】【分析】（1）把1a =代入函数解析式，求出函数在1x =出的导数，可得函数f (x )在点(12)-，处的切线方程；（2）求出原函数的导函数，分0a ≤和0a >讨论，当0a >时由导函数在不同区间的符号得到原函数的单调性，从而求出函数在区间4e ,e -⎡⎤⎣⎦上的最小值点，由题意列出不等式组，可得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =--，1()1f x x'=-，∴()01f '=，∴函数()f x 在点(1,2)-处的切线方程为：=2y -;（2）由()ln 3f x ax x =--，得1()f x a x'=-，当0a =时，1()f x x'=-在4e ,e x -⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，不满足题意；当a<0时，1()f x a x'=-在4e ,e x -⎡⎤∈⎣⎦上恒小于0，函数在4e ,e x -⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，不满足题意；当0a >，由11()0axf x a x x -¢=-==可得1x a=，当41e a -≤或1e a ≥时，()0f x '≥或()0f x '≤，函数()ln 3f x ax x =--在4e ,e x -⎡⎤∈⎣⎦都是单调函数，函数()f x 在4e ,e x -⎡⎤∈⎣⎦上的图象与直线(01)y t t =＃不可能两个不同交点，故需41ee a-<<；由1()0f x a x '=-<，得4e 1x a-<<，∴当41e ,x a-轹÷Îê÷ê滕时，()f x '＜0，()f x 单调递减；由1()f x a x '=-＞0，得1e x a<<，∴当1,e x a 轹÷Îê÷ê滕时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴函数()f x 在-4e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦上的图象与直线(01)y t t =＃恒有两个不同交点，则需4(e )11()0(e)1f f af -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＜，可得25e e a <<，∴实数a 的取值范围是25(,e )e.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想及分类讨论的思想，是中档题.解答时要注意将图象的交点问题转化为函数的最值问题进行解决.19.同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，Z b ∈，*m ∈N 且1m >．若()m a b -则称a 与b 关于模m 同余，记作a b ≡（mod m ）（“|”为整除符号）．（1）解同余方程20x x -≡（mod3）；（2）设（1）中方程的所有正根构成数列{}n a ，其中123n a a a a <<<< ．①若1n n n b a a +=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2024S ；②若2121tan tan n n n c a a +-=⋅（*n ∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）3x k =或31x k =+（Z k ∈）．（2）①3036；②()tan 31tan1tan 3n n+--【解析】【分析】（1）根据带除的定义求解，()10x x -≡（mod3），即()1x x -能被3整除，从而得出x 或1x -能被3整除；（2）①首先求出n a （分奇偶项），确定出n b ，用并项求和法求和；②求出n c ，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和．【小问1详解】由题意()10x x -≡（mod3），所以3x k =或13x k -=（Z k ∈），即3x k =或31x k =+（Z k ∈）．【小问2详解】由（1）可得{}n a 为{}1,3,4,6,7,9,10, ，所以()()31232n n n a n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⨯⎪⎩为奇数为偶数．①因为1n n n b a a +=-（*n ∈N ），所以()()21n n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数．20241232024310123036S b b b b =++++=⨯= ．②()()2121tan tan tan 31tan 32n n n c a a n n +-=⋅=+⋅-（*n ∈N ）．因为()()()()tan 31tan 32tan 31tan 321tan 3n n n n +--+⋅-=，所以()()12tan 31tan 32tan 4tan1tan 7tan 4111tan 3tan 3tan 3n n n n T c c c +--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=++=-+-++- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()tan 31tan1tan 3n n +-=-．【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解．。

2024年浙江省普通高考适应性测试数学试题及答案

参照机密级管理★启用前浙江省2024年普通高考适应性测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．能连续出场，且女生不能排在第一个和最后，则出场顺序的排法种数为（）A ．120B ．144C ．480D ．907．已知过原点且斜率为43的直线l 交双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于M ，N 两点，点F 是双曲线的一个焦点，若0MF NF ⋅=，则双曲线的离心率为（）A ．5B ．3C ．2D ．28．已知数列{}n a 满足11a =，且121nn n a a a +=+，N*n ∈，则（）A ．5011 ,1211a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．5011,1110a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．5011,109a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．5011,98a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．π3ϕ=-B ．()f x 的单调减区间为5π2π11π2π,,183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 图象的一条对称轴方程为29π18x =D ．点11π,09⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心10．四边形ABCD 内接于圆O ，5AB CD ==，3AD =，60BCD ∠= ，下列结论正确的有（）A ．四边形ABCD 为梯形B ．四边形ABCD 的面积为5534C ．圆O 的直径为7D ．ABD △的三边长度可以构成一个等差数列.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则下列说法正确的是（）A ．点1D 到直线1AC 的距离为22B ．点1D 到平面1A BD 的距离为33C ．若点(,,)P x y z 在直线1AC 上，则1x y z ==-D ．若点(,,)P x y z 在平面1A BD 内，则1x y z -+=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()ln f x x x ax b =++在(1,(1))f 处的切线为2210x y --=．（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间和最小值．16．（15分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC BC =，点D 是AB 的中点.求证：(1)1AC 平面1CDB ；(2)平面1CDB ⊥平面11ABB A .17．（15分）考查黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系．调查了1633株黄烟，得到参考答案：+【详解】。

2024年浙江省普通高考适应性测试数学试题及答案

2024年浙江省普通高考适应性测试数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x≤-2或x≥3}，则A∩B为（）A. {x|-2≤x≤1}B. {x|1≤x≤3}C. {x|-2≤x≤4}D. {x|3≤x≤4}答案：B2. 若函数f(x)=2x^3-3ax^2+4在x=1处取得极值，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a3=5，则公差d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A4. 已知函数f(x)=ln(x-1)+2x在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a>1B. a≥1C. a<1D. a≤1答案：B5. 已知函数g(x)=x^2+mx+n（m、n为常数）的图像与x轴交于两点，且这两点的横坐标之和为-4，则m的值为（）A. -4B. -2C. 2D. 4答案：A6. 已知函数h(x)=x^3-3x+1，则方程h(x)=0在区间（-2，2）内的实根个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B7. 若直线y=2x+1与抛物线y=x^2+ax+b相切，则a+b的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C8. 已知三角形ABC的面积为12，且a=5，b=4，C=120°，则三角形ABC的周长为（）A. 9B. 10C. 11D. 12答案：C二、填空题（每题5分，共30分）9. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4=30，a3=6，则首项a1的值为________。

答案：210. 若函数f(x)=2x^3-3x^2-x+c在x=1处取得极值，则常数c的值为________。

答案：211. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=2处取得极大值，且f(0)=0，则a+b+c的值为________。

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浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（）A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）A．2 B．1 C．D．3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能是（）A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．C．D．7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120 B．150 C．240 D．3008．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，若有|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）A ．B ．C ．D ．10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A ．B ．C ．或D ．或二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=，tanα=．12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：012ξ﹣1P x y若，则x+y=，D（ξ）=．13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为．14．（3分）已知等比数列{a n}，等差数列{b n}，T n是数列{b n}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=，T13=．15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是．16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的面积．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．21．（15分）已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1=2，且．＜a n；（1）求证：1＜a n+1（2）记，求证：．2018年浙江省教育绿色评价联盟高考适应性数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知集合P={x∈R|﹣2＜x≤3}，，则（）A．P∩Q={x∈R|﹣1＜x＜3}B．P∪Q={x∈R|﹣2＜x＜3}C．P∩Q={x∈R|﹣1≤x≤3}D．P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}【解答】解：由≤0，得或，解得﹣1≤x＜3，故P∩Q={x∈R|﹣1≤x＜3}，P∪Q={x∈R|﹣2＜x≤3}．故选：D．2．（3分）已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵=，∴|z|=．故选：B．3．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵在三角形中，＞0，∴sin2＞sin2，∵cosA=1﹣2sin2，cosB=1﹣2sin2，∴cosA＜cosB，则A＞B，即，“A＞B”是“”的充要条件，故选：C4．（3分）已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α【解答】解：由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：A．5．（3分）如图1对应函数f（x），则在下列给出的四个函数中，图2对应的函数只能是（）A．y=f（|x|）B．y=|f（x）|C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（|x|）【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故排除B，且当x＞0时，对应的函数图象右侧与左侧关于y轴对称，而y轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f （x）的图象相同，故当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），得出A，D不正确．故选：C6．（3分）已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图所示的阴影部分．则的取值范围是斜率k的取值范围，且k PC≤k或k≤k PA．解得A（0，1），解得C（，﹣）而k PA==﹣2，k PC==．∴k或k≤﹣2，故选：A．7．（3分）若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A．120 B．150 C．240 D．300【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5本不同的书分成3组，若分成1、1、3的三组，有=10种分组方法；若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法；则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况，则有25×6=150种不同的分法；故选：B．8．（3分）现已知函数f（x）=x2﹣4x+1，且设1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，若有|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2，∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，∴f（1）=﹣2，f（2）=﹣3，f（4）=1，∴|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤|f（1）﹣f （2）|+|f（4）﹣f（2）|=1+4=5，∴M≥5，故选：C9．（3分）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵A，B，C是单位圆上不同的三点，O为坐标原点，∴||=||=||=1．由⇒5+13=﹣12，则25+169+130=144，⇒，由⇒12+13=﹣5，则144+169+2×=25⇒，则==﹣+=﹣．故选：B10．（3分）已知正四面体ABCD和平面α，BC⊂α，当平面ABC与平面α所成的二面角为60°，则平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：如图，设正四面体ABCD的棱长为2，过A作AO⊥底面BCD，连接DO并延长，交BC于E，连接AE，可知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AOE中，可得OE=，AE=，∴cos，则sin．设平面BCD与平面α所成的锐二面角为θ，∠AED=α，当平面BCD与平面ABC在α异侧时，如图，则cosθ=cos（α﹣60°）=cosαcos60°+sinαsin60°=；当平面BCD与平面ABC在α同侧时，如图，则cosθ=cos[180°﹣（α+60°）]=﹣cos（α+60°）=﹣[cosαcos60°﹣sinαsin60°]=﹣（）=．∴平面BCD与平面α所成的锐二面角的余弦值为．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα=，tanα=﹣．【解答】解：角α的终边与单位圆的交点坐标为，则x=﹣，y=，r=|OP|=1，∴sinα==，tanα==﹣，故答案为：，﹣．12．（3分）若随机变量ξ的分布列为：012ξ﹣1P x y若，则x+y=，D（ξ）=．【解答】解：∵，∴由随机变量ξ的分布列，知：，∴x+y=，x=，y=，D（ξ）=（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=．故答案为：，．13．（3分）如图为某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为，表面积为4+4．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2正方形，E到底面ABCD的距离为：，EA==2．∴棱锥的体积V==．棱锥的四个侧面均为正三角形，EB=ED=2，∴棱锥的表面积S=22+4×=4+4．故答案为：；4+4．14．（3分）已知等比数列{a n}，等差数列{b n}，T n是数列{b n}的前n项和．若a3•a11=4a7，且b7=a7，则a7=4，T13=52．【解答】解：因为{a n}为等比数列，且a3•a11═4a7，由等比数列的性质可得a3•a11=a7•a7=4a7，所以解得a7═4，因为{b n}为等差数列，且b7═a7═4，所以由等差数列的前n项求和公式得：T13═13×（b1+b13）×=13××2b7=13b7=13×4=52故答案为a7=4，T13=52．15．（3分）若的展开式中常数项为60，则实数a的值是±2．【解答】解：的展开式的通项=．由，可得（舍），由6﹣=0，得r=4．∴的展开式中常数项为==60，解得a=±2．故答案为：±2．16．（3分）过双曲线上任意一点P作平行于x轴的直线，交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，则双曲线的离线率为．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设双曲线上的P（m，n），则﹣=1．①联立，解得x=，取A（，n），同理可得B（﹣，n）．=（﹣m，0），=（﹣﹣m，0），由•=﹣，可得（﹣m）（﹣﹣m）=﹣，化为m2﹣n2=﹣，②由①②可得=，则e====．故答案为：．17．（3分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是[，] ．【解答】解：作函数f（x）=的图象如右，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故=x3+=+x4，1＜x4≤2；由y=+x4在（1，]递减，（，2]递增．故x4=取得最小值，且为2=，当x4=1时，函数值为，当x4=2时，函数值为．即有取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=a2+b2+ab．（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由余弦定理可知：cosC==﹣，由0＜C＜π，则C=；（2）由sinA=，由C=，则A为锐角，∴cosA==，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，由正弦定理可知：=，则a===，则△ABC的面积S=×absinC=×2××=，∴△ABC的面积为．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结EC，BD，交于点O，∵BC=CD=2，DE=BE=1，∴EC⊥BD，∵AC⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，∴BD⊥AC，∵EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC．解：（2）∵在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠CBE=90°，BC=CD=2，DE=BE=1，AC=，M为AE的中点．∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作AC的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∴BO=，EO=，CO=，∴E（0，﹣，0），A（0，，），M（0，，），B（，0，0），=（，﹣，﹣），平面AEC的法向量=（1，0，0），设直线MB与平面AEC所成角为θ，sinθ===．∴直线MB与平面AEC所成角的正弦值为．20．（15分）已知函数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a），求证：当x∈[﹣1，1]时，恒有．【解答】解：（1）f（x）=x3+|x﹣1|，当x≥1时，f（x）=x3+x﹣1的导数为f′（x）=x2+1＞0，可得f（x）递增；当x＜1时，f（x）=x3+1﹣x的导数为f′（x）=x2﹣1，由f′（x）＞0，可得x＜﹣1；由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1．综上可得，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1）；减区间为（﹣1，1）；（2）证明：当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a）递减，在（a，1]递增，可得f（x）的最小值为g（a）=f（a）=a3+1﹣a；f（x）的最大值为f（﹣1）或f（1），由f（﹣1）﹣g（a）﹣=a﹣﹣a3﹣1+a﹣=2a﹣a3﹣3＜0恒成立；又f（1）﹣g（a）﹣=﹣a﹣a3﹣1+a﹣=﹣a3﹣1＜0恒成立；当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]递减，可得f（x）的最小值为g（a）=f（1）=+a﹣1=a﹣，最大值为f（﹣1）=a+，则a+≤a﹣+恒成立．综上可得当x∈[﹣1，1]时，恒有．21．（15分）已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则|PF1|+|PF2|=2a，则+=+=4=2a，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），则|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+=+，=[（b2cos2θ+a2sin2θ）+（b2sin2θ+a2cos2θ）]（+）=（2++）≥，∴|AB|的最小值为．22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1=2，且．＜a n；（1）求证：1＜a n+1（2）记，求证：．【解答】证明：（1）∵a1=2＞1，成立，假设a k＞1成立，则有2a k﹣1＞1成立，即成立，＞1，即a k+1a n﹣a n﹣1===＞0，∴a n＞a n+1，∴1＜a n＜a n．+1（2）====（a n﹣a n+1）•﹣（），∵=＜，＞2（），∴原式＜2（a n﹣a n+1）﹣3（）+2（）＜=3[（）﹣（）]，∴b 1+b2+b3+…+b n＜3[（）﹣（）+（）﹣（）+…+（）﹣（）=3[]＜3（）=3（2﹣）=6﹣3，∴．。